苏教七年级下册数学因式分解
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（2）运用公式法：
如果把乘法公式反过来应用，就可以 把多项式写成积的形式，达到分解因式目的。 这种方法叫做公式法。
公式法中主要使用的公式有如下几个：
① a2－b2＝（a＋b）（a－b） ② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2
a2 －2ab－ b2 ＝（a－b）2
③ a3＋b3＝（a＋b）（ a2 －ab＋ b2 ） a3－b3＝（a－b）（ a2 ＋ab＋ b2 ）
[ 平方差公式 ] [ 完全平方和公式 ] [ 完全平方差公式 ]
[ 立方和公式 ] [ 立方差公式 ]
练习 练习
练习
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（3）分组分解法：
运用加法交换律、结合律把多项式分 组后，运用上述方法（1）、（2）来分解因 式。
练习题： 分解因式 x2 －a2－x－a
解： x2 －a2－x－a =（ x2 －a2 ）－（ x－a） =（ x ＋ a） （ x－a） －（ x－a） =（ x ＋ a） （ x－a － 1）
① a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差 公式 ]
练习题： 分解因式 x2－（2y）2 解： x2－（2y）2 =（x＋2y）（x－2y）
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② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2 a2 －2ab－ b2 ＝（a－b）2
练习题：
下列各式能用完全平方公式分解因式的是 D （）
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（三）因式分解的一般步骤：
• ① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑 提取公因式。
② 对于二次三项式，考虑应用平方差公式分解。 ③ 对于三次二项式，考虑应用立方和、立方差 公式分解。 ④ 对于四项以上的多项式，考虑用分组分解法。
练习题
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练习题：
• 把下列各式分解因式： • （ x －y）3 － （ x －y） • a2 － x2y2 • 8 x3 ＋1 • am － bm － an ＋bn
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三、小结
• 1、因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫
做多项式的因式分解。
2、因式分解的方法： （1）、提取公因式法 （2）、运用公式法 （3）、分组分解法 （4）、求根法（十字相乘法）
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概念
因 式 分 方解法
与整式乘法的关系： 相反变形
提取公因式法
解： （ x －y）3 － （ x －y） = （ x －y） （ x －y ＋ 1） （ x －y － 1） a2 － x2y2 =（a ＋xy）（ a － xy ） 8 x3 ＋1 = （2 x ＋1）（4x2 －2x ＋1 ） am － bm － an ＋bn =（ am － bm ） － （ an － bn） =（m － n）（ a－第9页b）/共20页
A、x2＋x＋2y2 －4
B、 x2 ＋4x
C、x2＋4xy＋y2 ＋4 x2
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D、 y2 －4xy
③ a3＋b3＝（a＋b）（ a2 －ab ＋ b2 ）
练习题：a3－b3＝（a－b）（ a2 ＋ab ＋把下b列2各）式分解因式
1、x3 －1
2、y3＋27
解： x3 －1 =（x －1 ）（ x2 ＋ x ＋1） y3＋27 =（ y ＋3）（ y2－3 y ＋9）
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二、练习
1、把下列各式分解因式： ① 、 x2 －4 －4y2 ＋8y ②、（ x2 ＋3x）2－2（ x2 ＋3x）－8 ③、（ab ＋1）（ ab－3） ＋3 ④、 6ax ＋ 15b2y2 － 6b2x － 15ay2
2、已知x = 0.67，y=0.33，求x2 ＋y2 ＋2xy －x － y的值
感谢您的观看！
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(4)求根法（十字相乘法） ：
若x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则ax2＋bx＋c＝a（x－ x1 ）（x－ x2）。
练习题： 分解因式 x2－7xy＋12y2
解：∵ 当x2－7xy＋12y2=0时 x1=3y x2=4y
∴ x2－7xy＋12y2 =（ x － 3y ）（ x － 4y）
• 2、若5 x2 －4 xy ＋y2 － 2x ＋ 1=0，求x、y的值。
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3、把下列各式分解因式 （1） - 2xy - y2 - x2 （2） -1 + p4 （3）x2 - 2xy + y2 + 2x - 2y + 1 （4）( a - b)2n - (b - a)2n+1
（4）、求根法（十字相乘法）
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（1）、提取公因式法：
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到 括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法
叫做提取公因式。
即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
练习题： 分解因式 p（y－x）－q（y－x）
解： p（y－x）－q（y－x） = （y－x）（ p －q）
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4, 把 a2 - 4ab +3 b2 + 2bc - c2 因式分解。 5, 已知：| x + y + 1| +| xy - 3 | = 0
求代数式xy3 + x3y 的值。 6, 求证：913 - 324 能被8整除。
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谢谢您的指导！ 再见
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（一）因式分解的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形 式，叫做多项式的因式分解。
即：一个多项式 →几个整式的积
练习题：
一个多项式分解因式的结果为（x+3)(x+4), 则这个多项式为（ x2 ＋7 x ＋12 ）
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（二）因式分解的方法：
• （1）、提取公因式法
（2）、运用公式法 （3）、分组分解法
公 平方差公式
完全平方公式
式 立方和（差）公式
十
字
x2+(a+b)x+ab相 乘法ຫໍສະໝຸດ =(x+a)(x+b)
法
分组 分组后再提取公因式 分法解第15页分或/共组再20页后 运再 用运 十用 字公 相式 乘法 法
四、作业
• 1、把下列各式分解因式： • ① 、1 －2ab － a2－ b2 • ②、2（x ＋ y）2 ＋ 5（x ＋ y）＋ 2
（2）运用公式法：
如果把乘法公式反过来应用，就可以 把多项式写成积的形式，达到分解因式目的。 这种方法叫做公式法。
公式法中主要使用的公式有如下几个：
① a2－b2＝（a＋b）（a－b） ② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2
a2 －2ab－ b2 ＝（a－b）2
③ a3＋b3＝（a＋b）（ a2 －ab＋ b2 ） a3－b3＝（a－b）（ a2 ＋ab＋ b2 ）
[ 平方差公式 ] [ 完全平方和公式 ] [ 完全平方差公式 ]
[ 立方和公式 ] [ 立方差公式 ]
练习 练习
练习
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（3）分组分解法：
运用加法交换律、结合律把多项式分 组后，运用上述方法（1）、（2）来分解因 式。
练习题： 分解因式 x2 －a2－x－a
解： x2 －a2－x－a =（ x2 －a2 ）－（ x－a） =（ x ＋ a） （ x－a） －（ x－a） =（ x ＋ a） （ x－a － 1）
① a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差 公式 ]
练习题： 分解因式 x2－（2y）2 解： x2－（2y）2 =（x＋2y）（x－2y）
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② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2 a2 －2ab－ b2 ＝（a－b）2
练习题：
下列各式能用完全平方公式分解因式的是 D （）
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（三）因式分解的一般步骤：
• ① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑 提取公因式。
② 对于二次三项式，考虑应用平方差公式分解。 ③ 对于三次二项式，考虑应用立方和、立方差 公式分解。 ④ 对于四项以上的多项式，考虑用分组分解法。
练习题
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练习题：
• 把下列各式分解因式： • （ x －y）3 － （ x －y） • a2 － x2y2 • 8 x3 ＋1 • am － bm － an ＋bn
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三、小结
• 1、因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫
做多项式的因式分解。
2、因式分解的方法： （1）、提取公因式法 （2）、运用公式法 （3）、分组分解法 （4）、求根法（十字相乘法）
第14页/共20页
概念
因 式 分 方解法
与整式乘法的关系： 相反变形
提取公因式法
解： （ x －y）3 － （ x －y） = （ x －y） （ x －y ＋ 1） （ x －y － 1） a2 － x2y2 =（a ＋xy）（ a － xy ） 8 x3 ＋1 = （2 x ＋1）（4x2 －2x ＋1 ） am － bm － an ＋bn =（ am － bm ） － （ an － bn） =（m － n）（ a－第9页b）/共20页
A、x2＋x＋2y2 －4
B、 x2 ＋4x
C、x2＋4xy＋y2 ＋4 x2
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D、 y2 －4xy
③ a3＋b3＝（a＋b）（ a2 －ab ＋ b2 ）
练习题：a3－b3＝（a－b）（ a2 ＋ab ＋把下b列2各）式分解因式
1、x3 －1
2、y3＋27
解： x3 －1 =（x －1 ）（ x2 ＋ x ＋1） y3＋27 =（ y ＋3）（ y2－3 y ＋9）
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二、练习
1、把下列各式分解因式： ① 、 x2 －4 －4y2 ＋8y ②、（ x2 ＋3x）2－2（ x2 ＋3x）－8 ③、（ab ＋1）（ ab－3） ＋3 ④、 6ax ＋ 15b2y2 － 6b2x － 15ay2
2、已知x = 0.67，y=0.33，求x2 ＋y2 ＋2xy －x － y的值
感谢您的观看！
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(4)求根法（十字相乘法） ：
若x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则ax2＋bx＋c＝a（x－ x1 ）（x－ x2）。
练习题： 分解因式 x2－7xy＋12y2
解：∵ 当x2－7xy＋12y2=0时 x1=3y x2=4y
∴ x2－7xy＋12y2 =（ x － 3y ）（ x － 4y）
• 2、若5 x2 －4 xy ＋y2 － 2x ＋ 1=0，求x、y的值。
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3、把下列各式分解因式 （1） - 2xy - y2 - x2 （2） -1 + p4 （3）x2 - 2xy + y2 + 2x - 2y + 1 （4）( a - b)2n - (b - a)2n+1
（4）、求根法（十字相乘法）
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（1）、提取公因式法：
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到 括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法
叫做提取公因式。
即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
练习题： 分解因式 p（y－x）－q（y－x）
解： p（y－x）－q（y－x） = （y－x）（ p －q）
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4, 把 a2 - 4ab +3 b2 + 2bc - c2 因式分解。 5, 已知：| x + y + 1| +| xy - 3 | = 0
求代数式xy3 + x3y 的值。 6, 求证：913 - 324 能被8整除。
第18页/共20页
谢谢您的指导！ 再见
第19页/共20页
（一）因式分解的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形 式，叫做多项式的因式分解。
即：一个多项式 →几个整式的积
练习题：
一个多项式分解因式的结果为（x+3)(x+4), 则这个多项式为（ x2 ＋7 x ＋12 ）
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（二）因式分解的方法：
• （1）、提取公因式法
（2）、运用公式法 （3）、分组分解法
公 平方差公式
完全平方公式
式 立方和（差）公式
十
字
x2+(a+b)x+ab相 乘法ຫໍສະໝຸດ =(x+a)(x+b)
法
分组 分组后再提取公因式 分法解第15页分或/共组再20页后 运再 用运 十用 字公 相式 乘法 法
四、作业
• 1、把下列各式分解因式： • ① 、1 －2ab － a2－ b2 • ②、2（x ＋ y）2 ＋ 5（x ＋ y）＋ 2