中考数学专题探究-----面积问题(一)(含答案)

中考数学专题探究-----面积问题
面积问题在中考中占有很重要的地位，一般情况下，计算一些基本图形的面积，可以直接运用图形的面积公式，对于一些不规则的图形面积的计算，可以对图形进行转化，这类问题虽然解题方法比较灵活多样，但难度一般不太大。

但是，在中考压轴题中，有关面积的问题常常以动态的方式出现，经常与函数知识联系起来，有时还需要分类讨论。

因此，对考生要求较高，在解题时，要注意分清其中的变量和不变量，并把运动的过程转化成静止的状态，做到动静结合，以静求动。

考点一：面积的函数关系式问题
典型例题：
1、（2009年湖南衡阳）如图12，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ．
（1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；
（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？
（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为
)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．
解：（1）设点M 的横坐标为x ，则点M 的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）； 则：MC ＝∣－x+4∣＝－x+4，MD ＝∣x ∣＝x ；
∴C 四边形OCMD ＝2（MC+MD ）＝2（－x+4+x ）＝8
∴当点M 在AB 上运动时，四边形OCMD 的周长不发生变化，总是等于8； （2）根据题意得：S 四边形OCMD ＝MC ·MD ＝（－x+4）· x ＝－x 2+4x ＝－(x-2)2+4
∴四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x （0<x<4）的二次函数，并且当x ＝2，即当点M 运动到线段AB 的中点时，四边形OCMD 的面积最大且最大面积为4； （3）如图10（2），当20≤<a 时，421
21422+-=-
=a a S ； 如图10（3），当42<≤a 时，2
2)4(2
1)4(21-=-=a a S ；
∴S 与a 的函数的图象如下图所示：
图12（1）
图12（2）
图12（3）
2、（2009宁夏）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上
沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒． （1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面
积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 解：
（1）过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ． 则2AD =，
当MN 运动到被CD 垂直平分时，四边形MNQP 是矩形， 即3
2
AM =
时，四边形MNQP 是矩形， 3
2
t ∴=
秒时，四边形MNQP 是矩形．
tan 60PM AM =°=，
MNQP S ∴=四边形
（2）1°当01t <<时，
1
()2
MNQP S PM QN MN =+四边形·
1
1)2t ⎤=+⎦
2
=+
2°当12t ≤≤时
1
()2
MNQP S PM QN MN =+四边形·
)
)4<≤a C P
Q
B
A M N
C P
Q
B
A M N
C
P
Q
B
A M N
1)12t ⎤=
-⎦·
= 3°当23t <<时，
1
()2
MNQP S PM QN MN =+四边形·
1))2
t t ⎤=-+-⎦
=
3、（2010年辽宁丹东）
如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）． （1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）； （2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形．．．BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接．．
写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
解：（1） ∵A ，B ，C 三点与M ，N ，H ∴A （0，4），B （6，4），C （8，（2）设过A ，B ，C 三点的抛物线关系式为2
y ax bx c =++， ∵抛物线过点A （0，4），
∴4c =．则抛物线关系式为2
4y ax bx =++． 将B （6，4）， C （8，0）两点坐标代入关系式，得
C
P
Q
B A M N
3664464840a b a b ++=⎧⎨
++=⎩，． 解得1432
a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．
所求抛物线关系式为：213
442
y x x =-
++． （3）∵OA =4，OC =8，∴AF =4－m ，OE =8－m ．
∴AGF EOF BEC EFGB ABCO S S S S S =---△△△四边形梯形 21=OA （AB +OC ）12-AF ·AG 12-OE ·OF 1
2
-CE ·OA m m m m m 42
1)8(21)4(2186421⨯-----+⨯⨯=
）（ 2882
+-=m m （ 0＜m ＜4）
∵2
(4)12S m =-+． ∴当4m =时，S 的取最小值． 又∵0＜m ＜4，∴不存在m 值，使S 的取得最小值． （4
）当2m =-+GB =GF ，当2m =时，BE =BG ．
4、如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒；
（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒； （3）求y 与x 之间的函数关系式．
解：（1）6． （2）8．（3）①当03x <≤时，
B
（第28题）
Q 1
A B C D Q 2 P 3 Q 3 E
P 2 P 1 O
2
111sin 60222APQ y S AP AQ x x x ==︒==13
△1····． ②当3x <≤6时，
122222212
1sin 6021(12-2)22
APQ y S AP P Q AP CQ x x ==
︒=△=?····
=2
.x + ③当69x ≤≤时，设33P Q 与AC 交于点O ． (解法一)
过3Q 作3,Q E CB ∥则3CQ E △为等边三角形．
33333
212..Q E CE CQ x Q E CB COP EOQ ∴===-∴∥△∽△
3361
,2122
11
(212),
33
CP OC x OE EQ x OC CE x -∴
===-∴==-
3
33
3311
sin 60sin 6022AQP ACP COP y S S CP AC OC CP ===-△△△-S ··°··°
111(6)(212)(6)223x x x =
--⨯--·6．
2x =+-． （解法二）
如右图，过点O 作3OF CP ⊥于点F ，3OG CQ ⊥，于点,G 过点3P 作3P H DC ⊥交DC 延长线于点H ．
,
.
ACB ACD OF OG ∠=∠∴=
P 3
O A
B
C D
Q 3
G H F
又33,6,2122(6),CP x CQ x x =-=-=-
331
2CQP COQ S S ∴=△△
3
333321
,3
11
32
11(212)(6)3226).COP CP Q S S CQ P H x x x ∴==⨯=⨯--=
-△△···
又33
1
sin 602
ACP S CP AC =△··°
1(6)6226).2
x x =-⨯⨯=- 3AOP y S ∴=△
33
2
6)(6)26
ACP OCP S S x x =-=---△△
2x =+-
考点2、面积最值问题
典型例题：
1、（2008年广东广州）如图11，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC=2cm ，BC=4cm ，在等腰△PQR 中，∠QPR=120°，底边QR=6cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，且C 、Q 两点重合，如果等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为S 平方厘米 （1）当t=4时，求S 的值
（2）当4t ≤≤10，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值
解．（1）t ＝4时,Q 与B 重合，P 与D 重合， 重合部分是BDC ∆＝
323222
1
=⋅⋅ (2)当时，如图104≤≤t
QB=DP=t-4,CR=6-t,AP=6-t 由PQR ∆∽BQM ∆∽CRN ∆
得2)324(-=∆∆t S S PQR BQM 2
)326(t S S PQR
CRN -=∆∆ 22)4(43)3
24(-=-=∆∆t S t S PQR BQM
,22)6(43)326(t S t S PQR
CRN -=-=∆∆ S ＝32
55)-(t 23t)-(6434t 4333222
+-=---
）（ 当t 取5时，最大值为
32
5
当t 取6时，有最大值32 综上所述，最大值为32
5
二、名题精练：
1、（2009湖南永州）如图，在平面直角坐标系中，点A C 、的坐标分别为(10)(03)--，、，，点B 在x 轴
上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线1x =，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ． （1）求该二次函数的解析式；
图11
（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF
（3）求PBC
△面积的最大值，并求此时点P的坐标．
解：（1）设二次函数的解析式为
2(0)
y ax bx c a a b c
=++≠，、、为常数，
由抛物线的对称性知B点坐标为(30)
，，依题意得：
93
a b c
a b c
c
⎧-+=
⎪
++=
⎨
⎪
=
⎩
解得：
3
a
b
c
⎧
=
⎪
⎪
⎪⎪
=-
⎨
⎪
⎪
⎪
=
⎪⎩
∴所求二次函数的解析式为2
y x
=-
（2）P点的横坐标为m，P
∴2-
设直线BC的解析式为(0)
y kx b k k b
=+≠，、是常数，依题意，得
30
k b
b
+=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
3
k
b
⎧
=
⎪
∴⎨
⎪=
⎩
故直线BC的解析式为y x
=
∴点F的坐标为
3
m m
⎛
⎝
，
2(03)
3
PF m m
∴=-<<
（3）PBC
△的面积
1
2
CPF BPF
S S S PF BO
=+=
△△
·
=
2
2
13
3
22
m
⎛⎫⎫
⨯⨯=-
⎪⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
（第25题）
（第25题）
∴当3
2
m =
时，PBC △93
把3
2
m =
代入23233y =53y =∴点P 的坐标为35324⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，
2、（2007年淮安）在平面直角坐标系中，放置一个如图所示的直角三角形纸片AOB ，已知OA=2 ∠AOB=30°,D 、E 两点同时从原点O 出发，D 点以每秒3个单位长度的速度沿x 轴的正方向运动，E 点以每秒1个单位长度的速度沿y 轴的正方向运动，设D 、E 两点运动的时间为t 秒。

（1）点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 。

（2）在点D 、E 运动的过程中，直线DE 与直线OA 垂直吗？请说明理
(3)当t 在什么范围时，直线DE 与线段OA 有公共点？
（4）将直角三角形纸片AOB 在直线DE 下方的部分沿直线DE 向上折叠，设折叠后重叠部分的面积为s ，请写出s 与t 的函数关系式，并求出s 的最大值。

4、（2009年湖北恩施）如图12，在ABC △中，9010A BC ABC ∠==°，，△的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设DE x =，以DE 为折线将ADE △翻折（使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部
分的面积记为y ．
（1）用x 表示ADE △的面积；
（2）求出05x <≤时y 与x 的函数关系式； （3）求出510x <<时y 与x 的函数关系式； （4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？
解:(1) ∵ D E ∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴△ADE ∽△ABC ∴2
)(BC
DE S S ABC ADE =∆∆
即2
4
1x S ADE =
∆ (2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为5 ∴当0﹤5≤x 时 2
4
1x S y ADE =
=∆ （3）x ≤5﹤10时，点A '落在三角形的外部,其重叠部分为梯形
∵S △A 'DE =S △ADE =24
1x
图12
E
A '
D
B
C
A B C
A
∴DE 边上的高AH=AH '=x 2
1 由已知求得AF=5 ∴A 'F=AA '-AF=x-5 由△A 'MN ∽△A 'DE 知
2
DE A'MN A')H A'F A'(=∆∆S S
2MN A')5(-=∆x S
∴25104
3
)5(41222-+-=--=x x x x y （4）在函数2
4
1x y =中
∵0﹤x ≤5
∴当x=5时y 最大为：4
25 在函数
251043
2-+-=x x y 中
当3202=
-=a b x 时y 最大为：325
∵425﹤3
25
∴当320=x 时，y 最大为：3
25。