四川省新都一中高三十月月考数学文科试题

新都一中高三十月月考
数学（文）
一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

1. 若集合{}{}|23,|14A x x B x x x =-≤≤=<->或，则结合A B 等于
A 、{}|34x x x ≤>或
B 、{}
|13x x -<≤
C 、{}|34x x ≤<
D 、{}
|21x x -≤<-2. 下列函数中，与函数1
y x
=
有相同定义域的是 A 、()f x Inx = B 、()1
f x x
=
C 、()||f x x =
D 、()x
f x e
=3. 一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别 (0,10]
(10,20]
()20,30 ()30,40
(40,50] (50,60] (60,70]
频数 12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在()10,40上的频率为
A 、0.13
B 、0.39
C 、0.52
D 、0.64
4．已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为
A 、1
7
-
B 、
17 C 、16- D 、16
5. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解
析式是
A 、2
2cos y x = B 、2
2sin y x =
C 、1sin 24y x π⎛⎫
=++
⎪⎝
⎭
D 、cos 2y x
= 6. 在R 上定义运算;2a b ab a b =++，则满足()20x
x -<的实数x 的取值范围为
A 、()0,2
B 、()2,1-
C 、()
(),21,-∞-+∞
D 、()
1,2-
7. 已知,αβ表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
8. 如果函数()y f x =的图象如右图，那么导函数()y f x =的图象
可能是
9. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 A 、14 B 、24 C 、28 D 、48
10. 函数()1
x
f x x =
+的最大值为 A 、
25 B 、
1
2
C 、
22
D 、1
11．用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值。

设
(){}min 2,2,10x f x x x =+-()0x ≥，则()f x 的最大值为
A 、4
B 、5
C 、6
D 、7
12. 已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足()()4f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，则 A 、()()()251180f f f -<< B 、()()()801125f f f <<-
C 、()()()118025f f f <<-
D 、()()()
258011f f f -<<二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13. 在数列{}n a 中，2*125
4,,2
n n a n a a a an bn n N =-
++⋅⋅⋅=+∈，其中,a b 为常数，则
ab =
14. 函数()()
2|2|1
log 1x f x x --=
-的定义域为
15. 已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆
M 的面积为3π，则球O 的表面积等于 。

16. 设曲线()
1*n y x n N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则
12n x x x ⋅⋅⋅⋅的值为
三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. （本小题共12分）
已知函数()()sin f x A x x R ωϕ=+∈、（其中0,0,02
A π
ωϕ>><<
）的周期为π，
且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫
- ⎪⎝⎭。

（I ）求()f x 的解析式；
（II ）当0,
12x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的最值。

18. （本小题共12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11,3,60AB AC AA ABC ===∠=°。

（I ）证明：1AB A C ⊥；
（II ）求二面角1A A C B --的大小。

19. （本小题共12分）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互的，遇到红灯的
概率都是1
3
，遇到红灯时停留的时间都是2min 。

（I ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（II ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率。

20. （本小题共12分）
对于函数()f x ，若经过0x R ∈，使()00f x x =成立，则称点()00,x x 为函数的不动
点。

1. 已知函数()()2
0f x ax bx b a =+-≠有不动点()1,1和()3,3，求,a b 值；
2. 若对于任意的b ，函数()()2
0f x ax bx b a =+-≠总有两个相异的不动点，求实数
a 取值范围。

21. （本小题共12分） 设函数()()32
31132
a f x x x a x =
-+++，其中a 为实数， （I ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；
（II ）已知不等式()21f x x x a >--+对任意()0,a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范
围。

22. （本小题共14分） 设数列{}n a 的前n 项和为22n
n n S a =-，
（I ）求14,a a ；
（II ）证明：{}12n n a a +-是等比数列； （III ）求{}n a 的通项公式。

数学文参考答案
一、选择题： 1-5 DACAA 6-10 BBAAB CD
二、填空题 13. -1 14. {}|3x x ≥
15. 16π
16.
11
n + 三、解答题： 17.
（I ）2T πω=⇒= 过2,223A π⎛⎫
-⇒=
⎪⎝⎭ 则()2sin 2y x ϕ=+过2,23π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
即42sin 23πϕ⎛⎫
+=-
⎪⎝⎭
432,32
k k Z ππϕπ+=+∈ 2,6
k π
ϕπ=+且0,02
k π
ϕ<<
∴=
6
π
ϕ=
（II ）
012
x π≤≤
026
x π
≤≤
26
6
3
x π
π
π
≤+
≤
13y ∴≤≤
18.
（I ）
sin sin AC AB
ABC ACB
=∠∠
AB AC <
6
C π
∴∠=
即2
A π
∠=
直三棱柱
1AA AB AB AC AB ⊥⎫∴⇒⊥⎬⊥⎭
面11A ACC 1
AB AC ⇒⊥ （II ）如图建立直角坐标系
()(
)(11,0,0,3,0,3B C A (
)(1
1,
3,0,3BC BA ∴=-=-
设面1BA C 法向量为(),,1n x y =
则(
)
`130
3,1,130
n BC x y n n BA x ⎧⋅=-+=⎪∴=⎨
⋅=-+=⎪⎩
面1A AC 法向量为()1,0,0AB =
315
cos ,15
n AB ∴〈〉=
=
⨯∴二面角为15arccos
5
19.
（I ）解：即前2次不是红灯，第三次才是红灯，第4次不计
()2214
33327
P A =⨯⨯=
（II ）即4次中()()()04
0431******* P B 33121 P C 33122 P D 33B C C C D C ⎧⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎪
⎪
⎪⎛⎫⎛⎫=⎨ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪
⎪
⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎩
无红灯为次红灯为次红灯为
()()()728819
P B P C P D ++=
=
20.
1. 即2
ax bx b x +-=
()210ax b x b +--=有2根为1，3
∴解集13a b =⎧⎨=-⎩
2. 即()2f x ax bx b x =+-=总有两个不同解
()210ax b x b ∴+--=
()2
140b ab ∆=-+>对任意实数b 恒成立，
即()2
4210b a b +-+>
()2
4240a ∴∆=--<
01a ∴<<
21.
（I ）解：()()2
'31f x ax x a =-++
()()'13101f a a a =-++=⇒=
（II ）()2
2
311ax x a x x a -++>--+
()2
2220x
a x x +-->对于()0,a ∈+∞恒成立
即关于a 的一次函数()()
2222h a x a x x =+-- 只须：()2
020h x x =--≥
20x ∴-≤≤
22.
（I ）解：1n =时，111222a a a =-⇒=
2346,16,40a a a ===
（II ）22n
n n S a =-
11122n n n S a +++=-
11112222n n n n n n n S S a a a ++++∴-==--+
即122n
n n a a +-=
{}12n n a a +∴-为等比数列
（III ）
122n n a a +-=
1122n n n a a --∴-=
即
111222
n n n
n a a ---= 2n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭
是以112a =为首项12d =为公差的等差数列 ()
11
11222
n n a n n +∴
=+-= ()112n n a n -=+。