安徽省定远重点中学2020-2021学年高二数学下学期教学段考试题理

安徽省定远重点中学20212021学年高二数学下学期教
学段考试题理
高二（理科）数学试题
注意事项：
1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将第I 卷（选择题）答案用2B 铅笔正确填写在答题卡上；请将第II 卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。

第I 卷（选择题 60分）
一．选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。

）
1.若关于x 的方程()2
1ln 02
a x x x +-=有唯独的实数解，则正数a =（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 19
2.设()/
f
x 为函数f （x ）的导数且f （x ）=22x x -+ ()/1f 则()1f -=（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
3.已知函数()ln 2
x x e e f x -+=，则()f x 是（ ）
A. 奇函数，且在(),-∞+∞上单调递增
B. 偶函数，且在(),0-∞上单调递增
C. 奇函数，且在(),-∞+∞上单调递减
D. 偶函数，且在()0,+∞上单调递增 4.由曲线1xy =与直线y x =， 3y =所围成的封闭图形面积为（ ） A. 2ln3- B. ln3 C. 2 D. 4ln3-
5.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如3242549,15,23a a a ===，，，，若,2017i j a =，则i j +=（ ）
A. 64
B. 65
C. 71
D. 72
6.已知i 为虚数单位，若复数()13i z i -=-，则z =（ ） A. 1 B. 1- C. 5 D. 2或1
7.()7
13x -的展开式的第4项的系数为（ ） A. 3
727C - B. 4
781C - C. 3
727C D. 4
781C
8.由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则如此的七位数的个数是（ ） A. 300 B. 338 C. 600 D. 768
9.已知随机变量()~7,4X N ，且(59),(311)P X a P X b <<=<<=，则(39)P X <<=（ ） A.
2b a - B. 2b a + C. 22b a - D. 22
a b
- 10.函数()[]21
,2,1x f x x e x +=∈-的最大值为（ ）
A. 14e -
B. 1
C. 2e
D. 23e
11.已知函数()2ln f x x x =-，则()f x 的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
12.下列说法中正确的是（ ）
①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， r 越接近于1，相关性越弱； ②回来直线y bx a =+一定通过样本点的中心(),x y ；
③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度； ④相关指数2R 用来刻画回来的成效， 2R 越小，说明模型的拟合成效越好. A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③
第II 卷（非选择题 90分）
二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分。

） 13.已知函数f(x)＝ x 2
＋2ax －ln x ，若f(x)在区间 上是增函数，则实数a 的取值范
畴为 ．
14.若函数()f x 满足a b R ∀∈、都有()()2323a b f f a f b +⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，且()11f =， ()47f =，则()2017f =__________．
15.某射手在一次射击训练中，射击10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，则那个射手在一次射击中射中10环或7环的概率为_________．
16.已知随机变量()~2,X B p ， ()
2~2,Y N σ，若()10.64P X ≥=， (02)P Y p <<=，则(4)P Y >=__________．
三、解答题（本题有6小题，共70分。

）
17. （本题共10分）一个口袋中有2个白球和n 个红球（n≥2，且n∈N *
），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．
（1）试用含n 的代数式表示一次摸球中奖的概率P ；
（2）若n=3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为f （p ），当n 为何值时，f （p ）最大． 18. （本题共12分）已知z 是虚数， 1
z z
+
是实数． （1）求z 为何值时， 2z i +-有最小值，并求出|2z i +-的最小值； （2）设11z
u z
-=
+，求证： u 为纯虚数． 19. （本题共12分）某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采纳A 、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学成效,期末考试后,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析,画出频率分布直方图（如下图）.记成绩不低于90分者为“成绩优秀”
(
)
2
P K k >
0.05 0.01 0.001
k 3.841 6.635 10.828
(I)从乙班随机抽取2名学生的成绩,记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (II)依照频率分布直方图填写下面2 x2列联表,并判定是否有95％的把握认为:“成绩优秀”与教学方式有关.
甲班（A 方式）
乙班(B 方式）
总计
成绩优秀 成绩不优秀 总计
附： ()
()()()()
2
2
K =
.n ad bc a b c d a c b d -++++
20. （本题共12分）数列{}n a 满足11
6
a =，前n 项和()12n n n n S a +=
． （1）写出234,,a a a ；
（2）猜出n a 的表达式，并用数学归纳法证明． 21. （本题共14分）设()cos 2
x
f x ae x π
⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，其中0a >. （1）求证：曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线过定点； （2）若函数()f x 在()1,1-上存在唯独极值，求正数a 的取值范畴.
22. （本题共10分）某市对所有高校学生进行一般话水平测试，发觉成绩服从正态分布N （μ，σ2
），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩．
（1）运算这10名学生的成绩的均值和方差；
（2）给出正态分布的数据：P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）=0.6826，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）=0.9544． 由（1）估量从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，97）的概率．
参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B
D
D
D
C
A
D
B
C
A
D
1.A
【解析】方法一：验证法。

当12
a =时，可得函数2
y x x =-与函数ln y x =在1x =处的切线是相同的。

故选A 。

方法二：因为0a >，由()21ln 02a x x x +-=得ln 112x x x a
+=。

设()()ln 1
1,2x f x g x x x a
=
+=， 由题意得当且仅当函数()f x 和()g x 的图象相切时满足题意，设切点为()00,x y ，则
00000
2
01
2ln {1 1ln 12y a x x y x x a x ==
+-=，解得1
2a =。

选A 。

2.B
【解析】()()22,10,f x x f ''=-=因此()()2
2,13f x x x f =--=，选B.
3.D
【解析】函数()ln 2
x x
e e
f x -+=的定义域为R ，
()ln 2x x e e f x -+=， ()ln 2
x x
e e
f x -+-=，因此()() f x f x =-.
因此函数是偶函数；
令()()21
222x x x x x x
e e e e e g x g x e --+--==='，，当()0,x ∈+∞时， ()0g x '>， ()g x 在()0,+∞上单调递增。

依照复合函数的单调性的判定方法，可知：函数()ln 2x x
e e
f x -+=在
()0,+∞上单调递增。

故选D.
4.D
【解析】依照题意作出所围成的图形，如图所示，
图中从左至右三个交点分别为()()1,3,1,1,3,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
，因此题中所求面积为
()()13
12311131
3
11333ln |3|4ln32S dx x dx x x x x x ⎛⎫⎛
⎫=-+-=-+-=- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ，故选D 5.D
【解析】奇数数列2120171009n a n n =-=⇒=，即2017为底1009个奇数. 按照蛇形排列，第1行到第i 行末共有()1122
i i i +++
+=
个奇数,则第1行到第44行末共
有990个奇数；第1行到第45行末共有1035个奇数；则2021位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2017位于第45行，从右到左第19列，则
45,2772i j i j ==⇒+=，故选D.
6.C 【解析】()()()()3134221112
i i i i
z i i i i -+-+====+--+，因此22215z =+=C 。

7.A
【解析】7.由题意可得()7
13x -的展开式的第4项为()3
37333
31771327T C x C x -+=⨯⨯-=-，选
A. 8.D
【解析】当1在首位时，6只有一种排法，7有四种排法，余下四数共有4
4A 中排法，共有
4
41496A ⨯⨯=种；
当1在个位时，同样共有96种；
当1即不再首位也不在个位时，先把1和6排好，有2
24A ⨯种排法，再排7有3种排法，余
下四数共有44A 中排法，共有24
244A 3576A ⨯⨯⨯=种
综上：共有192576+=768 故选：D 9.B
【解析】由正态分布的对称性知，
(39)(37)+(79)222
b a a b
P X P X P X +<<=<<<<=
+=
，故选B. 10.C
【解析】：∵f （x ）=x 2
•e x+1
，x ∈[-2，1]， ∴f ′（x ）=2x•e x+1
+x 2
•e x+1
=xe x+1
（2+x ）， 当x ∈（-2，0）时，f′（x ）＜0． 当x ∈（0，1）时，f′（x ）＞0． ∴当x=0时，原函数有极小值为f （0）=0； 而当x=-2时，f （x ）=
4
e
当x=1时，f （x ）=e 2．
∴函数f （x ）=x 2
•e x+1
，x∈[-2，1]的最大值为e 2
． 故选C 11.A
【解析】当0x <时， ()()2ln f x x x =--， ()()11
'2120f x x x
=-⋅-=->-，
因此()f x 在(),0-∞单调递增，则B 、D 错误；
当0x >时， ()2ln f x x x =-， ()121'2x f x x x -=-
=
，则()f x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减， 1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递增，因此A 正确，故选A 。

12.D
【解析】①线性相关关系r 是衡量两个变量之间线性关系强弱的量， r 越接近于1，这两个
变量线性相关关系越强， r 越接近于0，线性相关关系越弱，①错误；②回来直线ˆy
= ˆbx +ˆa
一定通过样本点的中心(),x y ，②正确；③随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足
()0E e =，③正确；④用相关指数2R 用来刻画回来的成效， 2R 越大，说明模型的拟合成效
越好，④不正确，故选D. 13.
【解析】由题意知f′(x)＝x ＋2a － ≥0在 上恒成立，即2a≥－x ＋ 在
上
恒成立．
又∵y＝－x ＋ 在 上单调递减，∴
max ＝ ，∴2a≥ ，即a≥ .
14.4033. 【解析】在()()2323a b f f a f b +⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
中，
令1,4a b ==，得()()()3312411415f f f =+=+=， 解得()35f =。

令4,1a b ==，则()()()32421729f f f =+=+=， 解得()23f =。

因此有()()()()11,23,35,47f f f f ====， 猜想()21,*f n n n N =-∈。

∴()2017403414033f =-=。

15.0.49
【解析】那个射手在一次射击中射中10环或7环的概率为0.210.280.49+= 16.0.1
【解析】∵随机变量服从()~2,X B p ，∴()()2
2111p 0.64P X C ≥=--=，解得：
0.4p =.
又()
2~2,Y N σ，∴()()()400.5020.1P Y P Y P Y >=<=-<<= 故答案为：0.1
17. 【解析】（1）一次摸球从n+2个球中任选两个，有C n+22种选法，其中两球颜色相同有C n 2+C 2
2
种选法；一次摸球中奖的概率P==
（2）若n=3，则一次摸球中奖的概率是P=，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是 P 3(1)=
（3）设一次摸球中奖的概率是p ，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是f （p ）=C 31
•p•（1﹣p ）
2
=3p 3﹣6p 2+3p ，0＜p ＜1，∵f'（p ）=9p 2
﹣12p+3=3（p ﹣1）（3p ﹣1）∴f（p ）在
是增
函数，在
是减函数，
∴当p=时，f （p ）取最大值 ∴p=
=（n≥2，n∈N*），
∴n=2，故n=2时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大． 18.（1）
255
55
z i =-
+（2）见解析 【解析】（1）设()0z a bi b =+≠，则
因此， 22
0b
b a b
-
=+，又0b ≠可得221a b +=
表示点(),P a b 到点()2,1A -的距离，因此
最小值为151AO -=-
解方程组221{21
y x x y =-+=并结合图形得255
z i =-+ （2）
又
，因此为纯虚数
19.(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】（I ）由频率分布直方图可得“成绩优秀”的人数为4.
ξ的可能值为 0,1,2.
246250207P(=0)245C C ζ== ， 11464250184P(=1)1225C C C ζ==， 2
42
506
P(=0)1225
C C ζ== 故ξ的分布列为
1
2
P
207
245 184
1225 61225
因此， =0+1+2=2451225122525
E ξ⨯
⨯⨯（） （II ）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12、38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4、46.
甲班
(A 方式)
乙班
(A 方式) 总计
成绩优秀 12 4 16 成绩不优秀 38 46 84 总计
50
50
100
()2
21001246438K =
4.762.16845050
⨯-⨯≈⨯⨯⨯
依照列联表中数据，
由于4.762>3.481，因此有95%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关 20.（1）2112a =
， 3120a =， 4130a =；（2）()()
112n a n n =++，证明见解析． 【解析】（1）令2n =，∵116a =
，∴()222212s a ⨯+=
，即1223a a a +=，∴21
12
a =． 令3n =，得()333312
S a ⨯+=
，即12336a a a a ++=，∴31
20
a =
．
令4n =，得()444412
S a ⨯+=
，即1234410a a a a a +++=，∴4130
a =
． （2）猜想()()
1
12n a n n =
++，下面用数学归纳法给出证明．
①当1n =时， ()()
11161112a =
=++，结论成立． ②假设当n k =时，结论成立， 即()()
1
12k a k k =
++，
则当1n k =+时， ()()()()
()
111
2
2
1222k k k k k k k
S a k k k ++=
=
⋅
=
+++，
()()11122
k k k k S a
--++=
，即()()11122
k k k k k S a a
--+++=
．
∴
()()()11
12222
k k k k k
a a k -++++=+，∴
()()()()()()()
1221
12322312
k k k k a k k k k k k k ++===++++++-．
当1n k =+时结论成立．
由①②可知，对一切n N +∈都有()()
1
12n a n n =
++．
21.(1)证明见解析；(2) 0,2
e π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
.
【解析】（1）因为()'sin 22
x
f x ae x π
π
⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
因此()'0f a =，又()01f a =-，
因此曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为
()1y a ax --=，即()11y a x =+-，
因此曲线()y f x =在()()
0,0f 处的切线过定点()1,1--. （2）因为()'sin 22
x
f x ae x π
π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
， 当0a >，函数x
y ae =与sin 22
y x π
π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
在()1,1-上差不多上增函数， 因此()'sin 22
x
f x ae x π
π
⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
在()1,1-上是增函数， 因为函数()f x 在()1,0-上存在唯独极值，
因此()()'10{
'10
f f -<>即1022{
2
2
ae sin ae sin
π
ππ
π
-⎛⎫+
-< ⎪⎝⎭+
>
因此22
e a e
π
π
-
<<
因此正数a 的取值范畴是0,2e π⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 22. 【解析】
（1） =90，S 2
=
=49
（2）由（1）可估量，μ=90，σ=7．
P （76＜x ＜97）=P （μ﹣2σ＜x ＜μ）+P （μ＜x ＜μ+σ）= + =0.8185。