人教版_人教版八年级数学关于动点问题的分析

人教版八年级动点总是专项练习
如图，在直角坐标系中，O是原点，A，B，C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P，Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC，CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
（1）求直线OC的解析式．
（2）设从出发起，运动了t秒．假如点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围．
（3）设从出发起，运动了t秒．当P，Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由．
（1）O，C两点的坐标分别为O（0，0），C（8，6），利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）当Q在OC上运动时，Q的坐标满足直线OC的解析式，可设Q(m，34
m)，则OQ就是Q运动的路程，利用勾股定理即可利用t表示出m，从而求得Q的坐标；
当当Q在CB上运动时，Q点所走过的路程为2t，求得CQ的长度，即可求得Q的坐标；
（3）当Q点在OC上运动时，P运动的路程为t，则Q运动的路程为（22-t），根据△OPQ的面积等于梯形面积的一半，即可得到一个关于t的方程，根据方程的解得情况即可判断；
当Q在BC上运动时，Q走过的路程为（22-t），根据梯形OCQP的面积等于梯形OABC的面积的一半从而列方程求解．
解：（1）∵O，C两点的坐标分别为O（0，0），C（8，6），设OC的解析式为y=kx+b，
将两点坐标代入得：k=3 4 ，b=0．
∴y=3 4 x．
（2）当Q在OC上运动时，可设Q(m，3 4 m)，依题意有：m2+(3 4 m)2=(2t)2，解得m=8 5 t．
则Q(8 5 t，6 5 t)（0≤t≤5）．
当Q在CB上运动时，Q点所走过的路程为2t．
∵OC=10，
∴CQ=2t-10．
∴Q点的横坐标为2t-10+8=2t-2．
∴Q（2t-2，6）（5＜t≤10）．
（3）∵梯形OABC的周长为44，当Q点在OC上运动时，P运动的路程为t，则Q运动的路程为（22-t）．
△OPQ中，OP边上的高为：(22-t)×3 5 ．
∴S△OPQ=1 2 t(22-t)×3 5 ，S梯形OABC=1 2 (18+10)×6=84．
依题意有：1 2 t(22-t)×3 5 =84×1 2 ．
整理得：t2-22t+140=0．
∵△=222-4×140＜0，
∴这样的t不存有．
当Q在BC上运动时，Q走过的路程为（22-t），
∴CQ的长为：22-t-10=12-t．
∴S梯形OCQP=1 2 ×6(22-t-10+t)=36≠84×1 2 ．
∴这样的t值也不存有．
综上所述，不存有这样的t值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积．
如图1所示，在△ABC中，点O在AC边上运动，过O作直线MN∥BC交∠BCA内角平分线于E点，外角平分线于F点．试探究：当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
析解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
因为MN ∥BC ，所以∠ECB=∠FEC ．因为∠ECB=∠ECA ，所以∠ECA=∠FEC ，所以EO=OC ．同理可得OF=OC ，所以EO=OF ．又因为点O 是AC 的中点，所以CA 与FE 互相平分，所以四边形AECF 是平行四边形．又因为CE 、CF 分别是∠BCA 的内、外角平分线，而∠BCD 是一平角，所以∠ECA+∠ACF=90º，即∠ECF=90º．所以四边形AECF 是矩形．
如图2所示，在直角坐标系中，四边形OABC 为直角梯形，OA ∥BC ，BC=14cm ，A 点坐标为（16，0），C 点坐标为（0，2）．点P 、Q 分别从C 、A 同时出发，点P 以2cm/s 的速度由C 向B 运动，点Q 以4cm/s 的速度由A 向O 运动，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动，设运动时间为ts （0≤t ≤4）．
（1）求当t 为多少时，四边形PQAB 为平行四边形．
（2）求当t 为多少时，PQ 所在直线将梯形OABC 分成左右两部分的面积比为1：2，求出此时直线PQ 的函数关系式． 析解：（1）因为ts 后，BP=(14-2t) cm ，AQ=4t cm ．由BP= AQ ，得14-2t=4t ，t=37(s)．所以当t=3
7s 时，BP= AQ ，又OA ∥BC ，所以四边形PQAB 为平行四边形．
（2）因为C 点坐标为（0，2），A 点坐标为（16，0），所以OC=2 cm ，OA=16 cm ．所以OABC S 梯形=21(OA+BC)·OC=2
1×(16+14)×2=30(cm 2)． 因为ts 后，PC=2t cm ，OQ=(16-4t) cm ，所以PQOC S 四边形=
21(2t+16-4t)×2=16-2t ． 由题意可得PQOC S 四边形=10，所以16-2t=10，解得t=3(s)．此时直线PQ 的函数关系式为y=x-4．
1. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从
A 开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动；动点Q 从点C 开始沿C
B 边向B 以3cm/s 的速度运动．P 、Q 分别从点A 、
C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts ．
（1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？
（2）当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？
（3）当t 为何值时，四边形PQCD 为直角梯形？
分析：
（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．
（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．
（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．
所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．
解答：
解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形
∴PD=CQ
∴24-t=3t
解得：t=6
即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．
（2）过D作DE⊥BC于E
则四边形ABED为矩形
∴BE=AD=24cm
∴EC=BC-BE=2cm
∵四边形PQCD为等腰梯形
∴QC-PD=2CE
即3t-（24-t）=4
解得：t=7（s）
即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．
（3）由题意知：QC-PD=EC时，
四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2
解得：t=6.5（s）
即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．
点评：
此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易水准适中．
2.
如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存有点O，使四边形AECF是正方形，猜测△ABC的形状并证明你的结论．
分析：
（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．
（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
（3）利用已知条件及正方形的性质解答．
解答：
解：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OF，
∴OE=OF．
（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
如图AO=CO，EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE= ∠ACB，
同理，∠ACF= ∠ACG，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，
∴四边形AECF是矩形．
（3）△ABC是直角三角形
∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA=∠AOM，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形．
点评：
此题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）实行判断．解答时不但要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合使用．
3.
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；
（3）是否存有某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存有，求出此时t的值；若不存有，请说明理由；
（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．
分析：
（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；
四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；
（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存有符合条件的t值．
（4）因为等腰三角形的两腰不确定，所以分三种情况实行讨论：
①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．
②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．
③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．
综上所述可得出符合条件的t的值．
解答：
解：（1）∵AQ=3-t
∴CN=4-（3-t）=1+t
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42
∴AC=5
在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．
（2）因为四边形PCDQ构成平行四边形
∴PC=QD，即4-t=t
解得t=2．
（3）假如射线QN将△ABC的周长平分，则有：
MN+NC=AM+BN+AB
即：（1+t）+1+t= （3+4+5）
解得：t= （5分）
而MN= NC= （1+t）
∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2
当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠ ×4×3
∴不存有某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．
（4）①当MP=MC时（如图1）
则有：NP=NC
即PC=2NC∴4-t=2（1+t）
解得：t=
②当CM=CP时（如图2）
则有：
（1+t）=4-t
解得：t=
③当PM=PC时（如图3）
则有：
在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2
而MN= NC= （1+t）
PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3
∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2
解得：t1= ，t2=-1（舍去）
∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形
点评：
此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．
4.
如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？假如能，求x的值；假如不能，请说明理由．
分析：
以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以能够根据这两种情况来求解x的值．
以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P 在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以能够根据这些条件列出方程关系式．
假如以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC 即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．
解答：
解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．
①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）．
因为BQ+CM=x+3x=4（-1）＜20，此时点Q与点M不重合．
所以x= -1符合题意．
②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．
此时DN=x2=25＞20，不符合题意．
故点Q与点M不能重合．
所以所求x的值为-1．
（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，
由20-（x+3x）=20-（2x+x2），
解得x1=0（舍去），x2=2．
当x=2时四边形PQMN是平行四边形．
②当点P在点N的右侧时，
由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，
解得x1=-10（舍去），x2=4．
当x=4时四边形NQMP是平行四边形．
所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．
因为2x＞x，
所以点E一定在点P的左侧．
若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，
则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，
即2x-x=x2-3x．
解得x1=0（舍去），x2=4．
由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．
点评：
本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．
5.
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N 分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？
（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？
分析：
（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；
（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可．
解答：
解：（1）∵MD∥NC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；
（2）作DE⊥BC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形
点评：
考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容．
6.
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；
（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
分析：
（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；
（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；
③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．
解答：
解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12，
∵QB=16-t，
∴s= •QB•PM= （16-t）×12=96-6t（0≤t≤ ）．
（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况
：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得，t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．
点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．
7.
直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
分析：
（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；
（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P 的速度是2，从而可求出，
当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；
（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．
解答：
解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），
（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．
∵点Q由O到A的时间是81=8（秒），
∴点P的速度是6+108=2（单位长度/秒）．
当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，
OQ=t，OP=2t，S=t2．
当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，
OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，
如图，做PD⊥OA于点D，
由PDBO=APAB，得PD= 48-6t5．
∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．
（3）当S= 485时，∵485＞12×3×6∴点P在AB上
当S= 485时，- 35t2+245t= 485
∴t=4
∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8
AD= 82-(245)2= 325
∴OD=8- 325= 85
∴P（85，245）
M1（285，245），M2（- 125，245），M3（125，- 245）
点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．。