新华师大版数学九年级上册同步练习：23.2 相似图形

23.2 相似图形
知识点 1 相似图形的识别
1．下列四组图形中，不是相似图形的是( )
图23－2－1
2．观察图形，并填空：
图23－2－2 图23－2－3
图23－2－3中与图23－2－2(1)相似的图形有____________；与图23－2－2(2)相似的图形有____________；与图23－2－2(3)相似的图形有__________．(只填序号)
知识点 2 相似多边形的性质
3．如图23－2－4，如果甲、乙两个矩形相似，根据相似多边形的性质可得对应边的比值相等，即23＝（ ）（ ）
，由此解得x ＝________．
图23－2－4
4．用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若该四边形的边长扩大到原来的10倍，则下列说法正确的是( )
A ．∠A 是原来的10倍
B．周长是原来的10倍
C．每个内角都发生变化
D．有的边长发生变化，有的边长不发生变化
5．若两个多边形相似，则它们的内角和度数之比为________．
6．在中国地图册上，连结上海、香港、台湾三地，构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图23－2－5所示，已知飞机从台湾直飞到上海的路程为1286 km，那么飞机从台湾绕香港再到上海的路程是________km.
图23－2－5
7．如图23－2－6所示，两个四边形相似，求出未知边x，y的长度和角α的度数．
图23－2－6
8．如图23－2－7所示，在一个长30 m、宽20 m的矩形草坪内挖一个与原矩形相似的矩形水池，并且使它的长为5 m，求矩形水池的周长和面积．
图23－2－7
知识点3相似多边形的判定
9．下列说法中，正确的有()
①所有的正三角形都相似；②所有的正方形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；
④所有的矩形都相似；⑤所有的菱形都相似．
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．下列说法中正确的是()
A．对应角相等的两个边数相同的多边形相似
B．对应边相等的两个边数相同的多边形相似
C．对应角相等且对应边成比例的两个边数相同的多边形相似
D．对应角相等或对应边成比例的两个边数相同的多边形相似
11．如图23－2－8所示的三个矩形中，相似的是________．
图23－2－8
12．如图23－2－9，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a，b应满足的条件是()
图23－2－9
A．a＝2b B．a＝2b
C．a＝2b D．a＝4b
13．如图23－2－10，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC的中点，且▱AEFB与▱ABCD相
似，则AB
BC＝________．
图23－2－10
14．[教材练习第2题变式] 如图23－2－11，图中的两个矩形________(填“相似”或“不相似”)．
图23－2－11
15．如图23－2－12，G是正方形ABCD的对角线AC上一点，过点G作GE⊥AD于点E，GF⊥AB于点F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
图23－2－12
16. 如图23－2－13，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似．已知AB ＝4.
求：(1)AD 的长； (2)DM AB
的值．
图23－2－13
17．如图23－2－14，A n系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，A n纸对裁后可以得到两张A n＋1纸．
(1)填空：A1纸面积是A2纸面积的________倍，A2纸周长是A4纸周长的________倍；
(2)根据A n系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比；
(3)设A1纸张的质量为a克，试求出A8纸张的质量．(用含a的代数式表示)
图23－2－14
详解详析
1．D [解析] 因为A ，B ，C 项中图形的形状都相同，只是大小不同，所以这三项中的图形都是相似图形．D 项中的两个三角形形状不相同，不符合相似图形的定义，故选D.
2．④ ⑤ ⑥ 3.x 2.4 1.6 4．B 5.1∶1 6.3858 7．解：因为两个四边形相似， 所以x 7.6＝y 2.2＝3
6，∠F ＝∠B ＝125°，
所以x ＝3.8，y ＝1.1，
所以α＝360°－∠E －∠H －∠F ＝90°. 8．解：设矩形水池的宽为x m ，则有 530＝x 20，解得x ＝103
， ∴矩形水池的周长为⎝⎛⎭⎫103＋5×2＝50
3(m)， 矩形水池的面积为5×103＝50
3(m 2)．
9．B [解析] ①②③正确，④⑤错误． 10．C 11.甲与丙
12．B [解析] 对折两次后的小长方形的长为b ，宽为1
4
a .∵小长方形与原长方形相似，
∴a b ＝b
1
4
a ，∴a ＝2
b .故选B. 13.22 [解析] ∵AB BC ＝AE AB ＝12BC
AB ，
∴⎝⎛⎭⎫AB BC 2＝12，∴AB BC ＝22
.
14．相似 [解析] 因为两个图形都是矩形，所以所有的对应角都相等．又因为大矩形的
长与宽的比为2012＝5
3，小矩形的长与宽的比为20－2×512－2×3＝106＝53，所以这两个矩形的对应边成
比例，所以这两个矩形相似．
15．证明：∵GE ⊥AD ，GF ⊥AB ，四边形ABCD 为正方形，∴∠GEA ＝∠EAF ＝∠GF A
＝90°，
∴四边形EAFG 为矩形． ∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC 平分∠DAB . 又∵GE ⊥AD ，GF ⊥AB ，
∴GE ＝GF ，∴四边形EAFG 为正方形， ∴四边形AFGE 与四边形ABCD 相似．
16．解：(1)由已知，得MN ＝AB ，DM ＝12AD ＝1
2BC .
∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似， ∴
DM AB ＝MN
BC
， 即12AD AB ＝AB AD ， ∴1
2
AD 2＝AB 2， 由AB ＝4，得AD ＝4 2. (2)DM ＝1
2AD ＝2 2，
则
DM AB ＝2 24＝2
2
. 17．解：(1)∵A 1纸对裁后可以得到两张A 2纸， ∴A 1纸面积是A 2纸面积2倍．
设A 2纸的长为a ，宽为b ，则A 2纸的周长＝2(a ＋b )，则A 3纸的长是b ，宽是a
2
，A 4纸
的长是a 2，宽是b 2，A 4纸的周长＝2(a 2＋b
2
)＝a ＋b ，∴A 2纸周长是A 4纸周长的2倍．
故答案为2，2.
(2)∵设A 1纸的长和宽分别是m ，n ，则A 2纸的长和宽分别为n ，12m ，
∴m n ＝n 12
m ，即m
n
＝2，该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比为2∶1.
(3)∵A 1纸张的质量为a 克，A 2纸是A 1纸面积的一半， ∴A 2纸的质量为12a 克，同理，A 3纸的质量是1
4a 克，…，
∴A 8纸张的质量是(1
2)7a 克．。