张湾区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

张湾区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 二进制数）
（210101化为十进制数的结果为（ ） A ．15 B ．21 C ．33 D ．41
2． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．π4
B ．π6
C ．π8
D ．π10
3． 函数y=+的定义域是（ ） A ．{x|x ≥﹣1} B ．{x|x ＞﹣1且x ≠3} C ．{x|x ≠﹣1且x ≠3} D ．{x|x ≥﹣1且x ≠3}
4． 已知双曲线的方程为﹣
=1，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．或
D ．或
5． 已知()(2)(0)x b g x ax a e a x =-
->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得00()'()0g x g x +=，则b a
的 取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(1,0)- C. (2,)-+∞ D ．(2,0)-
6． 已知函数()cos()3f x x π=+
，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =
的图象（ ） A ．向右平移
2π个单位 B ．向左平移2
π个单位 C. 向右平移23π个单位 D ．左平移23π个单位 7． 已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=，且f （x ）=f （x+2），g （x ）=，则方程g （x ）=f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣3，7]上的所有零点之和为（ ）
A ．12
B ．11
C ．10
D ．9
8． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自
然数为（ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
9． 复数满足2＋2z 1－i
＝i z ，则z 等于（ ） A ．1＋i
B ．－1＋i
C ．1－i
D ．－1－i
10．如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O 交于A ，B ，C 三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x 轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．π
11．设a ＞0，b ＞0，若
是5a 与5b 的等比中项，则+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．
12．函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ）
A ．2sin(2)3y x π
=+ B ．22sin(2)3y x π=+ C ．2sin()23x y π=- D ．2sin(2)3
y x π=-
二、填空题
13．81()x x
-的展开式中，常数项为___________．（用数字作答） 【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题.
14．抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则FPQ ∆ 外接圆的标准方程为_________.
15．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值是 ．
16．设曲线y=x n+1（n ∈N *）在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lgx n ，则a 1+a 2+…+a 99的值为 ．
17．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm ） ．
18．若函数f （x ）=﹣m 在x=1处取得极值，则实数m 的值是 ．
三、解答题
19．如图，在四棱锥
中，等边所在的平面与正方形所在的平面互相垂直,为的中点，为的中点，且
（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使线段与所在平面成角．若存在， 求出的长,若不存在，请说明理由．
20．（本题满分15分） 如图，已知长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，
M 为DC 的中点，将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM ．
（1）求证：BM AD ⊥；
（2）若)10(<<=λλDB DE ，当二面角D AM E --大小为3
π时，求λ的值． 【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
21．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角
形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角,C θ=AC 边长为BC 边长的()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）.
试用θ和a 表示S ；
（2）若恰好当60θ=时，S 取得最大值，求a 的值.
22．（本小题满分12分） 已知向量,a b 满足：||1a =，||6b =，()2a b a ∙-=.
（1）求向量与的夹角；
（2）求|2|a b -.
23．已知p ：﹣x 2+2x ﹣m ＜0对x ∈R 恒成立；q ：x 2+mx+1=0有两个正根．若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求m 的取值范围．
24．（本小题满分12分） 已知函数21()x f x x +=
，数列{}n a 满足：12a =，11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
（N n *∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.
张湾区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】
试题分析：()
21212121101010242=⨯+⨯+⨯=，故选B. 考点：进位制
2． 【答案】B 【解析】
考
点：球与几何体
3． 【答案】D
【解析】解：由题意得：
，
解得：x ≥﹣1或x ≠3，
故选：D ．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
4． 【答案】C
【解析】解：双曲线的方程为﹣=1，
焦点坐标在x 轴时，a 2=m ，b 2=2m ，c 2=3m ，
离心率e=．
焦点坐标在y 轴时，a 2=﹣2m ，b 2=﹣m ，c 2=﹣3m ，
离心率e==．
故选：C ． 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．
5． 【答案】A
【解析】
考
点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.
【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
6． 【答案】B
【解析】
试题分析：函数()cos ,3f x x π⎛⎫
=+∴ ⎪⎝⎭()5'sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数 ()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以将函数函数()y f x =的图象上所有的点向左平移2π个单位长度得到5cos cos 326y x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换.
7． 【答案】B 【解析】解：∵f （x ）=f （x+2），∴函数f （x ）为周期为2的周期函数，
函数g （x ）=
，其图象关于点（2，3）对称，如图，函数f （x ）的图象也关于点（2，3）
对称，
函数f （x ）与g （x ）在[﹣3，7]上的交点也关于（2，3）对称，
设A ，B ，C ，D 的横坐标分别为a ，b ，c ，d ，
则a+d=4，b+c=4，由图象知另一交点横坐标为3，
故两图象在[﹣3，7]上的交点的横坐标之和为4+4+3=11，
即函数y=f （x ）﹣g （x ）在[﹣3，7]上的所有零点之和为11．
故选：B ．
【点评】本题考查函数的周期性，函数的零点的概念，以及数形结合的思想方法．属于中档题．
8． 【答案】A
【解析】
考
点：得出数列的性质及前项和．
【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“10a >，0d <”判断前项和的符号问题是解答的关键．
9． 【答案】
【解析】解析：选D.法一：由2＋2z 1－i
＝i z 得
2＋2z ＝i z ＋z ，
即（1－i ）z ＝－2，
∴z ＝－2
1－i
＝－2（1＋i ）2＝－1－i. 法二：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），
∴2＋2（a ＋b i ）＝（1－i ）i （a ＋b i ），
即2＋2a ＋2b i ＝a －b ＋（a ＋b ）i ， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧2＋2a ＝a －b 2b ＝a ＋b ， ∴a ＝b ＝－1，故z ＝－1－i.
10．【答案】 A
【解析】（本题满分为12分）
解：由题意可得：|AA'|=sin α、|BB'|=sin β、|CC'|=sin （α+β）， 设边长为sin （α+β）的所对的三角形内角为θ，
则由余弦定理可得，cos θ=
=
﹣cos αcos β =
﹣cos αcos β =sin αsin β﹣cos αcos β
=﹣cos （α+β），
∵α，β∈（0，
） ∴α+β∈（0，π）
∴sin θ==sin （α+β）
设外接圆的半径为R ，则由正弦定理可得2R=
=1， ∴R=，
∴外接圆的面积S=πR 2=．
故选：A ．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
11．【答案】B 【解析】解：∵
是5a 与5b
的等比中项， ∴5a •5b
=（
）2
=5，
即5a+b =5， 则a+b=1，
则
+=（+）（a+b ）=1+1++≥2+2
=2+2=4，
当且仅当=，即a=b=时，取等号，
即
+的最小值为4，
故选：B
【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．
12．【答案】B 【解析】
考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．
二、填空题
13．【答案】70
【解析】81
()x x -的展开式通项为8821881()(1)r r r r r r
r T C x C x x
--+=-=-，所以当4r =时，常数项为
448(1)70C -=.
14．【答案】()2
212x y -+=或()2
2
12x y ++=
【解析】
试题分析：由题意知()0,1F ，设2001,
4P x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由1'2y x =，则切线方程为()20001142y x x x x -=-，代入
()0,1-得02x =±，则()()2,1,2
,1P -，可得PF FQ ⊥，则FPQ ∆外接圆以PQ 为直径，则()2
212
x y -+=或()2212x y ++=.故本题答案填()2212x y -+=或()22
12x y ++=．1
考点：1.圆的标准方程；2.抛物线的标准方程与几何性质． 15．【答案】0 【解析】
【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值．
【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点， ∴A 1（1，0，2），E （0，0，1），G （0，2，1），F （1，1，0），
=（﹣1，0，﹣1），
=（1，﹣1，﹣1），
=﹣1+0+1=0，
∴A 1E ⊥GF ，
∴异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值为0． 故答案为：0．
16．【答案】 ﹣2 ．
【解析】解：∵曲线y=x n+1（n ∈N *
），
∴y ′=（n+1）x n
，∴f ′（1）=n+1，
∴曲线y=x
n+1
（n ∈N *
）在（1，1）处的切线方程为y ﹣1=（n+1）（x ﹣1），
该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，
∵a n=lgx n，
∴a n=lgn﹣lg（n+1），
∴a1+a2+…+a99
=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100）=lg1﹣lg100=﹣2．
故答案为：﹣2．
17．【答案】cm3．
【解析】解：如图所示，
由三视图可知：
该几何体为三棱锥P﹣ABC．
该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，
由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2，
由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，
故几何体的体积V=×8×4=cm3，
故答案为：cm3
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．
18．【答案】
﹣2
【解析】解：函数f（x）=﹣m的导数为f′（x）=mx2+2x，
由函数f（x）=﹣m在x=1处取得极值，
即有f′（1）=0，
即m+2=0，解得m=﹣2，
即有f′（x）=﹣2x2+2x=﹣2（x﹣1）x，
可得x=1处附近导数左正右负，为极大值点．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查由极值点求参数的方法，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直
【试题解析】（Ⅰ）是等边三角形，为的中点，
平面平面，是交线，平面
平面．
（Ⅱ）取的中点，底面是正方形，，两两垂直．
分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
，，
设平面的法向量为，，
，，
平面的法向量即为平面的法向量．
由图形可知所求二面角为锐角，
(Ⅲ)设在线段上存在点，，
使线段与
所在平面成
角，
平面
的法向量为
，
，
，解得
，适合 在线段
上存在点
，当线段
时，与所在平面成角．
20．【答案】（1）详见解析；（2）3λ=.
【解析】（1）由于2AB =，AM BM ==，则AM BM ⊥，
又∵平面⊥ADM 平面ABCM ，平面 ADM 平面ABCM ＝AM ，⊂BM 平面ABCM ， ∴⊥BM 平面ADM ，…………3分
又∵⊂AD 平面ADM ，∴有BM AD ⊥；……………6分
21．【答案】（1）21sin 212cos a S a a θθ
=
⋅+- （2
）2a =【解析】试题
解析：
（1）设边BC x =，则AC ax =， 在三角形ABC 中，由余弦定理得：
22212cos x ax ax θ=+-，
所以2
2112cos x a a θ=+-，
所以2
11sin 2212cos a S ax x sin a a θ
θθ
=⋅⋅=⋅+-， （2）因为()
()
2
2
2cos 12cos 2sin sin 1212cos a a a a a S a a θθθθ
θ
+--⋅=+-'⋅， ()
()
22
2
2cos 121
212cos a a a a a θθ
+-=⋅+-， 令0S '=，得02
2cos ,1a
a
θ=
+ 且当0θθ<时，02
2cos 1a
a θ>+，0S '>， 当0θθ>时，02
2cos 1a
a
θ<+，0S '<， 所以当0θθ=时，面积S 最大，此时0060θ=，所以
221
12
a a =+，
解得2a =
因为1a >，则2a =点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。

22．【答案】（1）3
π
；（2） 【解析】
试题分析：（1）要求向量,a b 的夹角，只要求得这两向量的数量积a b ⋅，而由已知()2a b a ∙-=，结合数量积的运算法则可得a b ⋅，最后数量积的定义可求得其夹角；（2）求向量的模，可利用公式2
2
a a =，把
考点：向量的数量积，向量的夹角与模．
【名师点睛】本题考查向量的数量积运算及特殊角的三角函数值，求解两个向量的夹角的步骤：第一步，先计算出两个向量的数量积；第二步，分别计算两个向量的模；第三步，根据公式cos ,a b a b a b
⋅<>=求得这两个
向量夹角的余弦值；第四步，根据向量夹角的范围在[0,]π内及余弦值求出两向量的夹角． 23．【答案】
【解析】解：若p 为真，则△=4﹣4m ＜0，即m ＞1 …
若q 为真，则
，即m ≤﹣2 …
∵p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，则p ，q 一真一假
若p 真q 假，则，解得：m ＞1 …
若p 假q 真，则
，解得：m ≤﹣2 …
综上所述：m ≤﹣2，或m ＞1 …
24．【答案】
【解析】（1）∵211()2x f x x x +=
=+，∴11
()2n n n
a f a a +==+. 即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是以首项为2，公差为2的等差数列， ∴1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=. （5分） （2）∵数列{}n a 是等差数列，
∴1()(22)(1)22
n n a a n n n
S n n ++===+， ∴1111(1)1
n S n n n n ==-
++. （8分） ∴1231111n n T S S S S =++++
11111111()()()()1223341
n n =-+-+-++-+ 111n =-+1
n n =+. （12分）。