人教A版高中数学高二选修2-1试题 直线与椭圆的位置关系

第二章 2.2 第3课时
一、选择题
1．已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2
n ＝1的离心率
为( )
A.1
2 B ．3
3 C ．
2
2
D ．
32
[答案] C
[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
2n ＝m ＋m ＋n ，
n 2＝m 2n .
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝2，
n ＝4.∴e ＝
n －m n ＝2
2
，故选C. 2．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是
( )
A ．b 2
B ．bc
C ．ab
D ．ac
[答案] B
[解析] S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝1
2
|OF |·|y A －y B |，
当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2b . ∴△ABF 面积的最大值为bc .
3．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 2
3＝1的外部，则a 的取值范围为( )
A ．(－233，23
3)
B ．(23
3，＋∞)∪(－∞，－233)
C ．(4
3，＋∞)
D ．(－∞，－43)
[答案] B
[解析] 因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >23
3或a <－233
，故
选B.
4．点P 为椭圆x 25＋y 2
4＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，
则P 点的坐标为( )
A ．(±15
2
，1) B ．(
152，±1) C ．(
15
2
，1) D ．(±
152
，±1) [答案] D
[解析] 设P (x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1， ∴S △PF 1F 2＝1
2|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1，
∵x 205＋y 20
4＝1， ∴x 0＝±
15
2
.故选D. 5．过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若
∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A.2
2
B ．
33
C ．12
D ．13
[答案] B
[解析] 把x ＝－c 代入椭圆方程可得y c ＝±b 2
a ，
∴|PF 1|＝b 2a ，∴|PF 2|＝2b 2
a
，
故|PF 1|＋|PF 2|＝3b 2
a ＝2a ，即3
b 2＝2a 2.
又∵a 2＝b 2＋c 2， ∴3(a 2－c 2)＝2a 2， ∴(c a )2＝13，即e ＝33
. 6．如图F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|
为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为( )
A.
3
2
B ．1
2
C ．
2
2
D ．3－1
[答案] D
[解析] 连接AF 1，由圆的性质知，∠F 1AF 2＝90°， 又∵△F 2AB 是等边三角形， ∴∠AF 2F 1＝30°， ∴AF 1＝c ，AF 2＝3c ，
∴e ＝c a ＝2c 2a ＝2c c ＋3c ＝3－1.故选D.
二、填空题
7．若过椭圆x 216＋y 2
4＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是
________________________．
[答案] x ＋2y －4＝0
[解析] 设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 22
4＝1，两式相减并把x 1
＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得，
y 1－y 2
x 1－x 2
＝－1
2，
∴所求直线方程为y －1＝－1
2(x －2)，
即x ＋2y －4＝0.
8．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A (1，
3
2
)到F 1、F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________，焦点坐标是________． [答案] x 24＋y 2
3
＝1 (±1,0)
[解析] 由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2.
∴原方程化为：x 24＋y 2
b 2＝1，
将A (1，3
2
)代入方程得b 2＝3.
∴椭圆方程为：x 24＋y 2
3
＝1，焦点坐标为(±1,0)．
9．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点
P 使a sin ∠PF 1F 2＝c
sin ∠PF 2F 1
成立，则该椭圆的离心率的取值范围为__________________．
[答案] (2－1,1)
[解析] 由正弦定理及a sin ∠PF 1F 2＝c
sin ∠PF 2F 1，得
c a ＝sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|
. 在△PF 1F 2中，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2a －x . 则上式为c a ＝2a －x x ，即cx ＋ax ＝2a 2
，x ＝2a 2
a ＋c .
又a －c <x <a ＋c ，所以a －c <2a 2
a ＋c <a ＋c .
由a －c <2a 2
a ＋c ，得a 2>－c 2，显然恒成立．
由2a 2a ＋c <a ＋c ，得a 2<2ac ＋c 2， c 2＋2ac －a 2>0，即e 2＋2e －1>0， 解得e>－1＋2或e<－1－2(舍)． 又0<e<1，
所以e 的取值范围为(2－1,1)． 三、解答题
10．(2014·韶关市曲江一中月考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为3
5.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5
的直线被C 所截线段的中点坐标．
[解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16
b 2＝1，∴b ＝4，
又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝9
25，∴a ＝5，
∴椭圆C 的方程为x 225＋y 2
16
＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4
5
(x －3)，
设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝4
5(x －3)代入椭圆方程得
x 225＋(x －3)2
25＝1，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－6
5
)．
一、选择题
11．(2014·抚顺二中期中)在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆
经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝( )
A.34 B ．37
C.38 D ．318
[答案] C
[解析] 设|AB |＝x >0，则|BC |＝x ， AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B
＝x 2＋x 2－2x 2·(－718)＝259x 2，∴|AC |＝53x ，
由条件知，|CA |＋|CB |＝2a ，AB ＝2c ， ∴53x ＋x ＝2a ，x ＝2c ，∴c ＝c a ＝2c 2a ＝x 83
x ＝3
8
. 12．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→
＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(0，1
2]
C ．(0，
22
) D ．[
2
2
，1) [答案] C
[解析] 依题意得，c <b ，即c 2<b 2， ∴c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <2
2，
又0<e<1，∴0<e<
2
2
，故选C. 13．(2013·天津耀华中学模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，点
P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →
的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
[答案] C
[解析] 由题意可知O (0,0)，F (－1,0)，设点P 为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →
＝(x ＋1，y )，
∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋y 2 ＝x 2＋x ＋3－34
x 2
＝14x 2＋x ＋3＝1
4
(x ＋2)2＋2. ∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝2时，OP →·FP →取最大值． (OP →·FP →)max ＝14
(2＋2)2＋2＝6，故选C.
14．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝1
2，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0
的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )
A ．必在圆x 2＋y 2＝2上
B ．必在圆x 2＋y 2＝2外
C ．必在圆x 2＋y 2＝2内
D ．以上三种情形都有可能 [答案] C
[解析] e ＝12⇒c a ＝12⇒c ＝a
2，
a 2－
b 2a 2＝14⇒b 2a 2＝34
⇒b a ＝32⇒b ＝32a . ∴ax 2＋bx －c ＝0⇒ax 2＋32ax －a
2
＝0 ⇒x 2＋
32x －12＝0，x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－1
2
， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝34＋1＝74<2. ∴在圆x 2＋y 2＝2内，故选C. 二、填空题
15．如图，在椭圆中，若AB ⊥BF ，其中F 为焦点，A 、B 分别为长轴与短轴的一个端点，则椭圆的离心率e ＝________.
[答案]
5－1
2
[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1，则有A (－a,0)，B (0，b )，F (c,0)，由AB ⊥BF ，得k AB ·k BF
＝－1，而k AB ＝b a ，k BF ＝－b c 代入上式得b a ⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1，利用b 2＝a 2－c 2消去b 2，得a c －c
a ＝1，即1
e －e ＝1，解得e ＝－1±52
， ∵e>0，∴e ＝5－12.
三、解答题
16．(2013·武汉外国语学校月考)已知过点A (－1,1)的直线l 与椭圆x 28＋y 2
4＝1交于点B ，
C ，当直线l 绕点A (－1,1)旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程．
[解析] 设直线l 与椭圆的交点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，弦BC 的中点M (x ，y )，
则⎩⎨⎧
x 218＋y 21
4
＝1， ①x 22
8＋y
22
4＝1， ②
①－②，得(x 218－x 228)＋(y 214－y 22
4
)＝0，
∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.③
当x 1≠x 2时，③式可化为(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 2－y 1
x 2－x 1＝0.
∵x 1＋x 22＝x ，y 1＋y 22＝y ，y 2－y 1x 2－x 1＝y －1x ＋1，
∴2x ＋2·2y ·y －1x ＋1＝0，化简得x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.
当x 1＝x 2时，∵点M (x ，y )是线段BC 中点， ∴x ＝－1，y ＝0，显然适合上式．
综上所述，所求弦中点M 的轨迹方程是x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.
17．(2014·鱼台一中高二期中)已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (32，1)，离心率e ＝3
2，
直线l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，向量m ＝(ax 1，by 1)，n ＝(ax 2，by 2)，且m ⊥n .
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线l 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)时，求直线l 的斜率k .
[解析] (1)由条件知⎩⎪⎨⎪
⎧
c a ＝3
2
，1a 2
＋34b 2
＝1，
a 2
＝b 2
＋c 2
，
解之得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝1.
∴椭圆的方程为y 24
＋x 2
＝1.
(2)依题意，设l 的方程为y ＝kx ＋3，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋3，y 24＋x 2＝1，消去y 得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0，
显然Δ>0，
x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4
，由已知m ·n ＝0得，
a 2x 1x 2＋
b 2y 1y 2＝4x 1x 2＋(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝(4＋k 2)x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋3＝(k 2＋4)(－
1
k 2＋4)＋3k ·－23k k 2＋4
＋3＝0，解得k ＝±2.。