〖2021年整理〗《高中数学理科北师大版一轮第10章二项式定理》优秀教案

二项式定理
[考试要求]会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
1．二项式定理
1二项式定理：a＋b n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n n∈N*；
2通项公式：T r＋1＝C错误!a n－r b r，它表示第r＋1项；
3二项式系数：二项展开式中各项的系数C错误!，C错误!，…，C错误!
2．二项式系数的性质
10≤r≤n时，C错误!与C错误!的关系是C错误!＝C错误!
2二项式系数先增后减中间项最大
当n为偶数时，第错误!＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第错误!项和错误!项的二项式系数最大，最大值为
3．各二项式系数和
1a＋b n展开式的各二项式系数和：C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝2n
2偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝2n－1
错误!
1C错误!＝1；2C错误!＝1；3C错误!＝C错误!；
4C错误!＝C错误!＋C错误!
一、易错易误辨析正确的打“√”，错误的打“×”
1C错误!a n－r b r是a＋b n的展开式中的第r项．
2二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．
3a＋b n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．
4通项T r＋1＝C错误!a n－r b r中的a和b不能互换．
[答案]1×2×3√4√
二、教材习题衍生
1．1－24展开式中第3项的二项式系数为
A．6B．－6
C．24D．－24
A[1－24展开式中第3项的二项式系数为C错误!＝]
2．二项式错误!5的展开式中32的系数是
A．5 B．－2021
C．2021．－5
A[二项式错误!5的通项为T r＋1＝C错误!·错误!5－r－2r根据题意，得错误!解得r＝错误!错误!3×－22＝]
3．错误!为
A．1 B．2
C．2 019 D．2 019×2 02021[原式＝错误!＝错误!＝]
4．若－14＝a0＋a1＋a22＋a33＋a44，则a0＋a2＋a4的值为________．
8[令＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0；令＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8]
考点一二项式展开式的通项公式的应用
形如a＋b n的展开式问题
二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：
1求通项，利用a＋b n的展开式的通项公式T r＋1＝C错误!a n－r b r r＝0,1,2，…，n求通项．
2列方程组或不等式组，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程组或不等式组．3求特定项，先由方程组或不等式组求得相关参数，再根据要求写出特定项．
[典例1－1]1错误!5的展开式中4的系数为
A．10B．2021
C．40D．80
2若错误!5的展开式中5的系数是－80，则实数a＝________
32021·浙江高考在二项式错误!＋9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．
1C2－2316错误!5[1T r＋1＝C错误!25－r·错误!r＝C错误!2r10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以4的系数为C错误!×22＝40
2错误!5的展开式的通项T r＋1＝C错误!a25－r·＝C错误!a5－r ·，令10－错误!r＝5，得r＝2，所以C错误!a3＝－80，解得a＝－2
3由题意，错误!＋9的通项为T r＋1＝C错误!错误!9－rr r＝0,1,2，…，9，当r＝0时，可得常数项为T1＝C错误!错误!9＝16错误!；若展开式的系数为有理数，则r＝1,3,5,7,9，有T2, T4, T6, T8, T10共5个项．]
点评：已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第＋1项，由特定项得出值，最后求出其参数．
形如a＋b n c＋d m的展开式问题
求解形如a＋b n c＋d m的展开式问题的思路
1若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如a＋b2c＋d m＝a2＋2ab＋b2c＋d m，然后展开分别求解．
2观察a＋bc＋d是否可以合并，如1＋51－7＝[1＋1－]51－2＝1－251－2
3分别得到a＋b n，c＋d m的通项公式，综合考虑．
[典例1－2]12021·全国卷Ⅰ错误!＋5的展开式中33的系数为
A．5 B．10
C．15 D．20212＋2错误!5的展开式的常数项是
A．－3 B．－2
C．2 D．3
3若2－a错误!10的展开式中6的系数为30，则a等于
A．错误!B．错误!
C．1 D．2
1C2D3D[1因为＋5的展开式的第r＋1项T r＋1＝C错误!5－rr，所以错误!＋5的展开式中33的系数为C错误!＋C错误!＝
2能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取2项，第二个因式取错误!项得2×错误!×C错误!－14＝5；第一个因式取2，第二个因式取－15得2×－15×C错误!
＝－2，故展开式的常数项是5＋－2＝3，故选D
3由题意得错误!10的展开式的通项公式是T＋1＝C错误!·10－·错误!＝C错误!10－2，错误!10的展开式中含4当＝3时，6当＝2时项的系数分别为C错误!，C错误!，因此由题意得C错误!－a C错误!＝120215a ＝30，由此解得a＝2，故选D]
点评：求几个多项式积的展开式中的特定项系数问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．
形如a＋b＋c n的展开式问题
求三项展开式中某些特定项的系数的方法
1通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
2两次利用二项式定理的通项公式求解．
3由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
[典例1－3]1将错误!3展开后，常数项是________．
2错误!6的展开式中，33的系数是________．用数字作答
1－1602－12021[1错误!3＝错误!6展开式的通项是
C错误!错误!6－·错误!＝－2·C错误!3－
令3－＝0，得＝3
所以常数项是C错误!－23＝－160
2错误!6表示6个因式2－错误!＋的乘积，在这6个因式中，有3个因式选，其余的3个因式中有2个选2，剩下一个选－错误!，即可得到33的系数，即33的系数是C错误!C错误!×－2＝2021×－2＝－12021点评：二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．
错误!
1．若错误!6的展开式中常数项为错误!，则实数a的值为
A．±2 B．错误!
C．－2 D．±错误!
A[错误!6的展开式的通项为T＋1＝C错误!26－·错误!＝C错误!错误!12－3，
令12－3＝0，得＝4
故C错误!·错误!4＝错误!，即错误!4＝错误!，解得a＝±2，故选A]
2．1－错误!61＋错误!4的展开式中的系数是
A．－4 B．－3
C．3 D．4
B[1－错误!61＋错误!4＝[1－错误!1＋错误!]41－错误!2＝1－41－2错误!＋．于是1－错误!61＋错误!4的展开式中的系数为C错误!·1＋C错误!·－11·1＝－3]
3．错误!6的展开式中含的项的系数为
A．30 B．60
C．90 D．12021[展开式中含的项来自C错误!－1错误!5，错误!5＝－1r C错误!，令5－错误!r＝1⇒r＝3，
展开式通项为T r
＋1
错误!5展开式中的系数为－13C错误!，
所以错误!6的展开式中含的项的系数为C错误!－1C错误!－13＝60，故选B]
考点二二项式系数的和与各项的系数和问题
1系数和问题常用“赋值法”求解
赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等．
②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
2二项式系数和：a＋b n的展开式中二项式系数的和为C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝2n
[典例2]1在错误!n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则2的系数为A．50 B．70
C．90 D．12021若＋2＋m9＝a0＋a1＋1＋a2＋12＋…＋a9＋19，且a0＋a2＋…＋a82－a1＋a3＋…＋a92＝39，则实数m的值为________．
1C2－3或1[1令＝1，则错误!n＝4n，所以错误!n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式
＝C错误!5－r错误!r＝C错误!3r，令5－错误!r＝2，得r 系数和为2n，所以错误!＝2n＝32，解得n＝
＋1
＝2，
所以2的系数为C错误!32＝90，故选C
2令＝0，则2＋m9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又a0＋a2＋…＋a82－a1＋a3＋…＋a92＝a0＋a1＋a2＋…＋a9a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝39，∴2＋m9·m9＝39，
∴m2＋m＝3，
∴m＝－3或m＝1]
点评：1利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值包括符号．
2在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．
错误!
1．在二项式1－2n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为A．－960 B．960
C．1 12021．1 680
C[因为偶数项的二项式系数之和为2n－1＝128，所以n－1＝7，n＝8，则展开式共有9项，
＝C错误!－2r＝C错误!－2rr，所以T5＝C错误!－中间项为第5项，因为1－28的展开式的通项T r
＋1
244，其系数为C错误!－24＝1 120212．a＋1＋4的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝______
3[设a＋1＋4＝a0＋a1＋a22＋a33＋a44＋a55，
令＝1，得16a＋1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5②
①－②，得16a＋1＝2a1＋a3＋a5，
即展开式中的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8a＋1，所以8a＋1＝32，解得a＝3] 考点三二项式系数的性质
二项展开式系数最大项的求法
如求a＋b n a，b∈R的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，A n＋1，且第项系数最大，应用错误!从而解出来，即得．
二项式系数的最值问题
[典例3－1]设m为正整数，错误!2m展开式的二项式系数的最大值为a，错误!2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若15a＝8b，则m＝________
7[错误!2m展开式中二项式系数的最大值为a＝C错误!，错误!2m＋1展开式中二项式系数的最大
值为b＝C错误!，因为15a＝8b，所以15C错误!＝8C错误!，即15错误!＝8错误!，解得m＝7] 项的系数的最值问题
[典例3－2]已知错误!＋22n的展开式的二项式系数和比3－1n的展开式的二项式系数和大992，则在错误!2n的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．－8 064－15 3604[由题意知，22n－2n＝992，即2n－322n＋31＝0，故2n＝32，解得n＝5由二项式系数的性质知，错误!10的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为
T6＝C错误!25错误!5＝－8 064
设第＋1项的系数的绝对值最大，
则T
＝C错误!·210－·错误!＝－1C错误!·210－·10－2，
＋1
令错误!得错误!
即错误!解得错误!≤≤错误!
∵∈Z，∴＝3
故系数的绝对值最大的项是第4项，
T4＝－C错误!·27·4＝－15 3604]
点评：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C错误!，C错误!，…，C错误!，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．
错误!
1．二项式错误!n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中的指数为整数的项的个数为
A．3 B．5
C．6 D．7
D[根据错误!n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝2021错误!2021开式的通项为T r＋1＝C错误!错误!2021·错误!r＝错误!2021·C错误!要使的指数是整数，需r是3的倍数且0≤r≤2021r＝0,3,6,9,12,15,18，∴的指数是整数的项共有7项．]
2．已知1＋3n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．
C错误!37和C错误!38[由已知得C错误!＋C错误!＋C错误!＝121，则错误!n·n－1＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15舍去负值，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C错误!37和T9
＝C错误!38]。