专题55 绝对值不等式教学案-2018年高考数学文一轮复习

1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
①|a+b|≤|a|+|b|;
②|a-b|≤|a-c|+|c-b|.
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;
|x-a|+|x-b|≥c.
3.会用绝对值不等式、平均值不等式证明一些简单问题；能够利用平均值不等式求一些特定函数的最(极)值.
一、绝对值不等式的解法
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1)若c＞0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可．
(2)若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.
2．|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法
可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．
(1)零点分区间法的一般步骤
①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；
②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；
③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；
④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．
(2)利用绝对值的几何意义
由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．
3．|f (x )|＞g (x )，|f (x )|＜g (x )(g (x )＞0)型不等式的解法 (1)|f (x )|＞g (x )⇔f (x )＞g (x )或f (x )＜－g (x )． (2)|f (x )|＜g (x )⇔－g (x )＜f (x )＜g (x )． 二、绝对值不等式的证明
证明绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.主要的三种方法
1．利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． 2．利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． 3．转化为函数问题，数形结合进行证明． 三、绝对值不等式的综合应用
1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法． 2．f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a . f (x )>a 恒成立⇔f (x )min ＞a .
高频考点一 含绝对值不等式的解法 【例1】 解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.
⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜1，－（x －1）＋x ＋2≥5 或⎩
⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2或x ≤－3， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).
【方法规律】形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解. 【变式探究】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －
3|.
(1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.
解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x －4，x ≤－1，
3x －2，－1<x ≤ 32，
－x ＋4，x >32
， y ＝f (x )的图象如图所示.
(2)由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝1
3
或x ＝5，
故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x <13或x >5.
所以|f (x )|>1的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x <13或1<x <3或x >5.
高频考点二 含参数的绝对值不等式问题
【例2】 (1)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值. (2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值.
【方法规律】求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |；(3)利用零点分区间法.
【变式探究】 (1)若关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解，求实数d 的取值范围. (2)不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1
x ≥|a －2|＋sin y 对一切非零实数x ，y 均成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)∵|2 014－x |＋|2 015－x |≥|2 014－x －2 015＋x |＝1， ∴关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解时，d ≥1. (2)∵x ＋1
x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴⎪⎪⎪
⎪x ＋1
x ∈[2，＋∞)，其最小值为2. 又∵sin y 的最大值为1，
故不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1
x ≥|a －2|＋sin y 恒成立时， 有|a －2|≤1，解得a ∈[1，3].
高频考点三 含绝对值的不等式的应用
【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；
(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围.
当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以实数a 的取值范围是[2，＋∞).
【方法规律】(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法. 【变式探究】已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；
(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得2
3<x <1；
当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.
所以f (x )>1的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪23
<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .
所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫
2a －13，0，
B (2a ＋1，0)，
C (a ，
a ＋1)，
△ABC 的面积为2
3(a ＋1)2.
由题设得2
3(a ＋1)2>6，故a >2.
所以实数a 的取值范围为(2，＋∞).
1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲 已知函数()123f x x x =+--.
（I ）在答题卡第（24）题图中画出()y f x =的图像； （II ）求不等式()1f x >的解集．
【答案】（I ）见解析（II ）()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪
⎝
⎭，，，
【解析】⑴如图所示：
⑵
()4133212342
x x f x x x x x ⎧
⎪--⎪
⎪
=--<<⎨⎪
⎪
-⎪⎩，≤，，≥
2.【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲 已知函数11
()||||22
f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （Ⅰ）求M ；
（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+． 【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.
【解析】（I ）12,,21
1()1,,2
212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪
⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩
当1
2x ≤-
时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当11
22x -<<时， ()2f x <；
当1
2
x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <.
所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.
（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，
从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<， 因此|||1|.a b ab +<+
1.【2015高考新课标1，理24】选修4—5：不等式选讲
已知函数错误！未找到引用源。

=|x +1|-2|x-a |，a >0.
（Ⅰ）当a =1时，求不等式f (x )>1的解集；
（Ⅱ）若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2
{|2}3
x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】
所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21
(
,0)3
a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22
(1)3
a +.
由题设得2
2(1)3
a +＞6，解得2a >.
所以a 的取值范围为（2，+∞）. ……10分 1．（2014·福建卷） (Ⅲ)选修4-5：不等式选讲
已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .
(1)求a 的值；
(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.
2．（2014·广东卷）不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________． 【答案】(－∞，－3]∪[2，＋∞)
【解析】本题考查绝对值不等式的解法．|x －1|＋|x ＋2|≥5的几何意义是数轴上的点到1与－2的距离之和大于等于5的实数，所以不等式的解为x ≤－3或x ≥2，即不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
3．(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x －53＜x ＜13，则a ＝________．
【答案】－3
【解析】依题意可得－3＜ax －2＜3，即－1＜ax ＜5 ，而－53＜x ＜1
3，即－1＜－3x ＜5，所
以a ＝－3.
4．[2014·江西卷] (1)(不等式选做题)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】(1)C
【解析】易知|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2, 当且仅当－1≤y ≤1时等号成立．故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.
1.设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值.
解 (1)法一 令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－1
2，x ＝4.
原不等式可化为：
⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－x －5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜4，3x －3＞2或⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥4，x ＋5＞2.
即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，x ＜－7或⎩
⎨⎧－1
2≤x ＜4，x ＞53
或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，
x ＞－3，
∴x ＜－7或x ＞53.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x ⎪
⎪x ＜－7或x ＞53. 法二 f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x －5 ⎝
⎛⎭⎫x ＜－1
23x －3 ⎝⎛⎭
⎫－12≤x ＜4x ＋5 （x ≥4）
画出f (x )的图象，如图所示
.
2.设α，β，γ均为实数.
(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|； (2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1. 证明 (1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤ |cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|； |sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋ |cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.
(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|，而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.
3.已知a和b是任意非零实数.
(1)求|2a＋b|＋|2a－b|
|a|的最小值；
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围.
故实数x的取值范围为[－2，2].
4.已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－a).
(1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域；
(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求实数a的最大值.
解(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|＞7，
①当x＞2时，得x＋1＋x－2＞7，解得x＞4.
②当－1≤x≤2时，得x＋1＋2－x＞7，无解.
③当x＜－1时，得－x－1－x＋2＞7，解得x＜－3.
∴函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞).
(2)不等式f(x)≥3，
即|x＋1|＋|x－2|≥a＋8，
∵当x∈R时，
恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
又不等式|x＋1|＋|x－2|≥a＋8的解集是R，
∴a＋8≤3，即a≤－5，∴a的最大值为－5.
5.设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M ；
(2)当x ∈(M ∩N )时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.
故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |0≤x ≤34. 当x ∈(M ∩N )时，f (x )＝1－x ，于是
x 2f (x )＋x ·[f (x )]2
＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎫x －122≤14. 6.已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.
(1)解不等式：|g (x )|＜5；
(2)若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5，
所以－7＜|x －1|＜3，
解不等式得－2＜x ＜4，
所以原不等式的解集是{x |－2＜x ＜4}.
(2)因为对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}， 又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|2x －a －(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2， 解得a ≥－1或a ≤－5，
所以实数a 的取值范围是{a |a ≥－1或a ≤－5}.。