圆的方程

圆的方程
（一）圆的标准方程
1．建系设点
由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
2．写点集
根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．
3．列方程
由两点间的距离公式得：
4．化简方程
将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1)
方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．
问题1：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？
这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为x2+y2=r2．
教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．
例1、写出下列各圆的方程：
（1）圆心在原点，半径是3；
（2）圆心在点C（3,4），半径是
（3）经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
（4）圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切．
教师纠错，分别给出正确答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-
4)2=5；
例2、说出下列圆的圆心和半径：
(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；
例3、(1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；
(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
解从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决．解法一：设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：
又由两点间的距离公式得：
∴所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10
例4、求下列条件所决定的圆的方程：
(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；
(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．
(1)(x-3)2+(y+5)2= 32
例5、一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．
(二)圆的一般方程的定义
1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：
(1)
(1)当D2+E2-4F ＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程
半径的圆；
(3)当D 2+E 2-4F ＜0时，方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．
2、圆的一般方程的特点
请同学们分析下列问题：
问题：比较二元二次方程的一般形式Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0与圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，(D 2+E 2-4F ＞0)的系数可得出什么结论？
当二元二次方程 Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0具有条件：
(1)x 2和y 2的系数相同，不等于零，即A=C ≠0；
(2)没有xy 项，即B=0；
(3)D 2+E 2-4AF ＞0．
它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A 或C 配方不难得出．
例6、判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.
(1)4x 2+4y 2-4x+12y+9=0; (2)4x 2+4y 2-4x+12y+11=0. 解:(1)由4x 2+4y 2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=4
9, 而D 2+E 2-4F=1+9-9=1＞0,
所以方程4x 2+4y 2-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(2
1,-2
3),半径为2
1；
11,D2+E2-4F=1+9-11=-1 (2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,得D=-1,E=3,F=
4
＜0,
所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圆的方程.
例7、求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-
24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．
(0，2)．
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为
故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10．
例8、等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，x≠5)，轨迹是以
例9、已知点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.
活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求
.
图1
解法一:如图1,作MN∥OQ 交x 轴于N,则N 为OP 的中点,即N(5,0). 因为|MN|=2
1
|OQ|=2(定长).所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2+y 2=4.
解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).
因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即 (*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=16上,所以x 02+y 02=16.将(*)代入得 (2x-10)2+(2y)2=16.
故所求的轨迹方程为(x-5)2+y 2=4.
例10、已知圆x 2+y 2-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P 、Q 两点,定点R(1,1),若PR⊥QR,求实数m 的值. 解:设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2),
由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--+.
062,0822y x m y x y x 消去y 得5x 2+4m-60=0. 由题意,方程①有两个不等的实数根,所以60-4m ＞0,m ＜15.
由韦达定理⎪⎩
⎪⎨⎧-==+.
1254
,02121m x x x x 因为PR⊥QR,所以k PR k QR =-1.所以1
1
112211--∙
--x y x y =-1,即(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-1)(y 2-1)=0,
x 1x 2-(x 1+x 2)+y 1y 2-(y 1+y 2)+2=0. ②
因为y 1=3-2
1x ,y 2=32
2x -
,所以y 1y 2=(3-
2
1x )(32
2x -
)=9-
23
(x 1+x 2)+421x x =9+4
21x x , y 1+y 2=6,代入②得45
x 1x 2+5=0,即45(5
4m-12)+5=0. 所以m=10,适合m ＜15.所以实数m 的值为10.。