新人教A版选修2_22020学年高中数学阶段质量检测(二)推理与证明

阶段质量检测(二) 推理与证明
(时间： 120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小顺序是( )
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
解析：选A ∵a＝3－2＝
1
3＋2
，
b＝6－5＝
1
6＋5
，c＝7－6＝
1
7＋6
，
又∵7＋6＞6＋5＞3＋2＞0，∴a＞b＞c.
2．求证：2＋3> 5.
证明：因为2＋3和5都是正数，
所以为了证明2＋3>5，
只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，
即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．
上述证明过程应用了( )
A．综合法B．分析法
C．综合法、分析法配合使用D．间接证法
解析：选B 证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．
3．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是( )
A．ac2＜bc2B．a2＞ab＞b2
C.1
a
＜
1
b
D.
b
a
＞
a
b
解析：选B a2－ab＝a(a－b)，
∵a＜b＜0，∴a－b＜0，∴a2－ab＞0，∴a2＞ab.①
又ab－b2＝b(a－b)＞0，∴ab＞b2，②
由①②得a2＞ab＞b2.
4．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是( )
A．0 B．1
C ．2
D ．3
解析：选C 由于a ，b ，c 不全相等，则a －b ，b －c ，c －a 中至少有一个不为0，故①正确；②显然成立；令a ＝2，b ＝3，c ＝5，满足a ≠c ，b ≠c ，a ≠b ，故③错．
5．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ac ＞0，abc ＞0，用反证法求证a ＞0，b ＞0，c ＞0时的反设为( )
A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0
B ．a ≤0，b ＞0，c ＞0
C ．a ，b ，c 不全是正数
D ．abc ＜0
解析：选C a ＞0，b ＞0，c ＞0的否定是：a ，b ，c 不全是正数．
6．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ≥2，n ∈N *
)的过程中，由n
＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )
A ．1项
B ．k 项
C ．2
k －1
项
D ．2k
项
解析：选D 当n ＝k 时，不等式左边的最后一项为1
2k －1，而当n ＝k ＋1时，最后一项
为
12k ＋1
－1＝1
2k －1＋2
k ，
并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k
项．
7．已知1＋2×3＋3×32
＋4×33
＋…＋n ×3n －1
＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *
都成立，那
么a ，b ，c 的值为( )
A ．a ＝12，b ＝c ＝14
B ．a ＝b ＝c ＝1
4
C ．a ＝0，b ＝c ＝14
D ．不存在这样的a ，b ，c
解析：选A 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪
⎧
3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，
27(3a －b )＋c ＝34.
所以a ＝12，b ＝c ＝1
4
.
8．已知f (x )＝x 3
＋x ，若a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋
f (c )的值( )
A ．一定大于0
B ．一定等于0
C ．一定小于0
D ．正负都有可能
解析：选A ∵f ′(x )＝3x 2
＋1>0，∴f (x )在R 上是增函数．又a ＋b >0，∴a >－b ，∴
f (a )>f (－b )．又f (x )＝x 3＋x 是奇函数，∴f (a )>－f (b )，即f (a )＋f (b )>0.同理，f (b )＋f (c )>0，f (c )＋f (a )>0，∴f (a )＋f (b )＋f (c )>0，故选A.
9．设x ，y ，z ＞0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y
( ) A ．都大于2
B ．至少有一个大于2
C ．至少有一个不小于2
D ．至少有一个不大于2
解析：选C 因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，
所以⎝
⎛⎭⎪⎫y x ＋y z ＋⎝
⎛⎭⎪⎫z x ＋z y ＋⎝
⎛⎭⎪⎫x z ＋x y ＝⎝
⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝
⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ＋⎝
⎛⎭
⎪⎫x z ＋z
x
≥6， 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.
10．用数学归纳法证明“1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)
”时，由
n ＝k 的假设证明n ＝k ＋1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为( )
A.1k ＋1＋…＋12k ＋1
2k ＋1 B.1k ＋1＋…＋12k ＋12k ＋1＋1
2k ＋2 C.1k ＋2＋…＋12k ＋1
2k ＋1 D.
1k ＋2＋…＋12k ＋1＋1
2k ＋2
解析：选D 当n ＝k ＋1时，右边应为 1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1
(k ＋1)＋(k ＋1)
＝
1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1
2k ＋2
.故D 正确． 二、填空题(本大题共7小题，多空题6分，单空题5分，共36分)
11．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．
答案：x ，y 都大于1 12．已知a >0，b >0，m ＝lg
a ＋b
2
，n ＝lg
a ＋b
2
，则m ，n 的大小关系是________．
解析：ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒ (a ＋b )2
>(a ＋b )2
⇒a ＋b >a ＋b ⇒
a ＋b
2
>
a ＋b
2
⇒lg
a ＋b
2
>lg
a ＋b
2
.
答案：m >n
13．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)________0(填“>”“<”或“＝”)．
解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数， 且当x ≥0时，f (x )单调递减， 可知f (x )是R 上的单调递减函数， 由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝ －f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0. 答案：<
14．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n 2
＝
n 4＋n 2
2
，其初始值为______，当n ＝k ＋1时，
其式子的左端应在n ＝k 时的左端再加上________________．
解析：代入验证可知n 的初始值为1.n ＝k 时的左端为1＋2＋3＋…＋k 2
，n ＝k ＋1时的左端为1＋2＋3＋…＋k 2
＋(k 2
＋1)＋(k 2
＋2)＋…＋(k ＋1)2
.故增加的式子为(k 2
＋1)＋(k 2
＋2)＋…＋(k ＋1)2
.
答案：1 (k 2
＋1)＋(k 2
＋2)＋…＋(k ＋1)2
15．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2
＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *
，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．
解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2
＋1－n ＝1
n 2＋1＋n
，
所以c n 随n 的增大而减小，所以c n ＋1＜c n . 答案：c n ＋1＜c n
16．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 2B 2C 2
是________三角形．
解析：由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．
由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－A 1，sin B 2
＝cos B 1
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1
，
sin C 2
＝cos C 1
＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－C 1
，得⎩⎪⎨⎪⎧
A 2＝π2
－A 1，
B 2
＝π
2－B 1
，
C 2
＝π2－C 1
.
那么A 2＋B 2＋C 2＝π
2，这与三角形内角和为π相矛盾．
所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形． 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．
答案：钝角
17．已知a >b >0，则①1a <1b
；②ac 2>bc 2；③a 2>b 2
；④a >b ，其中正确的序号是________．
解析：对于①，因为a >b >0，所以ab >0，1ab >0，a ·1ab >b ·1ab ，即1b >1
a
，故①正确；
当c ＝0时，②不正确；由不等式的性质知③④正确． 答案：①③④
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥
lg a ＋lg b
2
；
(2)6＋10>23＋2. 证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b
2
≥ab ，
∴lg a ＋b
2
≥lg ab ，
∴lg
a ＋
b 2≥1
2lg ab ＝lg a ＋lg b
2
. (2)要证 6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2
>(23＋2)2
， 即260>248，这是显然成立的， 所以原不等式成立．
19.(本小题满分15分)如图所示，设SA ，SB 是圆锥SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点，求证：AC 与平面SOB 不垂直．
证明：假设AC ⊥平面SOB ， 因为直线SO 在平面SOB 内， 所以SO ⊥AC ，
因为SO ⊥底面圆O ，所以SO ⊥AB . 因为AB ∩AC ＝A ，所以SO ⊥平面SAB .
所以平面SAB ∥底面圆O ，这显然与平面SAB 与底面圆O 相交矛盾，所以假设不成立，即AC 与平面SOB 不垂直．
20．(本小题满分15分)用数学归纳法证明11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝
n 2n ＋1(n ∈N *
)．
证明：①当n ＝1时，左边＝
11×3＝1
3
，
右边＝12×1＋1＝1
3
，
左边＝右边．所以当n ＝1时等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *
)时等式成立，即 11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)×(2k ＋1)＝k 2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，
左边＝11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)×(2k ＋1)＋1(2k ＋1)×(2k ＋3)
＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)×(2k ＋3)
＝k (2k ＋3)＋1(2k ＋1)×(2k ＋3)＝(2k ＋1)(k ＋1)
(2k ＋1)×(2k ＋3)
＝
k ＋1
2(k ＋1)＋1
＝右边．
所以当n ＝k ＋1时等式也成立．
根据①和②可知，等式对任何n ∈N *
都成立．
21．(本小题满分15分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *
)．
求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *
)． 证明：当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，
右边＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立．
假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *
)时，结论成立，即
f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]，
那么，当n ＝k ＋1时，
f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )
＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤f (k ＋1)－
1k ＋1－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1) ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *
)．
22．(本小题满分15分)已知f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ≠－1a ，a ＞0，且f (1)＝log 162，f (－2)
＝1.
(1)求函数f (x )的表达式；
(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))·…·(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，
x 4；
(3)猜想{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明．
解：(1)把f (1)＝log 162＝1
4，f (－2)＝1，代入函数表达式得
⎩
⎪⎨⎪
⎧
b ＋1(a ＋1)2＝1
4
，－2b ＋1
(1－2a )
2＝1，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
4b ＋4＝a 2
＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2
－4a ＋1，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝0⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＝－13<0舍去，
所以f (x )＝1
(x ＋1)2(x ≠－1)．
(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝3
4
，
x 2＝(1－f (1))(1－f (2))＝34×⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－19
＝23
，
x 3＝23(1－f (3))＝23
×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝58，
x 4＝5
8
(1－f (4))＝58
×⎝
⎛⎭⎪⎫1－125
＝35
.
(3)由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋2
2(n ＋1).
用数学归纳法证明：
①当n ＝1时，因为x 1＝34，而1＋22(1＋1)＝3
4
，所以猜想成立．
②假设当n ＝k (k ∈N *
)时，x n ＝n ＋22(n ＋1)成立，即x k ＝k ＋22(k ＋1)
，
则n ＝k ＋1时，
x k ＋1＝(1－f (1))(1－f (2))·…·(1－f (k ))·(1－f (k ＋1))
＝x k ·(1－f (k ＋1)) ＝k ＋22(k ＋1)·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－1(k ＋1＋1)2
＝
k ＋22(k ＋1)·(k ＋1)(k ＋3)
(k ＋2)
2
＝12·k ＋3k ＋2
＝
(k＋1)＋2
2[(k＋1)＋1]
.
所以当n＝k＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n∈N*，x n＝n＋2
2(n＋1)
都成立．。