北师大版初一数学第五章一元一次方程 解题要点

一元一次方程
类型一：方程的概念
1.判断一个十字是否是方程，一看是否是等式，二看是否含有未知数。

2.方程中所含的未知数不一定只有一个，可以有两个或者两个以上。

类型二：方程的解
方程的解释是使方程左右两边的值相等的未知数的值，所以要检验一个数是否是某方程的解，只需将这个数代入方程左右两边，分别计算其结果，如果方程左右两边的值相等，那么这个数就是此方程的解；如果方程左右两边的值不相等，那么这个数就不是此方程的解。

类型三：一元一次方程的概念
1.判断一个式子是否是一元一次方程，首先要看式子是否是方程，若是方程再看是否满足以下四个条件：分母不能含有未知数；只含有一个未知数；未知数是指数为一；未知数的系数不为0。

同时满足以上四个条件的方程才是一元一次方程。

2.掌握以下两个结论：如果a,b是常数且a≠0，那么ax+b=0是关于x的一元一次方程；如果ax+b=0是关于x的一元一次方程，那么必有a≠0.
类型四：列方程描述相等关系
用方程描述实际问题中相等关系的一般步骤：1.分析题意，找相等关系；2.设未知数x；3.把等号左右两边具有相等关系的量用含x的式子表示出来。

类型五：等式的性质
1.利用等式的两条性质对等式进行变形时，必须根据等式的性质1和性质2在等式两边同时进行，同时加或减，乘或除，才能保证所得结果仍是等式。

2.等式的基本性质2中同时乘同一个数或除以同一个不为0的数，这里仅指数，不包括式子，注意与性质1的区别。

3.等式性质2中，除以的同一个数不能为0，因为0不能作除数或分母。

4.等式左右两边互换，多得结果仍是等式。

如：若a=b，则b=a。

5.等式具有传递性，如：若a=b，b=c，则a=c.（这一性质也叫等量代换）
类型六：运用等式的性质求一元一次方程的解
运用等式性质解一元一次方程一般分为两步：一是两边同时加上或减去一个数或式子，把一元一次方程化成ax=b(a≠0)的形式；二是方程左右两边同时乘未知数的系数的倒数，使未知数的系数化为1，从而解出方程。

类型七：年龄问题
一般题目先告诉现在两人的年龄关系，再告诉几年后两人的年龄关系，解题时应注意两人的年龄是同时变化的，同时增加或同时减少相同的数。

类型八：等式性质的综合应用
等式两边同时加上或减去一个数（或式子），所得结果仍是等式，等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不是0的数），所得结果仍是等式，根据这些性质可编写应用题，列式解应用题。

类型九：移项
一般将含有字母的项移到方程一侧，不含字母的项移到方程另一侧，在移项过程中，所移动的项是方程中的项，包括前面的性质符号，将某一项从方程的一边移到另一边时，一定要变号。

类型十：合并同类项
在合并同类项时，只有字母和字母的指数均相同的项才能合并，否则不能合并。

类型十一：利用移项，合并同类项解简单的一元一次方程
求简单的一元一次方程的解的一般步骤：
1.移项：把含有未知数的项移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边，使方程更接近于x=a的形式；
2.合并同类项：移项后将方程同侧的同类项合并；
3.系数化为1：方程左右两边同时乘未知数的系数的倒数，将形如ax=b（a≠0）的方程化为x= 的形式。

以上简称为：移项→合并同类项→系数化为1.
类型十二：解简单的实际应用题
依据隐含在题目中的相等关系，通过数学模型（一元一次方程），将实际问题转化为数学问题。

类型十四：去括号解一元一次方程
1.运用乘法分配律去括号时，不要漏乘括号内的每一项。

2.注意“+”“—”的改变，即括号前是符号时，去括号后要注意原括号内各项的符号变化情况。

3.解方程去括号的顺序一般是：先去小括号，再去中括号，最后去大括号，简单地说就是由内向外去括号。

类型十六：去分母解一元一次方程
利用去分母解一元一次方程时，要注意以下几点：
1.依据等式的性质2，在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数。

2.若分子是一个多项式，去分母时，给分子添上一个括号。

3.对于不含分母的项，不要漏乘分母的最小公倍数。

类型十七：解复杂的一元一次方程的一般步骤
1.解复杂的一元一次方程通常有以下步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1.
2.解具体的一元一次方程时，并不是以上每个步骤都要用到，有分母则去分母，有括号则去括号。

3.解具体的一元一次方程时，并不一定按照一般步骤的顺序解方程，有时要根据方程的形、特点，灵活安排求解步骤，熟练后可合并或简化步骤。

类型十八：去分母解一元一次方程的实际应用
1.用一元一次方程解决实际问题时要先找出相等关系，再按照相等关系来选择未知数和表达式。

2.要注意方程两边的同一类量，并且单位要统一。

类型二十：日历中的数量关系
1.在日历表中，一个月的日期按从星期日至星期六的顺序排列的最小数为1，最大的数由各月决定，一般为30或31，二月是28或29.
2.日历中每一横排数字之间的规律：每一横排相邻两个数字之间相差1。

3.日历中每一竖排数字之间的规律：每一竖排相邻两个数字之间相差7。

4.日历中从左向右斜（左斜）一列之间的规律：左斜的一列相邻数字之间相差8。

5.日历中从右向左斜（右斜）一类之间的规律：右斜的一列相邻数字之间相差
6. 类型二十一：实数间的关系问题
1.整数：相邻的两个整数差1，若设中间数为x，则三个连续整数可表示为x-1，x，x+1.
2.偶数：相邻两个偶数差2，若设最小的数为x，则三个连续的偶数可以表示为：x，x+2，x+4。

3.奇数：相邻两个奇数差2，若设中间数为x，则三个连续奇数可表示为x-2，x，x+2。

类型二十二：数字组成问题
一个多位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，…，那么这个多位数可以表示为a+10b+100c+…,注意a,b,c, …可取0到9之间的数，不能取大于等于10的数，并且最高位上的数不能为0。

类型二十三：解的合理性
在列方程解应用题时，求出解后要注意验证所求得的解是否符合实际问题的情景，若符合，说明这就是要求的解；若不符合，则说明这个问题无解。

类型二十四：等积变形问题
等积变形，既物体的外形或形态发生变化，但变化前后的体积不变。

如钢锭锻压过程中，形状改变了，但其体积不变。

利用体积不变这一等量关系，我们可列方程解决等积变化问题。

常见的体积公式有：
1.圆柱体积V=πr²h。

（r是底面半径，h是圆柱的高）
2.长方体的体积V=abc。

（a，b，c分别代表长方体的长，宽，高）
3.正方体体积V=a³。

（a表示正方体的棱长）
类型二十五：等长变形问题
等长变形，既用物体（通常指铁丝等）围成不同的图形，图形的形状，面积发生了变化，但周长不变。

我们可以利用周长不变设未知数，寻周相等关系并列出方程。

等长变形问题中，常常会用到特殊图形的周长和面积公式。

三角形，平行四边形，长方形，正方形，梯形，圆等常见平面图形的周长和面积公式要牢靠掌握
类型二十六：打折销售的利润问题
1.基本概念：
进价：购进商品的价格（有时称成本价）。

售价：销售商品时的价格（有时称成交价）。

标价：在销售时标出的价格（有时称原价，定价）。

利润：在销售商品过程中的纯收入。

利润率：利润占进价的百分比。

打折：销售商品时，按照标价乘十分之几或百分之几的价格后的价格销售。

则称家编辑打几折，比如将标价100元的商品打7折销售，实际销售就是100×70％=70（元）。

2.销售中的数量关系：
利润=售价－进价，利润率=利润/进价×100％。

售价=进价＋利润=进价×（1＋利润率）。

售价+标价×（x为打折数）
类型二十七：用一元一次方程解决应用题一般步骤
1.用方程解应用题，关键时从题目中找出一个等量关系，然后恰当的设出未知数，把等量关系左、右两边所涉及的各个量用含有已知数和未知数的代数式表示，这样得到的含有未知数的等式就是我们要列出的方程。

2.列方程解应用题的一般步骤：
①审：审题，找出体重的已知量和未知量，并明确各数量之间的关系；
②设：设未知数；（可直接设，也可间接设）
③找：找出题目中所有的等量关系，并用式子表示出来；
④列：根据等俩昂关系列出方程；
⑤解：解所列的方程；
⑥验：检验所求答案是否符合提议，写出答案（包括单位名称）
类型二十八：用一元一次方程解决分配问题
1.当题目中的未知量有两个或两个以上，等量关系有两个或两个以上时，我们可
以借助表格分析题意，探究已知量和未知量之间的关系，先选择一个适当的未知量设未知数，然后用含有未知数的代数式来表示其他的未知量，最后根据题目中的等量关系列出方程。

2.设未知数的方法有两种：直接设未知数和间接设未知数，直接设未知数就时题目问什么就设什么，但是这种设未知数的方式有时列方程较困难；间接设未知数，就是先设出一个中间量为未知数，这种设未知数的方式有时思路比较简单易懂，因此，要因题而异，具体分析后再设未知数，未知数设的适当，能给列方程带来简便。

类型二十九：相遇问题
1.相遇问题设行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行，这类问题比较直观，因而可画线段图来分析，这类问题的等量关系：双方所走的路程之和=总路程。

2.环形路线中的相遇问题要特别注意分两种情况：
①同时同地不同方向：第一次相遇时两人的行程之和等于环形跑道的周长；
②同时同地同方向：第一次相遇时的行程只差等于环形跑道的周长。

类型三十：追及问题
1.追及问题是行程问题中很重要的一种，它的特点时同向而行。

这类问题也比较直观，可画线段图来分析，这类问题的等量关系式为：两者的行程差=开始时两者相距的路程；路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度。

2.在追及问题中，寻找等量关系的方法有两种：
①对于同向同时不同地的问题，如图，甲的行程-乙的行程=两出发地的距离。

②对于同向同地不同时的问题，如图，甲的行程=乙的行程。

类型三十一：航行问题
航行问题是行程问题的一种，常用的关系式：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度－水流速度；顺水速度－逆水速度=2倍水速。

一般抓住两码头间航程，水流速度、船在静水中的速度不变的特点，考虑相等的关系。

类型三十二：储蓄问题
1.本金：储蓄时，存入银行的钱数。

2.利息：存款到期后，除本金外银行需要支付给储户的钱数。

3.利率：根据储蓄时间和种类的不同，制定的支付利息的百分比，分为年利率、月利率等。

4.储蓄问题中的数量关系：
利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息。

类型三十三：贷款问题
解决这类问题，可以运用类比的方法，把贷款与存款相类比，贷款金额相当于存款的本金，贷款的年利率相当于存款的年利率。