2018届高三数学(理)高考总复习：板块命题点专练(十)含解析

板块命题点专练（十）
解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2．
答案：F ＋V －E ＝2
2．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．
答案：A
3．(2015·陕西高考)观察下列等式： 1－12＝1
2
，
1－12＋13－14＝13＋14
，
1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16，
…
据此规律，第n 个等式可为_________________________________________． 解析：等式的左边的通项为12n －1－12n ，前n 项和为1－12＋13－14＋…＋
12n －1－12n ；右边的每个式子的第一项为1n ＋1，共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
n ＋n
． 答案：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)
1．(2014·江西高考)已知数列{a n } 的前 n 项和 S n ＝2，n ∈N *．
(1)求数列{a n } 的通项公式；
(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N * ，使得 a 1，a n ，a m 成等比数列． 解：(1)由S n ＝3n 2－n
2
，得a 1＝S 1＝1，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，当n ＝1时也适合． 所以数列{a n }的通项公式为：a n ＝3n －2． (2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，
只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2
＝1·(3m －2)，
即m ＝3n 2－4n ＋2，而此时m ∈N *，且m >n ．
所以对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 2．(2015·北京高考节选)已知数列{a n }满足：a 1∈N *
，a 1≤36，且a n ＋1＝⎩⎨
⎧
2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n ＞18
(n ＝1,2，…)．记集合M ＝{a n |n ∈N *}．
(1)若a 1＝6，写出集合M 的所有元素；
(2)若集合M 存在一个元素是3 的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数． 解：(1)6,12,24．
(2)证明：因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k 是3的倍数．
由a n ＋1＝⎩⎨
⎧
2a n ，a n ≤18，
2a n －36，a n >18
可归纳证明对任意n ≥k ，a n 是3的倍数．
如果k ＝1，则M 的所有元素都是3的倍数．
如果k >1，因为a k ＝2a k －1或a k ＝2a k －1－36，所以2a k －1是3的倍数，于是a k －1
是3的倍数．类似可得，a k －2，…，a 1都是3的倍数．
从而对任意n ≥1，a n 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数． 综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数．
n x ＞0，n ∈N ，n ≥2．
(1)证明：函数F n (x )＝f n (x )－2在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1内有且仅有一个零点(记为x n )，且
x n ＝1
2＋12
x n ＋1
n ；
(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )和 g n (x )的大小，并加以证明．
解：(1)证明：F n (x )＝f n (x )－2＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －2， 则F n (1)＝n －1＞0，
F n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝1＋12
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －2 ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＋1
1－
12
－2＝－12n ＜0，
所以F n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1内至少存在一个零点．
又F n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1＞0，
故F n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内单调递增，所以F n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1内有且仅有一个零点x n ．
因为x n 是F n (x )的零点，所以F n (x n )＝0，
即1－x n ＋1
n 1－x n －2＝0，故x n ＝12＋12
x n ＋1n ．
(2)由题设，f n (x )＝1＋x ＋x 2＋…＋x n ，
g n (x )＝
n ＋
x n ＋
2
，x ＞0．
当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )．
当x ≠1时，用数学归纳法可以证明f n (x )＜g n (x )． ①当n ＝2时，f 2(x )－g 2(x )＝－1
2(1－x )2＜0，
所以f 2(x )＜g 2(x )成立．
②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即f k (x )＜g k (x )． 那么，当n ＝k ＋1时，
f k ＋1(x )＝f k (x )＋x k ＋1＜
g k (x )＋x k ＋1
＝k ＋
＋x k
2
＋x k ＋1＝
2x k ＋1＋
k ＋x k ＋k ＋12
．
又g k ＋1(x )－2x k ＋1＋
k ＋x k ＋k ＋1
2
＝
kx k ＋1－k ＋
x k ＋1
2
，
令h k (x )＝kx k ＋1－(k ＋1)x k ＋1(x ＞0)， 则h k ′(x )＝k (k ＋1)x k －k (k ＋1)x k －1 ＝k (k ＋1)x k －1·(x －1)．
所以当0＜x ＜1时，h k ′(x )＜0，h k (x )在(0,1)上递减； 当x ＞1时，h k ′(x )＞0，h k (x )在(1，＋∞)上递增． 所以h k (x )＞h k (1)＝0， 从而g k ＋1(x )＞
2x k ＋1＋
k ＋x k ＋k ＋1
2
．
故f k ＋1(x )＜g k ＋1(x )，即n ＝k ＋1时不等式也成立． 由①和②知，对一切n ≥2的整数，都有f n (x )＜g n (x )．。