高中数学：2022-2023学年浙江省杭州市高一(下)期末数学试卷(含参考答案)

2022-2023学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}
2．（5分）若z•i＝2+3i（i是虚数单位），则|z|＝（）
A．2B．3C．√13D．3√2
3．（5分）军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的
1
6000
所对的圆心角的
大小，．若角α＝1000密位，则α＝（）
A．π
6
B．
π
4
C．
π
3
D．
5π
12
4．（5分）已知平面α⊥平面β，直线l⊄α，则“l⊥β”是“l∥α”的（）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体．假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h，则h关于时间t的函数的大致图象可能是（）
A．B．
C．D．
6．（5分）雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积3133平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线BC，测得∠ABC、∠ADC的度数分别为α、β，以及D、B两点间的距离d，则塔高AC＝（）
A．dsinαsinβ
sin(β−α)
B．
dsinαsinβ
cos(β−α)
C．dtanαtanβ
tan(β−α)
D．
dsinαcosβ
sin(β−α)
7．（5分）已知函数f(x)=ex+π，g(x)=(πe)x（e为自然对数的底数），则（）A．∀x∈（0，+∞），f（x）＞g（x）
B．∃x0∈(e
π
，eπ)，当x＝x0时，f（x）＝g（x）
C．∀x∈(e
π
，eπ)，f(x)＜g(x)
D．∃x0∈(e2π，+∞)，当x＞x0时，f（x）＜g（x）
8．（5分）设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，f(−π8)=0，|f(3π8)|=1，且f（x）在区间(−π12，π
24
)上单调，则ω的最大值为（）
A．1B．3C．5D．7
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
（多选）9．（5分）已知函数f(x)=2x−1
2x+1
，则（）
A．函数f（x）的图象关于原点对称
B ．函数f （x ）的图象关于y 轴对称
C ．函数f （x ）的值域为（﹣1，1）
D ．函数f （x ）是减函数
（多选）10．（5分）如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则（ ）
A ．A
B →
−AF →
=AO →
B ．A
C →
+AE →
=3AD →
C ．OA →
⋅OC →
=OB →
⋅OD →
D ．AD →
在AB →
上的投影向量为AB →
（多选）11．（5分）如图，质点A 和B 在单位圆O 上逆时针做匀速圆周运动．若A 和B 同时出发，A 的角速度为1rad /s ，起点位置坐标为(12，√3
2
)，B 的角速度为2rad /s ，起点位置坐标为（1，0），则（ ）
A ．在1s 末，点
B 的坐标为（sin2，cos2）
B ．在1s 末，扇形AOB 的弧长为π
3
−1
C ．在
7π3
s 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合
D ．△AOB 面积的最大值为1
2
（多选）12．（5分）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则（ ）
A ．设内切球的半径为r 1，外接球的半径为r 2，则r 2＝2r 1
B ．设内切球的表面积S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1＝4S 2
C ．设圆锥的体积为V 1，内切球的体积为V 2，则
V 1V 2
=9
4
D ．设S ，T 是圆锥底面圆上的两点，且ST ＝a ，则平面PST 截内切球所得截面的面积为πa 215
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）设函数f(x)={x 1
2，x ＞0
(1
2
)x ，x ＜0，若f(a)=1
2，则a ＝ ．
14．（5分）将曲线y ＝sin x 上所有点向左平移φ（φ＞0）个单位，得到函数y ＝﹣sin x 的图象，则φ的最小值为 ．
15．（5分）已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都是2，则直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为 ；直线CB 1与直线A 1B 所成角的余弦值为 ． 16．（5分）对于函数y ＝f （x ）（x ∈I ），若存在x 0∈I ，使得f （x 0）＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“不动点”．若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“稳定点”．记函数y ＝f （x ）的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B ，即A ＝{x |f （x ）＝x }，B ＝{x |f （f （x ））＝x }．经研究发现：若函数f （x ）为增函数，则A ＝B ．设函数f(x)=√x −a(a ∈R)，若存在b ∈[0，1]使f （f （b ））＝b 成立，则a 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P(35，−45
)．
（1）求sin α的值；
（2）若角β满足sin(α+β)=
√3
2
，求cos β的值．
18．（12分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg /L 与时间th 间的关系为
P =P 0e −kt （其中P 0，k 是正常数）．已知在前5个小时消除了10%的污染物． （1）求k 的值（精称到0.01）；
（2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1h ）． 参考数据：ln 2＝0.693，ln 3＝1.099，ln 5＝1.609．
19．（12分）我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．如图
所示，e →1，e →
2两分别为
Ox ，Oy 正方向上的单位向量．若向是OP →
=xe →1+ye →
2，则把实数对（x ，y ）叫
做向量OP →
的“@未来坐标”，记OP →
={x ，y}．已知{x 1，y 1}，{x 2，y 2}分别为向是a →
，b →
的@未来坐标． （1）证明：{x 1，y 1}+{x 2，y 2}＝{x 1+x 2，y 1+y 2}．
（2）若向量a →
，b →
的“@未来坐标”分别为{1，2}，{2，1}，求向量a →
，b →
的夹角的余弦值．
20．（12分）在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD •sin ∠ADC ＝2CD •sin ∠ABC ． （1）求证：BC ＝2CD ．
（2）若AB ＝3CD ＝3，且AD •sin ∠ADB ＝AB •sin60°，求四边形ABCD 的面积．
21．（12分）生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎．有以下两种捆扎方案：方案（1）为十字捆扎（如图（1）），方案（2）为对角捆扎（如图（2））．设礼品盒的长AB ，宽BC ，高AA 1分别为30cm ，20cm ，10cm ．
（1）在方案（2）中，若LA 1＝A 1E ＝IC 1＝C 1H ＝FB ＝BG ＝10cm ，设平面LEF 与平面GHI 的交线为l ，求证：l ∥平面ABCD ；
（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少cm？
22．（12分）已知函数f(x)=x+1
x
(x＞0)，g(x)=x(x＞0)．
（1）直接写出|f（x）﹣g（x）|＜|g（x）﹣f（x）+1|的解集；
（2）若f（x1）＝f（x2）＝g（x3），其中x1＜x2，求f（x1+x2）+g（x3）的取值范围；
（3）已知x为正整数，求h（x）＝（m+1）x2﹣2（m2+1）x（m∈N*）的最小值（用m表示）．
附：参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}
【解答】解：集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x[x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，
A∩B＝{1，2，3}．
故选：C．
2．（5分）若z•i＝2+3i（i是虚数单位），则|z|＝（）
A．2B．3C．√13D．3√2
【解答】解：因为z=2+3i
i
=
(2+3i)(−i)
i(−i)
=3−2i，
所以|z|=√32+(−2)2=√13．故选：C．
3．（5分）军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的
1
6000
所对的圆心角的
大小，．若角α＝1000密位，则α＝（）
A．π
6
B．
π
4
C．
π
3
D．
5π
12
【解答】解：因为1密位等于圆周角的
1 6000
，
所以角α＝1000密位时，α=1000
6000
×2π=
π
3
．
故选：C．
4．（5分）已知平面α⊥平面β，直线l⊄α，则“l⊥β”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：设α∩β＝m，在平面α内作a⊥m，
因为平面α⊥平面β，所以a⊥β，
因为l⊥β，所以a∥l，
因为l⊄α，a⊂α，
所以l∥α，
而当平面α⊥平面β，直线l⊄α，l∥α时，l与平面β可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，
所以“l⊥β”是“l∥α”的充分而不必要条件．
故选：A．
5．（5分）杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体．假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h，则h关于时间t的函数的大致图象可能是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，
燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，
燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，
结合所得的函数图象，A选项较为合适．
故选：A．
6．（5分）雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积3133平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线BC，测得∠ABC、∠ADC的度数分别为α、β，以及D、B两点间的距离d，则塔高AC＝（）
A．dsinαsinβ
sin(β−α)
B．
dsinαsinβ
cos(β−α)
C．dtanαtanβ
tan(β−α)
D．
dsinαcosβ
sin(β−α)
【解答】解：在△ABD中，∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝β﹣α，
由正弦定理可得
BD
sin∠BAD
=
AD
sin∠ABC
，即
d
sin(β−α)
=
AD
sinα
，得AD=
dsinα
sin(β−α)
，
由题意可知，AC⊥BC，
所以AC=ADsin∠ADC=dsinαsinβsin(β−α)
．
故选：A．
7．（5分）已知函数f(x)=ex+π，g(x)=(πe)x（e为自然对数的底数），则（）A．∀x∈（0，+∞），f（x）＞g（x）
B．∃x0∈(e
π
，eπ)，当x＝x0时，f（x）＝g（x）
C．∀x∈(e
π
，eπ)，f(x)＜g(x)
D．∃x0∈(e2π，+∞)，当x＞x0时，f（x）＜g（x）
【解答】解：由指数函数的增长速度最快可知，当x＞x0时，f（x）＜g（x）恒成立，故A错误；画出两个函数图象：
f（eπ）＝e2π+π＞25，g（eπ）＝（π
e
）eπ＜（√2）9＜25，
所以f（x）＝g（x）的零点x0＞eπ，故BC错误；
由指数函数的增长速度最快可知，
当x＞x0时，f（x）＜g（x）恒成立，故D正确．
故选：D．
8．（5分）设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，f(−π8)=0，|f(3π8)|=1，且f（x）在区间(−π12，π
24
)上单调，则ω的最大值为（）
A．1B．3C．5D．7
【解答】解：由f(−π
8
)=0，得−
π
8
ω+φ=k1π(k1∈Z)，
由|f(3π
8
)|=1，得
3π
8
ω+φ=k2π+
π
2
(k2∈Z)，
两式作差，得ω＝2（k2﹣k1）+1（k1，k2∈Z），
因为f（x）在区间(−π
12
，π
24
)上单调，所以
π
24
+
π
12
≤
1
2
⋅
2π
ω
，得ω≤8．
当ω＝7时，−7π
8
+φ=k1π(k1∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ=−π8，
所以f(x)=sin(7x−π
8 )．
x∈(−π
12
，π
24
)，7x−
π
8
∈(−
17
24
π，π6)，因为−1724π＜−π2，
所以f（x）在区间(−π
12
，π
24
)上不单调，不符合题意；
当ω＝5时，−5π
8
+φ=k1π(k1∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ=−3π8，
所以f(x)=sin(5x−3π
8
)．
x∈(−π
12
，π
24
)，5x−
3π
8
∈(−
19
24
π，−π6)，因为−1924π＜−π2，
所以f（x）在区间(−π
12
，π
24
)上不单调，不符合题意；
当ω＝3时，−3π
8
+φ=k1π(k1∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ=3π8，
所以f(x)=sin(3x+3π
8
)．
x∈(−π
12
，π
24
)，3x+
3π
8
∈(
π
8
，π
2
)，
所以f（x）在区间(−π
12
，π
24
)上单调，符合题意，所以ω的最大值是3．
故选：B．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
（多选）9．（5分）已知函数f(x)=2x−1
2x+1
，则（）
A．函数f（x）的图象关于原点对称B．函数f（x）的图象关于y轴对称C．函数f（x）的值域为（﹣1，1）D．函数f（x）是减函数
【解答】解：f（x）的定义域为R，f(x)=2x−1 2x+1
，
则f(−x)=2−x−1
2−x+1
=−
2x−1
2x+1
=−f(x)，
所以f（x）为奇函数，f（x）的图象关于原点对称，A正确，B错误；
f(x)=2x−1
2x+1
=1−
2
2x+1
，因为2x+1＞1，所以0＜1
2x+1
＜1，0＜2
2x+1
＜2，
所以−1＜1−
2
2x+1
＜1，故f（x）的值域为（﹣1，1），C正确；
设x2＞x1，则f(x2)−f(x1)=(1−
2
2x2+1
)−(1−
2
2x1+1
)
2
2x1+1−
2
2x2+1
=
2(2x2−2x1)
(2x1+1)(2x2+1)
，
因为x2＞x1，所以2x2−2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
所以函数f（x）是增函数，故D错误，
故选：AC．
（多选）10．（5分）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，则（）
A ．A
B →
−AF →
=AO →
B ．A
C →
+AE →
=3AD →
C ．OA →
⋅OC →
=OB →
⋅OD →
D ．AD →
在AB →
上的投影向量为AB →
【解答】解：对于A 中，由AB →
−AF →
=FB →
≠AO →
，所以A 不正确；
对于B 中，由AC →
+AE →
=AO →
+OC →
+AO →
+OE →
=2AO →
+OC →
+OE →
=2AO →
+OD →
=3AO →
，所以B 不正确；
对于C 中，设正六边形的边长为a ，可得OA →
⋅OC →
=1×1×cos120°=−12，OB →⋅OD →=1×1×cos120°=
−1
2
，所以OA →⋅OC →=OB →⋅OD →，所以C 正确； 对于D 中，如图所示，
连接BD ，可得BD ⊥AB ，
可得|AD →
|cos∠DAB =|AB →
|，所以AD →
在向量AB →
上的投影向量为|AB →
|⋅AB →
|AB →
|
=AB →
，所以D 正确．
故选：CD ．
（多选）11．（5分）如图，质点A 和B 在单位圆O 上逆时针做匀速圆周运动．若A 和B 同时出发，A 的角速度为1rad /s ，起点位置坐标为(12，√3
2
)，B 的角速度为2rad /s ，起点位置坐标为（1，0），则（ ）
A ．在1s 末，点
B 的坐标为（sin2，cos2）
B ．在1s 末，扇形AOB 的弧长为π
3
−1
C ．在
7π3
s 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合
D ．△AOB 面积的最大值为1
2
【解答】解：在1s 末，点B 的坐标为（cos2，sin2），故A 错误；
点A 的坐标为(cos(π3+1)，sin(π3+1))；∠AOB =π
3−1，扇形AOB 的弧长为π3
−1，故B 正确；
设在ts 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合， 则2t −t =t =2π+
π3=7π
3，故在7π3
s 末，点A ，B 在单位圆上第二次重合，故C 正确； S △AOB =12sin∠AOB ，经过5π6s 后，可得∠AOB =π
2，△AOB 面积的可取得最大值12
，故D 正确．
故选：BCD ．
（多选）12．（5分）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则（ ）
A ．设内切球的半径为r 1，外接球的半径为r 2，则r 2＝2r 1
B ．设内切球的表面积S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1＝4S 2
C ．设圆锥的体积为V 1，内切球的体积为V 2，则
V 1V 2=9
4
D ．设S ，T 是圆锥底面圆上的两点，且ST ＝a ，则平面PST 截内切球所得截面的面积为πa 215
【解答】解：作出圆锥的轴截面如下：
因为圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，所以△P AB 为等边三角形， 又PB ＝2a ，所以OP =√PB 2−OB 2=√3a ，设球心为G （即为△P AB 的重心），
所以PG =23PO =2√33a ，OG =13PO =√33
a ，
即内切球的半径为r 1=OG =√3
3
a ，外接球的半径为r 2=PG =
2√3
3
a ， 所以r 2＝2r 1，故A 正确；
设内切球的表面积S 1，外接球的表面积为S 2，则S 2＝4S 1，故B 错误；
设圆锥的体积为V 1，则V 1=1
3πa 2×√3a =√33
πa 3，
内切球的体积V 2，则V 2=43π（√33
a ）3=4√327πa 3
，
所以V 1V 2=9
4
，故C 正确；
设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST ＝a ，则ST 所对的圆心角为π
3（在圆O 上），
设ST 的中点为D ，则OD ＝a sin π3=√3
2
a ，不妨设D 为OB 上的点，连接PD ，
则PD =√PO 2+OD 2=
√15a
2
，过点G 作GE ⊥PD 交PD 于点E ，则△PEG ∽△POD ，
所以GE OD
=
PG
PD ，即√32
a
=2√3
3
a √152
a ，解得GE =
2√15
15
a ， 所以平面PST 截内切球截面圆的半径r =√r 12−GE 2=√115
a 2， 所以截面圆的面积为πr 2
=πa 2
15
，故D 正确．
故选：ACD ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）设函数f(x)={x 1
2，x ＞0(12
)x ，x ＜0
，若f(a)=1
2，则a ＝ 14 ．
【解答】解：当a ＞0时，a 12=12，∴a =1
4
，
当a ＜0时，(12)a =1
2，∴a ＝1（舍）．
∴a =1
4．
故答案为：1
4
．
14．（5分）将曲线y ＝sin x 上所有点向左平移φ（φ＞0）个单位，得到函数y ＝﹣sin x 的图象，则φ的最小值为 π ．
【解答】解：将曲线y ＝sin x 上所有点向左平移φ（φ＞0）个单位，可得y ＝sin （x +φ）， 因为y ＝sin （x +φ）与y ＝﹣sin x 的图象相同， 所以φ＝π+2k π，k ∈Z ，
因为φ＞0，所以φ的最小值为π． 故答案为：π．
15．（5分）已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都是2，则直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为 √15
5 ；直线CB 1与直线A 1B 所成角的余弦值为 14
． 【解答】解：空1：取AB 的中点D ，连接CD ，B 1D ， 因为△ABC 为等边三角形，所以CD ⊥AB ， 因为BB 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以BB 1⊥CD ，
因为BB 1∩AB ＝B ，BB 1，AB ⊂平面AA 1B 1B ， 所以CD ⊥平面AA 1B 1B ，
所以∠CB 1D 为直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角， 因为正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各条棱长都是2， 所以CD =
√3
2
×2=√3，DB 1=√22+12=√5，
所以tan ∠CB 1D =
CD
DB 1=√35=√155
， 所以直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为
√15
5
，
空2：分别取BC ，BB 1，A 1B 1的中点E ，F ，G ，连接EF ，FG ，EG ， 则EF ∥B 1C ，EF =12B 1C =1
2×2√2=√2，
FG ∥A 1B ，FG =12A 1B =1
2
×2√2=√2，
所以∠EFG （或其补角）为直线CB 1与直线A 1B 所成角， 连接DG ，DE ，则EG =√DG 2+DE 2=√22+12=√5， 在△EFG 中，由余弦定理得：
cos ∠EFG =EF 2+FG 2
−EG 2
2EF⋅FG =2+2−52×√2×√2=−1
4，
因为异面直线所成的角的范围为(0，π
2]，
所以直线CB 1与直线A 1B 所成角的余弦值为1
4
．
故答案为：
√155；1
4
．
16．（5分）对于函数y ＝f （x ）（x ∈I ），若存在x 0∈I ，使得f （x 0）＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“不动点”．若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））＝x 0，则称x 0为函数y ＝f （x ）的“稳定点”．记函数y ＝f （x ）的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B ，即A ＝{x |f （x ）＝x }，B ＝{x |f （f （x ））＝x }．经研究发现：若函数f （x ）为增函数，则A ＝B ．设函数f(x)=√x −a(a ∈R)，若存在b ∈[0，1]使f （f （b ））＝b 成立，则a 的取值范围是 [0，1
4
] ．
【解答】解：因为f(x)=√x −a(a ∈R)是增函数， 所以f （f （b ））＝b 等价于f （b ）＝b ，即√b −a =b ， 所以a ＝b ﹣b 2，
而a ＝b ﹣b 2在[0，12)上单调递增，在(1
2，1]上单调递减，
所以a max =1
4
，
而当b ＝0时，a ＝0；当b ＝1时，a ＝0，即a min ＝0，
所以a的取值范围为[0，1
4 ]．
故答案为：[0，1
4 ]．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终
边过点P(3
5
，−4
5
)．
（1）求sinα的值；
（2）若角β满足sin(α+β)=√3
2
，求cosβ的值．
【解答】解：（1）由角α的终边过点P(3
5
，−4
5
)，得sinα=
y
r
=
−4
5
√(35)2+(−45)2
=−
4
5
．
（2）由角α的终边过点P(3
5
，−4
5
)，得cosα=
x
r
=
3
5
，
由sin(α+β)=√3
2，得cos(α+β)=√1−sin2(α+β)=±
1
2
，
cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，
当cos(α+β)=1
2
时，cosβ=
1
2
×
3
5
+√
3
2
×(−
4
5
)=
3−4√3
10
；
当cos(α+β)=−1
2
时，cosβ=−
1
2
×
3
5
+√
3
2
×(−
4
5
)=
−3−4√3
10
，
综上所述，cosβ=3−4√3
10
或
−3−4√3
10
．
18．（12分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间th间的关系为P=P0e−kt（其中P0，k是正常数）．已知在前5个小时消除了10%的污染物．
（1）求k的值（精称到0.01）；
（2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1h）．
参考数据：ln2＝0.693，ln3＝1.099，ln5＝1.609．
【解答】解：（1）由P=P0e−kt知，当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝（1﹣10%）P0；
即0.9P0=P0e−5k，
所以k=−1
5
ln0.9，
即k=−1
5
ln
9
10
=−
1
5
×(2ln3−ln10)=−
1
5
×(2ln3−ln2−ln5)≈0.02；
（2）当P＝0.5P0时，0.5P0=P0e−0.02t，即0.5＝e﹣0.02t，
则t ＝50ln 2≈34.7．
故污染物减少50%需要花的时间约为34.7h ．
19．（12分）我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．如图
所示，e →1，e →
2两分别为
Ox ，Oy 正方向上的单位向量．若向是OP →
=xe →1+ye →
2，则把实数对（x ，y ）叫
做向量OP →
的“@未来坐标”，记OP →
={x ，y}．已知{x 1，y 1}，{x 2，y 2}分别为向是a →
，b →
的@未来坐标． （1）证明：{x 1，y 1}+{x 2，y 2}＝{x 1+x 2，y 1+y 2}．
（2）若向量a →
，b →
的“@未来坐标”分别为{1，2}，{2，1}，求向量a →
，b →
的夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：因为a →
=x 1e 1→
+y 1e 2→
={x 1，y 1}，
b →
=x 2e 1→+y 2e 2→
={x 2，y 2}，
所以a →
+b →
=（x 1e 1→
+y 1e 2→
）+（x 2e 1→
+y 2e 2→
）＝（x 1+x 2）e 1→
+（y 1+y 2）e 2→
={x 1+x 2，y 1+y 2}， 所以{x 1，y 1}+{x 2，y 2}＝{x 1+x 2，y 1+y 2}．
（2）解：因为a →
={1，2}=e 1→
+2e 2→
，b →
={2，1}＝2e 1→
+e 2→
， 所以a →•b
→
=（e 1
→
+2e 2→）•（2e 1→+
e 2→）＝2e 1
→2
+5e 1→•e 2
→+2e 2
→2=2+5×cos60°+2=
132
， |a →
|＝|b →|=√1+4+2×2×1×cos60°=√7， 所以向量a →
，b →
夹角的余弦值为： cos ＜a →
，b →＞=
a →⋅b
→
|a →||b →
|
=
1327×7
=
1314
． 20．（12分）在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD •sin ∠ADC ＝2CD •sin ∠ABC ． （1）求证：BC ＝2CD ．
（2）若AB ＝3CD ＝3，且AD •sin ∠ADB ＝AB •sin60°，求四边形ABCD 的面积．
【解答】（1）证明：在△ACD中，由正弦定理得AD•sin∠ADC＝AC•sin∠ACD，
∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，
∴AD•sin∠ADC＝AC•sin∠CAB，
在△ABC中，由正弦定理得，
即AC•sin∠CAB＝BC•sin∠ABC，
∴AD•sin∠ADC＝BC•sin∠ABC．
又AD•sin∠ADC＝2CD•sin∠ABC，
∴BC•sin∠ABC＝2CD•sin∠ABC，
∴BC＝2CD．
（2）解：在△ABD中，由正弦定理得AD•sin∠ADB＝AB•sin∠ABD＝AB•sin60°，∴sin∠ABD＝sin60°，
∴∠ABD＝60°或120°，
①当∠ABD＝60°时，则∠BDC＝60°，
在△BCD中，由余弦定理得，BD2﹣BD﹣3＝0，又BD＞0，
解得BD=1+√13
2
，
此时四边形ABCD的面积S=1
2
(AB+CD)×BD×sin60°=√
39+√3
2
，
②当∠ABD＝120°时，则∠BDC＝120°，
在△BCD中，由余弦定理得，BD2+BD﹣3＝0，
解得BD=−1+√13
2
，
此时四边形ABCD的面积S=1
2
(AB+CD)×BD×sin120°=√
39−√3
2
．
21．（12分）生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎．有以下两种捆扎方案：方案（1）为十字捆扎（如图（1）），方案（2）为对角捆扎（如图（2））．设礼品盒的长AB，宽BC，高AA1分别为30cm，20cm，10cm．
（1）在方案（2）中，若LA1＝A1E＝IC1＝C1H＝FB＝BG＝10cm，设平面LEF与平面GHI的交线为l，求证：l∥平面ABCD；
（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少cm？
【解答】解：（1）证明：连接LI，EH，
在长方体中，LA1＝A1E＝IC1＝C1H＝FB＝BG＝10cm，
则B1H＝LD1＝10cm，B1E＝ID1＝20cm，
所以LE=√102+102=10√2，IH=√102+102=10√2，
LI=√202+102=10√5，EH=√202+102=10√5，
所以LE＝IH，LI＝EH，
所以四边形LEHI是平行四边形，
∴LE∥IH，
又∵LE⊄平面IHG，LE⊂平面LEF，
∴LE∥平面IHG；
又∵LE⊂平面LEF，平面LEF∩平面GHI＝1，
∴LE∥l；
又∵l⊄平面A1B1C1D1，LE⊂平面A1B1C1D1，
∴l∥平面A1B1C1D1，
又∵l⊄平面ABCD，
∴l∥平面ABCD；
（2）方案1中，绳长为（30+10）×2+（20+10）×2＝140cm；
方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由F到F′的折线，如图所示，
在扎紧的情况下，彩绳长度的最小值为FF′长度，
因为FB＝F′B″，
所以FF′=BB″=√(60+20)2+(40+20)2=100cm，
所以彩绳的最短长度为100cm．
22．（12分）已知函数f(x)=x+1
x
(x＞0)，g(x)=x(x＞0)．
（1）直接写出|f（x）﹣g（x）|＜|g（x）﹣f（x）+1|的解集；
（2）若f（x1）＝f（x2）＝g（x3），其中x1＜x2，求f（x1+x2）+g（x3）的取值范围；
（3）已知x为正整数，求h（x）＝（m+1）x2﹣2（m2+1）x（m∈N*）的最小值（用m表示）．
【解答】解：（1）∵f(x)=x+1
x
(x＞0)，g(x)=x(x＞0)，
∴|f（x）﹣g（x）|＜|g（x）﹣f（x）+1|，即为|1
x
|＜|1−
1
x
|，
又因为x＞0，所以有1
x
＜|1−1
x
|，
当0＜x≤1时，1−1
x
≤0，故
1
x
＜
1
x
−1，显然不成立；
当x＞1时，1−1
x
＞0，故
1
x
＜1−1
x
，即
2
x
＜1，解得x＞2，
综上所述，|f（x）﹣g（x）|＜|g（x）﹣f（x）+1|的解集为（2，+∞）；（2）设f（x1）＝f（x2）＝g（x3）＝t，则x3＝t，
令x+1
x
=t，整理得：x2﹣tx+1＝0，
故x1+x2＝t，且Δ＝t2﹣4＞0，得t＞2，
∴f（x1+x2）+g（x3）＝2t+1
t
在（2，+∞）上单调递增，
所以2t+1
t
＞2×2+1
2
=
9
2
，
即f（x1+x2）+g（x3）∈（9
2
，+∞）；
（3）因为h（x）＝（m+1）x2﹣2（m2+1）x＝（m+1）（x−m2+1
m+1
）−
(m2+1)2
m+1
，
因为m2+1
m+1
=m﹣1+
2
m+1
，
m∈N*，m﹣1∈N*，
2
m+1
≤1，
①当m＝1时，m﹣1+
2
m+1
=1，所以h（x）min＝h（1）＝﹣2；②当m＝2时，m﹣1+
2
m+1
=
5
3
，所以
h（x）min＝h（2）＝﹣8；
③当m＝3时，m﹣1+
2
m+1
=
5
2
，所以h（x）min＝h（2）＝h（3）＝﹣24；
④当m＞3时，
2
m+1
＜
1
2
，m﹣1＜m﹣1+
2
m+1
＜m﹣1+1
2
，
所以h（x）min＝h（m﹣1）＝﹣m3+m2﹣3m+3；
综上所述，h（x）min=
{−2，m=1
−8，m=2
−24，m=3
−m3+m2−3m+3，m＞3
．。