安徽省江南十校2023-2024学年高一上学期分科诊断摸底联考试题 数学含答案

2023年“江南十校”高一分科诊断摸底联考
数学试卷（答案在最后）
注意事项:
1．本试卷总分为150分，数学考试总时间为120分钟;
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效;3．考生作答时,请将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置。

一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符
合要求.
1．下列关系中，正确的是（
）
A ．e R ∈
B ．{}12φ∈，
C ．{}
01x x ∉>-D ．{
}}
{
2
00
x x x x ≤⊆>2．设命题,0)5)(1(,:>-+∈∀x x R x p 则“命题p 的否定”是（
）
A ．,(1)(5)0x R x x ∃∈+->
B ．,(1)(5)0x R x x ∃∈+-<
C ．,(1)(5)0
x R x x ∀∈+-≤D ．,(1)(5)0
x R x x ∃∈+-≤3．[]2
"1,2,20"x x a ∀∈--≤恒成立的一个充分不必要条件是（
）
A ．0
a ≤B ．1
a ≤C ．3a ≥D ．2
a ≥4．已知0,>>c
b a ，下列不等式一定成立的是（
）A ．-a c b
>B ．c c
a b >C ．a b
c c >D ．
a b
c c
>5．如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义
大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ,若321=l l ,则=
2
1S S
（）
A ．9
B ．8
C ．4
D ．3
．
．
C ．
D ．
7．已知12
(1cos 60)a ︒=-，3log 2b =，b
c a =，则（
）
A ．a b c
<<B ．b a c
<<C ．a c b
<<D ．b c a
<<8．已知函数x x f x -+=-)14(log )(1
2，则不等式)3()3(+<x f x f 的解集为（）
A ．3,2⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭
B ．3,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C ．13,42⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．33,42⎛⎫
-
⎪⎝⎭
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．下列命题中正确的有（
）
A ．2()1m f x m m x =--（）是幂函数，且在），（∞+0单调递减，则1-=m
B ．2
2()log 2f x x x =-（）的单调递增区间是），（∞+1C ．21
()1
f x ax ax =
++的定义域为R ，则[]
4,0∈a
D ．()f x x =+的值域是(]5，
∞-10．下列选项中，结果为正数的有（
）
A ．sin1cos1
+B ．sin 2cos 2
+C ．sin3cos3+D ．sin 4cos4
+11．已知正数2,++=b a ab b a 满足,则（
）
A ．2a b ++的最小值为
B ．1ab +的最小值为
C ．
11
1a b
+D ．310
a b +的最小值为
12．高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家。

他被认为是历史上最重要
的数学家之一，有“数学王子”的美誉。

高斯函数[]x y =，[]x 表示不超过x 的最大整数，如
[][]，则
，37.235.3-=-=（）
A ．[]()f x x x =-的值域是[)
1,0B ．方程[][][]2023
+
=y x xy
有无数组解
C ．[]()f x x x =是单调函数
D ．[]2
203x x --=方程有个根
第II 卷非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数(2)y f x =+的定义域是[]32，，则(21)y f x =-的定义域是______________.14．已知x
x f 2)1(=+，则=)2024(log 2f _______________.15．若)0(12
>++≥k b kx x 对R x ∈恒成立，则
k
b
的最大值为_______________.16．21,0
()ln ,0
x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨
>⎪⎩，若02)()(2=+-x af x f 有六个根，则实数a 的取值范围是_______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题10分）
已知2
1
tan -
=α，且α为第二象限角（1）求ααcos ,sin ;（2）求
sin 3.
sin()cos()
2
παπ
απα---+（）
18．（本题12分）
已知集合{}42|≤≤-=x x A ，集合{}2312|+≤≤-=a x a x B （1）若2=a ，求B A 和B C A R ;（2）若φ=B A ，求实数a 的取值范围.
19．（本题12分）
已知函数m
n
x f x x ++=33)(）（R n m ∈,是R 上的奇函数
（1）求m ,n 的值;
（2）判断并证明)(x f 在R 上的单调性.
20．（本题12分）
某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W (单位：千克)与施用肥料x (单位：千克)满足如下关系：24(3),02()70,2521
x x W x x x x ⎧+≤≤⎪
=⎨<≤⎪
+⎩肥料成本投入为10x 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x
元．已知这种水果的市场售价大约21元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x (单位：元)
（1）写出单株利润()f x (元)关于施用肥料x (千克)的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
21．（本题12分）
已知定义在R 上的函数)(x f 满足2)()()(++=+y f x f y x f ，（1）求)0(f ，并证明()()2F x f x =+为奇函数;
（2）若)(x f 是R 上的单调递增函数，且2)1(=f ，解不等式:8)21()(2
>-++x f x x f .
22．（本题12分）
若)0(12)(2
>+-=a ax x x f 在[]n m ,上的值域是[]n m ,的子集，则称函数)(x f 在[]
n m ,上是封闭的.
（1）若)(x f 在[]2,0上是封闭的，求实数a 的取值范围;（2）若)(x f 在[]t ,0上是封闭的，求实数t 的最大值.
2023年“江南十校”高一分科诊断摸底联考
数学答案
一、单选题
题号12345678答案
A
D
C
D
B
A
B
C
二、多选题
9．AD 10．AB 11．ACD 12．ABD
详解
1．A 略，2．D 略
3．C []21,2,202x x a a ∀∈--≤⇒≥,则充分不必要条件选C 4．D
A ．令a=2,b=1,c=1a-c=b,A 错误
B ．令a=1,b=-2,c=2.B 错误
C ．0<c<1时不符合
D ．正确
5．B
11122
21
2,,3,3r 9,8
12
OAD OBC l R S l S
R OB r OA R R l r S S l r =====∴==扇扇设则则，
故6．A
f
（x ）=f （-x ）排除CD ，又f （1）>0，故选A 7．B
1
2
331,32,33log 2log 82
222a a b ⎛⎫
===>==< ⎪⎝⎭
101,b b a a a a
∴<<<>=故选B
8．法1
()()()()()()()()()()(
)31222312312232232
33log 413log 413log 41log 41234141240,116182108
482
1342
x x x x x x x x
f x f x x x x t t t t t t t t -+-+-+-<+⇒+-<+-+⇒+<++-⇒+<+=>+<+⇒--<⇒<⇒-<<
令则法2．
()()()[)()[)22221log 411log 2210,113131139614442
x x x f x x y f x x x x x x x x x -+=+--=+-+∞∴==+∞-<+-⇒-+<++⇒-<<
是偶函数，且在上单调递增，关于对称，且在，上单调递增，则故选C
二、多选题
题号9101112答案
AD
AB
ACD
ABD
详解
()()()(
)()222
29.A. 11,21,01,
B.201,2
C.0004
D.0,24155
AD
f x m m m m f x m x x x B R a a C t y t t t D --===-+∞∴=-->≥+∞=∆<⇒≤<=≥∴=-++=--+≤是幂函数，则得或又在，单减，且所以单增区间是，，故错误定义域为，则或，故错误
令，故正确10.A. 01sin1cos10,2
323sin 2cos 20,sin 3cos30,24
3D. 4,sin 4cos 40,2
AB
B C D π
ππππ
π<<∴+><<<<∴+>+<<<∴+< 正确
又故正确，错误故
错误
2
211.2(()4()80
2
2a b 1;
22111122111,1,2(1)(1)3(1)(33)9ACD
a b ab a b a b a b a b a b A ab a b B a b ab a b ab ab ab a b C ab a b a b a b +=++≤⇒+-+-≥⇒+≥++≤==+=++≥⇒≥+-+-+===-≥-==+=++⇒--=⇒--=或当正确错误；当故正确；
2
34(),2
310,4,2a b a b a b D +-≤+≥==当时取等，故正确
[][][])([][
]2212.A 2023,2023,12023;0,1,()0;22012
1,0,1,21,ABD x y xy x y B x f x C x x x x x x x x D αβαβ=+=++==+∈=-=≤⇒--≤⇒-≤≤∴-=-正确；
当时故正确当时此时故错误可取，分别代入得故正确,也可画图。

三、填空题
13．5,32⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
14．101215．-116
．()
3
详解
13．由题意可得23x ≤≤，有425x ≤+≤，即有4215x ≤-≤，解得
5
32
x ≤≤所以(21)f x -的定义域为532⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.14．令21log 2024x +=，则22log 20241log 1012x =-=，
所以2log 10122(log 2024)21012f ==15．令2()1(0)
f x x kx b k =--->由21(0)x kx b k ≥++>对x R ∈恒成立，知:2min
()()1024k k f x f b ==---≥,即得2
1
4
k b ≤--
故2
1
14(4k b k k k k +≤-=-+
又102)4k k k k >+≥=，
故当且仅当时取等所以b
k
的最大值为-1
16．令()f x t =，结合()f x 的图象知:220t at -+=有两不等的根12t t ，，且112t <≤，212t <≤问题转化为(]220t at -+=在1,2上有两解问题，记2()2
m t t at =-
+0
(1)03
(2)0122
m a m a >⎧⎪>⎪⎪
⇒<<⎨≥⎪
⎪<<⎪⎩ 则有所以a
的取值范围是3（）
四、解答题
17．（1）由sin 11
tan sin cos 22
αααα
α==-=-得...........1分
代入2224
sin cos 1cos 5
ααα+==
得...........3分又α
为第二象限角
cos
5
α
∴=-=
-sin5
α=
..........5分
（2）由
()
()
sin3sin sin
cos cos2cos
sin cos
2
πααα
πααα
απα
-
==
+
⎛⎫
---
⎪
⎝⎭
，
再由(1)可知，原式
1
4
=-
...........10分
18．（1）当a=2时，{}
38
B x x
=≤≤，所以
{}
28
A B x x
⋃=-≤≤，{}
38
R
C B x x x
=<>
或所以
{}
23
R
A C
B x x
⋂=-≤<
...........5分
（2）当Bφ
=时，即2a-1>3a+2,即a<-3,满足A Bφ
⋂=...7分当Bφ
≠时，即3
a≥-，由A Bφ
⋂=得
{{
3
4
3
2
5
,22
3
3
4
1
2
3
-
<
≤
-
>
-
<
+
-
≥
>
-
-
≥
a
a
a
a
a
a
或
得
或.........10分
综上，⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+∞
⋃
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
∞
-
∈,
2
5
3
4
,
a...........12分19．（1）由()
f x是R上的奇函数，所以(0)0
f=，得1
n=- (2)
分
又()()
311313
3133
x x x
x x x
f x f x
m m m
-
-
---
-===-=
+++
恒成立，
所以1m =，即1,1m n ==-...........
4分
（2）()f x 是R 上的递增函数
.........5分
证明如下：由（1）知，()31213131
x x x
f x -==-++，在R 上任取12,x x 不妨令12x x >，则()()121222113131x x f x f x ⎛⎫⎛⎫
-=-
-- ⎪ ⎪++⎝
⎭⎝⎭
=()()
122
1
211
1332231313131x x x x x x ⎛⎫
-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝
⎭
，因为12x x >，所以12330x x ->，所以()()120f x f x ->，
所以()f x 是R 上单调递增函数...........12分
20．（1）由题意可知
()()()284330,02
147030,25
212130x x x x
x x x f x w x x +-≤≤<≤+⎧=-=⎨⎩.......5分
（2）当02x ≤≤时，()2
56981842828f x x ⎛
⎫=-+
⎪⎝
⎭，此时，()f x 的最大值为(2)528f =.......8分当
25x <≤时
()()14707353075015212121x f x x x x x ⎡⎤
=
-=-++⎢⎥++⎣⎦
540≤，当
()735
152121
x x =++即x=3时有最大值540元.......11分
因为528540<，所以当施肥量为4千克时，利润最大，最大利润是540元........12分
21．(1)令0x y ==,得(0)2f =- (2)
分
令y x =-,得(0)()()2f f x f x =+-+,所以()()40f x f x +-+=即()()0F x f x +-=，所以()()2F x f x =+是奇函数.....6分（2）因为22()(12)(1)2f x x f x f x x ++-=-+-，所以原不等式等价于
2(1)10f x x -+>，又(1)2f =，所以(2)6f =，(3)10
f =..........9分
即()2(1)3f x x f -+>，又()f x 是R 上的递增函数，所以
213x x -+>，原不等式的解集为()()
12-∞-⋃+∞，，...........12分
22．（1）函数f （x ）开口向上，对称轴是x=a
当
0<a<2
时
，
2min ()()1
f x f a a ==-+，
()()(){}max max 0,2f x f f =，
则有(){
012(2542
2
()10
f f a f a a
=≤=-≤=-+≥）,得3
14
a ≤≤ (3)
分
当a>2时，有()(){()舍去得4
5
,2
100452≤
≤=≥-=a f a f .........5分
综上，a 的取值范围是3,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.......6分
（2）当0a t <≤时，有
{
(0)12()212()10
f t
f t t at t
f a a =≤=-+≤=-+≥1
12t t ⇒+-≤
解得
3322t -+≤≤，
所以312
t +≤≤
(9)
分
当a>t 时，
{
(0)()0
f t f t ≤≥{
21
210
t t at ≥-+≥⇒
，
........11分
所以1
22t a t t
<≤+
即11t t t
<⇒<（舍去）
综上，t
的最大值是
32
+.........12分
1
1211
t a t t a ≥+≥+≤⎧⎪⇒⎨⎪⎩。