2022-2023学年北师大版七年级数学上册第二章《有理数及其运算》测试卷

第二章有理数及其运算测试卷
（共25题，共120分）
一、选择题（共10题，共30分）
1. （3分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为 4400000000 人，这个数用科学记数法表示为
A ．44×108
B ．4.4×109
C ．4.4×108
D ．4.4×1010
2. （3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上 10∘C 记作 +10∘C ，则 −3∘C 表示气温为 ( )
A ．零上 3∘C
B ．零下 3∘C
C ．零上 7∘C
D ．零下 7∘C
3. （3分）设 n 是自然数，则 (−1)n +(−1)n+2
2
的值为 ( )
A ． 1 或 −1
B ． 0
C ． −1
D ． 0 或 1
4. （3分）如果 ∣a∣a
+
∣b∣b
+
∣c∣c
=−1，那么 ab
∣ab∣+bc
∣bc∣+ac
∣ac∣+abc
∣abc∣ 的值为 ( )
A ． −2
B ． −1
C ． 0
D ．不确定
5. （3分）数轴上点 A ，M ，B 分别表示数 a ，a +b ，b ，那么下列运算结果一定是正数的是
( )
A ． a +b
B ． a −b
C ． ab
D ． ∣a∣−b
6. （3分）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是 ( )
A ． 23 和 32
B ． −33 和 (−3)3
C ． −22
和 (−2)2
D ． (−23)3
和 −23
3
7. （3分）已知 a ，b 为有理数，下列式子：① ∣ab ∣>ab ；② a
b <0；③ ∣∣a b ∣∣=−a b
；④ a 3+b 3=0，其中一定能够表示 a ，b 异号的有 ( )
A ． 1 个
B ． 2 个
C ． 3 个
D ． 4 个
8. （3分）如图，某计算装置有一数据输入口 A 和一运算结果的输出口 B ，表格中是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果，按照这个计算装置的计算规律，若输入的数是 10，则输出的数是 ( ) A
12345
B
0381524
A ． 99
B ． 100
C ． 101
D ． 102
9. （3分）实数 a ，b ，c ，d 在数轴上对应点的位置如图所示，正确的结论是 ( )
A．a>c B．b+c>0
C．∣a∣<∣d∣D．−b<d
10.（3分）已知100个整数a1，a2，a3，⋯，a100满足下列条件：a1=1，a2=−∣∣a1+1∣∣，a3=
−∣∣a2+1∣∣，⋯⋯a100=−∣a99+1∣，则a1+a2+a3+⋯+a100=( )
A．0B．−50C．100D．−100
二、填空题（共10题，共30分）
11.（3分）已知∣a∣=3，b=−8，ab>0，则a−b的值为．
12.（3分）升降机运行时，如果下降13米记作“−13米”，那么当它上升25米时，记作．
13.（3分）如∣a+2∣和∣b−1∣互为相反数，则(a+b)2018=．
14.（3分）规定图形表示运算a−b+c，图形表示运算x+z−y−ω，则+
=（直接写出答案）．
15.（3分）在数轴上，点P表示的数是a，点P1表示的数是1
，我们称“点P1是点P的相关
1−a
点”，已知数轴上A1的相关点为A2，点A2的相关点为A3，点A3的相关点为A4，这样依次
，则点A2019在数轴上表示的得到点A1，A2，A3，A4，⋯，A n．若点A1在数轴表示的数是1
2
数是．
的形式，也可以表示为1，a，a+b的16.（3分）三个互不相等的有理数，既可以表示为0，b，b
a
形式，那么a=；b=．
17.（3分）x，y表示两个数，规定新运算“⋇”及“△”如下：x⋇y=6x+5y，x△y=3xy，那么
(−2⋇3)△(−4)=．
18.（3分）做数学“24点”游戏时，抽到的数是：−2，3，4，−6；你列出算式是：(四个数都必
须用上，而且每个数只能用一次．可以用加、减、乘、除、乘方运算，也可以加括号，列一个综合算式，使它的结果为24或−24)．
19.（3分）在数轴上，到−12这个点的距离是13的点所表示的数是．
20.（3分）设一组数据：a1，a2，a3，⋯，a n，我们将前n个数之和记作S n，即S1=a1，S2=
a1+a2，S3=a1+a2+a3，⋯，S n=a1+a2+a3+⋯+a n，定义S1+S2+⋯+S n
为这组数据的“嘉
n
祥数”，若a1，a2，a3，⋯，a10这十个数据的“嘉祥数”为11，则6，a1，a2，a3，⋯，a10这11个数据的“嘉祥数”为．
三、解答题（共5题，共60分）
21. （16分）计算：
(1) (−81)÷214+49÷(−16)；(2) (30×37−30×17+30×57)×(25−13−7
10)；
(3) −72910÷9×(−1)1111+1000÷(−2)3÷(−5)2；(4) 11
2×[3×(−23)2
−1]−1
3×(−2)3−20．
22. （6分）已知 ∣a∣=34，∣b∣=2
3，且 b <a ，求 a +b 的值．
23. （12分）观察下列各数，按要求完成下列各题．
−5，−12，(−2)2，−52，∣−1.5∣，+(−2)，0，−∣−0.5∣，−(−7
2) (1) 将下列各数填在相应的括号里．
整数集合：{ ⋯}；分数集合：{ ⋯}； 正数集合：{ ⋯}；负数集合：{ ⋯}． (2) 在数轴上表示出所有的分数．
(3) 用“<”把各负数连接起来．
24. （12分）某灯具厂计划一天生产 300 盏景观灯，但由于各种原因，实际每天生产景观灯数与计
划每天生产景观灯数相比有出入．如表是某周的生产情况（增产记为正，减产记为负）：星期一二三四五六日
生产情况+2−5−6+10−1+13−3
(1) 求该厂本周实际生产景观灯的盏数；
(2) 求产量最多的一天比产量最少的一天多生产景观灯的盏数；
(3) 该厂实行每日计件工资制，每生产一盏景观灯可得到 60 元，若超额完成任务，则超过部分
每盏另奖20元；若未能完成任务，则少生产一盏扣20元．求该厂工人这一周的工资总额是多少元？
25.（14分）数学是一门充满思维乐趣的学科，现有3×3的数阵A，数阵每个位置所对应的数都是
1，2或3．定义a∗b为数阵中第a行第b列的数．
例如，数阵A第3行第2列所对应的数是3，所以3∗2=3．
(1) 对于数阵A，2∗3的值为．
若2∗3=2∗x，则x的值为．
(2) 若一个3×3的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：
条件一：a∗a=a；条件二：(a∗b)∗c=a∗c．
则称此数阵是“有趣的”．
①请判断数阵A是否是“有趣的”你的结论：（填“是”或“否”）．
②已知一个“有趣的”数阵满足1∗2=2，试计算2∗1的值．
③是否存在“有趣的”数阵，对任意的a，b满足交换律a∗b=b∗a？若存在，请写出一个
满足条件的数阵；若不存在，请说明理由．
答案
一、选择题（共10题，共30分）
1. 【答案】B
2. 【答案】B
3. 【答案】A
【解析】因为n为自然数，且n与n+2是两个整数，所以n与n+2必定同是偶数，或同是奇数；
又因为−1的奇数次幂是−1，−1的偶数次幂是1，
所以，若n和n+2同为偶数，则原式=1；若n和n+2同为奇数，则原式=−1．
4. 【答案】C
5. 【答案】A
【解析】∵a<a+b，
∴b>0．
∵a+b<b，
∴a<0．
∵AM>BM，
∴∣a+b−a∣>∣a+b−b∣，
∴∣b∣>∣a∣．
∵a<0，b>0，∣b∣>∣a∣，
A．∵a<0，b>0，∣b∣>∣a∣，a+b>0，故正确；
B．∵a<0，b>0，a−b<0，故不正确；
C．∵a<0，b>0，ab<0，故不正确；
D．∵a<0，b>0，∣b∣>∣a∣，∣a∣−b<0，故不正确．
6. 【答案】B
7. 【答案】B
【解析】① ∣ab∣>ab，即a与b异号，符合题意；
② a
b
<0，a与b异号，符合题意；
③ ∣∣a
b ∣∣=−
a
b
，若a=0成立，a与b不一定异号，不符合题意；
④ a3+b3=0，a与b异号或都为0，不符合题意，
则其中一定能够表示a，b异号的有2个．
故选B．
8. 【答案】A
【解析】根据题意和图表可知，
当A=1时，B=0=12−1，
当A=2时，B=3=22−1，
当A=3时，B=8=32−1，
⋯，
当A=n时，B=n2−1，
当A=10时，B=102−1=100−1=99，
则当输入的数是10时，输出的数是99．
9. 【答案】D
【解析】由数轴上点的位置，得：−5<a<−4<−2<b<−1<0<c<1<d=4．A．a<c，故A不符合题意；
B．b+c<0，故B不符合题意；
C．∣a∣>4=∣d∣，故C不符合题意；
D．−b<d，故D符合题意．
10. 【答案】B
【解析】a1=1，
a2=−∣1+1∣=−2，
a3=−∣−2+1∣=−1，
a4=−∣−1+1∣=0，
a5=−∣0+1∣=−1，
a6=−∣−1+1∣=0，
a7=−∣0+1∣=−1，
则a3+a4=−1，a5+a6=−1，
所以
a1+a2+⋯+a100
=1−2+(−1)×49
=−1−49
=−50.
二、填空题（共10题，共30分）
11. 【答案】11
12. 【答案】+25米
13. 【答案】1
14. 【答案】0
【解析】原式=(1−2+3)+(4+6−7−5)=2+(−2)=0．
15. 【答案】−1
【解析】∵点A1在数轴表示的数是1
2
，
∴A2=1
1−1
2
=2，
A3=1
1−2
=−1，
A4=1
1−(−1)=1
2
，
A5=1
1−1
2
=2，
A6=−1，
⋯，
2019÷3=673，
∴点A2019在数轴上表示的数是−1．
16. 【答案】 −1 ； 1
【解析】 ∵ 三个互不相等的有理数，既表示为 1，a +b ，a 的形式，又可以表示为 0，b
a
，b 的形式， ∴ 这两个数组的数分别对应相等．
∴a +b 与 a 中有一个是 0，b
a 与
b 中有一个是 1，但若 a =0，会使 b
a 无意义， ∴a ≠0，只能 a +
b ＝0，即 a =−b ，于是 b
a =−1．只能是
b =1，于是 a =−1． 故答案为：−1，1．
17. 【答案】 −36
【解析】 (−2⋇3)△(−4)
=(−2×6+5×3)△(−4)
=3△(−4)=3×3×(−4)=−36.
18. 【答案】 3×[(−2)−(−6)+4]=24
【解析】 3×[(−2)−(−6)+4]=24，答案不唯一，只要满足题意即可．
19. 【答案】 1 或 −25
【解析】若此点位于 −12 的右侧，则为 −12+13=1， 若此点位于 −12 的左侧，则为 −12−13=−25， ∴ 答案为 1 或 −25．
20. 【答案】 16
【解析】 a 1+a 1+a 2+(a 1+⋯+a 3)+(a 1+⋯+a 10)=110， 则
6+6+a 1+6+a 1+a 2+⋯+6+(a 1+⋯+a 10)=110+6×11=176,
∴ 嘉祥数为 176
11
=16．
三、解答题（共5题，共60分） 21. 【答案】
(1)
原式=−81×4
9+4
9×(−1
16)=−36−136=−36
136.
(2)
原式=30×(37−17+5
7)×(2
5−1
3−7
10
)
=30×(25−13
−7
10
)
=12−10−21
=−19.
(3)
原式=−72910
×1
9
+1000÷(−8)÷25
=8110−5=31
10.
(4)
原式=32×(3×49
−1)−13
×(−8)−20=1
2+8
3−20=−
1016.
22. 【答案】 ∵∣a∣=34，∣b∣=2
3
，
∴a =±3
4，b =±2
3， ∵b <a ，
∴a =34，b =23 或 a =34，b =−2
3，
∴a +b =3
4+2
3=17
12 或 a +b =3
4+(−23)=1
12． ∴a +b 的值为 1712 或 1
12．
23. 【答案】
(1) 整数集合：−5，−12，(−2)2，+(−2)，0；
分数集合：−5
2，∣−1.5∣，−(−7
2)； 正数集合：(−2)2，∣−1.5∣，−(−7
2)；
负数集合：−5，−12，−5
2，+(−2)，−∣−0.5∣．
(2) 如图：
(3) ∵∣−12∣=1，∣−52
∣=5
2
，∣+(−2)∣=2，∣−∣−0.5∣∣=0.5，∣−5∣=5， ∴∣−∣−0.5∣∣<∣−12
∣<∣+(−2)∣<∣−5
2
∣<∣−5∣， ∴−∣−0.5∣>−12
>+(−2)>−5
2
>−5，
∴−5<−5
2<+(−2)<−12<−∣−0.5∣． 【解析】
(1) ∵ −5，−12=−1，(−2)2=4，−5
2
，∣−1.5∣=1.5，+(−2)=−2，0，−∣−0.5∣=−0.5，−(−7
2)=7
2，
∴ 整数集合：−5，−12，(−2)2，+(−2)，0； 分数集合：−52，∣−1.5∣，−(−7
2)；
正数集合：(−2)2，∣−1.5∣，−(−7
2
)；
负数集合：−5，−12，−52
，+(−2)，−∣−0.5∣．
24. 【答案】
(1) 2−5−6+10−1+13−3=10（盏）， 300×7+10=2110 盏，
求该厂本周实际生产景观灯的盏数是 2110 盏． (2) 13−(−6)=19（盏），
产量最多的一天比产量最少的一天多生产景观灯的盏数是 19 盏． (3) 根据题意，得
300×7×60+(2+10+13)×20−(5+6+1+3)×20+(2+10+13−5−6−1−3)×60 =126000+200+600
=126800(元).
答：该厂工人这一周的工资总额是126800元．
25. 【答案】
(1) 2；1或2或3
(2) ①是．
② ∵1∗2=2
∴2∗1=(1∗2)∗1，
∵(a∗b)∗c=a∗c，
∴(1∗2)∗1=1∗1，
∵a∗a=a，
∴1∗1=1，
∴2∗1=1．
③方法一：
不存在
理由如下：
若存在满足交换律的"有趣的”数阵，依题意，对任意的a，b，c有：
a∗c=(a∗b)∗c=(b∗a)∗c=b∗c，
这说明数阵每一列的数均相同．
∵1∗1=1，2∗2=2，3∗3=3，
∴此数阵第一列数均为1，第二列数均为2，第三列数均为3，
∴1∗2=2；2∗1=1，与交换律相矛盾，
因此，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．
【解析】
(1) 由题意可知：2∗3表示数阵，
第2行第3列所对应的数是2，
∴2∗3=2．
∵2∗3=2∗x，
∴2∗x=2，
由题意可知：数阵第1行中3列数均为1，
∴x=1，2，3．
(2) 方法二：
不存在
理由如下：
由条件二可知，a∗b只能取1，2或3，由此可以考虑a∗b取值的不同情形．
例如考虑1∗2：
情形一：1∗2=1．
若满足交换律，则2∗1=1，
再次计算1∗2可知：
1∗2=(2∗1)∗2=2∗2=2，矛盾．
情形二：1∗2=2，
由（2）可知，2∗1=1，
1∗2≠2∗1，不满足交换律，矛盾．
情形三：1∗2=3，
若满足交换律，即2∗1=3，
再次计算2∗2可知：
2∗2=(2∗1)∗2=3∗2=(1∗2)∗2=1∗2=3，与2∗2=2矛盾．
综上，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．
11。