2018年高考数学人教A版 文科课时跟踪检测32 含解析 精

课时跟踪检测(三十二)
[高考基础题型得分练]
1．[2017·重庆一诊]在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为( )
A ．9
B ．22
C ．24
D ．32
答案：C
解析：由a n ＋1－a n ＝2，知{a n }的公差d ＝2，∴由a 2＝5，得a 1
＝3，a 3＝7，a 4＝9，所以前4项和为3＋5＋7＋9＝24，故选C.
2．[2017·湖北武汉调研]已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( )
A ．－1
B ．－2
C ．－3
D ．－4 答案：C
解析：解法一：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋(a 1＋6d )＝－8，a 1＋d ＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝5，
d ＝－3.
解法二：a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.
3．[2017·辽宁沈阳质量监督]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
答案：D
解析：解法一：由等差数列前n 项和公式可得
S n ＋2－S n ＝(n ＋2)a 1＋(n ＋2)(n ＋1)2d －⎣⎢⎡⎦
⎥⎤na 1＋n (n －1)2d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋4n ＋2＝36，∴n ＝8，故选D.
解法二：由S n ＋2－S n ＝a n ＋2＋a n ＋1＝a 1＋a 2n ＋2＝36，因此a 2n ＋2＝a 1
＋(2n ＋1)d ＝35，解得n ＝8，故选D.
4．[2017·湖北武汉调研]已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －5
7，且a 1＝5.设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( )
A ．7
B ．8
C ．7或8
D ．8或9 答案：C
解析：由题意可知，数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－5
7(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或8，故选C.
5．[2017·河南郑州一模]已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝10，且5S 1S 5
＝1
5，则a 2＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 答案：A
解析：依题意得55a 1a 3＝15，a 1a 3＝5，a 2＝10
a 1a 3＝2，故选A.
6．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p
－a q ＝( )
A ．10
B ．15
C ．－5
D ．20
答案：D
解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n －[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1，
当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，符合上式， ∴a n ＝4n ＋1，∴a p －a q ＝4(p －q )＝20.
7．[2017·山东烟台一模]在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 2 0122 012－S 10
10＝2 002，则S 2 014的值等于( )
A ．2 011
B ．－2 012
C ．2 014
D ．－2 013 答案：C
解析：等差数列中，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n n ＝a 1＋(n －1)d
2，即数
列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 是首项为a 1＝－2 012，公差为d 2的等差数列．因为S 2 0122 012－S 1010＝2 002，所以(2 012－10)d 2＝2 002，d
2＝1，所以S 2 014＝2 014[(－2 012)＋(2 014－1)×1]＝2 014，故选C.
8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7
＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．12
D ．13 答案：C
解析：∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.
9．正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *
，
n ≥2)，则a 7＝________.
答案：19
解析：由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，可得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝3，首项a 21＝1，∴a 2
n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴
a n ＝3n －2，∴a 7＝19.
10．[2017·北京海淀模拟]已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3
＋a 9＝a 10－a 8.若a n ＝0，则n ＝________.
答案：5
解析：∵a 3＋a 9＝a 10－a 8，
∴a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )， 解得a 1＝－4d ，
∴a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d ， 令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5.
11．在数列{a n }中，a 1＝3，且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，则a n ＝________. 答案：3n 2
解析：因为点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，所以a n －a n －1－3＝0，即a n －a n －1＝3，又a 1＝3，所以数列{a n }为等差数列，则a n ＝3n ，所以a n ＝3n 2.
12．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n
＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．
答案：19
41
解析：∵{a n }，{b n }为等差数列，
∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，
∴a 6b 6
＝19
41.
[冲刺名校能力提升练]
1．[2017·河北保定一模]函数f (x )＝13x 3
－4x 2＋12x ＋1的极值点恰好是等差数列{a n }中的a 1，a 4 033，则a 2 017＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案：C
解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋12，令f ′(x )＝0，即x 2－8x ＋12＝0，解得x ＝2或x ＝6，也就是a 1＝2，a 4 033＝6或a 1＝6，a 4 033＝2，根据等差数列的性质，其等差中项a 2 017＝a 1＋a 4 033
2
＝4.故选C. 2．[2017·山东青岛二模]设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n
S 2n
为常
数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )
A ．b n ＝n －1
B ．b n ＝2n －1
C ．b n ＝n ＋1
D ．b n ＝2n ＋1 答案：B
解析：设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n
S 2n
＝k ，
因为b 1＝1，则n ＋1
2n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n
－1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，
整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立， 所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0， 解得d ＝2，k ＝1
4.
所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.
3．[2017·浙江杭州质量检测]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *
)．若a 8
a 7
＜－1，则( )
A ．S n 的最大值是S 8
B ．S n 的最小值是S 8
C ．S n 的最大值是S 7
D ．S n 的最小值是S 7 答案：D
解析：由条件得S n n ＜S n ＋1
n ＋1，
即n (a 1＋a n )2n ＜(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2(n ＋1)
，
所以a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列．
又a 8
a 7
＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }的前7项均小于0，
第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7，故选D.
4．[2017·湖南师范大学附属中学月考]已知数列{a n }为零差数列，其前n 项和为S n ，且1＋a 11
a 10<0.若S n 存在最大值，则满足S n >0的n 的
最大值为________．
答案：19
解析：因为S n 有最大值，所以数列{a n }单调递减．
又a 11
a 10
<－1，所以a 10>0，a 11<0，a 10＋a 11<0，所以S 19＝19×a 1＋a 192
＝19a 10>0，S 20＝20×a 1＋a 20
2＝10(a 10＋a 11)<0，故满足题意的n 的最大值为19.
5．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝1
2a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．
解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故数列{a n }为等差数列．
设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋2d ＝10，
6a 1＋15d ＝72，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝2，
d ＝4.
∴a n ＝4n －2，则b n ＝1
2a n －30＝2n －31，
令⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，
解得292≤n ≤312， ∵n ∈N *，∴n ＝15，
即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小． ∵数列{b n }的首项是－29，公差为2， ∴T 15＝15×(－29＋2×15－31)
2
＝－225，
∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.
6．[2017·江西南昌调研]设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n
－3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n >0.
(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列； (2)求{a n }的前n 项和S n .
(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3， 得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，
即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.
当n ≥5时，a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2， 所以当n ≥5时，{a n }成等差数列． (2)解：由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得 a 1＝3或a 1＝－1，
又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，由(1)可知， a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1， 而a 5>0，所以a 1>0，从而a 1＝3，
所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
3(－1)n －1
，1≤n ≤4，
2n －7，n ≥5，
所以S n ＝⎩⎨⎧
32
[1－(－1)n ]，1≤n ≤4，
n 2－6n ＋8，n ≥5.。