广东省海珠区高一数学下学期期末考试试题(含解析)
广东省珠海市高一下学期数学期末考试试卷
广东省珠海市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）若sinθ+coθ= ，则sinθ﹣cosθ=（）A .B . ﹣C . ±D . ±2. （2分）已知扇形的圆心角是72°，半径为20cm，则扇形的面积为（）A . 70πcm2B . 70 cm2C . 80cm2D . 80πcm23. （2分）一半径为的水轮，水轮的圆心到水面的距离为，已知水轮每分钟旋转圈，水轮上的点到水面距离与时间 (秒)满足函数关系式，则（）A . ，B . ，C . ，D . ，4. （2分） (2016高二上·翔安期中) 已知函数f（x）=x2+bx的图象过点（1，2），记an= ．若数列{an}的前n项和为Sn ，则Sn等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二上·济源月考) 在中，若，则等于（）A . 60°B . 60°或120°C . 30°D . 30°或150°6. （2分） (2019高二上·咸阳月考) 等差数列18，15，12，…的前n项和的最大值为（）A . 60B . 63C . 66D . 697. （2分）已知在中，，那么这个三角形的最大角是（）A .B .C .D .8. （2分）将函数y=sinx的图象向左平移φ（0≤φ≤2π）个单位后，得到函数y=sin(x-)的图象，则φ=（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高三上·定远期中) 设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和 =（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·肇庆月考) 已知数列的前项和，则此数列的第11项是（）A .B .C .D .二、填空题 (共8题；共10分)11. （2分）(2019·温州模拟) 我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅如图所示的“勾股圆方图”，四个相同的直角三角形与边长为1的小正方形拼成一个边长为5的大正方形，若直角三角形的直角边分别记为a，b，有，则a＋b＝________，其中直角三角形的较小的锐角的正切值为________．12. （1分）设α∈（﹣，0），cosα= ，则tan（α+ ）=________．13. （2分）(2019·浙江) 设等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，首项a1=3，公比q=2，则a4=________; S3= ________ ．14. （1分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC= ，AB=6，BD= ，则ADsin∠BAD=________．15. （1分）已知，则cosα=________．16. （1分）(2020·如皋模拟) 已知成等差数列，成等比数列，且，则________.17. （1分）(2020·安徽模拟) 已知正项等比数列中，，则 ________．18. （1分）设x ， y都是正数，且，则的最小值________.三、解答题 (共4题；共30分)19. （5分） (2017高二下·赤峰期末) 设，写出，，，的值，归纳猜想出结果，并给出证明.20. （10分） (2016高一上·景德镇期中) 已知函数f（x）=sin（2x+ ）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[ ]上的最大值和最小值．21. （10分） (2016高二上·大连开学考) 设a∈R，函数f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足f（﹣）=f（0）．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 = ，求f（A）的取值范围．22. （5分）(2017高二上·揭阳月考) 在数列中，对于任意，等式成立，其中常数 .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：数列为等比数列；（Ⅲ）如果关于n的不等式的解集为，求b和c的取值范围.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共8题；共10分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共30分) 19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
珠海市高一下学期期末考试数学试卷含答案
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A. 623B. 457C. 253D. 007
16.某校高二年级为选拔参加物理竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校决定对成绩不低于134分的学生进行为期一周的集训，如果用分层抽样的方法从参加集训的学生中选取3人，则这3人中男生人数为________．
17.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 在 上的投影为________．
珠海市2020-2021学年度第二学期学生质量监测
高一数学试题
说明：全卷共6页，25小题，考试时间为120分钟，满分150分．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上填涂相应选项．
1.复数 （i为虚数单位），则 （）
A.1B. C. D.
A.总体上女性处理多任务平均用时长
B.所有女性处理多任务的能力都要优于男性
C.男性的用时众数比女性用时众数大
D.女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数
9.在管理学研究中，有一种衡量个体领导力的模型，称为“五力模型”，即一个人的领导力由五种能力——影响力、控制力、决断力、前瞻力和感召力构成．如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为4分、“较强”记为5分、“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则下列判断不正确的是（）
海珠区期末高一数学试卷
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = √(x - 1)B. y = 1/xC. y = |x|D. y = log2(x + 1)2. 已知函数f(x) = 2x - 3，则函数f(x + 1)的图象（）A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向上平移1个单位D. 向下平移1个单位3. 若函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 04. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an的值为（）A. 29B. 30C. 31D. 325. 在直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(-1, 2)关于直线y = x的对称点分别为C和D，则直线CD的方程是（）A. x + y = 5B. x + y = 3C. x - y = 5D. x - y = 36. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z对应的点在复平面上的轨迹是（）A. 一条直线B. 一个圆C. 一条射线D. 无轨迹7. 函数f(x) = (x - 1)^2 - 2x + 3的对称轴方程是（）A. x = 1B. x = 2C. y = 1D. y = 28. 在三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°9. 已知等比数列{an}的首项为3，公比为2，则前5项的和S5是（）A. 31B. 63C. 95D. 12710. 若直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的取值范围是（）A. k < 1B. k > 1C. -1 < k < 1D. k ≠ 0二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。
2017-2018年广东省广州市海珠区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年广东省广州市海珠区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．（5分）的值是（）A．B．C．D．2．（5分）不等式﹣x2﹣x+2＞0的解集是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）3．（5分）已知角θ的终边过点（4，﹣3），则cos（π﹣θ）的值为（）A．B．﹣C．D．﹣4．（5分）在等差数列{a n}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝（）A．12B．14C．16D．185．（5分）若，且，则tanα的值等于（）A．B．C．1D．6．（5分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤||||B．||≤|||﹣|||C．（）2＝||2D．（）•（）＝2﹣27．（5分）设A1，A2，A3是平面上给定的3个不同点，则使＝成立的点M的个数为（）A．0B．1C．2D．38．（5分）要得到函数y＝2sin2x的图象，只要将函数y＝2sin（2x+1）的图象（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位9．（5分）函数（）A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增10．（5分）已知等比数列{a n}满足a2＝3，a2+a4+a6＝21，则a4+a6+a8＝（）A．21B．42C．63D．8411．（5分）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A．80元B．120元C．160元D．240元12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若sin2A+sin2B＝2sin2C，则cos C的最小值为（）A．﹣B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13．（5分）若向量＝（）与＝（k，共线，则k的值为．14．（5分）已知关于x的不等式x2﹣2ax+a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是．15．（5分）设实数x，y满足则z＝﹣x+y的最大值是．16．（5分）函数在区间[0，2π]上所有零点的和等于．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知平面向量，满足||＝1，||＝，与的夹角为θ．（Ⅰ）若∥，求；（Ⅱ）若与垂直，求θ．18．（12分）在等差数列{a n}中，已知a3＝5，a6+a9＝19．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．19．（12分）用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡表中相应位置上，并直接写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值和最小值．20．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin B＝b cos A．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若b＝2，△ABC的面积为，求a．21．（12分）如图，在△ABC中，已知．（Ⅰ）求cos B；（Ⅱ）若点D在BC边上，且∠ABD＝∠BAD，求AD的长．22．（12分）数列{a n}满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．2017-2018学年广东省广州市海珠区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．（5分）的值是（）A．B．C．D．【解答】解：＝sin（2π﹣）＝﹣sin＝﹣，故选：D．2．（5分）不等式﹣x2﹣x+2＞0的解集是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【解答】解：原不等式可化为：x2+x﹣2＜0，即（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1，故选：C．3．（5分）已知角θ的终边过点（4，﹣3），则cos（π﹣θ）的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵角θ的终边过点（4，﹣3），∴cosθ＝∴cos（π﹣θ）＝﹣cosθ＝﹣，故选：B．4．（5分）在等差数列{a n}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝（）A．12B．14C．16D．18【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2＝2，a3＝4，∴d＝a3﹣a2＝4﹣2＝2，∴a10＝a3+7d＝4+14＝18故选：D．5．（5分）若，且，则tanα的值等于（）A．B．C．1D．【解答】解：由cos2α＝1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α＝1﹣sin2α＝，则sin2α＝，又α∈（0，），所以sinα＝，则α＝，所以tanα＝tan＝．故选：D．6．（5分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤||||B．||≤|||﹣|||C．（）2＝||2D．（）•（）＝2﹣2【解答】解：选项A恒成立，∵||＝|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；选项B不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C恒成立，由向量数量积的运算可得（）2＝||2；选项D恒成立，由向量数量积的运算可得（）•（）＝2﹣2．故选：B．7．（5分）设A1，A2，A3是平面上给定的3个不同点，则使＝成立的点M的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设A1，A2，A3是平面上给定的3个不同点，则使＝成立，则：成立，故：，所以：．由于A1，A2，A3是平面上给定的3个不同点，所以：是唯一固定的．所以满足条件的点M只有一个．故选：B．8．（5分）要得到函数y＝2sin2x的图象，只要将函数y＝2sin（2x+1）的图象（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：将函数y＝2sin（2x+1）的图象向右平移个单位，可得y＝2sin2x的图象，故选：D．9．（5分）函数（）A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增【解答】解：函数令，可得：，当k＝0时，可知在区间上单调递增．故选：A．10．（5分）已知等比数列{a n}满足a2＝3，a2+a4+a6＝21，则a4+a6+a8＝（）A．21B．42C．63D．84【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2＝3，a2+a4+a6＝21，∴3（1+q2+q4）＝21，可得q4+q2﹣6＝0，解得q2＝2．则a4+a6+a8＝q2（a2+a4+a6）＝2×21＝42．故选：B．11．（5分）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A．80元B．120元C．160元D．240元【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，∴底面面积S＝ab＝4，y＝20S+10[2（a+b）]＝20（a+b）+80，∵a+b≥2＝4，∴当a＝b＝2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故选：C．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若sin2A+sin2B＝2sin2C，则cos C的最小值为（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵sin2A+sin2B＝2sin2C，∴由正弦定理可得：a2+b2＝2c2，即c2＝，∴由余弦定理可得：cos C＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立．即cos C的最小值是．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13．（5分）若向量＝（）与＝（k，共线，则k的值为1．【解答】解：∵＝（）与＝（k，共线，∴，即k＝1．故答案为：1．14．（5分）已知关于x的不等式x2﹣2ax+a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是（0，1）．【解答】解：因为不等式x2﹣2ax+a＞0在R上恒成立．∴△＝（﹣2a）2﹣4a＜0，解得0＜a＜1．故答案为：（0，1）．15．（5分）设实数x，y满足则z＝﹣x+y的最大值是2．【解答】解：先根据实数x，y满足画出可行域，由得A（0，2）．然后平移直线0＝﹣x+y，当直线z＝﹣x+y过点A（0，2）时，z最大值为2．故答案为：2．16．（5分）函数在区间[0，2π]上所有零点的和等于．【解答】解：＝，由f（x）＝0，可得sin（）＝，∴x+，或，∵x∈[0，2π]，∴取k＝0，得x＝；取k＝1，得x＝．∴函数在区间[0，2π]上所有零点的和等于．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知平面向量，满足||＝1，||＝，与的夹角为θ．（Ⅰ）若∥，求；（Ⅱ）若与垂直，求θ．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵平面向量，满足||＝1，||＝，与的夹角为θ．∥，∴θ＝0°或180°，………………………（2分）∴cosθ＝±1，……………………………………………（3分）∴＝||•||cosθ＝1×＝．……………（5分）（Ⅱ）∵与垂直，∴（﹣）•＝0，………………（7分）即||2﹣＝1﹣＝0，……………………（8分）∴cosθ＝．………………………………………………（9分）又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°．………………………………（10分）18．（12分）在等差数列{a n}中，已知a3＝5，a6+a9＝19．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，a3＝5，a6+a9＝19．得a1+2d＝5，a1+5d+a1+8d＝19，解得a1＝3，d＝1，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝2+n；（Ⅱ）由（I）可得＝3n+n，b1+b2+b3+…+b10＝（3+1）+（32+2）+（33+3）+…+（310+10）＝（3+32+...+310）+（1+2+ (10)＝+×10×11＝×311+．19．（12分）用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡表中相应位置上，并直接写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）根据表中已知数据，可得，解得A＝3，ω＝2，φ＝﹣，函数表达式为f（x）＝3sin（2x﹣）．数据补全如下表：（Ⅱ）x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，由正弦函数的性质，当2x﹣＝，即x＝时，f（x）取得最大值3．当2x﹣＝，即x＝0时，f（x）取得最小值为﹣，故f（x）在上的最大值为3，最小值为﹣．20．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin B＝b cos A．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若b＝2，△ABC的面积为，求a．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为a sin B＝b cos A，所以由正弦定理得sin A sin B＝sin B cos A，………………………………（2分）又sin B≠0，从而tan A＝，………………………………（4分）由于0＜A＜π，所以A＝．…………………………………（6分）（Ⅱ）因为b＝2，△ABC的面积为，所以c×sin＝，…………………………………（8分）所以c＝3．……………………………………………………（9分）由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝7，……………（11分）所以a＝．…………………………………………………（12分）21．（12分）如图，在△ABC中，已知．（Ⅰ）求cos B；（Ⅱ）若点D在BC边上，且∠ABD＝∠BAD，求AD的长．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由余弦定理得，中BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB•cos∠BAC，……………（1分）＝（3）2+62﹣2×＝18+36﹣（﹣36）＝90，………………（2分）所以BC＝3．……………………………………………………………………（3分）又由正弦定理得，sin B＝＝＝，………………………（5分）由题设知：0°＜B＜45°，∴cos B＝＝＝．……………（7分）（Ⅱ）解法一：在△ABD中，∵∠ABD＝∠BAD，∴∠ADB＝180°﹣2B，…………（8分）由正弦定理得，AD＝＝＝，……………………（10分）＝＝＝．……………………………………………………（11分）所以CD＝BC﹣BD＝BC﹣AD＝3﹣＝2．………………………（12分）解法二：在△ACD中，∵∠ABD＝∠BAD，∴∠ADB＝180°﹣2B，…………………（8分）由正弦定理得，AD＝＝……………………（10分）＝……………………………………………（11分）＝＝2．………………………………………（12分）22．（12分）数列{a n}满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得＝+1，即﹣＝1，则{}是以1为首项，1为公差的等差数列，即有＝1+n﹣1＝n，可得a n＝n2，n∈N*；（Ⅱ）＝n•2n，S n＝1•21+2•22+3•23+…+n•2n，2S n＝1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，两式相减可得﹣S n＝21+22+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1，化简可得S n＝（n﹣1）•2n+1+2．。
广东省珠海市高一数学下学期期末试卷(a卷)(含解析)
2016-2017学年广东省珠海市高一（下）期末数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．177（8）=（）（2）．A．1111111 B．111111 C．1111101 D．10111112．f（x）=3x6﹣2x5+x3+1，按照秦九韶算法计算x=2的函数值时，v4=（）A．17 B．68 C．8 D．343．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若男运动员抽取了8人，则女运动员抽取的人数为（）A．5 B．6 C．7 D．84．一组数x，y，4，5，6的均值是5，方差是2，则xy=（）A．25 B．24 C．21 D．305．在如图中，O为圆心，A，B为圆周上二点，AB弧长为4，扇形AOB面积为4，则圆心角∠AOB的弧度数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．一次抛掷两枚骰子，向上点数之和不小于10的概率为（）A．B．C．D．7．如图是某工厂对甲乙两个车间各10名工人生产的合格产品的统计结果的茎叶图．设甲、乙的中位数分别为x甲、x乙，甲、乙的方差分别为s甲2、s乙2，则（）A．x甲＜x乙，s甲2＜s乙2B．x甲＞x乙，s甲2＞s乙2C．x甲＞x乙，s甲2＜s乙2D．x甲＜x乙，s甲2＞s乙28．由函数y=sin x 的图象经过（）变换，得到函数 y=sin（2x﹣）的图象．A．纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再向右平移个单位B．纵坐标不变，向右平移个单位，再横坐标缩小到原来的C．纵坐标不变，横坐标扩大到原来的 2 倍，再向左平移个单位D．纵坐标不变，向左平移个单位，再横坐标扩大到原来的 2 倍9．若 tanα=﹣2，则sin（） cos（π+α）=（）A．﹣ B．C．﹣ D．10．等腰直角△ABC 中，A=90°，AB=AC=2，则向量在方向上的投影为（）A．B．﹣C．D．﹣11．f （x）=﹣sin（x+） sin（x﹣）的最小正周期和一条对称轴方程为（）A．2π；x=kπ+，k∈Z B．2π；x=kπ+，k∈ZC．π；x=kπ+，k∈Z D．π；x=kπ+，k∈Z12．△ABC 中，若=0，则△ABC 是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．钝角三角形二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）13．使用辗转相除法，得到315和168的最大公约数是．14．若 sinα+cosα=，α为锐角，则= ．15．运行右边的程序框图，输出的结果是．16．矩形区域 ABCD 中，AB 长为 2 千米，BC 长为 1 千米，在 A 点和 C 点处各有一个通信基站，其覆盖范围均为方圆 1 千米，若在该矩形区域内随意选取一地点，则该地点无信号的概率为．17．函数 f （x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则 f （x）的表达式为．18．下面是被严重破坏的频率分布表和频率分布直方图，根据残表和残图，则 p= ，q= ．19．若α，β∈（0，），sin（）=﹣，cos（）=，则α+β= ．20．已知，则△ABM 与△ACM 的面积的比值为．三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（﹣，1）．（1）若||=2 且∥，求的坐标；（2）若||=，（ +3）⊥（﹣），求向量，的夹角的余弦值．22．下表是检测某种浓度的农药随时间x（秒）渗入某种水果表皮深度y（微米）的一组结果．（1）在规定的坐标系中，画出 x，y 的散点图；（2）求y与x之间的回归方程，并预测40秒时的深度（回归方程精确到小数点后两位；预测结果精确到整数）．回归方程： =bx+a，其中=，a=﹣b．23． =（3sinx， cosx），=（cosx， cosx），f （x）=•．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）x∈[﹣，]时，g（x）=f（x）+m的最大值为，求g（x）的最小值及相应的x值．24．四名选手 A、B、C、D 参加射击、抛球、走独木桥三项比赛，每个选手在各项比赛中获得合格、不合格机会相等，比赛结束，评委们会根据选手表现给每位选手评定比赛成绩，根据比赛成绩，对前两名进行奖励．（1）选手 D 至少获得两个合格的概率；（2）选手 C、D 只有一人得到奖励的概率．25．如图，在平面直角坐标系xoy中，A为以原点O为圆心的单位圆O与x正半轴的交点，在圆心角为的扇形AOB的弧AB上任取一点 P，作 PN⊥OA于N，连结PO，记∠PON=θ．（1）设△PON的面积为y，使y取得最大值时的点P记为E，点N记为F，求此时的值；（2）求k=a||•||+（a∈R，E 是在（1）条件下的点 E）的值域．2016-2017学年广东省珠海市高一（下）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．177（8）=（）（2）．A．1111111 B．111111 C．1111101 D．1011111【考点】EM：进位制．【分析】先把“8进制”数转化为“十进制”数，再利用“除2取余法”把：“十进制”数化为“2进制”数．【解答】解：177（8）=7×80+7×81+1×82=127，127÷2=63…1，63÷2=31…1，31÷2=15…1，15÷2=7…1，7÷2=3…1，3÷2=1…1，1÷2=0…1，∴127（10）=1111111（2）．故选：A．2．f（x）=3x6﹣2x5+x3+1，按照秦九韶算法计算x=2的函数值时，v4=（）A．17 B．68 C．8 D．34【考点】EL：秦九韶算法．【分析】f（x）=3x6﹣2x5+x3+1=（（（（（2x﹣2）x）x+1）x）x）x+1，利用（k=1，2，…，n）进而得出．【解答】解：f（x）=3x6﹣2x5+x3+1=（（（（（2x﹣2）x）x+1）x）x）x+1，按照秦九韶算法计算x=2的函数值时，v0=2，v1=2×2﹣2=2，v2=2×2×2=8，v3=8×2+1=17，v4=17×2=34．故选：D．3．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若男运动员抽取了8人，则女运动员抽取的人数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】B3：分层抽样方法．【分析】设女运动员抽取的人数为x，利用分层抽样的性质列出方程，能求出女运动员抽取的人数．【解答】解：一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若男运动员抽取了8人，设女运动员抽取的人数为x，则，解得x=6．故选：B．4．一组数x，y，4，5，6的均值是5，方差是2，则xy=（）A．25 B．24 C．21 D．30【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】利用均值和方差的定义列出方程组，能求出x，y，由此能求出xy的值．【解答】解：∵一组数x，y，4，5，6的均值是5，方差是2，∴，解得x=7，y=3，∴xy=21．故选：C．5．在如图中，O为圆心，A，B为圆周上二点，AB弧长为4，扇形AOB面积为4，则圆心角∠AOB的弧度数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】G8：扇形面积公式．【分析】首先根据扇形的面积求出半径，再由弧长公式得出结果．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，根据扇形的面积公式S=lr，可得：4=×4r，解得：r=2，再根据弧长公式l=rα，即：4=2α，解得α=2，可得扇形的圆心角的弧度数是2．故选：B．6．一次抛掷两枚骰子，向上点数之和不小于10的概率为（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】一次投掷两枚骰子，基本事件总数n=6×6=36，利用列举法求出向上点数之和不小于10，包含的基本事件有6个，由此能求出一次抛掷两枚骰子，向上点数之和不小于10的概率．【解答】解：一次投掷两枚骰子，基本事件总数n=6×6=36，向上点数之和不小于10，包含的基本事件有：（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6），共有6个，∴一次抛掷两枚骰子，向上点数之和不小于10的概率为：p==．故选：A．7．如图是某工厂对甲乙两个车间各10名工人生产的合格产品的统计结果的茎叶图．设甲、乙的中位数分别为x甲、x乙，甲、乙的方差分别为s甲2、s乙2，则（）A．x甲＜x乙，s甲2＜s乙2B．x甲＞x乙，s甲2＞s乙2C．x甲＞x乙，s甲2＜s乙2D．x甲＜x乙，s甲2＞s乙2【考点】BA：茎叶图．【分析】由茎叶图，求出x甲＜x乙；由茎叶图知甲的数据相对分散，乙的数据相对集中，从而得到＞．【解答】解：由茎叶图，得：x甲=34，x乙==43.5，∴x甲＜x乙；由茎叶图知甲的数据相对分散，乙的数据相对集中，∴＞．故选：D．8．由函数y=sin x 的图象经过（）变换，得到函数 y=sin（2x﹣）的图象．A．纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再向右平移个单位B．纵坐标不变，向右平移个单位，再横坐标缩小到原来的C．纵坐标不变，横坐标扩大到原来的 2 倍，再向左平移个单位D．纵坐标不变，向左平移个单位，再横坐标扩大到原来的 2 倍【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数的伸缩变换相位变换规律得出．【解答】解：y=sinx的图象向右平移个单位可得y=sin（x﹣）的函数图象，再将y=sin（x﹣）的函数图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到y=sin（2x﹣）的函数图象，故选：B．9．若 tanα=﹣2，则sin（） cos（π+α）=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据诱导公式和同角的三角函数关系化简求值即可．【解答】解：∵tanα=﹣2，∴sin（） cos（π+α）=cosα（﹣cosα）=﹣=﹣=﹣=﹣．故选：A．10．等腰直角△ABC 中，A=90°，AB=AC=2，则向量在方向上的投影为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积的几何意义求投影．【解答】解：等腰直角△ABC 中，A=90°，AB=AC=2，则向量在方向上的投影为：||cos（π﹣B）=﹣2×cos=﹣；故选B．11．f （x）=﹣sin（x+） sin（x﹣）的最小正周期和一条对称轴方程为（）A．2π；x=kπ+，k∈Z B．2π；x=kπ+，k∈ZC．π；x=kπ+，k∈Z D．π；x=kπ+，k∈Z【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】利用诱导公式、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、以及图象的对称，得出结论．【解答】解：f （x）=﹣sin（x+） sin（x﹣）=﹣cos（﹣x）sin（x﹣）=﹣sin（x﹣）cos（x﹣）=﹣sin（2x﹣），它的最小正周期为=π．令2x﹣=kπ+，求得x=+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，故选：C．12．△ABC 中，若=0，则△ABC 是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．钝角三角形【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】首先在△ABC中，将=0，化简可得到 AC与AC边上的中线垂直，进而得到三角形为等腰三角形【解答】解：因为△ABC 中，若===0，所以AC与AC边上的中线垂直，所以△ABC 是等腰三角形；故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）13．使用辗转相除法，得到315和168的最大公约数是21 ．【考点】WE：用辗转相除计算最大公约数．【分析】利用辗转相除法即可得出．【解答】解：315=168+147，168=147+21，147=21×7．∴315和168的最大公约数是21．故答案为：21．14．若 sinα+cosα=，α为锐角，则= 3 ．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】由sinα+cosα=两边平方，求出2sinαcosα的值，再利用二倍角公式和同角的三角函数关系化简求值即可．【解答】解：由sinα+cosα=，两边平方得：1+2sinαcosα=，解得，2sinαcosα=；∴====3．故答案为：3．15．运行右边的程序框图，输出的结果是．【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=的值．故答案为：．16．矩形区域 ABCD 中，AB 长为 2 千米，BC 长为 1 千米，在 A 点和 C 点处各有一个通信基站，其覆盖范围均为方圆 1 千米，若在该矩形区域内随意选取一地点，则该地点无信号的概率为1﹣．【考点】CF：几何概型．【分析】根据题意，算出扇形区域ADE和扇形区域CBF的面积之和为，结合矩形ABCD的面积为2，可得在矩形ABCD内且没有信号的区域面积为2﹣，再用几何概型计算公式即可算出所求的概率．【解答】解：∵如图，扇形ADE的半径为1，圆心角等于90°，∴扇形ADE的面积为S1=×π×12=，同理可得，扇形CBF的在，面积S2=，又∵长方形ABCD的面积S=2×1=2，∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是P==1﹣，故答案为：1﹣．17．函数 f （x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则 f （x）的表达式为f（x）=3sin（2x+）．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得 f （x）的表达式．【解答】解：根据函数 f （x）=Asin（ωx+φ）的部分图象，可得A=3， =﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得，2•+φ=，∴φ=，故 f （x）的表达式为f（x）=3sin（2x+），故答案为：f（x）=3sin（2x+）．18．下面是被严重破坏的频率分布表和频率分布直方图，根据残表和残图，则 p= 30 ，q= 0.1 ．【考点】B8：频率分布直方图．【分析】由频率分布表得到[70，80）内的频数为90，由频率分布直方图得到[70，80）内的频率为0.45，从而出样本单元数n=200．由此能求出p，q．【解答】解：由频率分布表得到[70，80）内的频数为90，由频率分布直方图得到[70，80）内的频率为0.45，∴样本单元数n==200．∴p=200﹣90﹣60﹣20=30．q==0.1．故答案为：30，0.1．19．若α，β∈（0，），sin（）=﹣，cos（）=，则α+β= ．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（），cos（﹣β）的值，进而利用两角差的余弦函数公式可求cos（+）的值，再根据二倍角的余弦函数公式可求cos（α+β）的值，结合范围α+β∈（0，π），即可得解．【解答】解：∵α，β∈（0，），cos（）=，∴∈（﹣，），可得：sin（）=±，∵α，β∈（0，），sin（﹣β）=﹣，∴﹣β∈（﹣，），可得：cos（﹣β）=，∴cos[（α﹣）﹣（﹣β）]=cos（α﹣）cos（﹣β）+sin（α﹣）sin（﹣β）=±=，或1．即cos（+）=，或1，∴cos（α+β）=cos[2（+）]=2 cos2（+）﹣1=﹣，或1．∵α+β∈（0，π），∴可得：α+β=．故答案为：．20．已知，则△ABM 与△ACM 的面积的比值为β：α．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F，AE=βAC，AD=αAB，可得，，即可得△ABM 与△ACM 的面积的比值【解答】解：由，以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F，AE=βAC，AD=αAB，，则△ABM 与△ACM 的面积的比值为β：α故答案为：β：α三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（﹣，1）．（1）若||=2 且∥，求的坐标；（2）若||=，（ +3）⊥（﹣），求向量，的夹角的余弦值．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）设=（m，n），运用向量模的公式和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求；（2）由向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的平方即为模的平方，化简整理，可得•=，再由向量夹角的余弦公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）设=（m，n），若||=2 且∥，其中=（﹣，1），可得m2+n2=4，m=﹣n，解得m=﹣，n=或m=，n=﹣，则=（﹣，）或（，﹣）；（2）若=（﹣，1），可得||=，又||=，（ +3）⊥（﹣），可得（+3）•（﹣）=2﹣32+2•=0，即有3﹣3×2+2•=0，可得•=，向量，的夹角的余弦值为==．22．下表是检测某种浓度的农药随时间x（秒）渗入某种水果表皮深度y（微米）的一组结果．（1）在规定的坐标系中，画出 x，y 的散点图；（2）求y与x之间的回归方程，并预测40秒时的深度（回归方程精确到小数点后两位；预测结果精确到整数）．回归方程： =bx+a，其中=，a=﹣b．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）在规定的坐标系中，画出 x，y 的散点图即可；（2）计算、，求出回归系数、a，写出回归方程，计算x=40时的值即可．【解答】解：（1）在规定的坐标系中，画出x，y 的散点图如图所示；（2）计算=×（5+10+15+20+30）=16，=×（6+10+10+13+16）=11；x i y i=5×6+10×10+15×10+20×13+30×16=1020，=52+102+152+202+302=1650，∴回归系数为： ==≈0.53，a=﹣b=11﹣0.53×16=2.52；∴回归方程为： =0.53x+2.52；当x=40时， =0.53×40+2.52=23.72，即预测40秒时的深度23.72微米．23． =（3sinx， cosx），=（cosx， cosx），f （x）=•．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）x∈[﹣，]时，g（x）=f（x）+m的最大值为，求g（x）的最小值及相应的x值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据平面向量的数量积计算并化简f （x），求出f（x）的单调递减区间；（2）根据x的取值范围，求出f（x）的值域，再根据g（x）的最大值求出m，从而求出g （x）的最小值与对应x的值．【解答】解：（1）=（3sinx， cosx），=（cosx， cosx），∴f （x）=•=3sinxcosx+3cos2x=sin2x+=3sin（2x+）+；令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间是[+kπ， +kπ]，k∈Z；（2）x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴3sin（2x+）+∈[﹣，]；∴f（x）的值域是[﹣，]，∴g（x）=f（x）+m的最大值为+m=，解得m=1，∴g（x）=f（x）+1；∴g（x）的最小值为﹣+1=﹣，此时x=﹣．24．四名选手 A、B、C、D 参加射击、抛球、走独木桥三项比赛，每个选手在各项比赛中获得合格、不合格机会相等，比赛结束，评委们会根据选手表现给每位选手评定比赛成绩，根据比赛成绩，对前两名进行奖励．（1）选手 D 至少获得两个合格的概率；（2）选手 C、D 只有一人得到奖励的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出选手D 至少获得两个合格的概率．（2）利用列举法求出所有获得奖励的可能结果有6种，选手C、D 只有一人得到奖励包含的情况有4种，由此能求出选手C、D 只有一人得到奖励的概率．【解答】解：（1）∵四名选手 A、B、C、D 参加射击、抛球、走独木桥三项比赛，每个选手在各项比赛中获得合格、不合格机会相等，∴选手 D 至少获得两个合格的概率：p==．（2）所有获得奖励的可能结果有：（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（CD），共6种，选手C、D 只有一人得到奖励包含的情况有：（AC），（AD），（BC），（BD），有4种，∴选手 C、D 只有一人得到奖励的概率p=．25．如图，在平面直角坐标系xoy中，A为以原点O为圆心的单位圆O与x正半轴的交点，在圆心角为的扇形AOB的弧AB上任取一点 P，作 PN⊥OA于N，连结PO，记∠PON=θ．（1）设△PON的面积为y，使y取得最大值时的点P记为E，点N记为F，求此时的值；（2）求k=a||•||+（a∈R，E 是在（1）条件下的点 E）的值域．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）用θ表示出PN，ON，得出y关于θ的函数，利用正弦函数的性质得出y最大时对应的θ值，从而求出E，F的坐标，再计算；（2）设sinθ+cosθ=t，得出k关于t的函数，讨论a的取值与函数单调性，得出k的值域．【解答】解：（1）ON=cosθ，PN=sinθ，∴y=cosθsinθ=sin2θ，∵0，∴当时，y取得最大值，此时E（，），F（，0），∴=．（2）=（cosθ，sinθ），=（，），∴=cosθ+sinθ=（sinθ+cosθ），∴k=asinθcosθ+sinθ+cosθ，令sinθ+cosθ=sin（）=t，则sinθcosθ=，∵0，∴≤，∴1＜t，∴k=a•+t=，令f（t）=，①若a=0，则f（t）=t，∴f（t）的值域为（1，]；②若a＞0，则f（t）的对称轴为直线x=﹣＜0，∴f（t）在（1，]上单调递增，∴f（1）＜f（t）≤f（），即f（t）的值域为（1， +]；③若a＜0，则f（t）的图象开口向下，若﹣≤1，即a≤﹣1时，f（t）在（1，]上单调递减，∴f（t）的值域为[+，1）；若﹣≥，即﹣≤a＜0时，f（t）在（1，]上单调递增，∴f（t）的值域为（1， +]；若1＜﹣，即﹣1时，f（t）在（1，]上先增后减，∴f（t）的最大值为f（﹣）=，若1＜，即﹣1＜a＜2﹣2时，则f（t）的最小值为f（）=，若≤﹣，即2﹣2≤a＜﹣则f（t）的最小值为f（1）=1，综上，当a=0时，f（t）的值域为（1，]；当a≤﹣1时，k的值域是[+，1）；当a＞﹣且a≠0时，k的值域是（1， +]；﹣1＜a＜2﹣2时，k的值域是[，]；当2﹣2≤a＜﹣时，k的值域是（1，]．。
2019-2020学年广东省珠海市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年广东省珠海市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．a，b，c，d∈R，则下列不等关系中一定成立的是（）A．若a+b＞0，则c+a＞c﹣b B．若a＞b，c＜a，则b＞cC．若a＞b，c＞d，则＜D．若a2＞b2，则a＞b2．已知平面直角坐标系xOy中，直线l1：x+3y+1＝0，直线l2：3x﹣y+1＝0，则l1与l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直3．如图为一个几何体的三视图，其中正视图、侧视图都是矩形，俯视图是边长为2的正三角形，则该几何体的表面积为（）A．6+B．24+C．24+2D．324．在△ABC中，已知A＝75°，B＝45°，b＝4，则c＝（）A．B．2C．D．5．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β＝l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④6．已知等差数列{a n}，公差d≠0，S n为其前n项和，S12＝8S4，则＝（）A．B．C．D．7．如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩形，H＝R，圆锥内液体体积为V1，圆柱内液体体积为V2，则（）A．V1＝2V2B．V1＝V2C．V2＝2V1D．V1＝V28．过圆x2+y2＝5上一点M（1，﹣2）作圆的切线l，则l的方程是（）A．x+2y﹣3＝0B．x﹣2y﹣5＝0C．2x﹣y﹣5＝0D．2x+y﹣5＝0 9．若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x﹣y的最大值是（）A．﹣3B．3C．5D．110．△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c．已知a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC 的面积为（）A．6B．6C．D．1411．如图，A，B两船相距10海里，B船在A船南偏西45°方向上，B船向正南方向行驶，A船以B船速度的倍追赶B船，A船若用最短的时间追上B船，A船行驶的角度为（）A．南偏西30°B．南偏西15°C．南偏东30°D．南偏东15°12．如图，一长方体ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝3，E∈AA1，F∈BB1，AE＝BF＝1，G∈A1B1，则G到平面D1EF的距离是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）13．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，a4＝2，则S10的值为．14．已知平面直角坐标系xOy中，点A（4，1），点B（0，4），直线l：y＝3x﹣1，则直线AB与直线l的交点坐标为．15．已知a＞0，b＞0，则p＝﹣a与q＝b﹣的大小关系是．16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝4，S5＝30，则数列{}的前n项和为．17．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面是边长为a的菱形，∠BAD＝60°，AA1＝2a，则直线A1C1与B1C成角的余弦值为．18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+c＝2b，3sin B＝5sin A，则C ＝．19．已知a1＝1，a2＝3，a n+1＝a n+a n+2，则a2020＝．20．在棱长均为1的正四面体ABCD中，M为AC的中点，P为DM上的动点，则PA+PB 的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演既算步骤.）21．如图，已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．（1）求AC的长；（2）若CD＝5，求AD的长．22．关于x的不等式：x2﹣（a+1）x+a＜0，a∈R．（1）当a＝1时，解这个不等式；（2）当a≠1时，解这个不等式．23．四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O，如图甲，以AC为折痕，将平面ABC翻折到AB'C的位置，如图乙，得到三棱锥B'﹣ACD，M为B'C的中点，DM＝．（1）求证：OM∥平面AB'D；（2）求证：平面AB'C⊥平面DOM；（3）求二面角B'﹣CD﹣O的正切值．24．已知数列{a n}的首项a1＝1，S n为其前n项和，且S n+1﹣2S n＝n+1．（1）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项：（2）求数列{na n}的前n项和T n．25．在平面直角坐标系中，圆C是以（1，1）为圆心、半径为1的圆，过坐标原点O的直线l的斜率为k，直线l交圆C于P，Q两点，点A的坐标为（，﹣）．（1）写出圆C的标准方程；（2）求△APQ面积的最大值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．a，b，c，d∈R，则下列不等关系中一定成立的是（）A．若a+b＞0，则c+a＞c﹣b B．若a＞b，c＜a，则b＞cC．若a＞b，c＞d，则＜D．若a2＞b2，则a＞b【分析】直接利用赋值法和不等式的性质的应用求出结果．解：对于选项A：当若a+b＞0，则c+a+b＞c，整理得c+a＞c﹣b，故正确．对于选项B：当a＞b，a＞c，故b和c无法确定大小关系，故错误．对于选项C：a＝2，b＝1，c＝0，d＝﹣1，则＜没有意义，故错误．对于选项D：设a＝﹣2，b＝﹣1，则a2＞b2，则a＜b，故错误．故选：A．2．已知平面直角坐标系xOy中，直线l1：x+3y+1＝0，直线l2：3x﹣y+1＝0，则l1与l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直【分析】根据题意，由直线的方程分析可得1×3+3×（﹣1）＝0，由直线垂直的判断方法分析可得答案．解：根据题意，直线l1：x+3y+1＝0，直线l2：3x﹣y+1＝0，有1×3+3×（﹣1）＝0，则l1与l2垂直，故选：D．3．如图为一个几何体的三视图，其中正视图、侧视图都是矩形，俯视图是边长为2的正三角形，则该几何体的表面积为（）A．6+B．24+C．24+2D．32【分析】由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面正三角形的一边上的高为，据此即可计算出其表面积．解：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面正三角形的一边上的高为．∴底面正三角形的边长为2．该几何体的表面积S＝2××2+3×2×4＝24+2．故选：C．4．在△ABC中，已知A＝75°，B＝45°，b＝4，则c＝（）A．B．2C．D．【分析】根据题意和三角形的内角和定理求出角C，再由正弦定理求出边c．解：由A＝75°，B＝45°得，C＝180°﹣A﹣B＝60°，由正弦定理得，，则c＝＝＝，故选：D．5．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β＝l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选：C．6．已知等差数列{a n}，公差d≠0，S n为其前n项和，S12＝8S4，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用等差数列前n项和公式推导出a1＝，再由＝，能求出结果．解：∵等差数列{a n}，公差d≠0，S12＝8S4，∴12a1+＝8×（4a1+），解得a1＝，∴＝＝＝．故选：C．7．如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩形，H＝R，圆锥内液体体积为V1，圆柱内液体体积为V2，则（）A．V1＝2V2B．V1＝V2C．V2＝2V1D．V1＝V2【分析】由题意可得H＝R，得到圆锥的水面圆的直径，进一步得到半径，再由圆锥与圆柱体积公式求解．解：如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且H＝R，则圆锥的水面圆的直径为2H＝R，则V1＝；V2＝．∴V1＝V2，故选：B．8．过圆x2+y2＝5上一点M（1，﹣2）作圆的切线l，则l的方程是（）A．x+2y﹣3＝0B．x﹣2y﹣5＝0C．2x﹣y﹣5＝0D．2x+y﹣5＝0【分析】先检验点M是否在圆上，过圆上一点的切线只有一条，且切点与圆心连线与切线所在直线互相垂直，利用点斜式方程写出切线并化简可得出方程．解：圆x2+y2＝5的圆心为C（0，0），半径r＝，点M（1，﹣2），且|CM|＝，即点M在圆上，则过M作切线与直线CM垂直，k CM＝＝﹣2，则切线斜率为，切线方程l：y﹣（﹣2）＝（x﹣1），即x﹣2y﹣5＝0，故选：B．9．若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x﹣y的最大值是（）A．﹣3B．3C．5D．1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1）．化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为z＝2×1﹣1＝1．故选：D．10．△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c．已知a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC 的面积为（）A．6B．6C．D．14【分析】直接利用海伦公式求出三角形的面积．解：由于a＝7，b＝3，c＝8，所以p＝所以利用海伦公式，S＝＝，故选：A．11．如图，A，B两船相距10海里，B船在A船南偏西45°方向上，B船向正南方向行驶，A船以B船速度的倍追赶B船，A船若用最短的时间追上B船，A船行驶的角度为（）A．南偏西30°B．南偏西15°C．南偏东30°D．南偏东15°【分析】由题意，设B船的速度为v，A船用最短的时间t追上B船，可得△ABC中，AB＝10，∠ABC＝135°，BC＝tv，AC＝tv，由余弦定理可得BC，AC的值，进而根据余弦定理可求cos∠BAC＝，可求∠BAC的值，即可求解A船行驶的角度．解：由题意，设B船的速度为v，A船用最短的时间t追上B船，可得△ABC中，AB＝10，∠ABC＝135°，BC＝tv，AC＝tv，由余弦定理可得：（tv）2＝（tv）2+102﹣2×10×tv×cos135°，整理可得：（tv）2﹣10tv﹣100＝0，解得tv＝5，可得BC＝5，AC＝10+10，所以cos∠BAC＝＝＝，所以∠BAC＝30°，可得A船行驶的角度为南偏西45°﹣30°＝15°．故选：B．12．如图，一长方体ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝3，E∈AA1，F∈BB1，AE＝BF＝1，G∈A1B1，则G到平面D1EF的距离是（）A．B．C．D．【分析】证明A1B1∥平面D1EF，则G到平面D1EF的距离等于A1到平面D1EF的距离，然后得到A1到平面D1EF的距离，再利用等面积法求解．解：如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由E∈AA1，F∈BB1，AE＝BF＝1，得ABFE为矩形，可得EF∥AB，又A1B1∥AB，∴A1B1∥EF，而EF⊂平面D1EF，A1B1⊄平面D1EF，∴A1B1∥平面D1EF，则G到平面D1EF的距离等于A1到平面D1EF的距离．由AB⊥平面AA1D1D，EF∥AB，得EF⊥平面AA1D1D，而EF⊂平面D1EF，∴平面D1EF⊥平面AA1D1D，且平面D1EF∩平面AA1D1D＝ED1，则A1到ED1F的距离即为A1到平面D1EF的距离．在Rt△EA1D1中，∵A1E＝2A1D＝1，∴，则A1到平面D1EF的距离为．∴G到平面D1EF的距离是．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）13．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，a4＝2，则S10的值为．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式求出q的值，进而由等比数列的前n项和公式计算可得答案．解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a1＝，a4＝2，则q3＝＝＝8，则q＝2，则S10＝＝＝；故答案为：．14．已知平面直角坐标系xOy中，点A（4，1），点B（0，4），直线l：y＝3x﹣1，则直线AB与直线l的交点坐标为（，3）．【分析】先利用两点式方程求出直线AB的方程，再联立方程组能求出两直线的交点坐标．解：平面直角坐标系xOy中，点A（4，1），点B（0，4），直线l：y＝3x﹣1，直线AB的方程为：，整理得：3x+4y﹣16＝0，联立，得．∴直线AB与直线l的交点坐标为（，3）．故答案为：（，3）．15．已知a＞0，b＞0，则p＝﹣a与q＝b﹣的大小关系是p≥q．【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小．解：因为a＞0，b＞0，p＝﹣a与q＝b﹣，所以p﹣q＝﹣＝＝≥0，b＝a时取等号，所以p≥q．故答案为：p≥q．16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝4，S5＝30，则数列{}的前n项和为．【分析】先根据等差数列的通项公式与前n项和公式求出数列{a n}的首项和公差，从而得S n＝n（n+1），于是＝﹣，再利用裂项相消法求前n项和即可得解．解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵a2＝4，S5＝30，∴，解得a1＝2，d＝2，∴S n＝2n+×2＝n（n+1），∴＝﹣，∴数列{}的前n项和T n＝（1﹣）+（﹣）+……+（﹣）＝1﹣＝．故答案为：．17．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面是边长为a的菱形，∠BAD＝60°，AA1＝2a，则直线A1C1与B1C成角的余弦值为．【分析】连结AC，AB1，推导出A1C1∥AC，得到∠ACB1是直线A1C1与B1C成角（或所成角的补角），由此能求出直线A1C1与B1C成角的余弦值．解：连结AC，AB1，∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∥AC，∴∠ACB1是直线A1C1与B1C成角（或所成角的补角），∵底面是边长为a的菱形，∠BAD＝60°，AA1＝2a，∴AC＝＝，AB1＝CB1＝＝，∴cos∠ACB1＝＝．故直线A1C1与B1C成角的余弦值为．故答案为：．18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+c＝2b，3sin B＝5sin A，则C ＝arccos．【分析】由正余弦定理可得C的余弦值，进而求出C的值．解：因为3sin B＝5sin A，则由正弦定理可得3b＝5a，所以a＝b，又a+c＝2b，所以c＝2b﹣a＝b，由余弦定理可得cos C＝＝＝，所以C＝arc cos，故答案为：arccos．19．已知a1＝1，a2＝3，a n+1＝a n+a n+2，则a2020＝﹣1．【分析】求出数列的前几项，推出数列是周期数列，然后求解即可．解：a1＝1，a2＝3，a n+1＝a n+a n+2，可得a3＝2，a4＝﹣1，a5＝﹣3，a6＝﹣2，a7＝1，a8＝3，…所以数列是周期数列，周期为：6，a2020＝a336×6+4＝a4＝﹣1．故答案为：﹣1．20．在棱长均为1的正四面体ABCD中，M为AC的中点，P为DM上的动点，则PA+PB 的最小值为．【分析】由题意画出图形，由△BDM绕DM旋转，使△BDM在平面ACD内，可知所求最小值即为AB′的长，然后在△ADB′中，由余弦定理求解即可．解：如图，记∠BDM＝θ，在△BDM中，BD＝1，BM＝DM＝，可得cos，sinθ＝．将△BDM绕DM旋转，使△BDM在平面ACD内，此时B在B′处．连接AB′，B′P，则所求最小值即为AB′的长．∵∠ADB′＝θ+30°，∴AB′2＝AD2+DB′2﹣2AD•DB′•cos∠ADB′＝12+12﹣2cos（θ+30°）＝2﹣2（cosθ•cos30°﹣sinθ•sin30°）＝．∴PA+PB的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演既算步骤.）21．如图，已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．（1）求AC的长；（2）若CD＝5，求AD的长．【分析】（1）直接利用正弦定理的应用求出结果．（2）直接利用（1）的结论和余弦定理的应用求出结果．解：（1）如图所示：已知△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．利用正弦定理，整理得＝3．（2）利用AC＝3，∠ACD＝120°，CD＝5，利用余弦定理＝＝7．22．关于x的不等式：x2﹣（a+1）x+a＜0，a∈R．（1）当a＝1时，解这个不等式；（2）当a≠1时，解这个不等式．【分析】（1）a＝1时不等式为x2﹣2x+1＜0，求出解集即可；（2）a≠1时不等式化为（x﹣a）（x﹣1）＜0，讨论a和1的大小，写出对应不等式的解集．解：（1）a＝1时，不等式为：x2﹣2x+1＜0，即（x﹣1）2＜0，所以不等式的解集为∅；（2）当a≠1时，不等式化为（x﹣a）（x﹣1）＜0，不等式对应方程的两个实数根为a和1，当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}；当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．23．四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O，如图甲，以AC为折痕，将平面ABC翻折到AB'C的位置，如图乙，得到三棱锥B'﹣ACD，M为B'C的中点，DM＝．（1）求证：OM∥平面AB'D；（2）求证：平面AB'C⊥平面DOM；（3）求二面角B'﹣CD﹣O的正切值．【分析】（1）推导出OM∥AB′，由此能证明OM∥平面AB'D．（2）根据条件，得到∠DOB′是平面AB'C与平面DOM所成角的平面角，推导出∠DOB′＝90°，由此能证明平面AB'C⊥平面DOM．（3）以O为原点，OD为x轴，OC为y轴，OB′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B'﹣CD﹣O的正切值．解：（1）证明：∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O，∴O是AC中点，∵M为B'C的中点，∴OM∥AB′，∵OM⊄平面AB′D，AB′⊂平面AB′D，∴OM∥平面AB'D．（2）证明：∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O，以AC为折痕，将平面ABC翻折到AB'C的位置得到三棱锥B'﹣ACD，M为B'C的中点，DM＝．∴OB′＝OD＝1，OA＝OC＝，OB′⊥AC，OD⊥AC，CM＝1，∴∠DOB′是平面AB'C与平面DOM所成角的平面角，cos∠CMD＝＝＝﹣，∴cos∠DMB′＝＝＝，解得BD′＝，∴OB′2+OD2＝DB′2，∴∠DOB′＝90°，∴平面AB'C⊥平面DOM．（3）解：以O为原点，OD为x轴，OC为y轴，OB′为z轴，建立空间直角坐标系，则B′（0，0，1），D（1，0，0），C（0，，0），＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，，0），设平面DB′C的法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，1，），平面CDO的法向量＝（0，0，1），设二面角B'﹣CD﹣O的平面角为θ，则cosθ＝＝，sinθ＝＝，∴二面角B'﹣CD﹣O的正切值为tanθ＝＝＝．24．已知数列{a n}的首项a1＝1，S n为其前n项和，且S n+1﹣2S n＝n+1．（1）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项：（2）求数列{na n}的前n项和T n．【分析】（1）由S n+1﹣2S n＝n+1，知S n﹣2S n﹣1＝n（n≥2），再利用a n＝S n﹣S n﹣1可求出a n+1、a n和a2，然后利用等比数列的定义可推出＝2（n≥2），并检验n＝1的情形；利用等比数列的通项公式先求得数列{a n+1}的通项公式，即可得数列{a n}的通项公式．（2）由（1）知，na n＝n（2n﹣1）＝n•2n﹣n．设数列{n•2n}的前n项和为H n，先利用错位相减法求出H n，再根据分组求和法和等差数列的前n项和公式即可求得T n．解：（1）由S n+1﹣2S n＝n+1，知S n﹣2S n﹣1＝n（n≥2）．∴a n+1＝S n+1﹣S n＝（2S n+n+1）﹣S n＝S n+n+1＝（2S n﹣1+n）+n+1＝2S n﹣1+2n+1，a n＝S n﹣S n﹣1＝（2S n﹣1+n）﹣S n﹣1＝S n﹣1+n（n≥2），∴当n＝2时，有a2＝S1+2＝a1+2＝1+2＝3，∴＝＝2（n≥2），为常数，当n＝1时，＝＝2，符合上式，故数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n+1＝2•2n﹣1＝2n，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1（n∈N*）．（2）由（1）知，na n＝n（2n﹣1）＝n•2n﹣n．设数列{n•2n}的前n项和为H n，∴H n＝1•21+2•22+3•23+……+n•2n，2H n＝1•22+2•23+3•24+……+n•2n+1，两式相减得，﹣H n＝1•21+1•22+1•23+……+1•2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴H n＝（n﹣1）•2n+1+2，∴T n＝H n﹣（1+2+3+……+n）＝（n﹣1）•2n+1+2﹣．25．在平面直角坐标系中，圆C是以（1，1）为圆心、半径为1的圆，过坐标原点O的直线l的斜率为k，直线l交圆C于P，Q两点，点A的坐标为（，﹣）．（1）写出圆C的标准方程；（2）求△APQ面积的最大值．【分析】（1）直接由已知写出圆C的标准方程；（2）设直线l的方程y＝kx（k＞0），联立直线方程与圆的方程，求得写出|PQ|，再求出A到直线l的距离，代入三角形面积公式，整理后利用基本不等式求最值．解：（1）∵圆C是以（1，1）为圆心、半径为1的圆，∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1；（2）如图，设直线l的方程为y＝kx（k＞0），则圆心（1，1）到直线y＝kx的距离为．|PQ|＝．点（，﹣）到直线y＝kx的距离d＝．∴＝．∵＝，又k＞0，∴k+1＞1，则＝，当且仅当k+1＝，即k＝时上式取等号．∴．则S△APQ的最大值为．。
高一下学期期末考试数学试题(广东省,含参考答案)
高一下学期期末考试数学试题(广东省,含参考答案)第二学期期末考试高一年级数学学科试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知tan x=-4/3.且x在第三象限，则cos x=（）A。
4/5.B。
-4/5.C。
3/5.D。
-3/52.已知sin2α=34，则cos(α-) =（）A。
-1/3.B。
1/3.C。
-3/4.D。
3/43.要得到函数f(x)=cos(2x+π/3)的图象，只需将函数g(x)=sin(2x+π/2)的图象（）A。
向左平移π/6个单位长度。
B。
向右平移π/6个单位长度C。
向左平移π/3个单位长度。
D。
向右平移π/3个单位长度4.若向量a，b满足|a|=√7，b=(-2,1)，a·b=5，则a与b的夹角为（）A。
90°。
B。
60°。
C。
45°。
D。
30°5.若sin(π-α)=1/3，则cos(2α) =（）A。
7/9.B。
-7/9.C。
2/9.D。
-2/96.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0，a=2，c=π/2，则C=（）A。
π/6.B。
π/4.C。
π/3.D。
π/27.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列，则{an}前6项的和为（）A。
-24.B。
-3.C。
3.D。
88.在等比数列{an}中，若a1=2，a4=16，则{an}的前5项和S5等于（）A。
30.B。
31.C。
62.D。
649.变量x,y满足条件x-y+1≤2，2y≤19，x>-1，则(x-2)+y的最小值为（）A。
3/2.B。
5.C。
5/2.D。
9/210.锐角三角形ABC的三边长a,b,c成等差数列，且a+b+c=21，则实数b的取值范围是（）A。
(0,6)。
B。
(0,7)。
C。
(6,7)。
D。
(0,8)11.已知x,y∈R，且满足x+2y=2xy，那么x+4y的最小值为（）A。
广东省珠海市高一下学期数学期末考试试卷
广东省珠海市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共27分)1. （2分） (2019高一下·台州期中) 已知向量满足，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·成都模拟) 已知实数，则下列说法正确的是（）A .B .C .D .3. （2分）等差数列前项的和为，若，则的值是（）A . 36B . 48C . 54D . 644. （2分）在中，，则边a的长为（）A .B .C .D .5. （5分）(2019高三上·东莞期末) 在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A . 6B . 7C . 8D . 96. （2分） (2017高二上·张掖期末) 约束条件为，目标函数Z=2x﹣y，则Z的最大值是（）A . ﹣4B . 4C . ﹣5D . 57. （2分）已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积为（）A . 9πB . 9C . 3πD . 38. （2分） (2017高一下·安徽期中) 已知向量•（ +2 ）=0，| |=2，| |=2，则向量，的夹角为（）A .B .C .D .9. （2分）(2016·深圳模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A . 48B . 16C . 32D . 1610. （2分）已知α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=，则这个三角形是（）A . 钝角三角形B . 锐角三角形C . 不等腰的直角三角形D . 等腰直角三角形11. （2分） (2020高一下·隆化期中) 若对任意的正数，满足，则的最小值为（）A . 6B . 8C . 12D . 2412. （2分）已知平行四边形ABCD中，若=（3，0），=（2，2），则S▱ABCD=（）A . 6B . 10C . 6D . 12二、填空题 (共4题；共12分)13. （1分）(2017·泸州模拟) 已知向量 =（λ，1）， =（λ+2，1），若| + |=| ﹣ |，则实数λ=________．14. （5分） (2019高一下·丽水期末) 设正数满足，则 ________；________．15. （1分）(2020·武汉模拟) 根据气象部门预报，在距离某个码头A南偏东45°方向的600km处的热带风暴中心B正以30km/h的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起经过________小时后该码头A将受到热带风暴的影响（精确到0.01）．16. （5分） (2016高三上·嘉兴期末) 函数在 ________处取到最小值，且最小值是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）（1）若| |=2 ，且∥ ，求的坐标；（2）若| |= ，且 +2 与2 ﹣垂直，求与的夹角θ．18. （10分）已知二次函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1（a∈Z），若二次方程ax2﹣（a+2）x+1=0在（﹣2，﹣1）上只有一个实数根，解不等式f（x）＞1．19. （10分）如图，现要在一块半径为1m、圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在上，点Q在OA上，点M、N在OB上，设∠BOP=θ，平行四边形MNPQ的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值及相应的θ的值．20. （10分） (2020高三上·浦东期末) 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点是线段上任意一点.（1）求证：；（2）试确定点的位置，使与平面所成角的大小为30°.21. （10分）已知是锐角三角形的外接圆圆心，，（1）求的大小；（2）若，求实数的值．22. （10分） (2017高三上·湖北开学考) 等差数列{an}的前n项和为Sn ，数列{bn}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3 ．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）令cn=an•bn ，设数列{cn}的前n项和为Tn ，求Tn ．参考答案一、单选题 (共12题；共27分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共12分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2015-2016年广东省广州市海珠区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年广东省广州市海珠区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）对于a∈R，下列等式中恒成立的是（）A．cos（﹣α）＝﹣cosαB．sin（﹣α）＝﹣sinαC．sin（90°﹣α）＝sinαD．cos（90°﹣α）＝cosα2．（5分）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15°B．cos2﹣sin2C．cos12°sin42°﹣sin12°cos42°D．3．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A＝135°，B＝30°，a ＝，则b等于（）A．1B．C．D．24．（5分）已知||＝2，||＝4，且与的夹角为，则在方向上的投影是（）A．B．﹣2C．2D．﹣5．（5分）在等差数列{a n}中，已知S9＝90，则a3+a5+a7＝（）A．10B．20C．30D．406．（5分）不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）函数y＝A sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y＝2sin（2x+）B．y＝2sin（2x+）C．y＝2sin（﹣）D．y＝2sin（2x﹣）8．（5分）已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（）A．a+b≥2B．a2+b2＞2ab C．+≥2D．||≥29．（5分）在△ABC中，若sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C，则角A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，）10．（5分）若角α的终边过点（﹣1，2），则tan的值为（）A．B．C．或D．或11．（5分）把函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，且g（﹣x）＝g（x），则（）A．y＝g（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称B．y＝g（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称C．y＝g（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称D．y＝g（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称12．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则•＝（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知||＝2，||＝1，与的夹角θ为60°，且||＝，则实数k的值为．14．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1＝2，4a2•a8＝a42，则a3＝．15．（5分）已知sin（π﹣α）＝，且α是第一象限的角，则cos（α+）的值为．16．（5分）已知关于x的不等式ax2﹣bx+c≥0的解集为{x|1≤x≤2}，则cx2+bx+a≤0的解集为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知向量＝（4，3），＝（2，﹣1），O为坐标原点，P是直线AB上一点．（Ⅰ）若点P是线段AB 的中点，求向量与向量夹角θ的余弦值；（Ⅱ）若点P在线段AB的延长线上，且||＝||，求点P的坐标．18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为S n，且S2＝3，S4＝15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}是等差数列，且b3＝a3，b5＝a5，试求数列{b n}的前n项和M n．19．（12分）一个化肥厂生产甲种混合肥料1车皮、乙种混合肥料1车皮所需要的主要原料如表：现库存磷酸盐8吨、硝酸盐60吨，计划在此基础上生产若干车皮的甲、乙两种混合肥料．（Ⅰ）设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数，试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）若生产1车皮甲种肥料，利润为3万元；生产1车皮乙种肥料，利润为2万元．那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，能够产生最大利润？最大利润是多少？20．（12分）已知向量＝（，cos），＝（cos，1），且f（x）＝•．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣π，π]上的最大值和最小值及取得最值时x 的值．21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝a cos c+c sin A．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）当a＝3时，求△ABC周长的取值范围．22．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，前n和为S n，且S n＝（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{a n}是等差数列；（Ⅱ）设b n＝a n•3n，求数列{b n}的前n项的和T n．2015-2016学年广东省广州市海珠区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）对于a∈R，下列等式中恒成立的是（）A．cos（﹣α）＝﹣cosαB．sin（﹣α）＝﹣sinαC．sin（90°﹣α）＝sinαD．cos（90°﹣α）＝cosα【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：因为cos（﹣α）＝cosα；sin（﹣α）＝﹣sinα；sin（90°﹣α）＝cosα；cos（90°﹣α）＝sinα；故B正确；故选：B．2．（5分）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15°B．cos2﹣sin2C．cos12°sin42°﹣sin12°cos42°D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：对于A，sin15°cos15°＝sin30°＝；对于B，cos2﹣sin2＝cos＝；对于C，cos12°sin42°﹣sin12°cos42°＝sin（42°﹣12°）＝sin30°＝；对于D，原式＝tan45°＝1；故选：C．3．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A＝135°，B＝30°，a ＝，则b等于（）A．1B．C．D．2【考点】HP：正弦定理．【解答】解：∵A＝135°，B＝30°，a＝，∴由正弦定理＝得：b＝＝＝1．故选：A．4．（5分）已知||＝2，||＝4，且与的夹角为，则在方向上的投影是（）A．B．﹣2C．2D．﹣【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：根据条件，在方向上的投影为：＝＝＝．故选：D．5．（5分）在等差数列{a n}中，已知S9＝90，则a3+a5+a7＝（）A．10B．20C．30D．40【考点】84：等差数列的通项公式．【解答】解：在等差数列{a n}中，由S9＝9a5＝90，得a5＝10，则a3+a5+a7＝3a5＝3×10＝30．故选：C．6．（5分）不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：由图象可知不等式对应的平面区域为三角形BCD．由解得，即A（，）．由得，即B（﹣1，﹣1）．由得，即C（2，﹣1），所以三角形ABC的面积S＝×3×＝，故选：A．7．（5分）函数y＝A sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y＝2sin（2x+）B．y＝2sin（2x+）C．y＝2sin（﹣）D．y＝2sin（2x﹣）【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【解答】解：由已知可得函数y＝A sin（ωx+ϕ）的图象经过（﹣，2）点和（﹣，2）则A＝2，T＝π即ω＝2则函数的解析式可化为y＝2sin（2x+ϕ），将（﹣，2）代入得﹣+ϕ＝+2kπ，k∈Z，即φ＝+2kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝此时故选：A．8．（5分）已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（）A．a+b≥2B．a2+b2＞2ab C．+≥2D．||≥2【考点】7F：基本不等式及其应用；R3：不等式的基本性质．【解答】解：对于A，若a，b＜0，a+b≥2不成立；当a，b＞0，不等式成立，且a＝b 时取等号．故A不恒成立；对于B，若a＝b，则a2+b2＝2ab，若a≠b，a2+b2＞2ab成立．故B不恒成立；对于C，若ab＜0，则+＜2；若ab＞0，则+≥2成立．故C不恒成立；对于D，||＝||+||≥2恒成立，且|a|＝|b|时取得等号．故选：D．9．（5分）在△ABC中，若sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C，则角A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，）【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【解答】解：∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sin B sin C，∴由正弦定理得a2≤b2+c2﹣bc，则b2+c2﹣a2≥bc，由余弦定理得，cos A＝≥，∵0＜A＜π，∴A∈（0，]，故选：C．10．（5分）若角α的终边过点（﹣1，2），则tan的值为（）A．B．C．或D．或【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GW：半角的三角函数．【解答】解：若角α的终边过点（﹣1，2），则有cosα＝＝﹣，sinα＝＝，∴tan＝＝＝，故选：A．11．（5分）把函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，且g（﹣x）＝g（x），则（）A．y＝g（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称B．y＝g（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称C．y＝g（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称D．y＝g（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：把函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）＝sin[2（x+）+φ]＝sin（2x++φ）的图象．再根据g（﹣x）＝g（x），可得g（x）＝sin（2x++φ）为偶函数，故有+φ＝kπ+，即+φ＝kπ+，k∈Z，故φ＝，g（x）＝sin（2x++）＝cos2x，故y＝g（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称，故选：D．12．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则•＝（）A．B．C．D．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：若|+|＝|﹣|，则＝，即有＝0，E，F为BC边的三等分点，则＝（+）•（+）＝（）•（）＝（+）•（+）＝++＝×（1+4）+0＝．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知||＝2，||＝1，与的夹角θ为60°，且||＝，则实数k的值为1．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：∵||＝2，||＝1，与的夹角θ为60°，∴•＝||||cos60°＝1×2×＝1，∵|﹣k|＝，∴平方得||2+k2||2﹣2k＝3，即4+k2﹣2k＝3，即k2﹣2k+1＝（k﹣1）2＝0，得k＝1，故答案为：1；14．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1＝2，4a2•a8＝a42，则a3＝．【考点】88：等比数列的通项公式．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，∵a1＝2，4a2•a8＝a42，∴4（2q•2q7）＝（2q3）2，解得，即q＝，∴a3＝a1q2＝，故答案为：．15．（5分）已知sin（π﹣α）＝，且α是第一象限的角，则cos（α+）的值为﹣．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：∵sin（π﹣α）＝sinα＝，且α是第一象限的角，∴cosα＝＝，则cos（α+）＝cosαcos﹣sinαsin＝﹣＝﹣，故答案为：．16．（5分）已知关于x的不等式ax2﹣bx+c≥0的解集为{x|1≤x≤2}，则cx2+bx+a≤0的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：∵不等式ax2﹣bx+c≥0的解集为{x|1≤x≤2}，∴a＜0，且1+2＝，1×2＝，即＝3，＝2，∴c＜0，b＜0，∴＝，＝，∴不等式cx2+bx+a≤0转化为x2+x+≥0，即为x2+x+≥0，即为（2x+1）（x+1）≥0，解得x≤﹣1或x≥﹣；∴不等式cx2+bx+a≤0的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知向量＝（4，3），＝（2，﹣1），O为坐标原点，P是直线AB上一点．（Ⅰ）若点P是线段AB的中点，求向量与向量夹角θ的余弦值；（Ⅱ）若点P在线段AB的延长线上，且||＝||，求点P的坐标．【考点】9L：线段的定比分点．【解答】解：（Ⅰ）∵点P是线段AB的中点，∴点P的坐标为，即（3，1），则．∴＝＝．（Ⅱ）设P（x，y），由点P在线段AB的延长线上，且，得，∴，即，解得：，∴点P的坐标为（﹣2，﹣9）．18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为S n，且S2＝3，S4＝15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}是等差数列，且b3＝a3，b5＝a5，试求数列{b n}的前n项和M n．【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由题意分析知q≠1．由S2＝3，S4＝15得：，得1+q2＝5，得q2＝4，由题意q＞0，所以q＝2．将q＝2代入（1）式得a1＝1，所以．（Ⅱ）设数列{b n}的公差为d，∵，又{b n}为等差数列，∴b5＝b3+（5﹣3）d，即16＝4+2d，解得d＝6，又由b3＝b1+（3﹣1）d，得b1＝﹣8∴＝3n2﹣11n．19．（12分）一个化肥厂生产甲种混合肥料1车皮、乙种混合肥料1车皮所需要的主要原料如表：现库存磷酸盐8吨、硝酸盐60吨，计划在此基础上生产若干车皮的甲、乙两种混合肥料． （Ⅰ）设x ，y 分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数，试列出x ，y 满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）若生产1车皮甲种肥料，利润为3万元；生产1车皮乙种肥料，利润为2万元．那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，能够产生最大利润？最大利润是多少？ 【考点】7C ：简单线性规划．【解答】解：（Ⅰ）由题意，x ，y 满足的数学关系式为：即．在直角坐标系中可表示成如图所示的平面区域（阴影部分）． （Ⅱ）设生产甲种肥料x 车皮，乙种肥料y 车皮， 能够产生利润z 万元．则目标函数为z ＝3x +2y ， 可行域如图所示： 将z ＝3x +2y 变形为，由图可知当直线经过可行域上的点M 时，截距最大．解方程组，解的点M 的坐标为：x ＝1，y ＝2． ） 所以z max ＝3x +2y ＝3×1+2×2＝7．答：生产甲种肥料1车皮、乙种肥料2车皮， 能够产生最大利润，最大利润是7万元．20．（12分）已知向量＝（，cos），＝（cos，1），且f（x）＝•．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣π，π]上的最大值和最小值及取得最值时x的值．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【解答】解：（Ⅰ）…（1分）＝…（2分）＝…（3分）＝＝…（5分）∴f（x）的最小正周期…（6分）（Ⅱ）∵x∈[﹣π，π]，∴，…（7分）当，即x＝﹣π时，；…（9分）当，即时，…（11分）∴当x＝﹣π时，函数f（x）取得最小值﹣1；当时，函数f（x）取得最大值．…（12分）21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝a cos c+c sin A．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）当a＝3时，求△ABC周长的取值范围．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【解答】解：（Ⅰ）由及正弦定理得，，…（1分）∵B＝π﹣（A+C），∴，…（2分）∴，…（3分）∴，∵C∈（0，π），∴sin C≠0，…（4分）∴易知cos A≠0，∴，…（5分）∵A∈（0，π）∴．…（6分）（Ⅱ）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得9＝b2+c2﹣bc，…（7分）∵b2+c2≥2bc，当且仅当b＝c时，“＝”成立，…（8分）∴9＝b2+c2﹣bc≥bc，即bc≤9，当且仅当b＝c＝3时，“＝”成立，…（9分）又由9＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，得（b+c）2＝9+3bc≤36，∴b+c≤6，…（10分）∵b+c＞3，∴6＜a+b+c≤9，…（11分）∴求△ABC周长的取值范围（6，9]．…（12分）22．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，前n和为S n，且S n＝（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{a n}是等差数列；（Ⅱ）设b n＝a n•3n，求数列{b n}的前n项的和T n．【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．【解答】解：（Ⅰ）证明：当n≥2时，．…①…②①﹣②得：，…（1分）整理得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）＝（a n+a n﹣1）．…（2分）∵数列{a n}的各项均为正数，即a n+a n﹣1≠0，∴a n﹣a n﹣1＝1（n≥2）．…（3分）当n＝1时，，得，由a1＞0，得a1＝2，…（4分）∴数列{a n}是首项为2，公差为1的等差数列．…（5分）（Ⅱ）由（1）得a n＝2+（n﹣1）×1＝n+1…（6分）∴…（7分）…（1）…（8分）…+n×3n+（n+1）×3n+1…（2）…（9分）（1）﹣（2）得…（10分）∴…（11分）∴…（12分）。
广东省广州市海珠区2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题(含答案)
海珠区2023学年第二学期期末教学质量检测高一数学本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B 铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在中，，则（ ）．A ．B ．C ．D ．2．下列的表述中，正确的是（）．A ．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直B ．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行C ．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直D ．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行3．若两个非零向量，的夹角为，且满足，，则（ ）．A ．B ．C ．D ．24．有一组从小到大排列的样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，，，则（）．A ．数据，，…，的标准差不小于数据，，…，的标准差B ．数据，，…，的中位数与数据，，…，的中位数相等C ．若数据，，…，的方差为m ，则数据，，…，的方差为amD ．若数据，，…，的极差为d ，则数据，，…，的极差为ABC △3BE EC =AE = 1233AB AC+2133AB AC+1344AB AC+3144AB AC+a b θ2a b = ()3a b a +⊥cos θ=23-13-13231x 2x n x 1y 2y n y ()1,2,,i i y ax b i n =+=L 0a >0b ≠2y 3y 1n y -1y 2y n y 2y 3y 1n y -1y 2y n y 1x 2x n x 1y 2y n y 1x 2x n x 1y 2y n y ad b+5．为了得到的图象，只需把正弦曲线上所有点（ ）．A．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变B ．先向右平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变C ．先向左平移个单位长度，横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变D ．先向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变6．已知的外接圆圆心为O ，且，在上的投影向量为（）．AB ．C ．D7．已知，，且，则（ ）．A ．B ．C ．D ．8．通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm ）来判断降雨程度，其中小雨，中雨，大雨，暴雨．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的，则当天的降雨等级是（）．A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量，，则下列说法中正确的是（ ）．A ．若，则B ．若，则2πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π3122π32π3122π3ABC △2AO AB AC =+ AB = BA BC 34BC58BCBCπ0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1tan tan cos αββ+=π22βα-=π22βα+=π22αβ-=π22αβ+=()10mm <()10mm 25mm ~()25mm 50mm ~()50mm 100mm ~1cm 10mm =16()2,a m =()1,3b =- a b +=4m =a b a b +=-23m =C ．若，则D ．若向量，的夹角为钝角，则m 的取值范围是10．已知复数，，则下列说法中正确的是（ ）．A ．B ．若，则C ．若，则D ．11．在正三棱柱中，已知动点P 满足，，，且，则下列说法中正确的是（ ）．A ．若，则三棱锥的体积是定值B ．若，则三棱锥的体积是定值C ．若，则三棱锥的体积是三棱柱的体积的D ．若，则直线AP 与平面三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数z 满足，则__________．13．某班有男学生20人，女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组．对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表：课后阅读时长平均数（小时）方差男生组251女生组261.1则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为__________，方差为__________．14．已知点G ，O 在所在平面内，满足，，且，BC 的长为__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在棱长为2的正方体中，点E ，P 分别为CD ，的中点．a b ∥6m =-a b 2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1z 2z 1212z z z z +≤+2121z z z =12z z =1212z z z z -=+120z z =1122z z z z =111ABC A B C -1BP BC BB λμ=+[]0,1λ∈[]0,1μ∈1AB AA =1λ=1B AB P -1μ=1B AB P -12λμ==1B AB P -111ABC A B C -161λμ+=11BB C C ()1i 2i z +=+z =ABC △0GA GB GC ++= OA OB OC ==3AG AO ⋅= AG =1111ABCD A B C D -11A B（1）求证：直线平面；（2）求点A 到平面的距离．16．（15分）一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下：分组频数频率100.1x 0.15200.230y 150.1550.0550.05合计1001.00（1）请求出频率分布表中x ，y 的值，并画出频率分布直方图；（2）请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）；（3）为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过60％的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．17．（15分）已知甲船在A 海岛正北方向海里的B 处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行．（1）甲船航行3小时到达C 处，求AC ；DP ∥1AB E 1BB E [)12,14[)14,16[)16,18[)18,20[)20,22[)22,24[)24,2660︒（2）在A 海岛西偏南方向6海里的E 处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A 海岛正东方向的D 处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A 海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE 方向航行前往救援？请说明理由．18．（17分）在四棱锥中，侧面底面ABCD ，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为矩形，M 是PD 的中点，且PB 与平面ABCD（1）求证：平面PCD ；（2）求直线AM 与直线PB 所成角的余弦值；（3）求平面ABM 与平面PBC 所成二面角的正弦值．19．（17分）如图，E 为线段AD 的中点，C 为DA 延长线上的一点，以A 为圆心，AE 长度为半径作半圆，B 为半圆上一点，连接BC ，BD ．（1）若，以BD 为边作正三角形BFD ，求四边形ABFD 面积的最大值：（2）在中，记，，的对边分别为a ，b ，c ，且满足．①求证：；②求的最小值．60︒P ABCD -PAD ⊥AM ⊥2AD =ABC △BAC ∠ABC ∠ACB ∠()2c b b a +=2BAC ABC ∠=∠4cos c bb ABC+∠参考答案1.C2.B3.A4.B5.C6.B7.D8.B9.BC10.AD11.ACD12.10213.25.6；1.314.3215.(1)证明：因为A1B1=DC又因为点P，E分别为A1B1，CD的中点，∴P B1//DE，P B1=DE∴四边形P B1ED为平行四边形．∴DP//E B1，又E B1⊂平面AE B1，DP⊄平面AE B1∴DP//平面AE B1．(2)解：由ABCD−A1B1C1D1是正方体，∴点E到平面AB B1A1的距离是BC=2，又S△ABB1=12×2×2=2，设三棱锥E−AB B1体积为V，∴V=13×BC×S△ABB1=13×2×2=43，在△B B1E中，BE=B C2+C E2=22+12=5，B B1⊥BE，∴SΔB B1E =12×B B1×BE=12×2×5=5，又三棱锥B1−ABE的体积就是三棱锥B−A B1E的体积，设点A到平面B B1E的距离为ℎ，则43=V=13×SΔB B1E×ℎ=13×5×ℎ，解得ℎ=455，∴点A到平面B B1E的距离为455．16.解：(1)x=100−(10+20+30+15+5+5)=15，y=1.00−(0.1+0.15+0.2+0.15+0.05+0.05)=0.3频率分布表中，“频数”列的x为15，“频率”列的y为0.3频率分布直方图如下：(2)设这100所加盟店去年销售总额的平均数为x则x=1100(13×10+15×15+17×20+19×30+21×15+23×5+25×5)=1100×1820=18.2估计这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2(3)由频率分布直方图可知，从右往左，第一至第五组的频率分别为0.05，0.05，0.15，0.3，0.2，前4组的频率和为0.55，这五组的频率和为0.75．则可知，“正好60%的加盟店获评优秀加盟店称号”的“评选标准”值x∈[16,18)且x满足(18−x)×0.1+0.55=0.6解得x=17.5．要满足公司的要求，建议本年度“评选标准”不低于17.517.(1)解：由已知得，AB=153，BC=7×3=21，∠ABC=30∘由A C2=A B2+B C2−2AB⋅BC⋅cos30∘=(153)2+212−2×153×21×32解得AC=171=319即甲船航行3小时后距离海岛AC=319海里．(2)解：甲船到D处时，△ABD为∠BAD=90∘，∠ABD=30∘的直角三角形又AB=153，故AD=15在ΔADE中，AE=6，AD=15，∠EAD=120∘所以E D2=A E2+A D2−2AE⋅AD⋅cos∠EAD=62+152−2×6×15×(−12)=351由EDsin120∘=ADsin∠AED，ED=339，得sin∠AED=51326过A向ED作垂线交ED于F，在Rt△AEF中，AF=AE⋅sin∠AED=6×51326=22513又3=11713，所以AF>3故甲船沿DE方向前往救援时，始终航行在航行安全区域18.(1)证明：∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD又∵侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，∴CD⊥侧面PAD又∵AM⊂侧面PAD，∴AM⊥CD又∵侧面PAD为正三角形，M是PD的中点，∴AM⊥PD又∵PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD∴AM⊥平面PCD．(2)设AD的中点为G，连接PG∵ΔPAD为正三角形，∴PG ⊥AD又∵面PAD ⊥面ABCD ，交线为AD ∴直线PG ⊥底面ABCD∴PB 与平面ABCD 所成角即∠PBG 设AD =1，AB =m 则PG =AM =32，PB = m 2+12由sin ∠PBG =64，解得m =1连接AC ，BD ，AC ∩BD =F ，∵M 为PD 中点，底面ABCD 为矩形∴MF//PB ，MF =12PB =22，AF =12AC =22在ΔAMF 中，∴cos ∠AMF =AM 2+MF 2−AF 22×AM ×MF= 64故直线AM 与直线PB 所成角的余弦值等于64．(3)以AP ，AD 为邻边构造▱ADQP ，则M 是AQ 的中点连接CQ ，则四边形BCQP 是平行四边形，又N 为PC 中点故B ，N ，Q 三点共线，平面ABM 与平面ABQ 为同一平面;故所求二面角为二面角P−BQ−A 或二面角C−BQ−A易知二面角P−BQ−A 与二面角C−BQ−A 的大小互补，故其正弦值相等．由(1)(2)知PM ⊥平面ABQ ，BQ ⊂平面ABQ ∴PM ⊥BQ在Rt △BAQ 中，过M 作MT ⊥BQ ，垂足为T ，则BQ ⊥平面PMT 连接PT ，则PT ⊥BQ ，故二面角P−BQ−A 的平面角为∠PTM 由Rt △BAQ ∽Rt △MTQ ，得AB BQ =MTMQ 由(2)可知，设AD =1，则MP =12，AQ =2MQ = 3，∴BQ = A B 2+A Q 2=2，得MT =34在Rt △MTP 中，PT =M P 2+M T 2=74所以，sin ∠PTM =MPPT =2 77故平面ABM与平面PBC所成的二面角的正弦值为277．19.解：过B向CD作垂线，垂足为G，设∠BAD=θ(0<θ<π)则BG=sinθ，B D2=A B2+A D2−2×AB×AD×cosθ=5−4cosθSΔABD=12×2×sinθ=sinθ，SΔBFD=34B D2=34(5−4cosθ)∴SABFD =SΔABD+SΔBFD=sinθ+34(5−4cosθ)=sinθ−3cosθ+534=534+2sin(θ−π3)∵0<θ<π，∴−π3<θ−π3<2π3∴当θ−π3=π2，即θ=5π6时，S ABFD有最大值为=534+2 ①证明：在△ABC中，由已知及余弦定理，得(b+c)b=a2=b2+c2−2bc cos∠BAC即b=c−2b cos∠BAC 根据正弦定理，得sin∠ABC=sin∠ACB−2sin∠ABCcos∠BAC11又∠ACB =π−∠ABC−∠BAC ，故sin ∠ACB =sin(∠ABC +∠BAC)所以sin ∠ABC =sin(∠ABC +∠BAC)−2sin ∠ABCcos ∠BAC 得sin ∠ABC =sin(∠BAC−∠ABC)又∠BAC ∈(0,π)，∠ABC ∈(0,π)故∠ABC =π−(∠BAC−∠ABC)，得∠BAC =π(舍去)或∠ABC =∠BAC−∠ABC ，即∠BAC =2∠ABC ②解：由 ①∠BAC =2∠ABC ，得∠BAC +∠ABC =3∠ABC ∈(0,π)∴∠ABC ∈(0,π3)，cos ∠ABC ∈(12,1)∴c +4b b cos ∠ABC =sin ∠ACB +4sin ∠ABC sin ∠ABC cos ∠ABC =sin (π−3∠ABC)+4sin ∠ABCsin ∠ABC cos ∠ABC=sin (3∠ABC)+4sin ∠ABCsin ∠ABC cos ∠ABC=sin (2∠ABC +∠ABC)+4sin (2∠ABC−∠ABC)sin ∠ABC cos ∠ABC=4cos 2∠ABC +3cos ∠ABC=4cos ∠ABC +3cos ∠ABC≥2 4cos ∠ABC ×3cos ∠ABC =4 3当且仅当cos ∠ABC = 32，即∠ABC =π6时，等号成立∴当∠ABC =π6时，c +4bb cos ∠ABC 的最小值为4 3。
广东省海珠区2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
广东省海珠区2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一:选择题，给的四个选项中，只有一个是正确的．1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）A. 出租车车费与出租车行驶的里程B. 商品房销售总价与商品房建筑面积C. 铁块的体积与铁块的质量D. 人的身高与体重【答案】D【解析】【分析】根据函数的概念来进行判断。
【详解】对于A选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；对于B选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；对于C选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；对于D选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系，因人而异，D选项中两个变量之间的关系不是函数关系。
故选：D。
【点睛】本题考查函数概念的理解，充分理解两个变量之间是“一对一”或“多对一”的形式，考查学生对这些概念的理解，属于基础题。
2.在某次测量中得到A样本数据如下：43,50,45,55,60，若B样本数据恰好是A样本每个数都增加5得到，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A. 众数B. 中位数C. 方差D. 平均数【答案】C【解析】【分析】分别计算出A、B两个样本数据的众数、中位数、方差和平均数，再进行判断。
【详解】A样本的数据为：43、50、45、55、60，没有众数，中位数为50，平均数为50.6，方差为39.44，B样本的数据为：48、55、50、60、65，没有众数，中位数为55，平均数为55.6，方差为39.44，因此，两个样本数据的方差没变，故选：D。
【点睛】本题考查样本的数据特征，考查对样本数据的众数、中位数、平均数以及方差概念的理解，熟练利用相关公式计算这些数据，是解本题的关键，属于中等题。
3.以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x、y的值分别为（）A. 55，B. 2,5C. 88，D. 58，【答案】D【解析】【分析】将甲组和乙组数据从小到大列出来，然后利用位数的定义和平均数的公式列方程组，解出x和y的值。
2020-2021学年广东省广州市白云区、海珠区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年广东省广州市白云区、海珠区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．5D．2．已知向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且⊥，则x＝（）A．﹣9B．9C．﹣4D．43．高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100．则在男生中抽取的样本量为（）A．48B．51C．50D．494．如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△A'B′C′为等腰直角三角形，其中O′与A′重合，A'B′＝6，则△ABC的面积是（）A．9B．9C．18D．185．已知||＝6，||＝4，与的夹角为60°，则（+2）•（﹣3）＝（）A．﹣72B．72C．84D．﹣846．某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一批书籍作为阅读学习之用，其中一类是4本不同的红色经典小说类书籍，另一类是2本不同的党史类书籍，两类书籍合计共6本．现刘老师从这6本书中随机抽取2本阅读，则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是（）A．B．C．D．7．如图，已知＝，＝，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，则向量＝（）A．（+）B．2（+）C．（﹣）D．2（﹣）8．已知图1是棱长为1的正六边形ABCDEF，将其沿直线FC折叠成如图2的空间图形F′A′E′﹣C′B′D′，其中A′E′＝，则空间几何体F'A'E'﹣CB'D'的体积为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（）A．这组数据的平均数是8B．这组数据的极差是4C．这组数据的中位数是8.5D．这组数据的方差是210．已知复数z＝cosα+（sinα）i（α∈R）（i为虚数单位），下列说法正确的有（）A．当α＝﹣时，复平面内表示复数z的点位于第二象限B．当α＝时，z为纯虚数C．|z|最大值为D．z的共轭复数为＝﹣cosα+（sinα）i（α∈R）11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（）A．该圆台轴截面ABCD面积为3cm2B．该圆台的体积为cm3C．该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC所在平面内点，满足x+y+z＝0，下列说法正确的有（）A．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的重心B．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的外心C．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的内心D．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的垂心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：k）如下：100，120，125，165，430，190，175，234，425，310这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为．14．天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是．15．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝4，VC＝2，则二面角A﹣VC﹣B的余弦值为．16．如图，△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别为线段AC，AB上一点，满足AM：MC＝1：2，AN：NB＝1：3，CN与BM的交点为P，则线段AP的长度为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．现有两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球．（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率．18．已知角A是△ABC的内角，若＝（sin A，cos A），＝（1，﹣1）．（1）若，求角A的值；（2）设f（x）＝，当f（x）取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）．19．如图，直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，D是AB的中点．（1）求证：直线BC′∥平面A'CD；（2）若AC＝CB，求异面直线AB'与CD所成角的大小．20．2021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速（km/h）分成六段[90，95），[95，100），[100，105），[105，110），[110，115），[115，120]，得到如图的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数；（2）现从平均车速在区间[90，100）的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的平均车速都在区间[95，100）上的概率；（3）出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间[115，120]的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全．假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概率？21．如图，PA垂直于⊙O所在的平面，AC为⊙O的直径，AB＝3，BC＝4，PA＝3，AE ⊥PB，点F为线段BC上一动点．（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；（2）当点F移动到C点时，求PB与平面AEF所成角的正弦值．22．为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∠MCN＝30°（1）若AM＝20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；（2）若鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，求∠ACM；（3）当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．5D．解：∵z＝，∴|z|＝||＝，故选：A．2．已知向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且⊥，则x＝（）A．﹣9B．9C．﹣4D．4解：∵，∴，解得x＝9．故选：B．3．高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100．则在男生中抽取的样本量为（）A．48B．51C．50D．49解：高一年级共有510+490＝1000人，所以男生抽取的人数为人．故选：B．4．如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△A'B′C′为等腰直角三角形，其中O′与A′重合，A'B′＝6，则△ABC的面积是（）A．9B．9C．18D．18解：在斜二测直观图中，由△A'B′C′为等腰直角三角形，A'B′＝6，可得A'C′＝，还原原图形如图：则AB＝6，AC＝6，则＝．故选：D．5．已知||＝6，||＝4，与的夹角为60°，则（+2）•（﹣3）＝（）A．﹣72B．72C．84D．﹣84解：∵||＝6，||＝4，与的夹角为60°，∴＝，则（+2）•（﹣3）＝＝36﹣12﹣6×16＝﹣72．故选：A．6．某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一批书籍作为阅读学习之用，其中一类是4本不同的红色经典小说类书籍，另一类是2本不同的党史类书籍，两类书籍合计共6本．现刘老师从这6本书中随机抽取2本阅读，则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是（）A．B．C．D．解：从6本书中随机抽取2本，共有种取法，若两本书来自同一类书籍则有种取法，所以两本书恰好来自同一类书籍的概率是．故选：C．7．如图，已知＝，＝，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，则向量＝（）A．（+）B．2（+）C．（﹣）D．2（﹣）解：∵＝，＝，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，∴AB是△MNS的中位线，∴＝2＝2（﹣）＝2（﹣）．故选：D．8．已知图1是棱长为1的正六边形ABCDEF，将其沿直线FC折叠成如图2的空间图形F′A′E′﹣C′B′D′，其中A′E′＝，则空间几何体F'A'E'﹣CB'D'的体积为（）A．B．C．D．解：如图，过A′作A′G⊥C′F′，垂足为G，连接E′G，则E′G⊥C′F′，过B′作B′H⊥C′F′，垂足为H，连接D′H，则D′H⊥C′F′，可得平面A′GE′∥平面B′HD′，即三棱柱A′GE′﹣B′HD′为直三棱柱．∵A′F′＝1，∠A′F′G＝60°，可得，，同理求得，，又A′E′＝，∴A′G2+E′G2＝A′E′2，∴空间几何体F'A'E'﹣CB'D'的体积为V＝＝．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（）A．这组数据的平均数是8B．这组数据的极差是4C．这组数据的中位数是8.5D．这组数据的方差是2解：对于A，这组数据的平均数是（7+8+9+10+6+8）＝8，故A正确；对于B，这组数据的极差是10﹣6＝4，故B正确；对于C，这组数据从小到大为6，7，8，8，9，10，∴这组数据的中位数是8，故C错误；对于D，这组数据的方差是S2＝[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2]＝，故D错误．故选：AB．10．已知复数z＝cosα+（sinα）i（α∈R）（i为虚数单位），下列说法正确的有（）A．当α＝﹣时，复平面内表示复数z的点位于第二象限B．当α＝时，z为纯虚数C．|z|最大值为D．z的共轭复数为＝﹣cosα+（sinα）i（α∈R）解：对于A，当α＝﹣时，z＝cos（）+[sin（）]i＝﹣，复平面内表示复数z的点位于第四象限，故A错误；对于B，当α＝时，z＝cos+（sin）i＝，为纯虚数，故B正确；对于C，，最大值为，故C正确；对于D，z的共轭复数为＝cosα﹣（sinα）i，故D错误．故选：BC．11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（）A．该圆台轴截面ABCD面积为3cm2B．该圆台的体积为cm3C．该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm解：由AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，可得CD＝4，高O1O2＝＝，则圆台轴截面ABCD面积为（2+4）×＝3cm2，故A正确；圆台的体积为V＝π（1+4+2）×＝πcm3，故B正确；圆台的母线AD与下底面所成的角为∠ADO1，其正弦值为，所以∠ADO1＝60°，故C错误；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，侧面展开图的圆心角为θ＝＝π，设AD的中点为P，连接CP，可得∠COP＝90°，OC＝4，OP＝2+1＝3，则CP＝＝5，所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm，故D正确．故选：ABD．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC所在平面内点，满足x+y+z＝0，下列说法正确的有（）A．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的重心B．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的外心C．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的内心D．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的垂心解：若x＝y＝z＝1则，∴．取AC中点D，连接OD，∴．∴O在△ABC的中线BD上，同理可得O在其它两边的中线上，∴O是△ABC的重心．若x＝a，y＝b，z＝c，则有，延长CO交AB于D，则，，∴a（）+b（）+c＝，设＝k，则（ka+kb+c）+（a+b）＝，∵与共线，与，不共线，∴ka+kb+c＝0，a+b＝，∴，∴CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线．∴O是△ABC的内心．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：k）如下：100，120，125，165，430，190，175，234，425，310这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为212．解：根据题意，将10个数据从小到大排列：100，120，125，165，175，190，234，310，425，430；10×60%＝6，则该组数据的第60百分位数为＝212，故答案为：212．14．天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是0.38．解：根据题意，设事件A表示甲地下雨，事件B表示乙地下雨，P（A）＝0.2，P（B）＝0.3，甲，乙两地只有一个地方降雨的概率P＝P（A）+P（B）＝0.2×（1﹣0.3）+（1﹣0.2）×0.3＝0.38；故答案为：0.38．15．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝4，VC＝2，则二面角A﹣VC﹣B的余弦值为．解：取VC的中点D，连接AD、BD，因为VA＝VB＝AC＝BC＝4，所以AD⊥VC，BD⊥VC，所以∠ADB即为二面角A﹣VC﹣B的平面角，因为VA＝VB＝AC＝BC＝4，VC＝2，所以AD＝BD＝，而AB＝4，在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB＝＝，故答案为：．16．如图，△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别为线段AC，AB上一点，满足AM：MC＝1：2，AN：NB＝1：3，CN与BM的交点为P，则线段AP的长度为．解：以A为原点，AB为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（，），M（，），N（，0），所以直线BM的方程为y＝（x﹣1），即x+5y﹣＝0，直线CN的方程为y＝（x﹣），即4x﹣4y﹣＝0，联立，解得，即P（，），所以AP＝＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．现有两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球．（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率．解：（1）两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球，则试验的样本空间Ω＝{（R1，R2），（R1，W1），（R1，W2），（R2，W1），（R2，W2），（W1，W2）}．（2）试验的样本空间Ω＝{（R1，R2），（R1，W1），（R1，W2），（R2，W1），（R2，W2），（W1，W2）}，包含6个样本点，其中恰好抽到一个红球一个白球包含4个样本点，∴恰好抽到一个红球一个白球的概率P＝＝．18．已知角A是△ABC的内角，若＝（sin A，cos A），＝（1，﹣1）．（1）若，求角A的值；（2）设f（x）＝，当f（x）取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）．解：（1）∵角A是△ABC的内角，∴0＜A＜π，又＝（sin A，cos A），＝（1，﹣1）且，∴﹣，即2（sin A+）＝0，∴sin（A+）＝0，∵0＜A＜π，∴＜A+＜，则A+＝π，即A＝；（2）f（x）＝＝＝，∵＜A﹣＜，∴要使f（x）取得最大值，则，即A＝．∴＝（，cos）＝（，﹣），∴在上的投影向量为＝•（1，﹣1）＝（2，﹣2）．19．如图，直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，D是AB的中点．（1）求证：直线BC′∥平面A'CD；（2）若AC＝CB，求异面直线AB'与CD所成角的大小．解：（1）证明：连接AC′，交AC于点O，连接DO，∵直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，ACC′A′是矩形，∴O是AC′中点，∵D是AB的中点，∴OD∥BC′，∵BC′⊄平面A'CD，OD⊂平面A'CD，∴直线BC′∥平面A'CD；（2）解法一：∵AC＝CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB，∵直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AA′⊥平面ABC，∴CD⊂平面ABC，∴AA′⊥CD，∵AB∩AA′＝A，∴CD⊥平面ABB′A′，∵AB′⊂平面ABB′A′，∴AB′⊥CD，∴异面直线AB'与CD所成角的大小为90°．解法二：∵AC＝CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设CD＝c，AB＝a，AA′＝b，则A（﹣，0，0），B′（，0，b），C（0，c，0），D（0，0，0），＝（a，0，b），＝（0，﹣c，0），∵•＝0，∴AB′⊥CD，∴异面直线AB'与CD所成角的大小为90°．20．2021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速（km/h）分成六段[90，95），[95，100），[100，105），[105，110），[110，115），[115，120]，得到如图的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数；（2）现从平均车速在区间[90，100）的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的平均车速都在区间[95，100）上的概率；（3）出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间[115，120]的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全．假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概率？解：（1）设平均车速的中位数的估值为x，则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣105.0）＝0.5x＝107.5故平均车速的中位数为107.5．（2）车速在[90，95）内的有0.01×40×5＝2，车速在[95，100）的有0.02×40×5＝4，故抽取的2辆汽车的平均车速都在区间[95，100）上的概率．（3）设事件A为“汽车收到短信提醒”，则，∵汽车的速度不受影响，∴连续两辆汽车都收到短信体现的概率P＝．21．如图，PA垂直于⊙O所在的平面，AC为⊙O的直径，AB＝3，BC＝4，PA＝3，AE ⊥PB，点F为线段BC上一动点．（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；（2）当点F移动到C点时，求PB与平面AEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为PA垂直于⊙O所在的平面，即PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又AC为⊙O的直径，所以AB⊥BC，因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE，因为AE⊥PB，BC∩PB＝B，所以AE⊥平面PBC，又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．（2）解：因为AB＝3，PA＝3，所以PB＝＝3，又AE⊥PB，所以AE＝＝，由AB2＝BE•PB，可得BE＝，如图，过点E作EG∥PA交AB于点G，则＝，可得EG＝，又BC＝4，所以EC＝＝，所以S△ABC＝AB•BC＝6，S△AEC＝AE•EC＝，设点B到平面AEC的距离为h，由V E﹣ABC＝V B﹣AEC，可得S△ABC•EG＝S△AEC•h，解得h＝，所以当点F移动到C点时，PB与平面AEF所成角的正弦值为＝．22．为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∠MCN＝30°（1）若AM＝20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；（2）若鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，求∠ACM；（3）当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？解：（1）∵AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∴tan B＝＝，∴B＝30°，∴A＝60°，∴AB＝2AC＝80，在△ACM中，由余弦定理可得CM2＝AC2+AM2﹣2AC•AM•cos A＝1600+400﹣2×40×20×＝1200，则CM＝20，∴AC2＝AM2+CM2，∴CM⊥AB，∵∠MCN＝30°，∴MN＝CM tan30°＝20，∴CN＝2MN＝40，∴护栏的长度（△MNC的周长）为20+40+20＝60+20；（2）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），因为鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，所以，即CN＝40sinθ，…在△CAN中，由，得CN＝，…从而40sinθ＝，即sin2θ＝，由0°＜2θ＜120°，得2θ＝45°，所以θ＝22.5°，即∠ACM＝22.5°．…（3）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），由（2）知CN＝，又在△ACM中，由，得CM＝，…所以S△CMN＝＝，…所以当且仅当2θ+60°＝90°，即θ＝15°时，△CMN的面积取最小值为km2．…（16分）。
广东省珠海市高一下册第二学期期末考试数学试题含答案【精品】
广东省珠海市2019-2020学年第二学期期末普通高中学生学业质量监测 高一数学试题注意事项：试卷满分为150分，考试时间为120分钟，考试内容为：必修三、必修四参考公式：对于线性回归方程：ˆˆˆybx a =+中的斜率 ˆb ，ˆa 截距由以下公式给出： ()1122211ˆˆ((ˆ))nni i i ii i nn iii i x x y y x ynxyb x x x nx ay bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑，其中,x y 表示样本均值一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列函数式奇函数的是 （ ） A.y x =tan y x = C ．cos y x =D ．sin y x =2. 平面向量AB AC uu u r uuu r-=（ ）A. BA uu rB. BC uu u rC. CB uu rD. AB uu u r3. 把形状、质量、颜色等完全相同，标号分别为1,2,3,4,5,6的6个小球放入一个不透明的袋子中，从中任意抽取一个小球，记下号码为x ，把第一次抽取的小球放回去之后再从中抽取一个小球，记下号码为y ，设“乘积6xy =”为事件A ，则()P A =（ ）A. 118B. 112C. 19D. 164. 已知向量(1,2),(,3)a b x r r ==-，若a b r rP ，则x =（ ）A. 32-B. 23C. 32D.6 5.奥地利遗传学家孟德尔1856年用豌豆作实验时，他选择了两种性状不同的豌豆。
一种是子叶颜色为黄色，种子性状为圆形，茎的高度为长茎，另一种是子叶颜色为绿色，种子性状为皱皮，茎的高度为短茎。
我们把纯黄色的豌豆种子的两个特征记作YY ，把纯绿色的豌豆的种子的两个特征记作yy ，实验杂交第一代收获的豌豆记作Yy ，第二代收获的豌豆出现了三种特征分别为YY ，Yy ，yy ，请问，孟德尔豌豆实验第二代收获的有特征Yy 的豌豆数量占总收成的（ ） A.14 B. 13 C. 12 D. 346. 程序"int "9100/101010*INPUT please input an eger x IF x and x THEN a x b xMOD x b a PRINTx END IF END><===+读上面的程序回答：若先后输入两个数53、125，则输出的结果是（ ）A. 53 125B. 35 521C. 53D. 357. 己知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC uuu r uuu r uuu r r ++=，若存在实数m 使AB AC mAM uu u r uuu r uuu r+=成立，则m =（ ）A.2B. 3C. 4D. 5 8.为比较甲、乙两地某月14时得气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑一下结论：9 8 6 1 8 9 1 1 2 0 1 2甲 乙①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的平均气温的标准差； ④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的平均气温的标准差； 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（ ）A ．①③B ．①④ C. ②③ D ．②④9.已知矩形ABCD 中，114,3,,42AB AD DM DC BN NC uu u r uuu r uuu u r uuu r uuu r uuu r====，则cos MAN ∠的值是为（ ）A.170 B. 170 C. 2D. 65 10.有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：A. ˆ 2.352147.767yx =-+ B. ˆ 2.352127.765y x =-+ C ．ˆ 2.35275.501yx =+ D ．ˆ 2.35263.674y x =+ 11. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为弧田面积21)2(弦矢+矢=⨯，弧田（如图所示）由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，半径为6 1.73≈）（ ）A. 16平方米B. 18平方米C. 20平方米D. 24平方米12. 右边的程序框图是用“二分法”求方程220x -=的近似解的算法。
2022-2023学年广东省珠海市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省珠海市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若z （1﹣i ）＝1﹣5i ，则z =（ ） A ．﹣2﹣2iB ．﹣2+2iC ．3﹣2iD ．3+2i2．如图所示，△ABC 的直观图是边长为4的等边△A 'B 'C '，则在原图中，BC 边上的高为（ ）A ．4√6B ．2√6C ．2√3D ．√33．sin2023°cos17°+cos2023°cos73°＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√324．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值是（ ） A ．0B ．12C ．3√1010D ．√10105．已知α∈(0，π2)，1﹣cos2α﹣2sin2α＝0，则cos α＝（ ） A ．15B ．√55C ．45D ．2√556．在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥AD ，向量BC →与AD →的夹角为2π3，若AB ＝6，BC ＝AD ＝3，则该四面体外接球的表面积为（ ） A ．18πB ．36πC ．54πD ．72π7．已知当x ＝θ时，函数f （x ）＝2cos x ﹣sin x 取得最大值，则cos2θ＝（ ） A ．15B ．−15C ．45D ．358．在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，P 是△ABC 的外接圆上的一点，若AP →=mAB →+nAC →，则m +n 的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．12D ．√3二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知复数1−i z=−i ，则下列命题正确的是（ ） A ．z ＝﹣1+iB ．|z|=√2C ．复数z 的虚部为iD ．复数z 的共轭复数在复平面上对应的点为（1，﹣1）10．下列说法正确的有（ ）A ．已知a →=(−1，2)，b →=(2，x)，若a →⊥b →，则x ＝1 B ．已知b →≠0→，若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →C ．若|a →|≠|b →|，则a →一定不与b →共线D ．若AB →=(3，1)，AC →=(m −1，m)，∠BAC 为钝角，则实数m 的范围是m ＜34 11．已知x ∈（0，π），sinx +cosx =−13，则下列结论正确的是（ ） A ．sin(x +π4)=−√23 B ．sin2x =−89C ．sinx −cosx =−√173D ．﹣1＜tan x ＜012．如图，矩形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且BC ＝2AB ＝2，BF ∩AE ＝O ，现将△ABE 沿AE 向上翻折，使B 点移到P 点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A ．CF ⊥OPB ．存在点P ，使得PE ∥CFC ．存在点P ，使得PE ⊥EDD ．三棱锥P ﹣AED 的体积最大值为√26三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13．已知复数z 满足3z +i ＝6﹣2i ，则|z 2|＝ ．14．已知a →⋅b →=16，e →是与b →方向相同的单位向量，若a →在b →上的投影向量为8e →，则|b →|= ． 15．已知2cosα−1=2√3sinα，则cos(2α+2π3)= ．16．在△ABC 中，∠A ＝60°，BC =√3，O 为△ABC 的外心，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，且OD →2+OE →2+OF →2=34，则OA →⋅OB →+OB →⋅OC →+OC →⋅OA →= ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，其中a →=(1，√3)．（1）若|c →|=1，且c →∥a →，求c →坐标；（2）若b →为单位向量，且(a →+b →)⊥(2a →−5b →)，求a →与b →的夹角．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝P A ＝2，且直线PD 与底面ABCD 所成的角为π4．（1）求证：平面PBD ⊥平面P AC ； （2）求点C 到平面PBD 的距离．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设b +c ＝2a （cos B +cos C ）． （1）求角A ；（2）若BD →=2DC →，且AD ＝2，求△ABC 面积的最大值． 20．（12分）已知函数f(x)=sin 2x −√3cosxcos(π2+x)． （1）设θ∈[0，π），函数f(x +θ)−12是奇函数，求θ的值；（2）若f （x ）在区间[−π3，m]上恰有三条对称轴，求实数m 的取值范围．21．（12分）中国剪纸是一种民间艺术．具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，现有一张矩形卡片ABCD ，对角线长为t （t 为常数），从△ABD 中裁出一个内接正方形纸片EFGH ，使得点E ，H 分别AB ，AD 上，设∠DBA =α(0＜α＜π2)，矩形纸片ABCD 的面积为S 1，正方形纸片EFGH 的面积为S 2．（1）当α=π3时，求正方形纸片EFGH 的边长（结果用t 表示）； （2）当α变化时，求S 2S 1的最大值及对应的α值．22．（12分）几何体E ﹣ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角，BC ＝CD ＝2，∠BCD ＝120°，M 为线段AE的中点．（1）求证：DM ∥平面BEC ；（2）线段EB 上是否存在一点N ，使得D ，M ，N ，C 四点共面？若存在，请求出BN BE的值；若不存在，并说明理由．2022-2023学年广东省珠海市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若z （1﹣i ）＝1﹣5i ，则z =（ ） A ．﹣2﹣2iB ．﹣2+2iC ．3﹣2iD ．3+2i解：z （1﹣i ）＝1﹣5i ，则z =1−5i 1−i =(1−5i)(1+i)(1−i)(1+i)=3﹣2i ，故z =3+2i ． 故选：D ．2．如图所示，△ABC 的直观图是边长为4的等边△A 'B 'C '，则在原图中，BC 边上的高为（ ）A ．4√6B ．2√6C ．2√3D ．√3解：在直观图中，因为边长为4的等边△A 'B 'C '，所以B ′C ′上的高h ＝2√3， O ′A ′=ℎsin45°=2√6，则BC 上高AO ＝4√6， 故选：A ．3．sin2023°cos17°+cos2023°cos73°＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√32解：sin2023°cos17°+cos2023°cos73°=−sin43°cos17°−cos43°sin17°=−sin60°=−√32． 故选：C ．4．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值是（ ） A ．0B ．12C ．3√1010D ．√1010解：如图，取A 1B 1的中点F ，连接EF ，AF ，CF ，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为C 1D 1，A 1B 1的中点， 所以AD ∥A 1D 1∥EF ，AD ＝A 1D 1＝EF ，则四边形ADEF 为平行四边形， 所以AF ∥DE ，所以∠F AC （或其补角）为异面直线DE 与AC 所成角， 设正方体的棱长为2， 则AC =√AB 2+BC 2=2√2，AF =√AA 12+A 1F 2=√5， CF =√CC 12+B 1C 12+B 1F 2=3，在△F AC 中，由余弦定理得：cos ∠F AC =AF 2+AC 2−CF 22AF⋅AC =5+8−92×5×22=√1010，故异面直线DE 与AC 所成角的余弦值是√1010． 故选：D ．5．已知α∈(0，π2)，1﹣cos2α﹣2sin2α＝0，则cos α＝（ ） A ．15B ．√55C ．45D ．2√55解：因为α∈(0，π2)， 所以sin α＞0，cos α＞0， 因为1﹣cos2α﹣2sin2α＝0， 所以2sin 2α﹣4sin αcos α＝0， 可得sin α＝2cos α，所以sin 2α+cos 2α＝4cos 2α+cos 2α＝1，可得cos 2α=15， 所以cos α=√55．故选：B ．6．在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥AD ，向量BC →与AD →的夹角为2π3，若AB ＝6，BC ＝AD ＝3，则该四面体外接球的表面积为（ ） A ．18πB ．36πC ．54πD ．72π解：将四面体ABCD 补成如图所示的直三棱柱ADE ﹣BFC ，因为向量BC →与AD →的夹角为2π3，所以∠EAD =2π3， 则DE 2＝AD 2+AE 2﹣2AD •AE •cos ∠EAD ＝27，△ADE 外接圆的半径r =DE2sin∠EAD=3，该四面体外接球的半径R =√32+32=3√2，所以该四面体外接球的表面积为4π×(3√2)2=72π． 故选：D ．7．已知当x ＝θ时，函数f （x ）＝2cos x ﹣sin x 取得最大值，则cos2θ＝（ ） A ．15B ．−15C ．45D ．35解：f （x ）＝2cos x ﹣sin x =√5（√5cos x 5sin x ）=√5cos （x +φ），其中sin φ=5，cos φ=5， 当x ＝θ时，f （x ）取得最大值，即θ+φ＝2k π，k ∈Z ， ∴φ＝﹣θ+2k π，k ∈Z ， ∴cos （﹣θ+2k π）=2√5，k ∈Z ， 即cos θ=2√5， ∴cos2θ＝2cos 2θ﹣1＝2×45−1=35． 故选：D ．8．在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，P 是△ABC 的外接圆上的一点，若AP →=mAB →+nAC →，则m +n 的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．12D ．√3解；由余弦定理得：BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC •cos ∠BAC ＝1+4﹣2×1×2×cos60°＝3，∴BC =√3， 所以AB 2+BC 2＝AC 2，所以AB ⊥BC ，以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 易得A （1，0），C （﹣1，0），B （12，√32），设P 的坐标为（cos θ，sin θ）， 所以AB →=(−12，√32)，AC →=（﹣2，0），AP →=（cos θ﹣1，sin θ），又AP →=mAB →+nAC →，所以（cos θ﹣1，sin θ）＝m （−12，√32）+n （﹣2，0）＝（−m2−2n ，√32m ）， 所以m =2√33sinθ，n =−cosθ2+12−√36sinθ， 所以m +n =√32sinθ−12cosθ+12=sin （θ−π6）+12 ≤32， 当且仅当sin （θ−π6）＝1时，等号成立． 故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数1−i z=−i ，则下列命题正确的是（ ） A ．z ＝﹣1+iB ．|z|=√2C ．复数z 的虚部为iD ．复数z 的共轭复数在复平面上对应的点为（1，﹣1）解：1−iz=−i ，则z =1−i−i =1+i ，故A 错误；|z|=√12+12=√2，故B 正确； 复数z 的虚部为1，故C 错误；z =1−i ，故复数z 的共轭复数在复平面上对应的点为（1，﹣1），故D 正确． 故选：BD ．10．下列说法正确的有（ ）A ．已知a →=(−1，2)，b →=(2，x)，若a →⊥b →，则x ＝1 B ．已知b →≠0→，若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →C ．若|a →|≠|b →|，则a →一定不与b →共线D ．若AB →=(3，1)，AC →=(m −1，m)，∠BAC 为钝角，则实数m 的范围是m ＜34 解：a →=(−1，2)，b →=(2，x)，a →⊥b →，则﹣2+2x ＝0，解得x ＝1，故A 正确；b →≠0→，若a →∥b →，b →∥c →，则由平行的传递性可知，a →∥c →，故B 正确； 若|a →|≠|b →|，则a →可能与b →共线，故C 错误； 当m =−12时，AC →=(−32，−12)，AC →=−12AB →，则∠BAC 为平角，所以当∠BAC 为钝角时，实数m 的范围不是m ＜34，故D 错误． 故选：AB ．11．已知x ∈（0，π），sinx +cosx =−13，则下列结论正确的是（ ） A ．sin(x +π4)=−√23B ．sin2x =−89C ．sinx −cosx =−√173D ．﹣1＜tan x ＜0解：因为x ∈（0，π），sinx +cosx =−13，所以√2sin （x +π4）=−13，即sin （x +π4）=−√26，A 错误； 两边平方得1+2sin x cos x =19，即sin2x =−89，B 正确； 所以sin x ＞0，cos x ＜0，sin x ﹣cos x ＞0， 所以（sin x ﹣cos x ）2＝1﹣2sin x cos x ＝1+89=179， 所以sin x ﹣cos x =√173，C 错误； 所以sin x =√17−16，cos x =−√17+16，tan x =1−171+17=√17−94，所以﹣1＜tan x ＜0，D 正确．故选：BD ．12．如图，矩形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且BC ＝2AB ＝2，BF ∩AE ＝O ，现将△ABE 沿AE 向上翻折，使B 点移到P 点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A ．CF ⊥OPB ．存在点P ，使得PE ∥CFC ．存在点P ，使得PE ⊥EDD ．三棱锥P ﹣AED 的体积最大值为√26解：依题意，AF ∥EC ，AF ＝EC ，则四边形AECF 为平行四边形，有CF ∥AE ， 而AF ＝AB ＝BE ，∠BAF ＝∠ABE ＝90°，即有∠ABO ＝∠BAO ＝45°，因此BF ⊥AE ， 即OP ⊥AE ，因此CF ⊥OP ，A 正确；因为PE ∩AE ＝E ，CF ∥AE ，因此PE ，CF 不平行，即不存在点P ，使得PE ∥CF ，B 错误； 连接PF ，当PF ＝1时，因为PO =FO =√22，即PO 2+FO 2＝1＝PF 2，则PO ⊥FO ，而FO ⊥AE ，PO ∩AE ＝O ，PO ，AE ⊂平面P AE ，因此FO ⊥平面P AE ，又O ，F 分别为AE ，AD 的中点，即ED ∥FO ，于是ED ⊥平面P AE ，而PE ⊂平面P AE ，则PE ⊥ED ，C 正确；在翻折过程中，令PO 与平面AED 所成角为θ，则点P 到平面AED 的距离ℎ=POsinθ=√22sinθ，又△AED 的面积S △AED =12AD ⋅AB =1，因此三棱锥P ﹣AED 的体积V P−AED =13S △AED ⋅ℎ=√26sinθ≤√26，当且仅当θ＝90°，即PO ⊥平面AED 时取等号，所以三棱锥P ﹣AED 的体积最大值为√26，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13．已知复数z 满足3z +i ＝6﹣2i ，则|z 2|＝ 5 ． 解：3z +i ＝6﹣2i ， 则3z ＝6﹣3i ， 故z ＝2﹣i ，故|z 2|＝|z |2＝22+（﹣1）2＝5． 故答案为：5．14．已知a →⋅b →=16，e →是与b →方向相同的单位向量，若a →在b →上的投影向量为8e →，则|b →|= 2 ． 解：设a →与b →的夹角为θ，因为a →•b →=16，所以|a →||b →|cos θ＝16，又因为a →在b →上的投影向量为8e →．所以|a →|cos θ＝8，所以|b →|＝2．故答案为：2．15．已知2cosα−1=2√3sinα，则cos(2α+2π3)= −78 ． 解：∵2cosα−1=2√3sinα，∴2cos α﹣2√3sin α＝1，∴4（12cos α−√32sin α）＝1，∴4cos （α+π3）＝1，∴cos （α+π3）=14，∴cos(2α+2π3)=2cos 2（α+π3）﹣1＝2×116−1=−78．故答案为：−78．16．在△ABC 中，∠A ＝60°，BC =√3，O 为△ABC 的外心，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，且OD →2+OE →2+OF →2=34，则OA →⋅OB →+OB →⋅OC →+OC →⋅OA →= −32 ． 解：根据题意，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC =√3，O 为△ABC 的外心，则BC sinA =2OA ＝2OB ＝2OC ＝2，则有|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1， 又由D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，则OD →=12（OA →+OB →），OE →=12（OB →+OC →），OF →=12（OA →+OC →）， 又由OD →2+OE →2+OF →2=34，则（OA →+OB →）2+（OB →+OC →）2+（OA →+OC →）2＝3，变形可得：2OA →2+2OB →2+2OC →2+2（OA →⋅OB →+OB →⋅OC →+OC →⋅OA →）＝6+2（OA →⋅OB →+OB →⋅OC →+OC →⋅OA →）＝3，则有OA →⋅OB →+OB →⋅OC →+OC →⋅OA →=−32．故答案为：−32．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，其中a →=(1，√3)．（1）若|c →|=1，且c →∥a →，求c →坐标；（2）若b →为单位向量，且(a →+b →)⊥(2a →−5b →)，求a →与b →的夹角．解：（1）设c →=(x ，y)，∵|c →|=1，且c →∥a →，∴{x 2+y 2=1√3x −y =0， 解得{x =12y =√32或{x =−12y =−√32， ∴c →=(12，√32)或（−12，−√32）； （2）∵(a →+b →)⊥(2a →−5b →)，∴(a →+b →)⋅(2a →−5b →)=0，∴2a →2−3a →⋅b →−5b →2=0，∵b →为单位向量，a →=(1，√3)，∴|b →|=1，|a →|=2，∴2×4−3a →⋅b →−5=0，a →⋅b →=1，∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b →|a →||b →|=11×2=12，∴＜a →，b →＞∈[0，π]，∴＜a →，b →＞=π3．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝P A ＝2，且直线PD 与底面ABCD 所成的角为π4． （1）求证：平面PBD ⊥平面P AC ；（2）求点C 到平面PBD 的距离．解：（1）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，故∠PDA 为直线PD 与平面ABCD 所成的角，因此∠PDA =π4，又P A ＝2，∴AD ＝2∵底面ABCD 为矩形，且AB ＝2，∴底面ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，又P A ⊥BD ，而AC ∩P A ＝A ，AC ，P A ⊂平面P AC ，∴BD ⊥平面P AC ，又BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面P AC ，（2）V P−BCD =13S △BCD ⋅PA =13×2×2=43，由于PB =PD =BD =√22+22=2√2，所以S △PBD =12×2√2×2√2sin60°=2√3， 设点C 到平面PBD 的距离为d ，则V C−PBD =13S △PBD ⋅d =2√33d∵V C ﹣PBD ＝V P ﹣BCD ，∴2√33d =43，解得：d =2√33 ∴设点C 到平面PBD 的距离为2√33． 19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设b +c ＝2a （cos B +cos C ）．（1）求角A ；（2）若BD →=2DC →，且AD ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：（1）因为b +c ＝2a （cos B +cos C ），由正弦定理得：sin B +sin C ＝2sin A （cos B +cos C ），∴sin （A +C ）+sin （A +B ）＝2sin A （cos B +cos C ），所以sin A cos C +cos A sin C +sin A cos B +cos A sin B ＝2sin A cos B +2sin A cos C ，整理得cos A sin C +cos A sin B ＝sin A cos B +sin A cos C ，即cos A sin C ﹣sin A cos C ＝sin A cos B ﹣cos A sin B ，∴sin （C ﹣A ）＝sin （A ﹣B ），又C ﹣A ∈（﹣π，π），A ﹣B ∈（﹣π，π），所以C ﹣A ＝A ﹣B 或者C ﹣A +A ﹣B ＝π（舍），所以C +B ＝2A ，又A +B +C ＝π，所以A =π3；（2）在△ABC 中，由余弦定理得：cosA =12=b 2+c 2−a 22bc ，① 又因为BD →=2DC →，所以BD =2a 3，CD =a 3，且∠ADB +∠ADC ＝π，即cos ∠ADB +cos ∠ADC ＝0，由余弦定理(2a 3)2+22−c 22⋅2a 3⋅2+(a 3)2+22−b 22⋅a 3⋅2=0，得a 2=3b 2+32c 2−18，② 将①②联立得：18−bc =2b 2+12c 2≥2bc ，即bc ≤6，（当且仅当b =√3，c =2√3时等号成立）， 所以S =12⋅bc ⋅sinA =√34bc ≤3√32． 20．（12分）已知函数f(x)=sin 2x −√3cosxcos(π2+x)．（1）设θ∈[0，π），函数f(x +θ)−12是奇函数，求θ的值；（2）若f （x ）在区间[−π3，m]上恰有三条对称轴，求实数m 的取值范围．解：（1）f(x)=1−cos2x 2+√32sin2x =sin(2x −π6)+12， ∴f(x +θ)=sin(2x +2θ−π6)+12，∵函数f(x +θ)−12是奇函数，即函数y ＝sin （2x +2θ−π6）为奇函数，∴2θ−π6=k π，k ∈Z ，∴θ=π12+kπ2，k ∈Z ，又∵θ∈[0，π），∴θ=π12或7π12；（2）∵x ∈[−π3，m]，∴2x −π6∈[−5π6，2m −π6]，且f （x ）在区间[−π3，m]上恰有三条对称轴， ∴3π2≤2m −π6＜5π2，解得5π6≤m ＜4π3，∴m 的取值范围为：[5π6，4π3)． 21．（12分）中国剪纸是一种民间艺术．具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，现有一张矩形卡片ABCD ，对角线长为t （t 为常数），从△ABD 中裁出一个内接正方形纸片EFGH ，使得点E ，H 分别AB ，AD 上，设∠DBA =α(0＜α＜π2)，矩形纸片ABCD 的面积为S 1，正方形纸片EFGH 的面积为S 2．（1）当α=π3时，求正方形纸片EFGH 的边长（结果用t 表示）；（2）当α变化时，求S 2S 1的最大值及对应的α值．解：（1）设正方形EFGH 的边长为a ，则∠AEH ＝α，AB ＝t cos α，则BE =a sinα，AE ＝a cos α，AB ＝AE +BE ，即tcosα=a sinα+acosα，整理得a =tcosα1sinα+cosα=tsinαcosα1+sinαcosα=tsin2α2+sin2α， 当α=π3时，a =tsin π32+sin π3=4√3−313t ； （2）S 2=(tsin2α2+sin2α)2，S 1=tsinα⋅tcosα=t 2sinαcosα=12t 2sin2α，因为α∈(0，π2)，则2α∈（0，π ），sin2α∈（0，1]，则S 1S 2=t 2sin2α2(tsin2α2+sin2α)2=(2+sin2α)22sin2α=12sin2α+2sin2α+2，令x ＝sin2α，y =x 2+2x +2 在（0，1]上单调递减，故(S 1S 2)min =12+2+2=92，故S 2S 1的最大值为29，此时sin2α＝1， 又α∈(0，π2)，所以α=π4．22．（12分）几何体E ﹣ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角，BC ＝CD ＝2，∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点．（1）求证：DM ∥平面BEC ；（2）线段EB 上是否存在一点N ，使得D ，M ，N ，C 四点共面？若存在，请求出BN BE 的值；若不存在，并说明理由．证明：（1）记F 为AB 的中点，连接DF ，MF ，如图1，因为F ，M 分别为AB ，AE 的中点，故MF ∥EB ，因为MF ⊄平面EBC ，EB ⊂平面EBC ，所以MF ∥平面EBC ，又因为△ADB 为正三角形，所以∠DBA ＝60°，DF ⊥AB ，又△BCD 为等腰三角形，∠BCD ＝120°，所以∠DBC ＝30°，所以∠ABC ＝90°，即BC ⊥AB ，所以DF ∥BC ，又DF ⊄平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，所以DF ∥平面EBC ，又DM ∩MF ＝F ，DM ，MF ⊂平面DMF ，故平面DMF ∥平面EBC ，又因为DM ⊂平面EBC ，故DM ∥平面BEC ．解：（2）延长CD ，AB 相交于点P ，连接PM 交BE 于点N ，连接CN ，过点N 作NQ ∥AE 交AB 于点Q ，如图2，因为DM ∥平面ECB ，DM ⊂平面PDM ，平面PDM ∩平面ECB ＝CN ，所以DM ∥CN ，此时D ，M ，N ，C 四点共面，由（1）可知，BC ＝CD ＝2，∠PCB ＝60°，CB ⊥BP ，得∠CPB ＝30°，PC ＝4， 故PN PM =CP DP =46=23，又因为NQ ∥AE ，所以NQ AM =PN PM =23， 则有NQ AE =NQ 2AM =12×23=13，故BN BE =NQ AE =13．。
最新广东省珠海市高一数学下学期期末考试试题(A卷)(后附答案)
高一数学试题（A 卷）及参考答案时量：120分钟 分值：150分 ．适用学校：全市各高中使用A 卷学校．内容：数学必修②第二章，数学必修③，数学必修④．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地）1.(平面向量) 已知平面向量(4,1)a =r ，(,2)b x =r ，且a r 与br 平行，则x =（ ）A ．8-B ．12-C ．8D ．12 2.(三角函数) 4sin 3π地值是（ ）A ．12 B ．12-C D ．3.(概率)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”地对立事件是( ).A. 至多有一次中靶B. 两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶4.(算法)将两个数8,17a b==，下面语==交换，使17,8a b句正确一组是 ( )5.(统计)某一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售地影响，经过统计，得到一个卖出地热饮杯数与当天气温地对比表：某同学利用智能手机上地Mathstudio软件研究，直接得到了散点图及回归方程（如右图所示），请根据结果预测，若某天地气温是3℃，大约能卖出地热饮杯数为（）.A. 143B. 141C. 138D. 134（单词提示：Linear 线性）6.(统计)要从已编号（160 ）地60枚最新研制地某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取地号码间隔一样地系统抽样方法确定所选取地6枚导弹地编号可能是（ ）A ．5,10,15,20,25,30B ．3,13,23,33,43,53C ．1,2,3,4,5,6D ．2,4,8,16,32,487.(平面向量) 如右下图所示，D 是ABC ∆地边AB 上地中点，记BC a =u u u r r ，BA c =u u u r r ，则向量CD =u u u r （ ）A ．12a c --r rB ．12a c -+r rC ．12a c -r rD ．12a c +r r 8.(平面向量) 若5a =r ，=10a b ⋅r r ，且与地夹角为060，则b =r （ ） A ．163B ．16C ．D ． 49.(算法) 右边程序执行后输出地结果是（ ）A.1- B ．0 C ． D ．210.(圆一般方程) 直线30ax y ++=与圆22106250x y x y +-++=A CB相切，则a 地值为（ ）A ．34 B ．34或34- C ．34- D ．43或43- 11.(三角函数)将函数sin y x =地图象上所有点地横坐标伸长到原来地2倍（纵坐标不变），再将所得地图象向左平移3π个单位，得到地图象对应地解析式是（ ）A ．sin(2)3y x π=+B ．1sin()23y x π=+ C.1sin()26y x π=+ D.sin(2)6y x π=+ 12.(三角变换) 已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．724 B ．724- C ．247- D ． 247- 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，请将正确答案填在答题卡上）13.(圆地方程)以(1,2),(5,6)A B--为直径两端点地圆地标准方程为．14.(算法)二进制数定义为“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式，是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，即2(1101)转换成十进制数是13，那么类似可定义k进制数为“逢k进一”，则8进制数8(102)转换成十进制数是_________15.(统计)一个容量为20与频数如下表：则样本在区间(),50-∞ 上地频率为__________________.16.(算法) 右图给出地是计算201614121++++Λ地值地一个流程图，其中判断框内应填入地条件是____________17.(统计) 某校高中部有三个年级，其中高三年级有学生1000人，现采用分层抽样地方法抽取一个容量为180地样本，已知在高一年级抽取了70人，高二年级抽取了60人，则高中部三个年级地学生人数共有 人.18.(三角函数) 函数sin 22y x x =地最小正周期为是 19.(平面向量) 已知(3,4)a =-r ，若||b r ＝5，b r ⊥a r ，则向量=______20.(三角函数) 函数cos()3y x π=-地单调递减区间是__________________三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上）21.(平面向量) 已知||4a =r ，||b =r ，()(2)4a b a b +⋅-=r r r r .（1）求a b ⋅r r （2）求||a b +r r .22.(三角函数)已知函数sin()(0,0)2y A x A πωϕωϕ=+><<，地图形地一个最高点为，由这个最高点到相邻地最低点时曲线经过(6,0)，求这个函数地解析式.23.(统计) 某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18，下图是按上述分组方法得到地频率分布直方图．（1）若成绩小于14百米测试中成绩优秀地人数；（2）请估计学校900地人数； （3）请根据频率分布直方图，求样本数据地众数和中位数.24.(概率) 某次游园地一项活动中，设置了两个中奖方案：方案1：在如图所示地游戏盘内转动一个小球，如果小球静止时停在正方形区域内则中奖； 方案2：从一个装有2个红球和3个白球地袋中无19题图放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖. 两个方案中，哪个方案中奖率更高？请说明理由.25.(三角变换)已知OPQ是半径为1，形，C是扇形弧上地动点. ABCD记COPθ∠=.（1）求当角θ取何值时，矩形ABCD地面积最大？并求出这个最大值.（2）当矩形ABCDθ地值.附加题：26. 在一次商贸交易会上，一商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.（1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球地袋中有放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达地概率.27．如图，已知在三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =.(1) 求向量AB AC BC ++u u u r u u u r u u u r地模；(2)若长为10地线段PQ 以点A 为中点，问与地夹角θ取何值时CQ BP ⋅地值最大？并求这个最大值.28. 在三角形ABC 中（1）若4A B π+=，求(1tan )(1tan )A B ++地值. （2）若lg tan lg tan 2lg tan A C B +=，求证：32B ππ≤<. 高一数学试题及参考答案C AB一、选择题1、C2、D3、D4、B5、B6、B7、B8、D9、B 10、B 11、C 12、C二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，请将正确答案填在答题卡上） 13.22(2)(2)25x y -++= 14. 66 15.0.7 16. 10?i >17.360018.π19.(4,3)(4,3)--或20.4[+2,+2]()33k k k Z ππππ∈ 三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上）21.解：（1）()(2)4a b a b +⋅-=r r r r Q2224a ab b ∴-⋅-=r r r r ………………………………………………………………（1分）即2224a ab b -⋅-=r r r r …………………………………………………………（3分）即22424a b -⋅-⨯=r r………………………………………………………（4分）6a b ∴⋅=r r ……………………………………………………………（5分） （2）a b +=r r Q …………………………………………………（7分）而2222222()2242631a b a a b b a a b b +=+⋅+=+⋅+=+⨯+=r r r r r r r r r r ………………（9分）a b ∴+==r r …………………………………………（10分） 22、解：由题意可知：A =，………………………………………………………（1分）624T=-，即16T =………………………………………………………（3分）由周期公式可得到：216T πω==，又0ω>Q ，8πω∴=…………………………（4分）sin()8y x πϕ∴=+……………………………………………………………（5分）又函数图像过点sin(2)8πϕ=⨯+，即sin()14πϕ+=…………………………………（7分）又02πϕ<<Q 4πϕ∴=…………………………………………………………………（9分） 所以函数解析式是：sin()84y x ππ=+……………………………………（10分）23.解：（1）样本在这次百米测试中成绩优秀地人数=10.06503⨯⨯=（人）……………（2分）（2）学校900名学生中，成绩属于第四组地人数10.32900288⨯⨯=（人）………………………（2分）（3）由图可知众数落在第三组[15,16)，是151615.52+=………………………（5分）因为数据落在第一、二组地频率10.0610.160.220.5=⨯+⨯=< 数据落在第一、二、三组地频率10.0610.1610.380.60.5=⨯+⨯+⨯=>…………（6分）所以中位数一定落在第三组[15,16)中. ………………………………（7分） 假设中位数是x，所以10.0610.16(15)0.380.5x ⨯+⨯+-⨯=……………………（9分）解得中位数29915.736815.7419x =≈≈…………………………………（10分）24.解：（1）设正方形边长为2，中奖概率为2S S π=正方形圆.…………………（4分）（2）从袋中5个球中摸出2个，试验地结果共有432+110++=（种）………………（5分）中奖地情况分为两种：（i ）2个球都是红色，包含地基本事件数为；………………………………（6分） （ii ）2个球都是白色，包含地基本事件数为2+13=.……………………………（7分）所以，中奖这个事件包含地基本事件数为1+3=4.因此，中奖概率为42105=.…………（9分） 由于235π>，所以方案1地中奖率更高. …………………………………………（10分） 25.解：(1)在Rt OBC∆中：cos OB θ=，sin BC θ=……………………（1分）在Rt OAD ∆中：tan 14AD OA π== 所以sin OA AD BC θ===…………………………………（2分）所以cos sin AB OB OA θθ=-=-……………………………………（3分） 所以矩形ABCD地面积(cos sin )sin S AB BC θθθ=⋅=-……………………（4分）2cos sin sin θθθ=- 11cos 2sin 222θθ-=- 11(sin 2cos 2)22θθ=+-122)2θθ=+-1)42πθ=+-………………………………（6分）由04πθ<<，得32444πππθ<+<， 所以当242ππθ+=，即8πθ=时，m 12ax S =-……………（7分）(2)当1)42S πθ=+-=时，即sin(2)4πθ+=8分）又因为32444πππθ<+<，所以2243ππθ+=，即524πθ=…………………（10分）附加题：26. 在一次商贸交易会上，一商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.（1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球地袋中有放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达地概率.解：（1）从袋中10个球中摸出2个，试验地结果共有1010100⨯=（种）……………………………（1分）中奖地情况分为两种：（i）2个球都是红色，包含地基本事件数为6636⨯=；…………………………（2分）（ii）2个球都是白色，包含地基本事件数为4416⨯=.…………………………（3分）所以，中奖这个事件包含地基本事件数为36+16=52. 因此，中奖概率为5213=.………………………（4分）（2）10025设两人到达地时间分别为9点到10点之间地x分钟、y分钟.用(,)x y表示每次试验地结果，则所有可能结果为Ω=≤≤≤≤；…………………………………x y x y{(,)|040,2060}…………………………（5分）记甲比乙提前到达为事件A，则事件A地可能结果为=<≤≤≤≤. ………………………………{(,)|,040,2060}A x y x y x y………………………（6分）如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD . 而事件A 所构成区域是正方形内地阴影部分. ………………………………………………………（8分）根据几何概型公式，得到 2221402072()408SP A S -⨯===阴影正方形.所以，甲比乙提前到达地概率为78. ………………………………（10分）27．如图，已知在三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =. (1) 求向量AB AC BC++u u u r u u u r u u u r 地模；(2)若长为10地线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与地夹角θ取何值时CQ BP ⋅地值最大？并求这个最大值.C AB解：（1）AB AC BC ++=u u u r u u u r u u u r ………………………………（1分）=……………………（2分）=……………………（3分）8==…………………………………………………………………………………（4分） （另解：用几何法，根据向量加法地平行四边形法则，画图，很快可得8AB AC BC ++=u u u r u u u r u u u r）（2）()()BP CQ BA AP CA AQ ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ……………………………………………（5分）BA CA BA AQ AP CA AP AQ=⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r055cos180BA AQ AP CA =+⋅+⋅+⨯⨯u u u r u u u r u u u r u u u r……………………………………（6分）25BA AQ AQ CA =⋅-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r()25AQ BA CA =⋅--u u u r u u u r u u u r()25AQ BA AC =⋅+-u u u r u u u r u u u r…………………………………………………（7分）25AQ BC =⋅-u u u r u u u r1252PQ BC =⋅-u u ur u u u r ……………………………………………………（8分）1cos 252PQ BC PQ BC =⋅⋅<⋅>-u u ur u u u r u u u r u u u r1105cos 252PQ BC =⨯⨯<⋅>-u u u r u u u r25cos 25PQ BC =<⋅>-u u u r u u u r………………………………………………………（9分） 当0PQ BC <⋅>=u u u r u u u r即0θ=时，m ()0ax BP CQ ⋅=u u u r u u u r……………………………（10分）28. 在三角形ABC 中（1）若4A B π+=，求(1tan )(1tan )A B ++地值. （2）若lg tan lg tan 2lg tan A C B +=，求证：32B ππ≤<. 解：（1）由4A B π+=得tan()1A B +=即tan tan 11tan tan A BA B+=-……………………………（1分） 即tan tan 1tan tan A B A B +=- 即tan tan +tan tan =1A B A B +…………………………………………………（2分）即tan (tan +1)(tan 1)=2A B B ++…………………………………………（3分）即(tan +1)(tan 1)=2B A + 即(1tan )(1tan )2A B ++=…………………………………………………（4分）（2）由已知得：,,A B C都为锐角，2tan tan tan A C B⋅=…………………………………………（5分）tan tan tan tan()1tan tan B C A B C B C+=-+=--⋅Q ……………………………（6分）tan tan tan tan tan tan A B C A B C∴++=⋅⋅3tan tan tan tan A C B B∴+=-……………………………………………（7分）tan ,tan A C∴是方程232(tan tan )tan 0xB B x B --+=地两个实根……………（8分）322(tan tan )4tan 0B B B ∴∆=--≥ 即2222tan(tan 1)4tan 0B B B --≥即22(tan 1)40B --≥ 即2tan 3B ≥或2tan 1B ≤-（舍去）………………………………………（9分）又因为B 为锐角，所以tan B ≥所以32B ππ≤<…………………………………………（10分）。
广东高一高中数学期末考试带答案解析
广东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若，且是第二象限角，则的值为（）A．B．C．D．2.与终边相同的角可表示为（）A．B．C．D．3.已知中，，则等于（）A．B．C．D．4.在中，，则的值为（）A．B．C．D．5.如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（）A．B．C．D．6.在中，，，，下列推导不正确的是（）A．若，则为钝角三角形B．，则ΔABC为直角三角形C．，则为等腰三角形D．，则为正三角形7.设向量满足，则的最小值为（）A．B．C．1D．28.在中，已知，则的值为（）A．B．C．或D．9.已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点，动点满足,.则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心10.为了得到函数的图像，可将函数的图像向左平移个单位长度或向右平移个单位长度（均为正数），则的最小值是（）A．B．C．D．11.已知函数（），定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当时，若，则有成立；④当时，函数有个零点．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题1.已知二次函数在区间内是单调函数，则实数的取值范围是 .2.已知，，则= .3.如图在中，则4.设函数的定义域为，若对于任意的，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 .三、解答题1.已知函数.（1）求的单调增区间；（2）设，，，求的值.2.（在中，角为锐角,记角所对的边分别为设向量,且与的夹角为（1）求的值及角的大小；（2）若，求的面积．3.已知函数是二次函数，且满足；函数.（1）求的解析式；（2）若，且对恒成立，求实数的取值范围.4.已知函数（其中，）的最大值为2，直线、是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．（1）求，的值；（2）若，求的值．5.已知函数满足条件：①；②对一切，都有．（1）求、的值；（2）若存在实数，使函数在区间上有最小值－5，求出实数的值.广东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.若，且是第二象限角，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，且是第二象限角，，.故选A.【考点】同角三角函数的基本关系式.2.与终边相同的角可表示为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】为的整数倍，故选C.【考点】终边相同的角的集合.3.已知中，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正弦定理得，解得，.故选D.【考点】正弦定理.4.在中，，则的值为（）A．B．C．D．【解析】，.可设.由余弦定理的推论，故选D.【考点】正弦定理、余弦定理的推论.5.如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由余弦函数的性质可知：，当时有最小值为.故选A.【考点】余弦函数的对称性.6.在中，，，，下列推导不正确的是（）A．若，则为钝角三角形B．，则ΔABC为直角三角形C．，则为等腰三角形D．，则为正三角形【答案】D【解析】A中，由可知，，得为钝角三角形；B中，由可知，，得为直角三角形；C中，由知得，，，，则为等腰三角形；D中，，总是成立，不能得到为正三角形.故选D.【考点】平面向量的数量积.7.设向量满足，则的最小值为（）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】由已知可得夹角为，设，则的最小值为点到直线的距离，值为.故选A.【考点】向量加法的三角形法则、向量减法的三角形法则.【思路点晴】本题主要考查了平面向量的几何表示：向量加减法、数乘．由已知条件结合向量加法的三角形法则可得夹角为．在中，如何理解对的影响是本题的难点，的变化使得的大小也在变化，当时与是垂直的，此时最小．本题考查的知识点比较隐含，难度较大.8.在中，已知，则的值为（）A．B．C．或D．【解析】由得，由，得，得，故选A.【考点】同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式.9.已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点，动点满足,.则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B【解析】是分别与同向的单位向量，则的终点在的角平分线上，由得在的角平分线上，所以点轨迹一定通过的内心.故选B.【考点】向量加法的平行四边形法则、向量的数乘的几何意义.10.为了得到函数的图像，可将函数的图像向左平移个单位长度或向右平移个单位长度（均为正数），则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数的图象得到函数的图象可向左平移个单位长度，也可向右平移个单位长度，则得最小值为.故选B.【考点】函数的图象.11.已知函数（），定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当时，若，则有成立；④当时，函数有个零点．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】①中，时有的存在，所以不成立；②中当对任意的时都有可得函数是偶函数；③中由函数可知在内为增函数，则有，即结论成立；④中的图象在轴及其上方，则有个零点，是正确的.故选C.【考点】函数的奇偶性、单调性、零点.【方法点晴】本题的难点有两个：一是如何认识函数的图象，注意的正负对函数的图象的单调性如何影响，这样不管还是都可以得到它的单调性；二是如何从奇偶性的定义上去了解函数，分段函数的奇偶性的证明是难点．解决以上两个难点，本题的各个命题就好判断了．本题考查的知识点更抽象，难度较大.二、填空题1.已知二次函数在区间内是单调函数，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】二次函数的对称轴为，因为在区间内是单调函数，所以.【考点】二次函数.2.已知，，则= .【答案】【解析】，，，.故.【考点】二倍角公式.3.如图在中，则【答案】【解析】由正弦定理得，，，由余弦定理得：，则.【考点】正弦定理、余弦定理.【方法点晴】如果只是正弦定理、余弦定理的考查，知识比较简单．本题的难点就在于放在了两个三角形中分别运用正弦定理、余弦定理去解决．“执果索因”或是“执因索果”都用到，考虑要全面．此种情况下要考虑两个三角形的共性，即有一个公共边和一对互补的角，这样做到条件的共用解决问题就比较简单了．本题难度中等.4.设函数的定义域为，若对于任意的，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 .【答案】【解析】由知当时，.，，，，，，则.【考点】函数的对称性.【方法点晴】平时我们讲得对称中心都在轴上，很容易得到为奇函数，对称中心为,由可得到该函数对称中心为，由此可得，再由值的对称性，即可求结果．本题虽然考查的知识点比较少，但内容抽象，不易理解，还要借助于数的对称，来解决问题．本题属于难题.三、解答题1.已知函数.（1）求的单调增区间；（2）设，，，求的值.【答案】(1) ；(2)．【解析】（1）由得的单调增区间为；（2）由得，可求，由得可求，代入余弦定理可求的值.试题解析：1）若单调递增，则.. 所以的增区间为.（2）.所以..所以.因为，所以，所以.【考点】正弦函数的单调性、同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式.2.（在中，角为锐角,记角所对的边分别为设向量,且与的夹角为（1）求的值及角的大小；（2）若，求的面积．【答案】(1)，；(2) ．【解析】(1)由,可知，、，的值，由平面向量的数量积的定义和坐标运算可求的值进而可得的大小；（2）由余弦定理可求的值，代入面积公式可求得的面积.试题解析：（1）,，（2）(法一) ,及,, 即(舍去)或故(法二) ,及,.,,...故【考点】平面向量的坐标运算、同角三角函数的基本关系式、三角形面积公式.3.已知函数是二次函数，且满足；函数.（1）求的解析式；（2）若，且对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】（1）用待定系数法设的解析式，由已知条件可求得三个系数；(2)由的解析式可得当时的值域，由可得的解析式，由的单调性可得的最小值，由可得.试题解析：（1）设....（2）开口向上，对称轴为.在上单调递增. .【考点】二次函数的值域、指数函数的单调性.【易错点晴】本题的第一问主要考查待定系数求二次函数，由题中的条件很容易求出函数的解析式；第二问由求出的解析式，只要注意的值域和的单调性很容易求出时的值域，这样的能求.本题也是围绕着函数的性质来进行考查的，着重了值域的考查，难度中等.4.已知函数（其中，）的最大值为2，直线、是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．（1）求，的值；（2）若，求的值．【答案】(1) ，；(2).【解析】（1）由得最大值为解得，由的最小值为可得函数周期为，解得；（2）由得，由二倍角公式得，最后由诱导公式得.试题解析：（1）.又（2）又【考点】正弦函数的性质、二倍角公式、诱导公式.5.已知函数满足条件：①；②对一切，都有．（1）求、的值；（2）若存在实数，使函数在区间上有最小值－5，求出实数的值.【答案】(1) ，；(2) 或.【解析】(1)由题意可知即函数为二次函数，由得，由②得解得，；（2）由(1)可得的解析式，进而可得的解析式，由于为二次函数，由对称轴为，可分三种情况：，，，最后可解得当或时，函数在区间上有最小值.试题解析：（1）当时，．由得：，即，∴．显然＞1时，＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．∴，函数是二次函数．由于对一切，都有，于是由二次函数的性质可得即由得，即，代入（*）得．整理得，即．而，∴．.（Ⅱ）∵，∴．∴．该函数图象开口向上，且对称轴为．若存在实数使函数在区间上有最小值-5①当＜－1时，＜，函数在区间上是递增的，∴＝－5，即，解得＝－3或＝．∵＞－1，∴＝舍去．②当－1≤＜1时，≤＜＋2，函数在区间上是递减的，而在区间上是递增的，∴＝－5，即．解得＝或＝，均应舍去．③当≥1时，≥＋2，函数在区间上是递减的，∴＝－5，即．解得＝或＝，其中＝应舍去．综上可得，当＝－3或＝时，函数在区间上有最小值－5．【考点】二次函数.【易错点晴】本题第一问的难点是、的值的求法，也就是的解决，如何由这个条件得到、的不等式，进而由不等式的性质得到、的值．第二问虽然构建了新的函数，但也是放在了二次函数中研究的，在对称轴不定，定义域不定的前提下，如何用分类讨论思想来解决问题是本题的又一个难点．本题难度较大.。
广东省珠海市2021-2022高一数学下学期期末质量监测试题(含解析)
广东省珠海市2021-2022高一数学下学期期末质量监测试题（含解析）参考公式：回归直线方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y n x yb xn x==-⋅⋅=-⋅∑∑，a y bx =-一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知两点()2,4A --，()3,16B -，则AB =（ ） A. 12C. 13D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用两点间距离公式求解即可。
【详解】因为两点(2,4)A --，(3,16)B -，则(313AB ===，故选C ．【点睛】本题主要考查向量的模，两点间距离公式的应用。
2.已知点()sin ,tan M θθ在第三象限，则角θ在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得sin 0θ<且tan 0θ<，分别求得θ的范围，取交集即得答案。
【详解】由题意，00sin tan θθ<⎧⎨<⎩①②，由①知，θ为第三、第四或y 轴负半轴上的角； 由②知，θ为第二或第四象限角． 则角θ在第四象限，故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数在各象限的符号。
3.已知扇形的半径为4，圆心角为45︒，则该扇形的面积为（ ） A. 2π B. πC.43π D. 83π【答案】A 【解析】 【分析】化圆心角为弧度值，再由扇形面积公式求解即可。
【详解】扇形的半径为4r =，圆心角为45︒，即4πθ=，∴该扇形的面积为214224S ππ=⨯⨯=，故选A ． 【点睛】本题主要考查扇形的面积公式的应用。
4.将八进制数()8123化成十进制数，其结果为（ ） A. 81 B. 83C. 91D. 93【答案】B 【解析】 【分析】 利用k进制数化为十进制数的计算公式，1110110n n n n n n a a a a a k a k a k a ---=⨯+⨯++⨯+，从而得解。
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广东省海珠区高一数学下学期期末考试试题（含解析）一:选择题，给的四个选项中，只有一个是正确的．1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）A. 出租车车费与出租车行驶的里程B. 商品房销售总价与商品房建筑面积C. 铁块的体积与铁块的质量D. 人的身高与体重【答案】D【解析】【分析】根据函数的概念来进行判断。
【详解】对于A选项，出租车车费实行分段收费，与出租车行驶里程成分段函数关系；对于B选项，商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积，商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系；对于C选项，铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积，铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系；对于D选项，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高与体重之间没有必然联系，因人而异，D选项中两个变量之间的关系不是函数关系。
故选：D。
【点睛】本题考查函数概念的理解，充分理解两个变量之间是“一对一”或“多对一”的形式，考查学生对这些概念的理解，属于基础题。
2.在某次测量中得到A样本数据如下：43,50,45,55,60，若B样本数据恰好是A样本每个数都增加5得到，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A. 众数B. 中位数C. 方差D. 平均数【答案】C【解析】【分析】分别计算出A、B两个样本数据的众数、中位数、方差和平均数，再进行判断。
【详解】A 样本的数据为：43、50、45、55、60，没有众数，中位数为50，平均数为50.6，方差为39.44，B 样本的数据为：48、55、50、60、65，没有众数，中位数为55，平均数为55.6，方差为39.44，因此，两个样本数据的方差没变，故选：D 。
【点睛】本题考查样本的数据特征，考查对样本数据的众数、中位数、平均数以及方差概念的理解，熟练利用相关公式计算这些数据，是解本题的关键，属于中等题。
3.以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x 、y 的值分别为（ ）A. 55，B. 2,5C. 88，D. 58，【答案】D 【解析】 【分析】将甲组和乙组数据从小到大列出来，然后利用位数的定义和平均数的公式列方程组，解出x 和y 的值。
【详解】甲组的5个数分别为9、12、10x +、24、27或9、10x +、12、24、27，由于甲组数据的中位数为15，则有1015x +=，得5x =，组的5个数据分别为9、15、10x +、18、24，由于乙组的平均数为16.8，则有()91510182416.85y +++++=，解得8y =，故选：D 。
【点睛】本题考查茎叶图以及样本的数据特征，解决茎叶图中的数据问题，弄清楚主干中的数据作高位，叶子中的数据代表低位的数据，另外就是在列数据时，一般是按照由小到大或由大到小进行排列，考查计算能力，属于中等题。
4. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50),[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。
已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A. 588B. 480C. 450D. 120【答案】B 【解析】试题分析：根据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于60分的频率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴对应的学生人数是600×0.8=480 考点：频率分布直方图5.设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A. 若l β⊥，则αβ⊥ B. 若αβ⊥，则l m ⊥ C. 若//l β，则//αβ D. 若//αβ，则//l m【答案】A 【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l β⊥，l α⊂ 可得αβ⊥考点：空间线面平行垂直的判定与性质6.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =（ ）A. 3πB.23π C. 34πD. 56π【答案】B 【解析】 试题分析：，由正弦定理可得35a b =即53a b =； 因为，所以73c b =，所以22222222549151999cos 51022233b b b a bc C ab b +--+-====-⨯，而(0,)C π∈，所以，故选B.考点：1.正弦定理；2.余弦定理.7.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A. [3,1]--B. [1,3]-C. [3,1]-D.(,3][1,)∞-+∞【答案】C 【解析】由题意得圆心为(,0)a 2 圆心到直线的距离为12a d +=，由直线与圆有公共点可得122a +≤12a +≤，解得31a -≤≤。
∴实数a 取值范围是[3,1]-。
选C 。
8.已知直线10():ay a l x +-=∈R 是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则=AB （ ）A. 2B.C.D. 6【答案】D 【解析】 【分析】将圆C 的方程配成标准形式，确定圆心C 的坐标与圆的半径长r ，将圆心坐标代入直线l 的方程，得出a 的值，并计算出AC ，最后利用勾股定理计算AB =【详解】圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=，圆心为()2,1C ，半径长为2r ，易知，圆心C 在直线l ，则210a +-=，得1a =-，()4,1A ∴--，AC ∴==6AB ===。
故选：D 。
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算，在求解与圆有关的问题中，应将圆的方程表示成标准形式，确定圆心坐标和半径长，在计算切线长时，一般利用几何法，即勾股定理来进行计算，以点到圆心的距离为斜边、半径长和切线长为两直角边来计算，考查计算能力，属于中等题。
9.在三棱锥A BCD -中，已知所有棱长均为2，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）B.16C.13【答案】A 【解析】 【分析】取AD 的中点F ，连接CF 、EF ，于是得到异面直线CE 与BD 所成的角为CEF ∠，然后计算出CEF ∆的三条边长，并利用余弦定理计算出CEF ∠，即可得出答案。
【详解】如下图所示，取AD 的中点F ，连接CF 、EF ，由于E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则//EF BD ，且112EF BD ==， 所以，异面直线CE 与BD 所成的角为CEF ∠或其补角，三棱锥A BCD -是边长为2的正四面体，则ABC ∆、ACD ∆均是边长为2的等边三角形，E 为AB 的中点，则CE AB ⊥，且223CE AC AE =-=CF 3CEF ∆中，由余弦定理得2223cos 26231CE EF CF CEF CE EF +-∠===⋅⨯ 因此，异面直线CE 与BD 3A 。
【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下： （1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角； （2）二证：对异面直线所成的角进行说明；（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角。
10.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为 （ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】圆22:(3)(4)1C x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径为1， 圆心C 到(0,0)O 的距离为5，故圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6，再由90APB ∠=︒可得，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得12PO AB m ==， 所以6m ≤， 故m 的最大值为6． 故选C ．点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。
11.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积等于（ ） A.274πB. 16πC. 9πD.814π【答案】D 【解析】试题分析：不妨设球的半径为R ，由题意得球心必在正四棱锥的高上，设为点O ，如图所示，棱锥的侧棱32VA =，过点O 作OE 垂直于E ，则E 为VA 的中点，所以32VE =，由VEO VO A ∆~∆'，O '为正四棱锥的中心，因此VO OEVA O A ='，即22322322R ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，解得28116R =，所以所求球的表面积为28144S R ππ==球.故正确答案为D.考点：1.简单组合体；2.球的表面积.12.已知点A ,B ,C 在圆221x y +=上运动，且90ABC ∠=，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为 （ ）A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件得知点A 、C 关于原点对称，利用对称性得出2PA PB PC PO PB ++=+， 并设点(),B x y ，计算出向量()26,PO PB x y +=-，利用向量模的坐标公式，将问题转化为点()6,0M 到圆上一点(),B x y 的距离的最大值（即OM 加上半径）求出即可。
【详解】AC 为Rt ABC ∆的斜边，则AC 为圆221x y +=的一条直径，故AC 必经过原点， 则2PA PC PO +=，即2PA PB PC PO PB ++=+，设点(),B x y ， 设点所以，()()()222,02,6,PO PB x y x y +=-+-=-， 所以，(PA PB PC x ++=()6,0M 到圆上的点B 的距离， 所以，(617PA PB PC x OM r ++=≤+=+=，故选：C 。
【点睛】本题考查向量模的最值问题，在解决这类问题时，可设动点的坐标为(),x y ，借助向量的坐标运算，将所求模转化为两点的距离，然后利用数形结合思想求解，考查运算求解能力，属于难题。
二、填空题：把答案填在答题卡上.13.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体的侧面积是_____． 【答案】2π 【解析】 【分析】先确定旋转体为圆柱，根据条件得出圆柱的底面半径和母线长，然后利用圆柱侧面积公式计算可得出答案。