2021-2022年高考数学二轮复习 第一部分 层级一 45分的基础送分题练中自检无须挖潜

2021年高考数学二轮复习 第一部分 层级一 45分的基础送分题练中自检
无须挖潜
[全国卷3年考情分析]
年份
卷别
考查内容及考题位置
命题分析
xx
卷Ⅰ 集合的基本运算、指数不等式的解法·T 1
1.集合作为高考必考内容，多
年来命题较稳定，多以选择题形
式在前3题的位置进行考查，难
度较小．命题的热点依然会集中在集合的运算方面，常与简单的
一元二次不等式结合命题． 2.高考对常用逻辑用语考查的
频率较低，且命题点分散，其中含有量词的命题的否定、充分必
要条件的判断需要关注，多结合
函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等内容命题.
卷Ⅱ 集合的交集、一元二次方程的根·T 2
卷Ⅲ
集合的表示、集合的交集运算·T 1
xx 卷Ⅰ
集合的交集运算、一元二次不等式的解
法·T 1
卷Ⅱ
集合的并集运算、一元二次不等式的解
法·T 2
卷Ⅲ
集合的交集运算、一元二次不等式的解
法·T 1
xx
卷Ⅰ 特称命题的否定·T 3
卷Ⅱ
集合的交集运算、一元二次不等式的解
法·T 1
集合的概念及运算
[题点·考法·全练]
1．(xx·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则
B ＝( )
A ．{1，－3}
B ．{1,0}
C ．{1,3}
D ．{1,5}
解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2
－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．
2．(xx 届高三·安徽名校阶段测试)设A ＝{x |x 2
－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪
x <32
B.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪
⎪
1<x <3
2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪
⎪⎪
1≤x <
32 D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪⎪
3
2<x ≤3 解析：选 B A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3
－2x <1}＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪
1<x <
3
2，结合Venn 图知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪⎪
1<x <3
2. 3．(xx·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2
＋y 2
＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析：选B 因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.
4．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2,3,5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，
y ∈Q }中元素的个数为( )
A ．147
B ．140
C ．130
D ．117
解析：选B 由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y ＝2时，xy 是偶数，与y ＝3，y ＝5时，没有相同的元素，当y ＝3，x ＝5,15,25，…，95时，与y ＝5，x ＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140.
5．已知集合A ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，12，B ＝{x |mx －1＝0，m ∈R}，若A ∩B ＝B ，则所有符合条件
的实数m 组成的集合是( )
A ．{－1,0,2}
B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫－12，0，1 C ．{－1,2}
D.⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，0，12
解析：选A 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .若B 为∅，则m ＝0；若B ≠∅，则－m －1＝0或1
2
m －1＝0，解得m ＝－1或2.综上，m ∈{－1,0,2}．
[准解·快解·悟通]
轴求解交、并、补集等；看到M⊆N，想到集合M可能为空集．
准解题1.记牢集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
2.活用集合运算中的常用方法
(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解．
(2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解．
(3)Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解．
避误区1.在求集合的子集时，易忽视空集．
2.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
充分与必要条件的判断
[题点·考法·全练]
1．(xx·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 由2－x≥0，得x≤2，
由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/ 0≤x≤2，
故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．
2．(xx·惠州三调)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 设f(x)＝x2，y＝|f(x)|是偶函数，但是不能推出y＝f(x)的图象关于原点对称．反之，若y＝f(x)的图象关于原点对称，则y＝f(x)是奇函数，这时y＝|f(x)|是偶函数，故选C.
3．(xx·浙江高考)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 因为{a n}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5.
4．已知“x>k”是“
3
x＋1
<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]
解析：选A 由
3
x＋1
<1，可得
3
x＋1
－1＝
－x＋2
x＋1
<0，所以x<－1或x>2，因为“x>k”是
“
3
x＋1
<1”的充分不必要条件，所以k≥2.
5．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，
所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，
因为綈q ⇒綈p 但綈p ⇒/綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．
[准解·快解·悟通]
快审题
看到充分与必要条件的判断，想到定条件，找推式(即判定命题“条件
⇒结论”和“结论⇒条件”的真假)，下结论(若“条件⇒结论”为真，
且“结论⇒条件”为假，则为充分不必要条件).
用妙法
等价转化法妙解充分与必要条件判定题
根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题
进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．
避误区 “A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A
是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .
命题真假的判定与命题的否定
[题点·考法·全练]
1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2
＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若tan x ＝3，则x ＝π
3
”的逆否命题
解析：选B 对于选项A ，命题“若x ＞1，则x 2
＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2
≤1”，易知当x ＝－2时，x 2
＝4＞1，故选项A 为假命题；对于选项B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x 2
＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2
＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2
＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若tan x ＝3，则x ＝π
3”为假命题，故
其逆否命题为假命题，综上可知，选B.
2．(xx·全国卷Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2
>2n
，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2
>2n
B ．∃n ∈N ，n 2≤2n
C ．∀n ∈N ，n 2≤2n
D ．∃n ∈N ，n 2
＝2n
解析：选C 因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．
3．(xx·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧綈q
C．綈p∧q D．綈p∧綈q
解析：选B 当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．
[准解·快解·悟通]
[专题过关检测]
一、选择题
1．(xx·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B ＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选C 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．
2．(xx·成都一诊)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是( )
A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c
B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b
C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b
D ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c
解析：选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”．
3．(xx·广西三市第一次联考)设集合A ＝{x |8＋2x －x 2
>0}，集合B ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *
}，则A ∩B 等于( )
A ．{－1,1}
B ．{－1,3}
C ．{1,3}
D ．{3,1，－1}
解析：选C ∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{1,3,5，…}， ∴A ∩B ＝{1,3}．
4．(xx·郑州第二次质量预测)已知集合A ＝{x |log 2x ≤1}，B ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1
x >1
，则A ∩(∁R B )＝( )
A ．(－∞，2]
B ．(0,1]
C ．[1,2]
D ．(2，＋∞)
解析：选C 因为A ＝{x |0<x ≤2}，B ＝{x |0<x <1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |0<x ≤2}∩{x |x ≤0或x ≥1}＝{x |1≤x ≤2}．
5．(xx·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2
. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.
反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．
故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．
6．(xx 届高三·湘中名校联考)已知集合A ＝{x |x 2
－11x －12＜0}，B ＝{x |x ＝2(3n ＋1)，
n ∈Z}，则A ∩B 等于( )
A ．{2}
B ．{2,8}
C ．{4,10}
D ．{2,4,8,10}
解析：选B 因为集合A ＝{x |x 2
－11x －12＜0}＝{x |－1＜x ＜12}，集合B 为被6整除余数为2的数．又集合A 中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余数为2的数有2和8，所以A ∩B ＝{2,8}．
7．(xx·石家庄调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)<0}，则( )
A ．A ∩
B ＝∅ B ．A ∪B ＝U
C ．∁U B ⊆A
D ．∁U A ⊆B
解析：选A 由(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1，所以B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝∅，A ∪B ＝{x |x >－2}，∁U B ＝{x |x ≥1或x ≤－2}，A ⊆∁U B ，∁U A ＝{x |x <1}，B ⊆∁U A ，故选A.
8．若x ∈A ，则1
x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的
所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )
A ．15
B ．16
C ．28
D ．25
解析：选A 本题关键看清－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和12
这“四大”元素所能组成的集合．所以满足条件的集合的个数为24
－1＝15. 9．(xx·郑州第一次质量预测)已知命题p ：1a >14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2
＋ax ＋1>0，则p
成立是q 成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 命题p 等价于0<a <4.命题q ，对∀x ∈R ，ax 2
＋ax ＋1>0，必有a ＝0或
⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，a 2
－4a <0，则0≤a <4，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件．
10．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )
A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫0，π2
，f (x )≥0
B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0
C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0
D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )>0 解析：选C 因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2
时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0恒成立，所以
p 是真命题．而p 的否定为∃x 0∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，π2
，f (x 0)≥0，故选C.
11．已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x
2
－a
在(0，＋∞)上是减函数．若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，2]
C ．(1,2]
D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)
解析：选C 由题意可得，对命题p ，令f (0)·f (1)<0，即－1·(2a －2)<0，得a >1；对命题q ，令2－a <0，即a >2，则綈q 对应的a 的范围是(－∞，2]．因为p 且綈q 为真命题，所以实数a 的取值范围是(1,2]．
12．在下列结论中，正确的个数是( )
①命题p ：“∃x 0∈R ，x 2
0－2≥0”的否定形式为綈p ：“∀x ∈R ，x 2
－2<0”； ②O 是△ABC 所在平面上一点，若OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→
，则O 是△ABC 的垂心；
③“M >N ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭
⎪⎫23N
”的充分不必要条件；
④命题“若x 2
－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2
－3x －4≠0”． A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选C 由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确． ∵OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→，
∴OB ―→·(OA ―→－OC ―→)＝0，即OB ―→·CA ―→
＝0， ∴OB ―→⊥CA ―→.
同理可知OA ―→⊥BC ―→，OC ―→⊥BA ―→
，故点O 是△ABC 的垂心，∴②正确．
∵y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x
是减函数，
∴当M >N 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫23M <⎝ ⎛⎭⎪⎫23N ，当⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭
⎪⎫23N
时，M <N .
∴“M >N ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭
⎪⎫23N
”的既不充分也不必要条件，∴③错误．
由逆否命题的写法可知，④正确． ∴正确的结论有3个． 二、填空题
13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x
－x －a 有零点，则綈p ：________________________.
解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x
0－x －a 0没有零点．
答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x
0－x －a 0没有零点
14．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，集合M ＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪
⎪
y －3x －2
＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.
解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}， 所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}． 则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}． 答案：{(2,3)} 15．已知命题p ：不等式
x
x －1
＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”
是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是________．
解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，所以命题q 是假命题，所以①③正确．
答案：①③
16．a ，b ，c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 不是年龄最小，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a ，b ，c 的年龄由小到大依次是________．
解析：显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看． 由命题A 可知，当b 不是最大时，则a 是最小，所以c 最大，即c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“若a 的年龄不是最小，则b 的年龄是最大”为真，即b >a >c .
同理，由命题B 为真可得a >c >b 或b >a >c .
故由A 与B 均为真可知b >a >c ，所以a ，b ，c 三人的年龄大小顺序是：b 最大，a 次之，
c 最小．
答案：c ，a ，b
送分专题(二) 函数的图象与性质
[全国卷3年考情分析]
年份
卷别 考查内容及考题位置 命题分析
xx
卷Ⅰ 利用函数的单调性、奇偶性求解不等式·T 5
1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方
卷Ⅲ
分段函数与不等式的解
法·T 15
面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函
数图象的判断．
2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.
xx
卷Ⅰ 函数图象的判断·T 7 xx
卷Ⅰ
偶函数的定义·T 13 卷Ⅱ
分段函数求值·T 5
函数图象的判断·T 10
函数及其表示
[题点·考法·全练]
1．(xx·广州综合测试)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋1
，x ≤0，
1－log 2x ，x >0，
则f (f (－3))＝( ) A.4
3
B ．23
C ．－43
D ．3
解析：选D 因为f (－3)＝2－2
＝14，
所以f (f (－3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－log 214＝3. 2．函数y ＝1－x
2
2x 2－3x －2的定义域为( )
A ．(－∞，1]
B ．[－1,1]
C ．[1,2)∪(2，＋∞)
D.⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 解析：选D 要使函数y ＝1－x
2
2x 2－3x －2
有意义，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2
≥0，2x 2
－3x －2≠0，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－1
2，
即－1≤x ≤1且x ≠－1
2
，
所以该函数的定义域为⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1. 3．(xx·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≤0，
2x
，x >0，
则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12>1的x 的取
值范围是________．
解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >1
2讨论．
当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－1
4，
∴－1
4
<x ≤0.
当0<x ≤12时，原不等式为2x
＋x ＋12>1，显然成立．
当x >12时，原不等式为2x
＋2x －12
>1，显然成立．
综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，＋∞
4．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式为________．
解析：由题意知：a ≠0，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2
＋(2a ＋ab )x ＋2a 2
是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以2a ＋ab ＝0，b ＝－2.所以f (x )＝－2x 2
＋2a 2
，因为它的值域为(－∞，2]，所以2a 2
＝2.所以f (x )＝－2x 2
＋2.
答案：f (x )＝－2x 2
＋2
5．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－2a x ＋3a ，x <1，2x －1
，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是
________．
解析：当x ≥1时，f (x )＝2
x －1
≥1，
∵函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－2a x ＋3a ，x <1，
2x －1
，x ≥1的值域为R ，
∴当x <1时，y ＝(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1]内的所有实数，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－2a >0，
1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜1
2
.
答案：
⎣⎢
⎡
⎭⎪
⎫0，
1
2
[准解·快解·悟通]
快审题
1.看到求定义域，想到解析式中自变量的限制条件．
2.看到分段函数，想到在不同的定义区间上的对应关系不同．
准解题
掌握分段函数问题的5种常见类型及解题策略
(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”
的函数值，要从最内层逐层往外计算．
(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式
求解，但要注意取值范围是大前提．
(4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．
(5)奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断.
函数的图象及应用
[题点·考法·全练]
1．(xx届高三·安徽名校阶段性测试)函数y＝
x2ln|x|
|x|
的图象大致是( ) 解析：选D 易知函数y＝
x2ln|x|
|x|
是偶函数，可排除B，当x>0时，y＝x ln x，y′＝ln x＋1，令y′>0，得x>e－1，所以当x>0时，函数在(e－1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D正确，故选D.
2．已知函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的图象可能是( )
解析：选B 函数f(x－1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f(x)的图象，因为
函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A 、C 、D ，选B.
3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＋x 2
，|x |≥1，
x ，|x |<1
的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函
数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是( )
A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
C ．[0，＋∞)
D ．[1，＋∞)
解析：选C 因为函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＋x 2
，|x |≥1，
x ，|x |<1的图象过点(1,1)，
所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
，|x |≥1，
x ，|x |<1.画出函数y ＝f (x )
的图象(如图所示)，由于函数g (x )是二次函数，值域不会是选项A 、B ，易知，当g (x )的值域是[0，＋∞)时，f (g (x ))的值域是[0，＋∞)．
[准解·快解·悟通]
快审题
看到图象问题，想到函数的性质及特殊点(值).
准 解 题
巧用识别函数图象的4种方法
(1)特例排除法：其中用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点．
(2)性质验证法：根据函数的单调性，判断图象的变化趋势；根据函数的奇偶性，判断图象的对称性；根据周期性，判断图象的循环往复．
(3)图象变换法：有关函数y ＝f (x )与函数y ＝af (bx ＋c )＋h 的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可顺利破解此类问题．
(4)导数法：判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值． 用妙法
数形结合法妙解函数有关问题
对于函数中值域问题、零点问题、参数范围问题常利用数形结合法．在解题过程中，可以先根据题意作出草图，然后参照草图的形状、位置、性质，综
合图象的特征得出结论.
函数的性质及应用
[题点·考法·全练]
1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )
A ．f (x )＝1
x
－x
B ．f (x )＝x 3
C ．f (x )＝ln x
D ．f (x )＝2x
解析：选A “∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”等价于
f (x )在(0，＋∞)上为减函数，易判断f (x )＝1
x
－x 满足条件．
2．(xx·广西三市第一次联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (2log 3a )>f (－2)，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，3)
B ．(0，3)
C ．(3，＋∞)
D ．(1，3)
解析：选B ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，∴
f (2lo
g 3a )>f (2)．∵2log 3a >0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2log 3a <2⇒log 3a <
1
2
⇒0<a < 3.
3．(xx·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x
，则f (919)＝________.
解析：∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)．
又f (x )为偶函数，∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. 答案：6
4．(xx·福建普通高中质量检测)已知函数f (x )＝x 2
(2x －2－x
)，则不等式f (2x ＋1)＋
f (1)≥0的解集是________．
解析：因为f (－x )＝(－x )2
(2－x
－2x )＝－x 2(2x －2－x
)＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函
数．不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0等价于f(2x＋1)≥f(－1)．易知，当x>0时，函数f(x)为增函数，所以函数f(x)在R上为增函数，所以f(2x＋1)≥f(－1)等价于2x＋1≥－1，解得x≥－1.
答案：{x|x≥－1}
[准解·快解·悟通]
1.掌握判断函数单调性的常用方法
数形结合法、结论法(“增＋增”得增、“减＋减”得减及复合函数的“同增异
减”)、定义法和导数法.
2.熟知函数奇偶性的3个特点
(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．
(3)对于偶函数而言，有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
3.记牢函数周期性的3个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝1
f x
，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－1
f x
，则T＝2a.(a>0)
[专题过关检测]
一、选择题
1．函数f(x)＝
1
x－1
＋x的定义域为( )
A．[0，＋∞)B．(1，＋∞) C．[0,1)∪(1，＋∞) D．[0,1)
解析：选C 由题意知⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －1≠0，
x ≥0，
∴f (x )的定义域为[0,1)∪(1，＋∞)．
2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1
x
B ．y ＝|x |－1
C ．y ＝lg x
D ．y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |
解析：选B A 中函数y ＝1
x
不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.
3．已知函数f (x )＝2×4x
－a 2x
的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x
＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )
A ．1
B ．－1
C ．－12
D ．14
解析：选B 由题意得f (0)＝0，∴a ＝2.
∵g (1)＝g (－1)，∴ln(e ＋1)－b ＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ＋1＋b ， ∴b ＝12，∴log 21
2＝－1.
4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
ax ＋b ，x <－1，ln x ＋a ，x ≥－1
的图象如图所示，则f (－
3)等于( )
A ．－1
2
B ．－5
4
C ．－1
D ．－2
解析：选 C 由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，∴a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝
⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋5，x <－1，ln x ＋2，x ≥－1，
故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
5．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，若f (x ＋2 017)＝⎩⎨
⎧
2sin x ，x ≥0，
lg －x ，x <0，
则f ⎝
⎛⎭⎪⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝( ) A ．2 016 B.1
4
C ．4 D.1
2 016
解析：选C 由题意得，f ⎝
⎛⎭⎪⎫2 017＋π4＝2sin π4＝1， f (－7 983)＝f (2 017－10 000)＝lg 10 000＝4，
∴f ⎝
⎛⎭⎪⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝4.
6．函数y ＝sin x
x
，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是( )
解析：选A 函数y ＝sin x x
，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y 轴对
称，排除B 、C ，又当x 趋近于π时，y ＝sin x x
趋近于0，故选A.
7．(xx·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3
－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12，则f (6)＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．2
解析：选D 由题意知，当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝fx －12，则f (x ＋1)＝f (x )．
又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x ＜0时，f (x )＝x 3
－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.
8．如图，动点P 在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，
MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )
解析：选B 设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝26
3x ，是一次函数，
所以排除D.故选B.
9．(xx·贵阳模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2
，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )
A ．－1
B ．1
C ．6
D ．12
解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3
－2.
∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 10．函数f (x )＝
ax ＋b
x ＋c 2
的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A ．a >0，b >0，c <0
B ．a <0，b >0，c >0
C ．a <0，b >0，c <0
D ．a <0，b <0，c <0 解析：选C ∵f (x )＝ax ＋b
x ＋c 2
的图象与x 轴，y 轴分别交于N ，M ，且点M 的纵坐标与
点N 的横坐标均为正，
∴x ＝－b a >0，y ＝b c
2>0，故a <0，b >0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c >0，c <0，故选C.
11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有
f x 1－f x 2
x 1－x 2
<1，且函数y ＝f (x )
的图象关于原点对称，若f (2)＝2，则不等式f (x )－x >0的解集是( )
A ．(－2,0)∪(0,2)
B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C ．(－∞，－2)∪(0,2)
D ．(－2,0)∪(2，＋∞)
解析：选 C (转化法)由
f x 1－f x 2x 1－x 2<1，可得[f x 1－x 1]－[f x 2－x 2]
x 1－x 2
<0.
令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2.
12．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2
，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )
A ．有最小值－1，最大值1
B ．有最大值1，无最小值
C ．有最小值－1，无最大值
D ．有最大值－1，无最小值
解析：选C 作出函数g (x )＝1－x 2
和函数|f (x )|＝|2x
－1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．
二、填空题
13．函数f (x )＝ln 1
|x |＋1的值域是________．
解析：因为|x |≥0，所以|x |＋1≥1. 所以0＜1|x |＋1≤1.所以ln 1
|x |＋1≤0，
即f (x )＝ln 1
|x |＋1的值域为(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
14．(xx 届高三·安徽名校阶段性测试)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，
f (x )＝2x ，则f (lo
g 49)＝________.
解析：因为log 49＝log 23>0，又f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x
，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－2－log 23＝－2log 213＝－13
.
答案：－1
3
15．若当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2
的图象始终在函数y ＝log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是________．
解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝(x －1)2
和y ＝log a x 的图象，由于当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2
的图象恒在函数y
＝log a x 的图象的下方，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a >1，
log a 2≥1，解得1<a ≤2.
答案：(1,2]
16．(xx·惠州三调)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函
数y ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；
②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中真命题的序号为____________．
解析：f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，
①正确；
函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34，0对称，
②正确；
因为f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f ⎝
⎛⎭
⎪⎫－3
2＋x ，
又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3
2＋x ＋32＝－f (x )，
所以f (－x )＝f (x )，③正确； f (x )是周期函数在R 上不可能是单调函数，④错误．
故真命题的序号为①②③. 答案：①②③
送分专题(三) 平面向量
[全国卷3年考情分析]
位置关系·T 12
3～7或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．
2.有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等
其他知识相交汇综合命题，难度中等.
xx
卷Ⅰ
向量的数量积、向量数量积的坐标运算·T 13
卷Ⅱ 向量垂直的应用·T 3 卷Ⅲ 向量的夹角问题·T 3
xx
卷Ⅰ
平面向量的线性运算·T 7
卷Ⅱ 平面向量共线定理的应用·T 13
平面向量的概念及线性运算
[题点·考法·全练]
1．(xx·贵州适应性考试)已知向量e 1与e 2不共线，且向量AB ―→＝e 1＋me 2，AC ―→
＝ne 1＋
e 2，若A ，B ，C 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )
A ．mn ＝1
B ．mn ＝－1
C ．m ＋n ＝1
D ．m ＋n ＝－1
解析：选A 法一：因为A ，B ，C 三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得AB
―→
＝λAC ―→
，所以有e 1＋me 2＝nλe 1＋λe 2，由此可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＝nλ，m ＝λ，所以mn ＝1.
法二：因为A ，B ，C 三点共线，所以必有1n ＝m
1，
所以mn ＝1.
2.如图所示，下列结论正确的是( )
①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝3
2
a ＋
b .
A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
解析：选C ①根据向量的加法法则，得PQ ―→＝32a ＋3
2b ，故①正确；②根据向量的减法
法则，得PT ―→＝32a －32b ，故②错误；③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝32a ＋3
2b －2b ＝32a －12
b ，故③正确；
④PR ―→＝PQ ―→＋QR ―→＝32a ＋3
2b －b ＝32a ＋12
b ，故④错误．故正确命题的结论为①③.
3．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→
＝0，则|AB ―→
||BC ―→|＝________.
解析：由已知得OA ―→－OB ―→＝2(OB ―→－OC ―→)，即BA ―→＝2CB ―→
， ∴|BA ―→|＝2|CB ―→
|，∴|AB ―→||BC ―→|＝2.
答案：2
4．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则m
n
等于________．
解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
λn ＝m ，－λ＝2，
解得m n
＝－2.
答案：－2
[准解·快解·悟通]
准解题1.掌握平面向量线性运算的2种技巧
(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．
(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．
2.记牢向量共线问题的4个结论
(1)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(2)直线的向量式参数方程，A，P，B三点共线⇔OP
―→
＝(1－t)·OA
―→
＋t OB
―→
(O为平面内任一点，t∈R).
(3) OA
―→
＝λOB
―→
＋μOC
―→
(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1，当且仅当x2y2≠0时，a∥b⇔
x1
x2
＝y1
y2
.
平面向量的数量积
[题点·考法·全练]
1．已知向量m＝(t＋1,1)，n＝(t＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则t＝( )
A．0 B．－3
C．3 D．－1
解析：选B 法一：由(m＋n)⊥(m－n)可得(m＋n)·(m－n)＝0，即m2＝n2，故(t＋1)2
＋1＝(t＋2)2＋4，解得t＝－3.
法二：m＋n＝(2t＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，∵(m＋n)⊥(m－n)，∴－(2t＋3)－3＝0，解得t＝－3.
2．(xx·洛阳统考)已知向量a＝(1,0)，|b|＝2，a与b的夹角为45°，若c＝a＋b，d＝a－b，则c在d方向上的投影为( )
A.
5
5
B．－
5
5
C．1 D．－1
解析：选 D 依题意得|a|＝1，a·b＝1×2×cos 45°＝1，|d|＝a－b2＝
a 2＋
b 2－2a ·b ＝1，
c ·
d ＝a 2－b 2＝－1，因此c 在d 方向上的投影等于c ·d
|d |
＝－1.
3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎭⎪⎫－2，12
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞
C ．(－2，＋∞)
D ．[－2，＋∞)
解析：选B 当a ，b 共线时，2k －1＝0，k ＝1
2，此时a ，b 方向相同，夹角为0，所以
要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b >0且a ，b 不共线．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，又k ≠1
2，
即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞，选B. 4．(xx·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析：法一：易知|a ＋2b |＝|a |2
＋4a ·b ＋4|b |2
＝
4＋4×2×1×1
2
＋4＝2 3.
法二：(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC ―→
|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.
答案：2 3
5．(xx·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
解析：因为
3e 1－e 2·e 1＋λe 2
|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2
， 故
3－λ
21＋λ2
＝12
，解得λ＝33. 答案：3
3
[准解·快解·悟通]
快审题
1.看到向量垂直，想到其数量积为零．
2.看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式．
避误区
两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两
个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线.
平面向量在几何中的应用
[题点·考法·全练]
1．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，点D 在边AC 上，且2AD ―→＝DC ―→，则BA ―→·BD ―→
的值是( )
A ．48
B ．24
C ．12
D ．6
解析：选B 法一：由题意得，BA ―→·BC ―→＝0，BA ―→·CA ―→＝BA ―→·(BA ―→－BC ―→)＝|BA ―→
|2
＝36，∴BA ―→·BD ―→＝BA ―→·(BC ―→＋CD ―→)＝BA ―→·⎝ ⎛⎭
⎪⎫BC ―→＋23 CA ―→ ＝0＋23×36＝24.
法二：(特例法)若△ABC 为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (6,0)，C (0,6)．
由2AD ―→＝DC ―→
，得D (4,2)． ∴BA ―→·BD ―→
＝(6,0)·(4,2)＝24.
2.如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→
，则x ＋2y 的最小值为( )
A ．2 B.13 C.
3＋22
3
D.34
解析：选C 由已知可得AG ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13x AM ―→＋13y AN ―→
，又M ，
G ，N 三点共线，故13x ＋13y ＝1，∴1x ＋1y ＝3，则x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·13＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2y x ＋x y ≥3＋22
3
(当且仅当x ＝2y 时取等号)．
3．(xx·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→
)的最小值是( )
A ．－2
B ．－3
2
C ．－43
D ．－1
解析：选B 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，
C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→
＝(－1－x ，－y )，
PC ―→＝(1－x ，－y )，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→
)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2
＋2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫y －
322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→
)取得最小值，为－32. 4．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，点P 在线段BC 上运动，且满足CP ―→
＝λCB ―→，当PA ―→·PC ―→
取到最小值时，λ的值为( )
A.1
4 B.1
5 C.16
D.18
解析：选 D 如图所示，建立平面直角坐标系．不妨设BC ＝4，
P (x,0)(0≤x ≤4)，则A (3，3)，C (4,0)，∴PA ―→·PC ―→
＝(3－x ，3)·(4
－x,0)＝(3－x )(4－x )＝x 2
－7x ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －722－14
.
当x ＝72时，PA ―→·PC ―→
取得最小值－14.
∵CP ―→＝λCB ―→，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0＝λ(－4,0)，
∴－4λ＝－12，解得λ＝1
8
.故选D.
5.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP ―→＝3PD ―→，AP ―→·BP ―→
＝2，则AB ―→·AD ―→
的值是________．
解析：因为AP ―→＝AD ―→＋DP ―→＝AD ―→＋14AB ―→
，
BP ―→＝BC ―→＋CP ―→＝AD ―→－34
AB ―→，
所以AP ―→·BP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―
→＋14AB ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－34AB ―→＝
|AD ―→|2－316|AB ―→|2－12
AD ―→·AB ―→
＝2，
将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB ―→·AD ―→
＝22. 答案：22
[准解·快解·悟通]
[专题过关检测] 一、选择题
1．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－3
2
B ．－53
C.53
D ．32
解析：选A 因为c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－3
2
.
2．(xx·贵州适应性考试)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2,3)，若a ＋λb 与
c 共线，则实数λ＝( )
A.25 B ．－2
5
C.35
D ．－3
5
解析：选B 法一：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2,3)，因为a ＋λb 与c 共线，所。