2018年辽宁省营口市体育中学高一数学理上学期期末试卷含解析

2018年辽宁省营口市体育中学高一数学理上学期期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=17的距离等于1，则半径r的取值范围是（）
A．（0，2）B．（1，2）C．（1，3）D．（2，3）
参考答案：
C
考点：直线与圆的位置关系．
专题：直线与圆．
分析：设圆心（3，﹣5）到直线4x﹣3y=17的距离为d，则由题意可得r﹣1＜d＜r+1，利用点到直线的距离公式求出d的值，解
不等式求得半径r的取值范围．
解答：设圆心（3，﹣5）到直线4x﹣3y=17的距离为d，则由题意可得r﹣1＜d＜r+1．即r﹣1＜＜r+1，解得 1＜r＜3，
故选C．
点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．
2. 已知sinθ?tanθ＜0，那么角θ是（）
A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角
参考答案：
B
3. 过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的()
A． B． C． D．
参考答案：
B
4. 设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模
，若，则=（）
A． B． 2 C． D． 4
参考答案：
B
考点：平面向量的综合题．
专题：新定义．
分析：设的夹角为θ，由向量的数量积公式先求出cosθ==﹣，从而得到sinθ=，由此能求出．
解答：解：设的夹角为θ，
则cosθ==﹣，
∴sinθ=，
∴
=2×2×
=2．
故选B．
点评：本题考查平面向量的综合运用，解题时要正确理解向量积的概念，认真审题，注意向量的数量积的综合运用．
5. 过点且平行于直线的直线方程为（）
A. B.C．D．
参考答案：
A
略
6. 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱侧视图的面积为（）
A．4 B．2 C．
D．
参考答案：
B
7. 设，，，当，且时，点在 A．线段AB上 B．直线AB上
C．直线AB上，但除去A点 D．直线AB上，但除去B点
参考答案：
B
8.
参考答案：
9. 已知函数值域为R,那么的取值范围是（）A． B． C． D．
参考答案：
C
10. 已知集合，则下列式子表示正确的有（）
①②③④
A.1个B．2个C．3个D．4个
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知x、y、z均为正数，则的最大值为______________.
参考答案：
【分析】
根据分子和分母的特点把变形为，运用重要不等式，可以求出的最大值.
【详解】（当且仅当且时取等号）,
（当且仅当且时取等号），因此的最大值为.
【点睛】本题考查了重要不等式，把变形为是解题的关键.
12. 与向量a =（3,-4）垂直的单位向量为
参考答案：
或
略
13. 如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若?=﹣2，则?的值为
参考答案：
3
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】建立直角坐标系，设出正方形的边长，利用向量的数量积求出边长，然后求解数量积的值．
【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，设正方形的边长为2a，
则：E（a，2a），B（2a，0），D（0，2a）
可得：=（a，2a），=（2a，﹣2a）．
若?=﹣2，可得2a2﹣4a2=﹣2，解得a=1，
=（﹣1，2），=（1，2），
则?的值：﹣1+4=3．
故答案为：3．
14. 下列命题：①偶函数的图象一定与y轴相交；②任取x>0,均有
③在同一坐标系中，y=与y=的图象关于x轴对称④A=R,B=R,
f: x→y=,则f为A到B的映射;⑤y=在（-，0）（0，+）上是减函数。

其中正确的命题的序号是。

参考答案：
②③
15. 已知cos(α+β)=，cos(α-β)=，则tanα?tanβ=．
参考答案：
﹣
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】利用两角和与差的余弦函数公式化简已知两等式，再利用同角三角函数间的基本关系化简，即可求出tanα?tanβ的值．
【解答】解：∵cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=，
cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=，
∴===2，
即1﹣tanαtanβ=2+2tanαtanβ，
整理得：tanαtanβ=﹣．
故答案为：﹣．
16. 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知，，如果解此三角形有且只有两个解，则x的取值范围是_____．
参考答案：
【分析】
由余弦定理写出c与x的等式，再由有两个正解，解出x的取值范围
【详解】根据余弦定理：代入数据并整理有
，有且仅有两个解，记为则：
【点睛】本题主要考查余弦定理以及韦达定理，属于中档题。

17. 函数y=3sin（﹣2x）的单调增区间是．
参考答案：
[kπ+，kπ+]（k∈Z）
【考点】复合三角函数的单调性．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由诱导公式和复合三角函数的单调性可得：原函数的单调递增区间即为函数y=3sin（2x﹣）的单调递减区间，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得答案．
【解答】解：由诱导公式原三角函数可化为y=﹣3sin（2x﹣），
∴原函数的单调递增区间即为函数y=3sin（2x﹣）的单调递减区间，
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，
∴所求函数的单调递增区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）
故答案为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）．
【点评】本题考查复合三角函数的单调性，属基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
（ I）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（ II）若AC=1，PA=1，求圆心O到平面PBC的距离．
参考答案：
【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）证明AC⊥BC，PA⊥BC，然后证明BC⊥平面PAC，转化证明平面PAC⊥平面PBC．
（2）过A点作AD⊥PC于点D，连BD，取BD的中点E，连OE，说明OE长就是O到平面PBC的距离，然后求解即可．
【解答】解：（1）证明：由AB是圆的直径得AC⊥BC，
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC
∴BC⊥平面PAC，…
又∴BC?平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC…
（2）过A点作AD⊥PC于点D，则由（1）知AD⊥平面PBC，…
连BD，取BD的中点E，连OE，则OE∥AD，
又AD⊥平面PBCOE⊥平面PBC，
所以OE长就是O到平面PBC的距离．…
由中位线定理得…
19. 本小题满分12分）
已知向量，函数
(1)求函数的值域；
(2)已知分别为△ABC内角A，B，C的对边，，且，求A和△ABC面积的最大值。

参考答案：
所以的值域为
所以,，当且仅当时取等号
此时所以面积的最大值为
20. 解不等式x2﹣（a+）x+1＜0（a≠0）
参考答案：
【考点】74：一元二次不等式的解法．
【分析】不等式x2﹣（a+）x+1＜0（a≠0）可化为0，令，解得
a=±1．对a分类讨论：
当a＜﹣1或0＜a＜1时，当a=±1时，当a＞1或﹣1＜a＜0时，即可得出．
【解答】解：不等式x2﹣（a+）x+1＜0（a≠0）可化为0，令，解得a=±1．
当a＜﹣1或0＜a＜1时，，因此原不等式的解集为．
当a=±1时，a=，因此原不等式的解集为?．
当a＞1或﹣1＜a＜0时，a＞，因此原不等式的解集为．
21. 数列{a n}满足：a1=1，a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1．
（1）求a2，a4，a6；
（2）设b n=a2n，求数列{b n}的通项公式；
（3）设S n为数列{a n}的前n项和，求S2018．
参考答案：
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由已知得{a n}满足：a1=1，，利用递推思想依次求出前6项，由此能求出a2，a4，a6．
（2）推导出a n=，由此能求出数列{b n}的通项公式．
（3）a n=，由此能求出数列{a n}的前n项和．
【解答】解：（1）∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1．
∴，
∴a2=2﹣1+1=2，
a3=4﹣1﹣2=1，
a4=6﹣1+1=6，
a5=8﹣1﹣6=1，
a6=10﹣1+1=10．
（2）由（1）得a n=，
∵b n=a2n，
∴数列{b n}的通项公式b n=a2n=2（2n﹣1）=4n﹣2．
（3）∵S n为数列{a n}的前n项和，
∴S2018=（a1+a3+…+a2017）+（a2+a4+…+a2018）
=1009×1+2（1+3+5+ (2017)
=1009+2×
=2037171．
22. 已知圆C经过点A（1，3）和点B（5，1），且圆心C在直线x-y+1=0上
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l经过点D（0，3），且直线l与圆C相切，求直线l的方程。

参考答案：
略。