2019-2020学年陕西省彬州阳光中学、咸阳旬邑中学、彬州中学高二下学期期末(理科)数学试卷 (解析版)

2019-2020学年陕西省彬州阳光中学、咸阳旬邑中学、彬州中学高二第二学期期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．有6位同学报名参加三个数学课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有（）
A．36B．63C．D．
2．复数（i是虚数单位）的虚部是（）
A．B．C．3D．1
3．89×90×91×92×…×100可表示为（）
A．B．C．D．
4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线＝x+近似地刻画其相关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）
A．线性相关关系较强，b的值为3.25
B．线性相关关系较强，b的值为0.83
C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87
D．线性相关关系太弱，无研究价值
5．5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法有（）种．
A．480B．720C．960D．1440
6．排一张5个独唱和3个合唱的节目单，如果合唱不排两头，且任何两个合唱不相邻，则这种事件发生的概率是（）
A．B．C．D．
7．曲线y＝xe x+1在点（1，e+1）处的切线方程是（）
A．2ex﹣y﹣e+1＝0B．2ey﹣x+e+1＝0
C．2ex+y﹣e+1＝0D．2ey+x﹣e+1＝0
8．函数f（x）＝x2﹣ln2x的单调递减区间是（）
A．（0，]B．[，+∞）
C．（﹣∞，﹣]，（0，）D．[﹣，0），（0，）
9．曲线y＝x2+2x与直线x＝﹣1，x＝1及x轴所围图形的面积为（）A．2B．C．D．
10．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＞2）＝0.2，则P（0≤ξ≤1）＝（）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6
11．将一枚质地均匀的骰子先后抛两次，设事件A＝{两次点数互不相同}，B＝{至少出现一次3点}，则P（B|A）＝（）
A．B．C．D．
12．鸡年春节期间，国人发微信拜年已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发微信拜年的概率为1，0.8，0.5，0的人数分别为8，15，14，3（人），则通常情况下，小李应收到同事的拜年的微信数为（）
A．27B．37C．38D．8
二、填空题
13．推理1：因为“平面内不共线的3个点确定一个圆”，可以推断“空间不共面的4个点确定一个球”；
推理2：因为“平行四边形对边平行且相等”；而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等．
则推理1、推理2所用的推理方法分别是、．
14．已知y＝ln，则y′＝．
15．已知x、y的取值如表：
x0134
y 2.2 4.3 4.8 6.7
若x、y具有线性相关关系，且回归方程为＝0.95x+a，则a的值为．
16．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；
③他至少击中目标1次的概率是1﹣0.14．
其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）．
三、解答题
17．若数列{a n}是等差数列，对于，则数列{b n}也是等差数列．类比上述性质，在等比数列中有什么结论，并判断真假．
18．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
19．已知数列{a n}中a1＝3，a n＝．
（1）求出a2，a3，a4的值；
（2）利用（1）的结论归纳出它的通项公式，并用数学归纳法证明．
20．已知（+3x）n展开式各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中含有x4的项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中系数最大的项．
21．某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．
（Ⅰ）某校高二年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高二学生中抽取了90名学生的综合素质评价结果，其各个
等级的频数统计如表：
等级优秀合格不合格
男生（人）30x8
女生（人）306y
根据表中统计的数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？
男生女生总计
优秀
非优秀
总计
（Ⅱ）以（Ⅰ）中抽取的90名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高二学生中随机抽取4人．（i）求所选4人中恰有3人综合素质评价为“优秀”的概率；
（ii）记X表示这4人中综合素质评价等级为“优秀”的人数，求X的数学期望．附：参考数据与公式
（1）临界值表：
0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（2）参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
22．已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x．
（1）若a＝4时，求f（x）在x∈[1，4]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．有6位同学报名参加三个数学课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有（）
A．36B．63C．D．
解：由题意知本题是一个分步计数问题，
第一个同学有3种报法，第二个同学有3种报法，
根据分步计数原理知共有36种结果，
故选：A．
2．复数（i是虚数单位）的虚部是（）
A．B．C．3D．1
解：，
其虚部为：．
故选：B．
3．89×90×91×92×…×100可表示为（）
A．B．C．D．
解：89×90×91×92×…×100＝．
故选：C．
4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线＝x+近似地刻画其相关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）
A．线性相关关系较强，b的值为3.25
B．线性相关关系较强，b的值为0.83
C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87
D．线性相关关系太弱，无研究价值
解：由散点图可得，点的分布比较集中在一条直线赋值，
∴语文成绩和英语成绩之间具有线性相关关系，
∴回归直线的斜率小于1，
故选：B．
5．5个男生，2个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法有（）种．
A．480B．720C．960D．1440
解：把2名女生看成1个元素，和5个男生可作6个元素的全排列，
又5名女生的顺序可调整，共有种方法，
故总的方法种数为：﹣
故选：C．
6．排一张5个独唱和3个合唱的节目单，如果合唱不排两头，且任何两个合唱不相邻，则这种事件发生的概率是（）
A．B．C．D．
解：排一张5个独唱和3个合唱的节目单，
基本事件总数n＝，
∴合唱不排两头，且任何两个合唱不相邻这种事件发生的概率是：
故选：D．
7．曲线y＝xe x+1在点（1，e+1）处的切线方程是（）
A．2ex﹣y﹣e+1＝0B．2ey﹣x+e+1＝0
C．2ex+y﹣e+1＝0D．2ey+x﹣e+1＝0
解：∵y＝xe x+1，
∴f'（x）＝xe x+e x，
所以曲线y＝f（x）在点（1，e+1）处的切线方程为：
故选：A．
8．函数f（x）＝x2﹣ln2x的单调递减区间是（）
A．（0，]B．[，+∞）
C．（﹣∞，﹣]，（0，）D．[﹣，0），（0，）
解：f′（x）＝2x﹣＝，（x＞4），
令f′（x）≤0，解得：0＜x≤，
故选：A．
9．曲线y＝x2+2x与直线x＝﹣1，x＝1及x轴所围图形的面积为（）A．2B．C．D．
解：曲线y＝x2+2x与直线x＝﹣1，x＝5及x轴所围图形的面积为
S＝＝＝2．故选：A．
10．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＞2）＝0.2，则P（0≤ξ≤1）＝（）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6
解：∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），
∴正态曲线的对称轴是x＝1，
故选：B．
11．将一枚质地均匀的骰子先后抛两次，设事件A＝{两次点数互不相同}，B＝{至少出现一次3点}，则P（B|A）＝（）
A．B．C．D．
解：由题意事件A＝{两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36﹣6＝30，
事件B：至少出现一次3点，有10种，
故选：D．
12．鸡年春节期间，国人发微信拜年已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发微信拜年的概率为1，0.8，0.5，0的人数分别为8，15，14，3（人），则通常情况下，小李应收到同事的拜年的微信数为（）
A．27B．37C．38D．8
解：通常情况下，小李应收到同事问候的信息条数为
1×8+0.8×15+0.6×14+0×3＝27．
故选：A．
二、填空题
13．推理1：因为“平面内不共线的3个点确定一个圆”，可以推断“空间不共面的4个点确定一个球”；
推理2：因为“平行四边形对边平行且相等”；而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等．
则推理1、推理2所用的推理方法分别是类比推理、演绎推理．
解：推理1：是利用平面中的性质推导空间中的性质，属于类比推理；
推理2：符合三段论的结构，属于演绎推理；
故答案为：类比推理、演绎推理
14．已知y＝ln，则y′＝﹣．
解：y′＝（）′＝（﹣（1+x6））（1+x4）′＝（﹣（4+x2））（3x）＝﹣．
故答案为：﹣．
15．已知x、y的取值如表：
x0134
y 2.2 4.3 4.8 6.7
若x、y具有线性相关关系，且回归方程为＝0.95x+a，则a的值为 2.6．
解：由题意，＝（0+1+3+8）＝2，＝（2.2+6.3+4.8+6.7）＝4.5
代入＝0.95x+a，可得4.5＝0.95×2+a，
故答案为：2.6．
16．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；
③他至少击中目标1次的概率是1﹣0.14．
其中正确结论的序号是①③（写出所有正确结论的序号）．
解：∵射击一次击中目标的概率是0.9，
∴第3次击中目标的概率是0.6，
∵连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，
根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是C23×0.93×8.1
∵至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1﹣0.14．
故答案为：①③
三、解答题
17．若数列{a n}是等差数列，对于，则数列{b n}也是等差数列．类比上述性质，在等比数列中有什么结论，并判断真假．
解：类比推断：若数列{c n}是各项均为正数的等比数列，则当d n＝时，数列{d n}也是等比数列．
∵{c n}是各项为正数的等比数列，公比为q，则c n＝c1q n﹣1，
∴数列{d n}也是等比数列．
故此结论为真命题．
18．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
【解答】解（1）由题意知本题是一个分类计数问题，
将取出4个球分成三类情况
取3个红球1个白球，有C43C31种；
∴C44+C43C64+C42C62＝115种
∴
∴符合题意的取法种数有C52C63+C43C42+C44C61＝186种
19．已知数列{a n}中a1＝3，a n＝．
（1）求出a2，a3，a4的值；
（2）利用（1）的结论归纳出它的通项公式，并用数学归纳法证明．
解：（1）a2＝，a3＝，a4＝，
（2）猜测：a n＝
1．当n＝8时显然成立，
则当n＝k+1时有a k+1＝＝＝＝，
所以成立由1，2可知n∈一切自然数均成立，所以猜测正确．
20．已知（+3x）n展开式各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中含有x4的项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中系数最大的项．
解：令x＝1得展开式各项系数和为4n，二项式系数为，由题意得：4n﹣8n＝992，解得n＝5…
当，∴．…
∴，…..
∴，k∈N．
∴＝…
21．某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．
（Ⅰ）某校高二年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高二学生中抽取了90名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如表：
等级优秀合格不合格
男生（人）30x8
女生（人）306y
根据表中统计的数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？
男生女生总计
优秀
非优秀
总计
（Ⅱ）以（Ⅰ）中抽取的90名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高二学生中随机抽取4人．（i）求所选4人中恰有3人综合素质评价为“优秀”的概率；
（ii）记X表示这4人中综合素质评价等级为“优秀”的人数，求X的数学期望．附：参考数据与公式
（1）临界值表：
0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（2）参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
解：（Ⅰ）设从高二年级男生中抽出m人，则，
解得m＝50．
∴2×2列联表为：
男生女生总计
优秀303060
非优秀201030
总计504090
∴K2＝＝7.25＜2.706，
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知等级为“优秀”的学生的频率为，
记“所选2名学生中恰有3人综合素质评价为‘优秀’学生”为事件A，（ii）X表示这4个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数，
∴X的数学期望E（X）＝4×＝．
22．已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x．
（1）若a＝4时，求f（x）在x∈[1，4]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
解：（1）a＝4时，f（x）＝x3﹣5x2﹣3x，
∴f′（x）＝3x2﹣8x﹣3，
∴f（x）在x∈[1，4]上的最大值为f（1）＝﹣6，最小值为f（3）＝﹣18；
可得a≤在x∈[2，+∞）上恒成立，
y′＝恒大于零，
∴a≤．。