信号与系统基础及应用第3章 连续时间系统分析

由题意知 i2 (0 ) 0, i2' (0 ) 0
(L2

M
2)
d 2i2 (t) dt 2

2RL
di2 (t) dt

R2i2 (t)

M
du(t) dt

M (t)
( L2

M
2)
d
2i2 (t) dt 2
di2 (t) 包含
dt
包含
i2 (t)
包含
M (t)
M u(t) L2 M 2
(k1t r1 k2t r2 ... kr1t kr )e0t
（c）若1、2为共轭复根，即1,2= j，则在齐次解中相 应于1、2 的部分为
et (k1 cos t k2 sin t)
【例3.2 】求下列微分方程的齐次解。
d3 y(t) d 2 y(t) dy(t)
...
a1
dy(t ) dt

a0 y(t)
d mx(t)
d m1x(t)
dx(t)
bm dtm bm1 dtm1 ... b1 dt b0 x(t)
x(t )
系统
y (t )
【例3.1】 如图所示互感耦合电路，x(t)为电压源激励信号，
列写求电流i2(t)的微分方程式。
《信号与系统基础及应用》
• 第1章 信号与系统基础知识 • 第2章 连续时间信号分析 • 第3章 连续时间系统分析 • 第4章 离散时间信号分析 • 第5章 离散时间系统分析 • 第6章 离散傅里叶变换及应用 • 第7章 数字滤波器设计
第3章 连续时间系统分析
3.1 系统的时域分析 3.2 系统的频域分析 3.3 拉普拉斯变换 3.t 2

dx(t) dt
(3)
由式（2）得：
di1 (t ) dt

L M
di2 (t) dt

R M
i2 (t)
(4)
对式（4）两边求导得：
d 2i1(t) dt 2

L M
d 2i2 (t) dt 2

R M
di2 (t) dt
(5)
将式（4）、（5）代入式（3）并整理得：
c 3b 0
c 27
即 y(0 ) y(0 ) b 9
y(0 )=y(0 ) 9
【例3.5】描述系统的微分方程为
y(t) 7y(t) 10y(t) x(t) 6x(t) 4x(t)
输入信号如图所示，已知 x(t) 2 2u(t) y(0 ) 4 , y(0 ) 0, y(0 ) 0 5
代入上面式子求得：k1
25 , k2
50
v2
(t)


6 25
et

9 50
e6t

21 50
sin
2t

3 50
cos
2t, t

0
3. 初始条件的确定（起始点的跳变——从0-到0+ ）
(1)起始状态与初始状态 起始状态：在激励接入之前的瞬时系统的状态
y(k) (0 )
初始状态：在激励接入之后的瞬时系统的状态 y(k) (0 )
y(k
)
(0
)={y(0
),
dy(0 dt
)
,
d
2
y(0 dt 2
)
,...,
d
n
1 y(0 dt n1
)
}
y(k) (0 )={y(0+ ), dy(0+ ) , d 2 y(0+ ) ,..., d n1 y(0+ ) }
dt
dt 2
dt n1
(2)初始条件的确定 简单的情形可以利用系统元件内部储能的连续性来列写。
L2
M M
2
t u (t )

i2 (0 ) i2 (0 ) 0
i2 (0 ) i2 (0 )

L2
M M2
i2 (0 ) 0,
i2 (0
)

L2
M M
2
（3）求齐次解，写出特征方程
(L2
M2)
d 2i2 (t) dt 2

2RL
di2 (t) dt
解 ：对于初、次级回路分别应用KVL定律，可以 得到一对微分方程式
L
di1 (t ) dt

Ri1 (t )

M
di2 (t) dt

x(t)
(1)
L
di2 (t) dt

Ri2 (t)
M
di1 (t ) dt

0
(2)
对式（1）两边求导得：L
d 2i1(t) dt 2

R
di1 (t ) dt
当系统用微分方程表示时，系统从0-到0+状态有无跳变，
取决于微分方程右端自由项是否包括 (t)及其各阶导数项。
一般情况下电路切换期间电容两端电压和流过电感中的 电流不会发生突变。即
vC (0 ) vC (0 )，iL (0 ) iL (0)
但是当有冲激电流或阶跃电压强迫作用于电容，冲激电压 或者阶跃电流强迫作用于电感，0-到0+状态就会发生跳变。
【例3.6 】如图电路中，若激励为单位阶跃信号，x(t) = u(t)，系
统起始无储能，试求i2(t)。
解：（1）由系统的微分方程式，将x(t) = u(t)代入，得
(L2
M2)
d 2i2 (t) dt 2

2RL
di2 (t) dt

R2i2 (t)

M
du(t) dt

M (t)
（2）求初始条件
观察方程右端的冲激函数项最高阶次是(t), 因此，得
y(t)=a (t) b (t) cu(t)

y(t) a (t) bu(t)
y(t) au(t)
0 t 0
代入微分方程左端，得
a (t) b (t) cu(t)+7a (t) 7bu(t)+10au(t) =2 (t)+12 (t)+8u(t)
R1 1 R2 2
+
+ x(t)
-
1
1
v1(t)
+ -
C1 0.5F
+ C2 - 1F
3
解: （1）列写微分方程式为
v2(t) -
节点1：
x(t) v1(t) R1

C1
dv1 (t ) dt

v1(t) v2 (t) R2
节点2：

v1
(t
)

v2
(t
)
R2
C2
dv2 (t) dt
d
2v2 (t dt 2
)

7
dv2 (t dt
)

6v2
(t
)

6
cos
2t
u
(t
)
（2）求齐次解，写出特征方程为 2 7 6 0
特征根 1 1,2 6
齐次解 k1et k2e6t
（3）查表，得特解为 B1 sin 2t B2 cos 2t
代入原方程得
(2B1 14B2 ) sin 2t (14B1 2B2 ) cos 2t 6 cos 2t
比较上述方程两边系数，并求解得
B1

21 , 50
B2

3 50
（4）完全解为
v2
(t)

k1et

k2e6t

21 sin 50
2t

3 50
cos
2t
（5）由初始条件求解齐次解系数

R2i2 (t)

M
du(t) dt

M (t)
(L2 M 2 )2 2RL R2 0
求得两特征根为：
1


L
R M
,
2


L
R M
i2n (t) k1e1t k2e2t
（4）求特解yf(t) 由于在 t > 0以后，微分方程右端为零，显然，其特解就是零。
7
16 12y(t) x(t)
dt 3
dt 2
dt
解： 特征方程为
3 72 16 12 0
( 2)2 ( 3) 0
特征根为
1 2 2 （重根）
齐次解为
3 3
yn (t) k1te2t k2e2t k3e3t
（3）求特解：
vC (0 ) vC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
首先判断vC(0-)和iL(0-)值，然后由储能的连续性写出 vC(0+)和iL(0+)，再根据元件与网络拓扑的约束特性即可 求得0+时刻其它电压、电流值。
复杂情况可借助微分方程式两端各奇异函数系数平衡
的方法作出判断。(冲激函数匹配法)
y(t)=3 (t)
3 (t)
3
抵消
9 (t)
-9 (t)
即 y(0 ) y(0 ) 9
y(0 ) y(0 ) 9
-9u(t)
u(t)
表示0-到0+相对单位跳变 函数
归纳成数学描述如下：
由原方程可知方程右端含(t)项，它由方程左端最高阶项而得。
y(t) 3y(t)=3 (t)

a0
y(t)

0
特征方程为
an n an1 n1 ... a1 a0 0
按特征根的形式不同，齐次解有不同的形式。
（a）特征根为单根，微分方程的齐次解为
yn (t ) k1e1t k2e2t ... knent
（b）特征根有重根，假设0是特征方程的r重根，则在齐 次解中相应于0的部分将有r项
将激励信号代入微分方程的右端，观察激励信号的型式试 选特解函数式，代入方程后求得特解函数式中的待定系数， 即可求出特解。
激励信号
特解
常数A
常数B
不是特征根 是特征单根 是k重特征根
【例3.3】 如下图所示电路，已知激励信号x(t)=cos2tu(t),
两个电容上的初始电压均为零，求输出信号v2(t)的表达式。
解得： 所以
1
1
k1 2R , k2 2R
i2 (t)

1 2R
(e1t
e2t )u(t)
4.零输入响应与零状态响应
经典法求解系统的全响应可分为：
全响应=自然响应+强迫响应
y(t) yn (t) y f (t) 系统的全响应也可分为：
全响应=零输入响应+零状态响应
+ x(t)
-
R1
R2
1
1
v1(t)
+ -
C1 0.5F
+ C2 - 1F
3
+ v2(t)
-
已知电容C2上的初始电压为零，因而有v2(0) = 0,又因为电容C1
上的初始电压也为零，于是流过R2、C2中的初始电流也为零，
即 v2 (0) 0。
6
9
由 v2(0) = 0 及 v2 (0) 0
（5）求全响应i2(t)
i2 (t) i2n (t) k1e1t k2e2t
利用初始条件 i2 (0 ) 0,
i2 (0 )

L2
M M2
求系数k1、k2
i2 (t)

i2n (t)

k1e1t

k
e2t
2
0 k1 k2
L2
M M2
1k1 2k2
求 y(0 ), y(0 ), y(0 )
解:代入x(t),得
y(t) 7y(t) 10y(t) 2 (t) 12 (t) 8u(t) 8
只考虑0时刻的跳变情况，有
y(t) 7y(t) 10y(t) 2 (t) 12 (t) 8u(t)
3.1 系统的时域分析 3.1.1 微分方程的建立与求解 3.1.2 单位冲激响应的意义 3.1.3 卷积积分
3.1.1 微分方程的建立与求解
1.微分方程的建立 连续时间线性时不变（LTI）系统的数学模型是常系数微分方程。
an
d n y(t) dt n

an1
d n1 y(t) dt n1
(L2
M2)
d 2i2 (t) dt 2
2RL
di2 (t) dt

R2i2 (t)

M
dx(t) dt
2.微分方程的求解 （1）微分方程的完全解由两部分组成：齐次解和特解。
（2）齐次解应满足
an
d
n y(t) dt n

an1
d
n1 y(t) dt n1
...

a1
dy(t) dt
设 y(t) a (t) b (t) cu(t)
则
y(t) a (t) bu(t)
代入原方程 a (t) b (t) cu(t)+3a (t) 3bu(t) 3 (t)
a3
a 3
得
b 3a 0 因此 b 9
(3)冲激函数匹配法确定初始条件
配平原理：t=0时刻微分方程左右两端的 (t)及其各阶导数应该
平衡（其他项也应该平衡，当讨论初始条件时，可以不考虑其 他项）。
【例3.4】 对于 y(t) 3y(t)=3 (t) ，已知y(0-),求y(0+)。
y(t)
3 (t)
3y(t) = 3 (t)
求得
a2 b 2 c 2
即 y(0 ) y(0 ) a 2

y(0
)

y(0
)

b

2

y(0
)

y(0
)

c

2
求得各个0+状态为
y(0 ) 4 2 14
5
5
y(0 ) 0 2= 2
y(0 ) 0 2 2