苏教版数学高二必修五 作业 第三章《不等式》章末检测

(对应配套检测卷P )
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在题中的横线上)
1．不等式x 2－3x ＋2<0的解集为________．
解析：x 2－3x ＋2<0化为(x －1)(x －2)<0，
∴1<x <2.
答案：{x |1<x <2}
2．不等式x －3x ＋2
<0的解集为________． 解析：x －3x ＋2
<0等价于 (x ＋2)(x －3)<0，
∴－2<x <3.
答案：{x |－2<x <3}
3．若关于x 的不等式mx 2＋2x ＋4>0的解集为
{x |－1<x <2}，则m 的值为________．
解析：由已知得－1,2是方程mx 2＋2x ＋4＝0的两个根，
∴－1＋2＝－2m .
∴m ＝－2.
答案：－2
4．已知点A (3，－1)，B (－1,2)在直线ax ＋2y －1＝0的同侧，则实数a 的取值范围为________．
解析：∵A 、B 在直线ax ＋2y －1＝0的同侧，
∴(3a －2－1)·(－a ＋4－1)>0.
即(3a －3)(a －3)<0.
∴1<a <3.
答案：{a |1<a <3}
5．(2012·松原模拟)设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y )的最小值为________．
解析：∵x >0，y >0 ∴(x ＋y )(1x ＋4y )＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ·4x
y ＝9
当且仅当y x ＝4x y
即y ＝2x 时取等号． 答案：9
6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥3，x －y ≥－1，
2x －y ≤3，
则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．
解析：先画出可行域为如图所示的△ABC ，作出直线2x ＋3y
＝0，向可行域方向平移，先交到可行域点A 处，点A 就是
目标函数z ＝2x ＋3y 获得最小值的点．求得点A (2,1)，于是
z min ＝2×2＋3×1＝7.
答案：7
7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2e x －1，x <2log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为________． 解析：当x <2时，解2e x －1>2得x >1，∴1<x <2.
当x ≥2时，解log 3(x 2－1)>2得x >10.
∴x >10，
∴不等式f (x )>2的解集为{x |1<x <2或x > 10}．
答案：{x |1<x <2或x > 10}
8．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是________．
解析：∵a >0，b >0，∴1a ＋1b
＋2ab ≥21ab ＋2ab ＝2ab ＋2ab ≥22ab ·2ab ＝4. (当且仅当a ＝b 时取等号)
答案：4
9．(2011·广州一测)某校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ≥5，x －y ≤2，x <6.
则该校招聘的教师最多是________名．
解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x ＋y ＝0，平移该直线，因为x ∈N ，y ∈N ，所以当平移到经过该平面区域内的整点(5,5)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时x ＋y 取得最大值，x ＋y 的最大值是10.
答案：10
10．(2011·渐江高考)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．
解析：由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1，即xy ＝(x ＋y )2
－1≤(x ＋y )24.所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233
. 当x ＝y 时“＝”成立，所以x ＋y 的最大值为233
. 答案：233
11．当|x |≤1时，函数f (x )＝ax ＋2a ＋1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是________．
解析：f (x )＝ax ＋2a ＋1可以看成关于x 的一次函数．在[－1,1]上具有单调性．由已知得
(a ＋2a ＋1)(－a ＋2a ＋1)<0，
∴即(3a ＋1)(a ＋1)<0.
∴－1<a <－13
. 答案：(－1，－13
) 12．设计用32 m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规则厢宽2 m ，则车厢的最大容积是________m 3.
解析：设长为b m ，高为a m ，由已知得，
2b ＋2ab ＋4a ＝32.
∴b ＝16－2a a ＋1.∴V ＝a ·b ·2＝2·16a －2a 2
a ＋1
. 设t ＝a ＋1，则V ＝2(20－2t －18t )≤
2(20－22t ·18t )＝16.
答案：16
13．(2012·南昌一模)已知a ，b 为正数，且直线2x －(b －3)y ＋6＝0与直线
bx ＋ay －5＝0互相垂直，则2a ＋3b 的最小值为________．
解析：依题意得2b －a (b －3)＝0，即2a ＋3b ＝1,2a ＋3b ＝(2a ＋3b )(2a ＋3b )＝13＋6(b a ＋a b
)≥13＋6×2
b a ×a b ＝25，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝5时取等号，因此2a ＋3b 的最小值为25.
答案：25
14．(2011·重庆一诊)定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足
x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1] .
解析：∵1]6ab )，∴ab ≤23
.当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，所以当a ＝1时，ab 取最大值23
. 答案：1
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．
15．(本小题满分14分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2x －6≤12x 2－x －1>0
. 解：3x －2x －6≤1等价于3x －2x －6
－1≤0， 即2(x ＋2)x －6
≤0. ∴－2≤x <6.
不等式2x 2－x －1>0等价于
(2x ＋1)(x －1)>0，
∴x <－12
或x >1. ∴原不等式组的解为[－2，－12
)∪(1,6)． 16．(本小题满分14分)(2012·广州高一期末)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋6，
(1)当a ＝5时，解不等式f (x )<0；
(2)若不等式f (x ) >0的解集为R ，求实数a 的取值范围．
解：当a ＝5时，f (x )＝x 2＋5x ＋6，
由f (x )<0，得x 2＋5x ＋6<0.
即(x ＋2)(x ＋3)<0.
∴－3<x <－2.
(2)若不等式f (x )>0的解集为R ，
则有Δ＝a 2－4×6<0，
解得－26<a <2 6.
所以实数a 的取值范围是(－26，26)
17．(本小题满分14分)热心支持教育事业的李先生虽然并不富裕，但每年都要为山区小学捐款．今年打算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望桌椅的数量之和尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才合适？
解：设桌子、椅子各买x 张和y 张，则所买桌椅的总数为z ＝x ＋y .
依题意得不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤y ，y ≤1.5x ，
50x ＋20y ≤2 000，
其中x ，y ∈N *. 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ，50x ＋20y ＝2 000，解得⎩⎨⎧ x ＝2007，y ＝2007. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1.5x ，50x ＋20y ＝2 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝25，y ＝752
. 设点A 的坐标为(2007，2007
)， 点B 的坐标为(25，752
)， 则前面的不等式组所表示的平面区域是以
A(
200
7
，200
7)、B(25，
75
2)、O(0,0)为顶点的△AOB的边界及其内部(如图中阴影所示)．令z＝0.得x＋y＝0，即y＝－x.作直线l0：y＝－x.由图形可知，把直线l0平移至过点
B(25，
75
2)时，亦即x＝25，y＝
75
2
时．z取最大值．
因为x，y∈N*，所以x＝25，y＝37时，z取最大值．
故买桌子25张，椅子37张较为合适．
18．(本小题满分16分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>2x的解集为(1,3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)的最大值不小于8，求实数a的取值范围．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f(x)>2x⇔ax2＋(b－2)x＋c>0.已知其解集为(1,3)，
∴
⎩⎪
⎨
⎪⎧a<0，
－
b－2
a
＝4⇔b＝2－4a，
c
a
＝3⇔c＝3a，
∴f(x)＝ax2＋(2－4a)x＋3a.
(1)若f(x)＋6a＝0有两个相等的根，
故ax2－(4a－2)x＋9a＝0，
Δ＝4＋16a2－16a－36a2＝0，
解得a＝－1或1
5(舍去正值)，
∴a＝－1即f(x)＝－x2＋6x－3.
(2)由以上可知
f (x )＝a (x －2a －1a )2＋－a 2＋4a －1a
， ∴f (x )max ＝－a 2＋4a －1a
≥8得a 2－4a ＋1≥－8a ⇔a 2＋4a ＋1≥0， 解得a ≥－2＋3或a ≤－2－ 3.
又∵a <0，
∴a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪[－2＋3，0)．
19．(本小题满分16分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．
(1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的函数关系式；
(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉，试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．
(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值
×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)
解：(1)由题意可设价值与重量的关系式为：y ＝kx 2.
∵3克拉的价值是54 000美元，
∴54 000＝k ·32，解得k ＝6 000.
∴y ＝6 000x 2，
所以此钻石的价值与重量的函数关系式为y ＝6 000x 2.
(2)若两颗钻石的重量为m 、n 克拉，则原有价值是6 000(m ＋n )2.
现有价值是6 000m 2＋6 000n 2，
价值损失的百分率
＝6 000(m ＋n )2－6 000m 2－6 000n 2
6 000(m ＋n )2
×100% ＝2mn (m ＋n )2
×100% ≤2×(m ＋n 2)2(m ＋n )2
＝12，
当且仅当m＝n时取等号．
所以当m＝n时，价值损失的百分率最大．
20．(本小题满分16分)(2012·盐城高一期末)已知不等式x2－4x＋3<0的解集是A，
(1)求集合A.
(2)函数f(x)＝log2(a－x)(a∈R)的定义域为集合B，若A⊆B求a的取值范围．
(3)不等式ax2－2x－2a>0(a∈R且a≠0)的解集为C，若A∩C≠∅，求a的取值范围．解析：(1)由x2－4x＋3<0得，
(x－1)(x－3)<0.
∴1<x<3.
∴A＝{x|1<x<3}．
(2)由f(x)＝log2(a－x)得，
a－x>0，
∴x<a.
∴B＝{x|x<a}
若A⊆B，则a≥3.
(3)设g(x)＝ax2－2x－2a，
①当a>0时，若A∩C≠∅，则g(3)>0，则9a－6－2a>0.
∴a>6
7.
②当a<0时，若A∩C≠∅，则g(1)>0.
∴a－2－2a>0.
∴a<－2.
综上：a的取值范围是(－∞，－2)∪(6
，＋∞).
7。