山东省2018届高三数学上学期第三次诊断考试试题 文

山东省2018届高三数学上学期第三次诊断考试试题 文
说明：本试卷满分150分。

分为第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页．试题答集请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效，考试时间120分钟．
第I 卷(共60分)
一、选择题(本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设集合{}{}
260,2A x x x B x x =--≤=≥，则集合A B ⋂= A ．[]2,3-
B ．[]2,2-
C ．(]0,3
D ．[]2,3
2．设向量()(),1,4,,//a x b x a b ==且，则实数x 的值是 A ．0
B ．2-
C ．2
D ．±2
3.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数、众数、极差分别是 A.46，45，56
B.46，45，53
C.47，45，56
D.45，47，53
4．设,αβ是两个不同的平面，直线m α⊂．则“//m β”是“//αβ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知,x y 满足约束条件2212
y x x y z x y x ⎧
⎪≥⎪
+≤=+⎨⎪⎪≥⎩，则的最大值为
A ．
3
2
B ．
52
C ．3
D ．4
6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45624,48a a S +==，则公差d 的值为：
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
7．已知不共线的两个向量()
,22a b a b a a b b -=⊥-=满足且，则
A
B ．2
C.
D ．4
8．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升；则下列判断正确的是
A ．,,a b c 依次成公比为2的等比数列，且50
7a =
B ．,,a b c 依次成公比为2的等比数列，且50
7
c =
C ．,,a b c 依次成公比为12的等比数列，且50
7a =
D ．,,a b c 够次成公比为12的等比数列，且50
7
c =
9．如图是函数()sin ,0,0,02y x x R A πωϕωϕ⎛
⎫
=+∈>><<
⎪⎝
⎭
566ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
在区间，上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将
y =sin x 的图象
A ．向左平移
3
π
个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变
B ．向左平移至3
π
个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C ．向左平移6
π
个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变
D ．向左平移6
π
个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
10．函数()()
sin ln 2x
f x x =
+的图象可能是
11．三棱锥P ABC PA -⊥中，面ABC ，1,AC BC AC BC PA ⊥===，接球的表面积为
A ．5π
B
C ．20π
D ．7
2
π
12已知定义在R 的函数()f x 是偶函数，且满足()()[]2202f x f x +=-，在，上的解析式
为()21,011,12
x x f x x x ⎧-≤<=⎨-≤≤⎩，过点()3,0-作斜率为k 的直线l ，若直线l 与函数()f x 的图象
至少有4个公共点，则实数k 的取值范围是
A ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．1,63⎛-+ ⎝
C ．1,63⎛-- ⎝
D ．163⎛⎫- ⎪⎝⎭
第II 卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)
13．若点()4,tan θ在函数2log y x =的图象上，则sin cos θθ⋅=__________． 14．一简单组合体的三视图如图，则该组合体的体积为________．
15．已知函数()()sin 01f x x x a b π=<<≠，若，且
()()
f a f b =，则41a b
+的最小值为_____________. 16．己知数列{}1
11212312391:
,,,,,,23344410101010n n n n a b a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅若， 数列{}n b 的前n 项和记为n S ，则2018S =_________.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.) (一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)已知函数()23sin 22cos 1,f x x x x R =+-∈． (I)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；
(II)在ABC ∆中，A ，B ，C
的对边分别为(),,1,sin 2sin a b c c f C B A ===，已知，求,a b 的值．
18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为()2
11,5,1n n n S a nS n S n n +=-+=+.
(I)求证：数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列； (II)令2n
n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
19．(本小题满分12分)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如下茎叶图所示，其中一个数字被污损．
(I)求东部观众平均人数超过西部观众平均人数的概率.
(II)节目的播出极大激发了观众随机统计了4位观众的周均学习成语知识的的时间y (单位：小时)与年龄x (单位：岁)，并制作了对照表(如下表所示)：
由表中数据分析，x ，y 呈线性相关关系，试求线性回归方程y bx a =+，并预测年龄为60岁观众周均学习成语知识的时间．
参考数据：线性回归方程中,b a 的最小二乘估计分别是()
12
2
1
,n
i i
i n
i
i x y nxy
b a y bx x
n x
==-=
=--∑∑．
20．(本小题满分12分)
正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，
,//,2,4AD CD AB CD AB AD CD ⊥===，点M 是
EC 中点.
（I ）求证：BM ∥平面ADEF ； （II ）求三棱锥M －BDE 的体积.
21．(本小题满分12分)
已知函数()()0.x
f x e ax
a
a R a =+-∈≠且
(I)若函数()0f x x =在处取得极值，求实数a 的值；并求此时()[]21f x -在，上的最大值；
(Ⅱ)若函数()f x 不存在零点，求实数a 的取值范围；
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4，坐标系与参数方程](10分)
在极坐标系中，点M 的坐标为3,
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，曲线C 的方程为4πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭；以极点为坐标
原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为1-的直线l 经过点M ． (I)求直线l 和曲线C 的直角坐标方程：
(II)若P 为曲线C 上任意一点，直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值． 23．[选修4—5：不等式选讲](10分) 已知函数(),f x x a a R =-∈
(I)当1a =时，求()11f x x ≥++的解集；
(II)若不等式()30f x x +≤的解集包含{}
1x x ≤-，求a 的取值范围．
山东省实验中学2015级高三第三次诊断性考试
数学试题(文科) 2017．12
一、
选择题 DDABC CBDAA AC
二、填空题 13.
52 14. π312- 15. 9 16. 2019
8072 三、解答题 17. 解： )6
2sin(22cos 2sin 3)(π
+
=+=x x x x f ……………2分
(1)周期为π=T …………………………3分 因为)(22
36
222
Z k k x k ∈+≤
+≤+ππ
π
ππ
…………………………4分 所以
ππ
ππ
k x k +≤
≤+3
26 所以函数的单减区间为Z k k k ∈++],3
2,
6
[
ππ
ππ
…………………………6分 （2）因为1)6
2sin(2)(=+
=π
C C f ，所以3
π
=
C …………………………7分
所以3
cos
2)3(222π
ab b a -+=，32
2
=-+ab b a (1)………………………9分
又因为A B sin 2sin =，所以a b 2= (2) …………………………10分 由（1），（2）可得2,1==b a …………………………12分
18. 解：⑴由()n n S n nS n n +=+-+2
11得
111=-++n
S n S n
n ……………………………………3分 又
511=S ，所以数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n S n 是首项为5，公差为1的等差数列…………………………4分 ⑵由⑴可知
()415+=-+=n n n
S n
所以n n S n 42+=…………………………………5分 当2≥n 时，()()3214142
2
1+=----+=-=-n n n n n S S a n n n
又1a 也符合上式，所以()*32N n n a n ∈+=……………………………………………6分
所以()n
n n b 232+= ……………………………………………………7分 所以()n
n n T 2
3229272532++⋯⋯+⋅+⋅+⋅=
()()13322322122927252+++++⋯⋯+⋅+⋅+⋅=n n n n n T
所以
()(
)()2
2122221023211
431-+=+⋯⋯++--+=+++n n n n n n T
…………………………12分
19. 解：（1）设被污损的数字为a ，则a 有10种情况．
令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a ＜8， ……………………2分 东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种情况，
其概率为
54
108=； ……………………4分 （2
）由题意可知=35
， =3.5，
5254
1=∑=i i i y x 54004
1
2
=∑=i i x ……………6分
所以2021
,1007==∧∧
a b ……………8分 所以20
211007+=∧
x y ． ……………10分 当60=x 时， 20
1032021601007=+⋅=∧
y =5.25小时． 预测60岁观众的学习成语的时间为5.25小时。

……………12分
20.
21.解：（1）函数)(x f 的定义域为R ，a e x f x
+=)('，…………………1分
0)0(0'=+=a e f ，1-=∴a .…………………2分
在)0,(-∞上)(,0)('
x f x f <单调递减，在),0(+∞上)(,0)('
x f x f >单调递增，所以0=x 时
)(x f 取极小值.
所以所求实数a 的值为1. …………………3分
易知)(x f 在)0,2[-上)(x f 单调递增，在]1,0(上)(x f 单调递减；
且;31
)2(2+=
-e
f ;)1(e f =)1()2(f f >-. 当2-=x 时，)(x f 在]1,2[-的最大值为.31
2+e
…………………4分
（2）a e x f x
+=)('
，由于0>x e .
①当0>a 时，)(,0)('
x f x f >是增函数，…………………5分 且当1>x 时，0)1()(>-+=x a e x f x
.…………………6分 当0<x 时，0)1(1)1()(<-+<-+=x a x a e x f x ，11+-<a x ，取a
x 1-=， 则0)11
(1)1
(<-=--
+<-a a
a a f ，所以函数)(x f 存在零点.………………8分 注：用极限方法说明函数)(x f 存在零点也是可行的，可参考得分. ②当0<a 时，)ln(,0)('a x a e x f x
-==+=.
在))ln(,(a --∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在)),(ln(+∞-a 上)(,0)('
x f x f >单调递增，所以)ln(a x -=时)(x f 取最小值.………………10分 函数)(x f 不存在零点，等价于0)ln(2)ln())(ln()
ln(>-+-=--+=--a a a a a a e
a f a ，
解得02
<<-a e .
综上所述：所求的实数a 的取值范围是02
<<-a e .………………12分
22．解：（1）∵在极坐标系中，点M 的坐标为，
∴x=3cos
=0，y=3sin
=3，
∴点M 的直角坐标为（0，3）， .…………1分
∴直线方程为y=﹣x+3， .…………3分
由
，得ρ2=2ρsin θ+2ρcos θ，
∴曲线C 的直角坐标方程为x 2
+y 2
﹣2x ﹣2y=0，
即（x ﹣1）2
+（y ﹣1）2
=2 .…………5分
（2）圆心（1，1）到直线y=﹣x+3的距离，.…………6分
∴圆上的点到直线L 的距离最大值为， .…………7分
而弦
. …………9分
∴△PAB 面积的最大值为．.…………10分
23．【解答】
解：（Ⅰ）当a=1时，不等式即f （x ）=|x ﹣1|≥|x+1|+1， 即|x ﹣1|﹣|x+1|≥1．
由于|x ﹣1|﹣|x+1|表示数轴上的x 对应点到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离， 由﹣0.5到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离正好等于1， 故不等式的解集为}2
1
|{ x x …………5分 （Ⅱ）不等式f （x ）+3x ≤0，即|x ﹣a|+3x ≤0，即|x ﹣a|≤﹣3x （x ≤0），
即 3x ≤x ﹣a ≤﹣3x ，求得 x ≤﹣，且x ≤．
当a ≥0时，可得它的解集为{x|x ≤﹣}；再根据它的解集包含{x|x ≤﹣1}，
可得﹣≥﹣1，求得a ≤2，故有0≤a ≤2．
当a ＜0时，可得它的解集为{x|x ≤}；再根据它的解集包含{x|x ≤﹣1}，
可得≥﹣1，求得a ≥﹣4，故有﹣4≤a ＜0．
综上可得，要求的a 的取值范围为[0，2]∪[﹣4，0）= [﹣4，2]．
…………10分 法二：不等式f （x ）+3x ≤0，即|x ﹣a|+3x ≤0，即|x ﹣a|≤﹣3x （x ≤0），
- 11 - 即 3x ≤x ﹣a ≤﹣3x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤-≤4
2a
x a
x 在{}1-≤x x 上恒成立 所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤--≤-4
121a
a
即[]2,4-∈a …………10分。