河南省信阳市固始县2015-2016学年八年级(下)期中数学试卷(含解答)

河南省信阳市固始县2015-2016学年
八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内，每小题3分，共24分）
1．下列的式子一定是二次根式的是（）
A．B．C．D．
2．若，则（）
A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数
3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
4．一个直角三角形的周长是12，斜边长为5，则其面积为（）
A．6 B．12 C．24 D．30
5．能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（）
A．一组对角相等B．两条对角线互相平分
C．两条对角线互相垂直D．一对邻角的和为180°
6．顺次连接矩形的四边形中点所得的四边形一定是（）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
7．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
8．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF 交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①CE=4；②△ABG≌△AFG；③BG=GC；④AG∥CF．其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共21分）
9．使式子有意义的x的取值范围是．
10．计算：=．
11．边长为4的等边三角形的面积是．
12．矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=3cm，则BD=cm．
13．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为cm2．
14．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是．
15．如图，△ABC中，AB=BC=AC=10，D是AB边上的动点，E是AC边的中点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，连接BA′，则BA′的最小值是．
三、解答题（共75分）
16．（1）计算：4+﹣+4；（2）计算：÷2×．
17．计算：
（1）（）（﹣）﹣（+1）2
（2）|﹣5|+2++（）﹣1+（9﹣）0+．
18．先化简，再求值：1﹣÷，其中，x=．
19．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
20．有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN=30°，航行100米到达B点时，测得∠MBN=45°，你能算出A点与湖中小岛M的距离吗？
21．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．
22．用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABC D．把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF 的长度，你能得出什么结论并证明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
23．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=D C．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．
2015-2016学年河南省信阳市固始县
八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内，每小题3分，共24分）
1．下列的式子一定是二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可．
【解答】解：A、当x=0时，﹣x﹣2＜0，无意义，故本选项错误；
B、当x=﹣1时，无意义；故本选项错误；
C、∵x2+2≥2，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、当x=±1时，x2﹣2=﹣1＜0，无意义；故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
2．若，则（）
A．x≥6B．x≥0C．0≤x≤6D．x为一切实数
【分析】本题需注意的是二次根式的被开方数为非负数，由此可求出x的取值范围．
【解答】解：若成立，则，解之得x≥6；
故选：A．
【点评】本题需要注意二次根式的双重非负性：≥0，a≥0．
3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
【解答】解：因为：B、=4；
C、=；
D、=2；
所以这三项都不是最简二次根式．故选A．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．
4．一个直角三角形的周长是12，斜边长为5，则其面积为（）
A．6B．12C．24D．30
【分析】设一直角边长为x，另一直角边长为y，根据三角形的周长以及面积即可求出两直角边的乘积，进而得到答案．
【解答】解：设一直角边长为x，另一直角边长为y，
由题意可得直角三角形的周长为12，斜边长为5，则可知两直角边长和为7，
直角三角形面积为两直角边乘积的一半，根据勾股定理可得一直角边长2+另一直角边长2=斜边长2．
联立，将x+y=7两边同时平方，即可求得xy=12，
面积S=×一直角边长×另一直角边长=xy=6，
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式是解题关键．
5．能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（）
A．一组对角相等B．两条对角线互相平分
C．两条对角线互相垂直D．一对邻角的和为180°
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法选择即可．
【解答】解：根据平行四边形的判定可知B正确．
故选B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
6．顺次连接矩形的四边形中点所得的四边形一定是（）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
【解答】解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB
∴EH=BD，
同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
7．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA=OC，又由点E是BC 的中点，易得OE是△ABC的中位线，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵点E是BC的中点，OE=3cm，
∴AB=2OC=6cm．
故选B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．注意平行四边形的对角线互相平分．
8．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF 交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①CE=4；②△ABG≌△AFG；③BG=GC；④AG∥CF．其中正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；根据翻折变换的性质和正方形的性质可证
Rt△ABG≌Rt△AFG；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF即可．
【解答】解：①正确，
理由：
∵正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，
∴CE=4，
②正确．
理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
③正确．
理由：
EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，
解得x=3．
∴BG=3=6﹣3=GC；
④正确．
理由：
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
∴正确的个数有①②③④．
故选D
【点评】本题考查的是翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，有一定的难度．
二、填空题（每小题3分，共21分）
9．使式子有意义的x的取值范围是x＞﹣1且x≠1．
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件，即可得出x的取值范围．
【解答】解：∵式子有意义，
∴，
解得：x＞﹣1且x≠1．
故答案为：x＞﹣1且x≠1．
【点评】本题考查了二次根式有意义及分式有意义的条件，关键是掌握二次根式的被开方数为非负数，分式有意义分母不为零．
10．计算：=5﹣2．
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：∵2＜5，
∴=5﹣2．
故答案为：5﹣2．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
11．边长为4的等边三角形的面积是4．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可以求得高线AD的长度，根据BC和AD即可求得三角形的面积．【解答】解：如图，∵等边三角形三线合一，
∴D为BC的中点，BD=DC=2，
在Rt△ABD中，AB=4，BD=2，
∴AD==2，
∴等边△ABC的面积为BCAD=×4×2=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理即可AD的长度是解题的关键．
12．矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=3cm，则BD=6cm．
【分析】根据矩形性质得出AC=BD，OA=OC=AC，BO=DO=BD，推出OA=OB，求出∠AOB=60°，得出△AOB是等边三角形，推出OB=AO=AB=3cm，即可得出答案．
【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=AC，BO=DO=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AO=AB=3cm，
∴BD=2OB=6cm，
故答案为：6．
【点评】本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等．13．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为cm2．
【分析】由四边形ABCD是菱形，可得菱形的四条边都相等AB=BC=CD=AD，菱形的对角线互相平分且相等即AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，又因为菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，易求得OB=1cm，则可得AC 的值，根据菱形的面积等于积的一半，即可求得菱形的面积．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2cm，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
又∵菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，
∴AB=AD=BD=2cm，
∴OB=1cm，
∴OA=cm ，
∴AC=2cm，
∴菱形的面积为cm2．
故答案为：．
【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直；菱形的四条边相等；菱形的面积为对角线积的一半．
14．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h=24﹣8=16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，
∴AB==17，
∴此时h=24﹣17=7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故答案为：7cm≤h≤16cm．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，求出h的值最大值与最小值是解题关键．
15．如图，△ABC中，AB=BC=AC=10，D是AB边上的动点，E是AC边的中点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，连接BA′，则BA′的最小值是5﹣5．
【分析】连接BE，由等边三角形三线合一的性质可知BE⊥AC，在△BCE中，由勾股定理可求得EC的长，然后由翻折的性质可知A′E=5，由三角形的三边关系可知当点B、A′，E在一条直线上时，BA′有最小值，最小值=BE﹣A′E．
【解答】解：如图所示：连接BE．
∵AB=BC=AC=10，
∴∠C=60°．
∵AB=BC，E是AC的中点，
∴BE⊥A C．
∴BE===5．
∵AC=10，E是AC边的中点，
∴AE=5．
由翻折的性质可知A′E=AE=5．
∵BA′+A′E≥BE，
∴当点B、A′，E在一条直线上时，BA′有最小值，最小值=BE﹣A′E=5﹣5．
故答案为：5﹣5．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，明确当点B、A′，E在一条直线上时，BA′有最小值是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16．（1）计算：4+﹣+4；
（2）计算：÷2×．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据二次根式的乘除法则运算．
【解答】解：（1）原式=4+3﹣2+4
=7+2；
（2）原式=1××
=1．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
17．计算：
（1）（）（﹣）﹣（+1）2
（2）|﹣5|+2++（）﹣1+（9﹣）0+．
【分析】（1）原式利用平方差公式，完全平方公式化简，计算即可得到结果；
（2）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及二次根式性质计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=10﹣7﹣2﹣2﹣1=﹣2；
（2）原式=5﹣+2++3+1+2=+11．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．先化简，再求值：1﹣÷，其中，x=．
【分析】先算除法，再算减法，最后把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=1﹣
=1﹣
=
=，
当x=﹣2时，原式==．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
19．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
【解答】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．
20．有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN=30°，航行100米到达B点时，测得∠MBN=45°，你能算出A点与湖中小岛M的距离吗？
【分析】作MC⊥AN于点C，设AM=x米，根据∠MAN=30°表示出MC=m，根据∠MBN=45°，表示出BC=MC= m然后根据在Rt△AMC中有AM2=AC2+MC2列出法方程求解即可．
【解答】解：作MC⊥AN于点C，
设AM=x米，
∵∠MAN=30°，
∴MC=m，
∵∠MBN=45°，
∴BC=MC=m
在Rt△AMC中，
AM2=AC2+MC2，
即：x2=（+100）2+（）2，
解得：x=50+50米，
答：A点与湖中小岛M的距离为50+50米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理不仅能在直角三角形中知两边求第三边，也可以利用这一等量关系列出方程．
21．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．
【分析】（1）由△ABC与△DCE是等边三角形，可得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，又由
∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，即可证得∠ACD=∠BCE，所以根据SAS即可证得△ACD≌△BCE；
（2）首先过点C作CH⊥BQ于H，由等边三角形的性质，即可求得∠DAC=30°，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：过点C作CH⊥BQ于H，
∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，
∴∠DAC=30°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠PBC=∠DAC=30°，
∴在Rt△BHC中，CH=BC=×8=4，
∵PC=CQ=5，CH=4，
∴PH=QH=3，
∴PQ=6．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形、等边三角形以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
22．用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABC D．把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF 的长度，你能得出什么结论并证明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
【分析】本题是一道开放性题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．
【解答】解：（1）BE=CF．
证明：在△ABE和△ACF中，
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF；
（2）BE=CF仍然成立．
证明：在△ACE和△ADF中，
∵∠CAE+∠EAD=∠FAD+∠DAE=60°，
∴∠CAE=∠DAF，
∵∠BCA=∠ACD=60°，
∴∠FCE=60°，
∴∠ACE=120°，
∵∠ADC=60°，
∴∠ADF=120°，
在△ACE和△ADF中，
∴△ACE≌△ADF，
∴CE=DF，
∴BE=CF，
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
23．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=D C．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．
【分析】（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易证得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形；
（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值．
【解答】（1）证明：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形．
（2）解：连接BE，交CF于点G，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC==5，
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，
∴△ABC∽△BGC，
∴=，
即=，
∴CG=，
∵FG=CG，
∴FC=2CG=，
∴AF=AC﹣FC=5﹣=，
∴当AF=时，四边形BCEF是菱形．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．。