高二数学寒假综合测试(一)

高二数学寒假综合测试（一）
数学试题卷
考生须知：本卷分卷Ⅰ卷Ⅱ，均做在答题卷上，本卷满分150分，时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）若)1,0()(≠>=a a a x f x 的定义域为M ，)1,0(log )(≠>=a a x x g a 的定义域为N ，令全集I =R ，则
=N M
（A ）M （B ）N （C ）M （D ）N
（2）已知数列}{n a 中，),3,2,1(2,111 ===+n a a a n n ，则这个数列前n 项和的极限是
（A ）2 （B ）21 （C ）3 （D ）3
1
（3）已知函数13)(-=x x f ，则它的反函数)(1x f y -=的图象是
（4）圆台的轴截面面积与侧面积的比为
4
1
，则侧面母线所在直线与轴所夹锐角为 （A ）arccos 4π （B ）arccos 6π （C ）4π （D ）6
π
（5）函数4
3sin(2π
-=x y ）图象的两条相邻对称轴之间的距离是
（A ）
3π
（B ）32π （C ）π （D ）3
4π （6）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有
A ．24
种
B ．18种
C ．12种
D ．6种
（7）已知A 、B 、C 、D 为同一球面上的四点，且连接每两点间的线段长都等于2，则球心O 到平面
BCD 的距离等于
（A ）36 （B ）66 （C ）126 （D ）18
6
（8）定义在（-∞，+∞）上的函数y =f (x )在（–∞，2）上是增函数，且函数y =f (x +2)图象的对称轴是x =0，
则
（A ）f (–1)<f (3) （B ）f (0)>f (3) （C ）f (–1)=f (–3) （D ）f (2)<f (3)
（9）若圆222)1()1(R y x =++-上有且仅有两个点到直线4x +3y =11的距离等于1，则半径R 的取值
范围是
（A ）R >1 （B ）R <3 （C ）1<R <3 （D ）R ≠2
（10）原市话资费为每3分钟0.18元，现调整为前3分钟资费为0.22元，超过3分钟，每分钟按0.11
元计费，与调整前相比，一次通话提价的百分比
（A ）不会高于70% （B ）会高于70%而不会高于90% (C)不会低于10% （D ）高于30%而低于100%
（11）图中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD 的点A 作截面111D C AB 而截得的，且D D B B 11=.
已知截面111D C AB 与底面ABCD 成30°的二面角，AB =1，则这个多面体的体积为 （A ）
26 （B ）36 （C ）46 （D ）6
6
（12）已知双曲线122
22=-b
y a x （a >0,b >0）的离心率]2,2[∈e , 令双曲线两条渐近线构成的角中，以
实轴为角平分线的角为θ，则θ的取值范围是
（A ）]2,6[ππ （B ）]2,3[ππ （C ）]32,2[ππ （D ）],3
2[ππ
寒假综合测试（一）
数学答题卷
第II 卷（非选择题共90分）
D
C
B
A
D 1C 1
B 1
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
（13）若n x
x )2
(+展开式中的第5项为常数，则n = .
（14）抛物线5)1(22--=y x 的准线方程是 .
.
______,)0,(sin cos
2C y)(x,(15)的取值范围是则一点上任意
θ＜π≤θ为参数θθ∶是曲线点x
y
y x ⎩⎨⎧=+-=
（16）已知如图，正方体ABCD –1111D C B A ，过点A 作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等，试写出满足这样条件的一个截面 .（注：只需任意写出一
个.）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（17）（本小题满分12分）已知2log )(),1(log )(,1,0x x g x x f a a a a =+=≠>，求使2log )()(a x g x f >-成
立的自变量x 的取值范围.
（18）（本小题满分12分）已知函数)2
||,0,0)(sin()(π<ϕ>ω>ϕ+ω=A x A x f 的图象在y 轴上的截距为
1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（2,0x ）和（2,30-π+x ）. （I ）求)(x f 的解析式；
(II ）将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的3
1
（纵坐标不变），然后再将所得图象向x 轴正方
向平移3
π
个单位，得到函数y =g (x )的图象.写出函数y =g (x )的解析式并用列表作图的方法画出
y =g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象.
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
（19）（本小题满分12分） 已知：如图，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，AD ∥BC ，2:1:1::=BC DC PD .
（Ⅰ）求PB 与平面PDC 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角D –PB –C 的正切值；
（III ）若BC AD 21
=，求证平面PAB ⊥平面PBC .
（20）（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点分别为)22,0(),22,0(21F F -，离心率.3
2
2=
e （Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）一条不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且组段MN 中点的横坐标为–
2
1，求直线l 倾斜角的取值范围.
P
D
C
B
A
21、（本题满分12分） 如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长都相等，D 、E 分别为AC 1、BB 1的中点. （1）求证：DE ∥平面A 1B 1C 1； （2）求二面角A 1—DE —B 1的大小.
22．（本小题满分14分）
设函数f (x )是定义在R 上的函数，对任意实数m 、n ，都有),()()(n m f n f m f +=⋅ 且当.1)(,0><x f x 时
（Ⅰ）证明（1）f (0)=1;（2）当;1)(0,0<<>x f x 时（3）)(x f 是R 上的减函数； （Ⅱ）如果对任意实数x 、)()()(,2
2
axy f y f x f y ≤⋅有恒成立，求实数a 的取值范围.
寒假综合测试（一）数学答案
一、（1）B （2）A （3）D （4）A （5）A （6）C （7）B （8）A （9）C （10）B （11）D （12）C. 二、（13）12 （14）841
-=x ,0]3
3(15)[-（16）截面11D AB ，或截面1ACD ，或截面C AB 1.（注：未写截面
二字不扣分）
三、（17）解：2log log )1(log 2
a a a x x >-+ 2log log )1(log 2
a a a x x +>+
)2(log )1(log 2x x a a >+………………………………………………………2分
当0<a <1
1211121
1
210012
2>-<<-⇔⎪⎩⎪
⎨⎧>-<->⇔⎪⎩⎪⎨⎧<+>>+x x x x x x
x x x 或或……………………7分 当a >1时，100211210210012
2<<<<-⇔⎪⎩⎪
⎨⎧<<-≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧<+>>+x x x x x
x x x 或
综上：当0<a <1时，不等式的解为,12
1
1>-<<-x x 或当a >1时，不等式的解为
.1002
1
<<<<-x x 或…………………………12分 （18）解：（Ⅰ）由已知，易得A=2．ππ3)3(2
00=-+=x x T
，解得3
1,6=
∴=ωπT ． 把（0，1）代入解析式)3sin(2ϕ+=x y ，得1sin 2=ϕ．又2
π
ϕ<
，解得6
π
ϕ
=
．
∴
)6
3sin(2π
+=x y 为所求．…………………………………………………………6分
(Ⅱ)压缩后的函数解析式为
)6sin(2π+=x y 再平移，得)6
sin(2π
-=x
评分标准说明： 求出
A 、ω、ϕ
各占2分．
列表与画图各占2分．……12分 （19）
（Ⅰ）解：由PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，得PD ⊥BC .
由AD ⊥DC ，AD ∥BC ，得BC ⊥DC .
又D DC PD = ，则BC ⊥平面PDC .………………………2分 所以∠BPC 为直线PB 与平面PDC 所成的角 令PD =1，则DC =1，2=
BC ，可求出PC =2.…………3分
由BC ⊥平面PDC ，平面⊂PC PDC ，得BC ⊥PC .
在Rt △PBC 中，由PC =BC 得∠BPC =45°
即直线PB 与平面PDC 所成的角为45°……………………4分
（Ⅱ）解法（一）：
取PC 中点E ，连DE ，则DE ⊥PC .由BC ⊥平面PDC ，⊂BC 平面PBC ， 得平面PDC ⊥平面PBC .
则DE ⊥平面PBC .……………………………………5分 作PB EF ⊥于F ,连DF ,由三垂线定理，得DF ⊥PB . 则∠DFE 为二面角D –PB –C 的平面角…………7分 在Rt △PDC 中，求得2
2
=DE 在Rt △PFE 中，求得2
1=
EF . 在Rt △DEF 中，2==
∠=EF
DE
DFE tg . 即二面角D –PB –C 大小的正切值为2………………8分
（20）解：（Ⅰ）设椭圆方程为12222=+b
x a y .由已知，22=c ，由32
2=e a =3，
∴19
.122
=+=x y b 3分 （Ⅱ）设直线l 的方程为y =kx +b (k ≠0)解方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=②① 19
2
2x y b kx y
将①代入②并化简，得092)9(2
2
2
=-+++b kbx x k ……………………4分
⎪⎩
⎪⎨⎧-=+-=+>-+-=∆分分6 19250)9)(9(4)2(2
21222 k kb
x x b k kb Ⅰ由于k ≠0 化简后，得⎪⎩
⎪⎨⎧+=
>+-分④分
③8 29
7 09222 k k b b k
将④代入③化简后，得027624>-+k k .………………………………………9分
解得32
>k ∴33>-<k k 或……………………………………………………………………10分 由已知，倾斜角不等于
,2
π
∴l 倾斜角的取值范围是)3
2,2
()2
,3(ππππ ……………………………………12分
21.证：（1）取A 1C 1中点F ，连DF ，B 1F 1，DF 平行且等于
2
1
AA 1, ∴DF 平行且等于EB 1,
∴四边形DFB 1E 为平行四边形…………………（3分）∴DE ∥B 1F ∴DE ∥平面A 1B 1C 1………………（6分）（2）解：易知B 1F ⊥平面ACC 1A 1, ∵ED ∥B 1F, ED ⊥平面ACC 1A 1，
∴ED ⊥A 1D 1，ED ⊥DF ，∴∠A 1DF 即为所示二面角的平面角.………………9分由已知各棱长均为a ，∴A 1F=DF=.2
a
∴△A 1DF 为等腰直角三角形. ∴∠A 1DF=45°∴所求二面角为45°……12分
22．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）（1）证明：在
)()()(n m f n f m f +=⋅中，令m =n =0, 得
1)0(0)0()
0()0()0()00()0()0(==∴⋅=+=⋅f f f f f f f f 或即……2分 若0,0)0(<=x f 则当时，有,0)0()()0()(=⋅=+=f x f x f x f 这与题设矛盾 1)0(=∴f …………3分
（2）证明 ：当x >0时，－x <0，由已知得f (－x )>1…………4分
1)
()
0()(01)(,1)0(),()()]([)0(<-=
<∴>-=-⋅=-+=x f f x f x f f x f x f x x f f
即1)(0,0<<>x f x 时 ………………6分
（3）证明： 任取),()()()(,221221121
x f x x f x x x f x f x x ⋅-=+-=<则………7分
),()(,0)(,1)(,02122121x f x f x f x x f x x >∴>>-∴<-又 )(x f y =∴在定义域R 上为减函数………………10分 （Ⅱ）),()(),()()(2222axy f y x f axy f y f x f ≤+∴≤⋅ )(x f 是减函数，axy y x ≥+∴22恒成立，
（i ）当0=xy 时，a 可取任意实数；…………11分 （i i ）当∴≥++≤>,2,,02
222xy
y x xy y x a xy 而时只需2≤a ………
…12分（i i i ）当
2,2,,02
222-≥∴-≤++≥<a xy
y x xy y x a xy 只需而时……13分
∴综上所述，满足题设要求的a 的取值范围是22≤≤-a ………………14分。