人教A版高中同步学考数学选修1精品课件 模块复习课 第1课时 常用逻辑用语

③“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分而
不必要条件;
④已知p,q为两个命题,若“p∨q”为假命题,则“(¬p)∧(¬q)”为真命题.
其中所有真命题的序号是
.
分析对于②③注意四种命题及其关系,对于④涉及含逻辑联结词的
命题,要根据真值表与逻辑联结词的含义判断.
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)
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(7)命题p和¬p不可能都是真命题.(
)
(8)若p∧q为真,则p为真或q为真.(
)
(9)p∧q为假的充要条件是p,q至少有一个为假.(
)
(10)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词.(
(11)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M,¬p(x)的真假性相反.(
)
们的真假:
(1)相等的两个角的正弦值相等;
(2)若x2-2x-3=0,则x=3.
解:(1)逆命题:若两个角的正弦值相等,则这两个角相等.假命题.
否命题:若两个角不相等,则这两个角的正弦值也不相等.假命题.
逆否命题:若两个角的正弦值不相等,则这两个角不相等.真命题.
(2)逆命题:若x=3,则x2-2x-3=0.真命题.
形式;
(2)然后对命题的条件和结论进行互换和否定,即可得到原命题的逆
命题、否命题和逆否命题.
2.四种命题真假的判断方法
因为互为逆否命题的真假等价,所以判断四个命题的真假,只需判
断原命题与逆命题(或否命题)的真假即可.
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变式训练1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它
(2)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是(
)
1
A.x=- 2 B.x=-1
C.x=5 D.x=0
(3)“关于x的不等式x2-2ax+a>0的解集为R”的一个必要不充分条件
是(
)
A.0<a<1
C.0≤a≤1
1
B.0<a<3
1
D.a<0 或 a>3
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题时,要有严格的逻辑证明.
2.含有一个量词的命题的否定
全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.否定时
既要改写量词,又要否定结论.
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变式训练3下列命题中的假命题是(
)
A.∃x0∈R,lg x0=0
B.∃x0∈R,tan x0=1
C.∀x∈R,x3>3
D.∀x∈R,2x>0
分条件或者充要条件,来求某个字母的值或范围,涉及的数学知识
主要是不等式问题,根据相应知识列不等式(组)求解.
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变式训练2已知p:x2-x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0,若p是q的充分而不必要
条件,则正实数a的取值范围是
.
解析:设A={x|x2-x-20>0}={x|x<-4或x>5},B={x|x2-2x+1a2>0}={x|x<1-a或x>1+a}.由于p是q的充分而不必要条件,可知
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6.存在量词与存在性命题
(1)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在陈述中表示所述事物
的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.
(2)特称命题:含有存在量词的命题.
(3)特称命题的符号表示:
形如“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”的命题,可用符号简记为
第1课时
常用逻辑用语
-1-
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答案:①逆命题;
②逆否命题;
③充要;
④p∧q;
⑤p∨q;
⑥全称命题;
⑦特称命题
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1.命题的概念
可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,
判断为假的语句叫做假命题.
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> 0,
得
= 1-4 × ×

16
< 0,
解得 a>2.
2 -1
∵ 2 + 1<1+ax 对一切正实数均成立,令 t= 2 + 1>1,则 x=
∴2(t-1)<a(t2-1)对一切 t>1 均成立.
∴2<a(t+1),∴a>
2
+1
,∴a≥1.
∵“p或q”为真,“p且q”为假,∴p,q一真一假.
A⫋B,
> 0,
> 0,
从而 1- ≥ -4, 或 1- > -4, 解得 0<a≤4.
1 + ≤ 5,
1+ <5
故所求正实数a的取值范围为(0,4].
答案:(0,4]
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专题三 全称命题与特称命题
例3判断下列命题是全称命题还是特称命题,用符号写出其否定并
(2)全称命题,否定:真命题.
2
-0 +1
(3)特称命题,否定:∀x∈R,
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反思感悟1.全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)判断全称命题为真命题,需严格的逻辑推理证明,判断全称命题
为假命题,只需举出反例.
(2)判断特称命题为真命题,需要举出正例,而判断特称命题为假命
(1)直接利用定义判断:即若p⇒q成立,则p是q的充分条件,q是p的必
要条件.(条件与结论是相对的)
(2)利用等价命题的关系判断:p⇒q的等价命题是¬q⇒¬p,即若
¬q⇒¬p成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
2.充分条件、必要条件和充要条件的应用
此类问题是指属于已知条件是结论的充分不必要条件、必要不充
(1)全称量词:短语“对所有的”“对任意一个”在陈述中表示所述事物
的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.
(2)全称命题:含有全称量词的命题.
(3)全称命题的符号表示:
形如“对M中的任意一个x,有p(x)成立”的命题,可用符号简记为
“∀x∈M,p(x)”,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
s(x)为真命题,应有 2≤m<2.m 的取值范围为[ 2,2).
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考点一:四种命题及其关系
1.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是
(
)
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0
判断命题的否定的真假性.
(1)有一个实数α,sin2α+cos2α≠1;
(2)任何一条直线都存在斜率;
1
(3)存在实数 x0,使得 2
=2.
0 -0 +1
分析首先找准量词判断是全称命题还是特称命题,写它们的否定时
要注意量词的变化,真假判断可从原命题和原命题的否定两个角度
择易处理.
解:(1)特称命题,否定:∀α∈R,sin2α+cos2α=1,真命题.
(3)要使不等式x2-2ax+a>0的解集为R,应有Δ=(-2a)2-4a<0,即4a24a<0,所以0<a<1,此即为“关于x的不等式x2-2ax+a>0的解集为R”
的充要条件,因此一个必要不充分条件是0≤a≤1.
答案:(1)A (2)D (3)C
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反思感悟1.充分条件与必要条件的判断方法
(1)“x2+2x-3<0”是命题.(
)
(2)“sin 45°=1”是真命题.(
)
(3)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则¬q”.(
)
(4)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少
有一个为真.(
)
(5)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(
)
(6)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.(
解析:(1)若a·b=|a||b|,则a与b的方向相同,所以a∥b.若a∥b,则
a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|,所以“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条
件,故选A.
(2)由a⊥b知a·b=0,即2(x-1)+2=0,所以x=0;
而当x=0时,a=(-1,2),b=(2,1),必有a⊥b,所以a⊥b的充要条件是x=0.
示焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条件. 故③为假命题.
④由p∨q为假命题,∴p与q均为假命题.
∴¬p,¬q为真命题,一定有(¬p)∧(¬q)为真,故④为真命题.
综上可知,命题①②④为真命题.
答案:①②④
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反思感悟1.写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的步骤
(1)对条件、结论不明显的命题,可以先将命题改写成“若p,则q”的
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2.命题的四种形式及真假关系
互为逆否的两个命题等价;互逆或互否的两个命题真假性没有关系.
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3.充分条件、必要条件与充要条件
若 p⇒q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件
p 是 q 的充分不必要条件
p⇒q 且 q p
p 是 q 的必要不充分条件
通过变换,转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决
的问题.
本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般
数学语言的转化等.通过转化,使复杂问题简单化,抽象问题具体化.
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变式训练4已知命题r(x):对∀x∈R,sin x+cos x>m,s(x):对
∀x∈R,x2+mx+1>0,如果r(x)为假命题且s(x)为真命题,求实数m的取
解析:∵当x=1时,lg 1=0,∴A是真命题;
π
π
∵当 x= 时,tan =1,∴B 是真命题;
4
4
3
∵当x<0时,x <0,∴C是假命题;
由指数函数的性质可知,对∀x∈R,2x>0成立,∴D是真命题.
答案:C
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专题四 转化与化归思想
1
例 4 设命题 p:函数 f(x)=lg 2 - + 16 的定义域为 R;命题 q:不等
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解析:①∵x-3=0⇒x-3≤0,∴为真命题.
②逆命题:“若a⊥b,则a·b=0”,为真命题.

2
2
③mx +ny =1 可化为
2
1

+
2
1

1
1
=1,因为 m>n>0,所以 0< < ,因此椭
圆焦点在 y 轴上,反之亦成立.所以“m>n>0”是“方程 mx2+ny2=1 表
若p真q假,则a>2且a<1,∴a值不存在.
若p假q真,则a≤2且a≥1,∴1≤a≤2.
故a的取值范围为[1,2].
2
,
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反思感悟所谓转化与化归思想是指在研究和解决问题时,采用某种
手段将问题通过变换、转化,进而使问题得到解决的一种解题策略.
一般是将复杂的问题进行变换,转化为简单的问题,将较难的问题
值范围.
π
解:由于 sin x+cos x= 2sin + 4 ∈[- 2, 2],
所以如果对任意的 x∈R,r(x)为假命题,即对任意的 x∈R,不等式
sin x+cos x>m 恒不成立,所以 m≥ 2.
又对任意的 x∈R,s(x)为真命题,即对任意的 x∈R,不等式
x2+mx+1>0,
所以 Δ=m2-4<0 即-2<m<2.故如果对任意的 x∈R,r(x)为假命题且
∃x0∈M,p(x0),读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”.
(4)全称命题与特称命题的否定
命
题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,¬p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,¬p(x)
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判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
式 2 + 1<1+ax 对一切正实数均成立.如果命题“p 或 q”为真命题,
命题“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围.
分析由于“p或q”为真,“p且q”为假,可以得到p与q一真一假,再转化
为集合间的关系求解即可.
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1
解:由 ax2-x+16a>0 恒成立,
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√
(7)√ (8)× (9)√ (10)√ (11)√
)
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专题一 四种命题及其真假判定
例1已知下面四个命题:
①对于∀x,若x-3=0,则x-3≤0;
②命题“已知非零向量a,b,若a·b=0,则a⊥b”的逆命题;
否命题:若x2-2x-3≠0,则x≠3.真命题.
逆否命题:若x≠3,则x2-2x-3≠0.假命题.
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专题二 充分、必要条件的判断及应用
例2(1)设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的(
)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
p q 且 q⇒p
p 是 q 的充要条件
p⇔q
p 是 q 的既不充分又不必要条件
p q且q p
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4.含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题真假性判断(真值表):
p
q
p∧q
p∨q
¬p
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
假
假
假
真
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5.全称量词与全称命题