高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第3讲 空间点、直线、平面之间的位关系分层演练 文

【2019最新】精选高考数学一轮复习第8章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位关系分层演练文
一、选择题1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有( )
B．3个
A．4个
D．1个
C．2个
解析：选A．首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所
以最多可以确定四个平面．2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的( )
B．必要不充分条件
A．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
C．充要条件
解析：选A．若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，
所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a
和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( ) B．必要不充分条件
A．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
C．充要条件
解析：选A．若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b．又
a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中
点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
B．异面
A．相交
D．垂直
C．平行
解析：选A．由BCAD，ADA1D1知，BCA1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，
又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，
则A1B与EF相交．5．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相
垂直，则异面直线AP与BD所成的角为( )
A．
B．π
4
D．π
C．
2
解析：选C．如图，将原图补成正方体ABCD­QGHP，连接AG，GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，
在△AGP中，AG＝GP＝AP，
所以∠APG＝．6．已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的
是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
解析：选B．在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，
故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱
的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条
侧棱，故D错．
二、填空题
7．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．
上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．
解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、
平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不
同在任何一个平面内”，故④错．
答案：①8．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面
弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与
BC所成角的正切值为________．
解析：
取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，
所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为
C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，
所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为．
答案：2 9．如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共
面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1
平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1．故符
合条件的有5条．
答案：5 10．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD
的中点，点F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，则下列说法正确
的是________．
①EF与GH平行；
②EF与GH异面；
③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；
④EF与GH的交点M一定在直线AC上．
解析：连接EH，FG(图略)，依题意，可得E H∥BD，FG∥BD，故
EH∥FG，所以E、F、G、H共面．因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M．因为点M在EF上，故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB 与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线
AC上．
答案：④
三、解答题
11．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．
证明：如图，连接BD，B1D1，
则BD∩AC＝O，
因为BB1DD1，
所以四边形BB1D1D为平行四边形，
又H∈B1D，
B1D⊂平面BB1D1D，
则H∈平面BB1D1D，
因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，
所以H∈OD1．
即D1、H、O三点共线．
12．
如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的
中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从
而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直
线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交
直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．
又因为AC⊥BD，则FG⊥EG．
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线
EF与BD所成的角为45°．1．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都
是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCAD，BEFA，G，H分别为FA，FD
的中点．
(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，
所以GHAD．又BCAD，故GHBC．
所以四边形BCHG是平行四边形．
(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：
由BEFA，G是FA的中点知，BEGF，
所以EFBG．
由(1)知BG∥CH，
所以EF∥CH，故EC、FH共面．
又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．2．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已
知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2．求：
(1)三棱锥P­ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥P­ABC的体积为V＝
S△ABC·PA＝×2×2＝．(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或
其补角)是异面直线BC与AD所成的角．
在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，
cos∠ADE＝＝．
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为．。