高考数学一轮复习 42课时作业 试题

课时作业(十六)
一、选择题
1．(2021·卷，文)在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，那么a 5的值是( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10
答案 A
解析 依题意得a 1＋a 9＝2a 5＝10，a 5＝5，选A.
2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，那么sin(2a 4－π
3)＝( )
A.
3
2 B.12 C ．－
32
D ．－12
答案 D
解析 ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2，∴sin(2a 4－π3)＝sin(3π2－π3)＝－cos π3＝－1
2，
选D.
3．(2021·质检)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，假设a 4＝9，S 3＝15，那么数列{a n }的通项a n ＝( )
A ．2n －3
B ．2n －1
C ．2n ＋1
D ．2n ＋3
答案 C
解析 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 4＝9
S 3＝15⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋3d ＝9
3a 1＋3d ＝15⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝3
d ＝2，所以通项a n ＝2n ＋1.
4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a m －1＋a m ＋1－2a 2
m ＝0，S 2m －1＝39，那么m ＝( ) A ．38 B ．39 C ．20 D ．19
答案 C
解析 ∵a m －1＋a m ＋1＝2a 2
m 又∵a m －1＋a m ＋1＝2a m ∴a m ＝1或者0(舍去) ∵S 2m －1＝
2m －1
a 1＋a 2m －1
2
＝(2m －1)a m
∴(2m －1)a m ＝39，∴2m －1＝39 ∴m ＝20.
5．设{a n }是公差为正数的等差数列，假设a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，那么a 11＋a 12＋
a 13＝( )
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75
答案 B
解析 设公差为d 且d >0.
由⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋a 2＋a 3＝15a 1a 2a 3＝80，
得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋d ＝5a 1a 1＋d
a 1＋2d ＝80
.
解得a 1＝2，d ＝3(∵d >0)．
∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )＝105
6．假设两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，S n T n ＝
7n n ＋3，那么a 5
b 5
等于( )
A ．7
B.2
3
C.278
D.214
答案 D
解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝9
2a 1＋a 9
92
b 1＋b 9＝S 9T 9＝214
.
7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，那么公差d 等于( ) A ．1 B.5
3 C ．2 D ．3
答案 C
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
3a 1＋42＝6
a 1＋2d ＝4，解得d ＝2.
二、填空题
8．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 4＝15，S 5＝55，那么过点P (3，a 3)、Q (4，a 4)的直线的斜率是________．
解析 设数列{a n }的公差为d ，那么依题意，得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 4＝a 1＋3d ＝15S 5＝5a 1＋10d ＝55
⇒⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝3d ＝4
，故
直线PQ 的斜率为
a 4－a 34－3
＝d
1
＝4.
9．数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，假设{1
1＋a n }是等差数列，那么a 11＝________.
答案 0
解析 记b n ＝11＋a n ，那么b 3＝13，b 5＝12，数列{b n }的公差为12×(12－13)＝112，b 1＝1
6
，∴
b n ＝n ＋112，即11＋a n ＝n ＋112，∴a n ＝11－n
n ＋1
，故a 11＝0.
10．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2021，S 20212021－S 2021
2021
＝2，那么S 2021的值是
________．
答案 －2021
解析 在等差数列{a n }中，设公差为d ，那么S n
n
＝
na 1＋n
2
n －1d
n
＝a 1＋d 2(n －1)，∴
S 2021
2021－
S 20212021＝a 1＋d 2×2021－a 1－d
2
×2021＝d ＝2，∴S 2021＝－2021×2021＋2021×2021
2
×2＝－2021×2021＋2021×2021＝－2021.
11．方程(x 2－x ＋m )(x 2
－x ＋n )＝0有四个不等实根，且组成一个公差为12的等差数列，
那么mn 的值是________．
答案 －15
256
解析 设四个根组成的等差数列为x 1，x 2，x 3，x 4，根据等差数列的性质，那么有x 1＋
x 4＝x 2＋x 3＝1
∴2x 1＋3d ＝1，又d ＝12，∴x 1＝－1
4
∴x 2＝14，x 3＝34，x 4＝5
4
∴mn ＝(x 1x 4)(x 2x 3)＝－15256
12．(2021·卷，文)在如下数表中，每行、每列中的数都成等差数列，
那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________． 答案 n 2
＋n
解析 第n 行的第一个数是n ，第n 行的数构成以n 为公差的等差数列，那么其第n ＋1项为n ＋n ·n ＝n 2
＋n .
13．(2021·苏北四调研)数列{a n }一共有m 项，记{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n )，假设S (n )是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，那么当n <m 时，a n ＝________.
答案 －2n －1
解析 由题意得S (n )＝a n ＋…＋a m ＝n ×1＋
n n －1
2
×2＝n 2
，当n <m 时，S (n ＋1)＝a n
＋1
＋…＋a m ＝(n ＋1)2
.故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝n 2
－(n ＋1)2
＝－2n －1. 三、解答题
14．在编号为1～9的九个盒子中，一共放有351粒米，每个盒子都比前一号盒子多放
同样粒数的米．
(1)假如1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？ (2)假如3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几米粒？ 答案 (1)7 (2)8
解析 1～9号的九个盒子中米的粒数依次组成等差数列{a n } (1)a 1＝11，S 9＝351，求得：d ＝7 (2)a 3＝23，S 9＝351，求得：d ＝8
15．(2021·卷，文)设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.
(1)假设S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．
解析 (1)由题意知S 6＝－15
S 5
＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.
解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.
(2)因为S 5S 6＋15＝0，
所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0， 即2a 2
1＋9da 1＋10d 2
＋1＝0，
故(4a 1＋9d )2
＝d 2
－8，所以d 2
≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或者d ≥2 2.
16．设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n . (1)假设a 11＝0，S 14＝98，求数列{a n }的通项公式；
(2)假设a 1≥6，a 11>0，S 14≤77，求所有可能的数列{a n }的通项公式． 答案 (1)a n ＝22－2n (2)a n ＝12－n 和a n ＝13－n
解 (1)由S 14＝98得2a 1＋13d ＝14， 又a 11＝a 1＋10d ＝0，故解得d ＝－2，a 1＝20. 因此{a n }的通项公式是a n ＝22－2n ，n ＝1,2,3，….
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
S 14≤77a 11>0
a 1≥6
，得⎩⎪⎨⎪
⎧
2a 1＋13d ≤11a 1＋10d >0
a 1≥6
，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
2a 1＋13d ≤11 ①－2a 1－20d <0， ②－2a 1≤－12 ③
由①＋②得－7d <11，即d >－117.
由①＋③得13d ≤－1， 即d ≤－113.于是－117<d ≤－1
13.
又d ∈Z ，故d ＝－1.④ 将④代入①②得10<a 1≤12. 又a 1∈Z ，故a 1＝11或者a 1＝12. 所以所有可能的数列{a n }的通项公式是
a n ＝12－n 和a n ＝13－n ，n ＝1,2,3，….。