疲劳与断裂3知识资料-知识资料疲劳应用统计学基础

S (MPa)
400
100102 倍
300
200
104 105 106 107 10 8 N
k 20
+207 MPa 对
15
共57件 数
10
正lgN 部
寿命分布直方图
Duo to the random nature of fatigue process, the life of components and structures cannot be predicted by using conventional deterministic approaches. For an accurate fatigue life prediction only probability-based moadi els can be used in engineering design and systems analysis.
注意：用s=ctgq估计标 准差时，必须x、u的坐 标标定一致。
分析计算框图：
疲劳试验 R、S给定
样本数据 n个Ni排序
破坏率 F(Ni)=i/(n+1)
是否正 线性？ 概率纸上描点
态分布
[x=lgNi ,F(Ni)]
估计分布参数 x ,s (计算或图解法)
给定破坏概率pf下的疲劳寿命？ xp=lgNp= x+ups 寿命N对应的pf？ up=(lgN-x)/s; pf =(up)
0.5
如何确定其分布参数？
lglg[1-F(N)]-1 0
-0.5
能否作出威布尔概率纸？
-1.0
N-F(N)，非线性关 系；
0.1
-1.5
lglg[1-F(N)]-1-lg(N-N0)，线性 0.05
lglg[1-F(N)]-1-F(N)，一一对应
0.02 4
5
-2.0 6
结论：可F(作N)—威lgl布g[1尔-F(概N)]率-1 纸对应。值
2
22
]
( -<x< )
m是均值；f (x)关于x=m对称 为标准差，是非负的。
f(x)
0 x= m
X
正态概率密度曲线
f
(x)
1
2
exp
[
(
xm 22
)2
]
f(x)
在x=m处, f (x)最大，且:
f(x=m)= 1 2
越小， f (m)越大，曲线越 瘦，X的分散性越小。 故标准差反映X的分散性。
N0
N0 Na N0 Na N0
Na N0
令 x=(N-N0)/(Na-N0), 则有 dN=(Na-N0)dx, 可得：
F(x)
x 0
Na
b N0
xb1exb (N a
N0 )dx
x exb d(xb ) 1 exb
0
注意 F(N)=F(x), 故得Weibull分布函数F(N)为：
2) 确定标准正态偏量up。 p=1-R=0.001=0.1%
查表3.1得：up=-3.09
3) 存活率为99.9%的寿命：
序号 i
Ni/10 3
xi=lgN i
x
2
i
1 124 2.0934 4.3823 2 134 2.1271 4.5246
3 135 2.1303 4.5382 4 138 2.1399 4.5792 5 140 2.1461 4.6057
exp{(
N N0 Na N0
)b}(
NN0
)
三个 参数
下限 N0，最小寿命; 尺度参数 Na，反映数据的分散性； 形状参数 b；反映f(N)曲线形状。
2. 分布函数： F(N)--寿命小于等于 N的概率。
N
N
F(N) f (N)dN
b [ N N0 ]b1 exp[ ( N N0 )b ]dN
3 135 2.1303 0.2727
4 138 2.1399 0.3636
5 140 2.1461 0.4545
6 147 2.1673 0.5455
7 154 2.1875 0.6364
8 160 2.2041 0.7273
9 166 2.2201 0.8182
10 181 2.2577 0.9091
-2 -3
关系的坐标纸？
正态概率纸 x
先画x-u坐标，即若随机变量X服从正态分布，则 有线性关系；再按u-(u)关系，依据u标定F(x)， 则线性关系不变。
若X服从正态分布，F(x)-x在概率纸上呈线性。
利用正态概率纸检验随机变量X是否服从正态分布 ，需xiF(xi)数据描点，由其是否线性作出判断。
四、置信水平
估计量Np= x+ups，若大于真值m+up，偏于危险。
置信度 ：估计量小于真值的概率。
破坏率p，置信度的对数寿命写为： xp() x ks
单侧容限系数k：
有表可查
k
up
u
{1 n
[1
u2 2(n
1)
]
1 u2
u
2 p
}
2(n 1)
2(n 1)
若=95%，意味着100个样本估计的xp中，有95个 小于xp()。即有95%的把握认为估计量小于真值。
du 2 2 ( -<u< )
u服从均值 m=0、标准差 =1的正态分布。
标准正态分布函数则为：
u
(u)
1 exp( 1 u 2 )du ( x m )
2
2
注意有：
((uu))
(0)=0.5 ； (-u)=1-(u)；
(a)
(-u)
1(b)(-u) (a)
Pr(a<u<b)=(b)-(a)
应力水平 越低，寿 命越长， 分散性越 大。
0.1
1 12 3 4
5
Pf100
10
30
50
70
90
99
99.9
4
5
6
7
8
7075-T6铝合金对数疲劳寿命分布 X=lgN
分散性：共174件
207MPa下 57件，寿命: 2×106 108次； 240MPa下 29件，寿命: 7×105 4×106次 275MPa下 34件，寿命：1×105 8×105次 310MPa下 29件，寿命：4×104 1×105次 430MPa下 25件，寿命：1.5×1042×104次。
且由 x m u ，还有：
标准正-u态00分布au密b度函数UU
F(x)=Pr(Xx)=Pr(Uu)=(u) 故求正态分布函数F(x)，只需求得(u)即可。
u(u)关系，还可用近似表达式表达，如： (u) 1 exp[(0.86534 0.41263u)2.534 ] u0 u (ln[1 (u)]0.394633 0.86534) / 0.41263 (u)0.5
变量 lglg[1-F(N)]-1lg(N-N0) 间有线性关系；
或 lg[1-F(N)]-1(N-N0) 间有对数线性关系。 B 是直线的斜率，称斜率参数。
3. 二参数威布尔分布函数
令N0=0，则
F
(
N
)
1
exp[(
N Na
)b
]
二参数威布尔分布
二、分布参数的图解估计 F(N)
0.9
二个问题：
N是否服从威布尔分布？
3.3 威布尔分布 Weibull f (1N)951 b=1
寿命有大于零的下限,
指数
正态分布不能反映。
b=3.5-4
正态分布
b=2
Reyleigh
一、密度函数和分布函数
1. 密度函数定义为：
0
N-N 0
Weibull密度函数曲线 Na -N 0
f
(N)
Na
b
N0
[
N N0 Na N0
]b1
例3.1之数据描点如图。 P 100
u
99.9
可知：X是否服从正态分布？ 99
3 2
均值？(与50%破坏率对应) 90
70
x=2.167
50
30
样本标准差s？
10
利用p=15.87时，up=-1；
1 0.1
1
q
0 -1
-2
-3
由图得到：xp=2.114；
2.1
x 2.2
2.3
x=lgN
由xp= x +ups；有： s=(xp- x)/up= x -xp =2.167-2.114=0.053
F( N ) 1 exp[( N N0 )b ] Na N0
N=N0，F(N0)=0，即寿命小于N0的概率为零； N=Na，F(Na)=1-1/e=0.632，Na称特征寿命参数。
将分布函数式改写为： 取二次对数后得到：
1
( N N0 )b
e Na N0
1 F(N)
lg lg[1 F( N )]1 b lg( N N0 ) lg lg e b lg( Na N0 )
第三章 疲劳应用统计学基础
3.1 疲劳数据的分散性 3.2 正态分布 3.3 威布尔分布 3.4 二元线性回归分析 3.5 S-N曲线和P-S-N曲 线的拟合
返回主目录
第三章 疲劳应用统计学基础
3.1 疲劳数据的分散性 Sinclair和Dolan,1953.
1) 实验：
7075-T6铝 R=-1,恒幅
0 x= m
X
正态概率密度曲线
密度函数性质：(无论分布形式如何)
(1) f(x)0 ; 随机变量X取值的可能性非负。
(2)
f (x)dx 1
；所有取值的总可能为1。
正态概率分布函数 F(x)为：
F(x) Pr( X
x)
x
f (x)dx
x
1
2
exp[
(
xm 2 2
)
2
]dx
F(x)是X小于等于x的概率, 是f(x)在x左边的面积。
6 147 2.1673 4.6972 7 154 2.1875 4.7852 8 160 2.2041 4.8581
9 166 2.2201 4.9288
10 181 2.2577 5.0972
S
21.6735 46.9965
xp=2.1674-3.09×0.05=2.013 R=99.9%的安全寿命为： Np=lg-1xp=103 (千周)
威布尔概率纸 lg(N-N0)
若 有F00..(95NN线) 服性lg从l-关g00[.1威5系-2F1(布N。)]尔-1 分F00..(10布N1) ，lg概lg--12[1率..33-F3690(纸N)]上-1 lg(N-N0)-F(N)应
例3.2 二组疲劳寿命数据如表。判断其是否 服从威布尔分布并估计分布参数。
破坏概率为p的对数疲劳寿命xp为：
xp m up
xp x ups
up可由p确定。 存活概率R=1-p。
例3.1 在某应力水平下，测得表中一组疲劳寿命数 据Ni。试确定存活率为99.9%的安全寿命N。
解：将Ni从小到大排列； 1)计算样本均值和标准差；
x=2.1674 s=0.05；
(n=10)
F(xi)是对数寿命X小于 xi的概率，即破坏概率。
其均秩估计量为：
F(xi)=pi=i/(n+1) 无论X服从何种分布， 此式均适用。
例3.1之xiF(xi)数据如表所 列，可在正态概率纸上描 点，观察是否呈线性，判 断X是否服从正态分布。
序号 i
Ni /10 3
xi=lgN i
i n+1
1 124 2.0934 0.0909 2 134 2.1271 0.1818
u<0或(u)<0.5，利用(-u)=1-(u)的关系求解。
三、给定疲劳寿命下的破坏概率估计
分布参数估计：
设在某 si下，样本含n个疲劳寿命数据 xi=lgNi；
则样本均值为：
x
1 n
n i 1
xi
样本方差s2为：
s2
1 n1
n 1
( xi x)2
1( n 1
xi2
2
nx
)
标准差s是偏差(xi- x)2的度量，反映分散性大小。 只有(n-1)个偏差独立。
由于疲劳过程中固有的随机性，结构和构件的寿 命不能用传统的确定性方法预测。在工程设计和 系统分析中，准确的疲劳寿命预测只有采用以概 率为基础的方法。
原因：
材质不均匀，加工质量，加载误差，试验环境等。
光滑件寿命分散>缺口件>裂纹扩展寿 裂纹命、缺口件的疲劳破坏局限在裂纹或缺口高应
力局部，上述因素影响较小。
问题
给定应力水平下，寿命小于N的概率pf？ 存活率为ps（如99%）的疲劳寿命？ 疲劳寿命常用对数正态分布、威布尔分布描述。
3.2 正态分布
对数疲劳寿命lgN常常是服从正态分布的。 令X=lgN, X 即服从正态分布。
一、正态分布的密度函数和分布函数
密度函数：
1
(x m)2
f (x)
exp [
i
例A N (105)
例B N (105)
F(N)=
1 n+1
1 2.0 2 3.7 3 5.0 4 8.0 5 11.5 6 13.0
若u=0, 有k=up，则xp()= x +ups；=50%。
p 100
五、 正态概率纸
99.9
up 3
99
问题：X是否服从正态分布？ 90
2 1
70
已知：xF(x)关系： 非线性
50 30
xu 关系： 线性
10
0 -1
F(x)=(u) u：一一对应 1
能否作出 xF(x) 呈线性
0.1 0.01
f(x)
显然:
Pr(X>x)=1-F(x)
F()= f (x)dx 1
F(x) 1-F(x)
0 xm
X
正态概率密度曲线
二、 标准正态分布
(u)
令, u (x m)
即有：x m u
注意 dx=du, 由密度函数变换标公准式正-u可态0分得布到u密度函数U 标准正态分布密度函数为：
(u) f (x) dx 1 exp( 1 u2 )