第七章 曲线拟合(xin)

:
i 1
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对于给定的一组数据(xi,yi)(i =1,2,…,n)，求一多项式(m < n)
Pm ( x) a0 a1 x am x m (6 - 1)
二、多项式拟合
使 n r 2 n (P (x ) y ) 2 i 得 i m i i 1 i 1
n i 1
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9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12
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从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线 形关系，可用一条直线来表示两者之间的关系
解：设 y*=a+bxi ，令δ=yi-y*i=yi-a-bxi， 这里求误差的平方和达到最小，也就是求
(a, b) i ( y a b xi )
i xi yi
1 2 1.1
2 4 2.8
3 6 4.9
4 前进 8 7.2
常用的准则有以下三种： ri = yi yi*=yi （1）使偏差的绝对值 n ri min， ri 为向量r的1一范数 之和最小，即: 0i i
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例1（续）
前进 a0a1xi
（2）使偏差的最大绝对 值达到最小，即:
F (a0 , a1 ,, a m ) 为最小，即选取参数
aj(j =0,1,…,m)使得 :
n i 1
其中Φ为不超过m次多项式的集合。这就是数据的多项 式拟合，Pm(x)称为这组数据的m次拟合多项式。 与求解矛盾线性方程组的最小二乘法的方法相同，由多 n m 元函数求极值的必 F a k xik yi xij 0 2 ( j 0,1, , m) 要条件，得方程组 : a j i 1 k 0
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矛盾方程组与最小二乘法
设有线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 （6.1） am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 或 aij x j bi 1, 2, , m ) Ax b (i ,
:
F (a0 , a1 ,, a m ) ( Pm ( xi ) yi ) 2 min ( ( xi ) yi ) 2

移项得:
n n k j xi ak xij yi i1 k 0 i 1 m
( j 0,1,, m)
第7章 曲线拟合
（最佳平方逼近）
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第7章目录
§1 最小二乘法原理和多项式拟合 §2 一般最小二乘拟合 2.1线性最小二乘法的一般形式 2.2非线性最小二乘拟合 §3 正交多项式曲线拟合 3.1离散正交多项式 3.2用离散正交多项式作曲线拟合 §4 函数的最佳平方逼近 §5 最佳一致逼近
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打开和式 即： n n
m 返回
多项式拟合（续）
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这是最小二乘拟合多项式的系数ak(k =0,1,…,m) 应满足的方程组， 称为正规方程组或法方程组。由函数组{1,x,x2,…,xm}的线性无关性可 以证明，上述法方程组存在唯一解，且解所对应的m次多项式Pm(x) 必定是已给数据(xi,yi)(i =1,2,…,n) 的最小二乘m次拟合多项式。
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§1 最小二乘法原理和多项式拟合
一、曲线拟合的最小二乘法基本原理 对给定的数据(xi,yi)(i =1,2,…,n)，选取近似函数形式， 即在给定的函数类Φ中，求函数(x)Φ，使偏差 ri=(xi)yi (i=1,2,…,n) 的平方和为最小，即:
亦 ri ( ( xi ) yi ) min 即
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在大量的实验数据(xi,yi)(i =1,2,…,n) 中寻找其函数关系 y =f (x) 的近似函数P (x)，是在实践中常遇到的。上一章介 绍的插值方法就是一种逼近，要求在给定的节点处P(x) 与 f (x)相等（甚至导数值相等），因此在节点附近，逼近效 果较好，而在远离节点的地方，由Runge现象知道，有时 效果会很差，另一方面，由观测得到的实验数据不可避免 地带有误差，甚至是较大的误差，此时要求近似函数P(x) 过全部已知点，相当于保留全部数据误差，所以使用插值 法不合适。因此，对逼近函数P(x)不必要求过给定的点， 即不要求P(xi) = yi(i =1,2,…,n)，只要求P(xi) – yi 总体上尽 可能小即要求P(x)尽可能反映给定数据点的总体趋势， 在某种意义（要求或标准）下与函数最“逼近”。 下面先举例说明。
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函数逼近（曲线拟合）概述
用简单的计算量小的函数P(x) 近似地替代 给定的函数f (x)（或者是以离散数据形式给 定的函数），以便迅速求出函数值的近似值 ，是计算数学中最基本的概念和方法，称为 函数逼近。通常被逼近的函数一般较复杂， 或只知道离散点处的值，难于分析，而逼近 函数则比较简单，如选用多项式，有理函数 ，分段多项式，三角多项式等。
（紧接下屏）
n k 0 n m 2 nao xi a1 xi a2 xi am yi i 1 i 1 i 1 i 1 n n n 2 n 3 n m 1 xi a0 xi a1 xi a2 xi am xi yi i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 n n m n m 1 n m 2 n 2m xi a0 xi a1 xi a2 xi am xim yi i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
max ri min, max ri 为r的一范数
i i
（3）使偏差的平方和最小，即:
ri 2 min,
i
ri 2为r的2一范数
准则（1）的提出很自然也合理，但实际使用不方便，
按准则（2）求近似函数的方法称为函数的最佳一致逼近； 按准则（3）确定参数，求近似函数的方法称为最佳平 方逼近, 在离散情况下,也称为曲线拟合的最小二乘法,是实 践中常用的一种函数逼近方法。
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例1 给定一组实验数据如上，求x, y的函数关系。 解 先作草图如图6-1所示这些点的分布接近一条直线，因 此可设想，y为x的一次函数。设y = a0+a1x，从图中不难看 出，无论a0，a1取何值，直线都不可能同时过全部数据点。 怎样选取a0，a1才能使直线“最好”地反映数据点的总体趋 势？首先要建立好坏的标准。 假定a0，a1已经确定，yi* = a0+a1xi(i =1,2,…,n) 是由近似 函数求得的近似值，它与观测值 y 图6-1 8 yi 之差ri = yi yi*=yi a0a1xi * * (i =1,2,…,n) 称为偏差。显然， 6 * 4 偏差的大小可作为衡量近似 * 2 函数好坏的标准。偏差向量 x 6 2 8 4 r = (r1,r2,…,rn)T，
对如上问题，有一个共同的数学提法：找函数 空间上的函数g，使得g到f的距离最小。
先讲些预备知识
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实例讲解 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数 有直接关系，下表是实际测定的24个纤 维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。
提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y, 在座标纸上标出各点，可以发现什么?
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m 2 m n 2
它是一种最优近似解. 最小二乘解的求法 : 设x1 , x2 , , xn是最小二乘解 , 则由高数知,多元函数 Q Q( x1 , x2 , , xn )必在该点偏导数为零:
而曲线拟合是，首先根据物理规律或描点画草 图确定一条用来拟合的函数曲线形式，也可选择低 次多项式形式（所含参数比较少），然后按最小二 乘法求出该曲线，它未必经过所有已知点，但它能 反映出数据的基本趋势，且误差最小，效果比较好, 就是最佳逼近问题。
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函数的近似替代，求近似函 数称为逼近
要求（准则或标准）不一样，逼 近的意义不一样，因此，方法不一样， 结果也不一样。插值是逼近，满足条 件Ln(xi)=yi 是在“过给定点”意义下 的逼近。要求Ln(xi)-yi 总体上尽可能小, 称为最佳平方逼近,在离散情况下,也称 为曲线拟合的最小二乘法.
数据表格
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拉伸倍数 1.9 2.0 2.1 2.5 2.7 2.7 3.5 3.5 4.0 4.0 4.5 4.6 强度 kg/mm2 1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3.0 2.7 4.0 3.5 4.2 3.5 编号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 拉伸倍数 5.0 5.2 6.0 6.3 6.5 7.1 8.0 8.0 8.9 9.0 9.5 10.0 强度 kg/mm2 5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.3 6.5 7.0 8.5 8.0 8.1 8.1
j 1 n
一.定义
若秩(A|b)>秩(A)，则(6.1)无解，此时称（6.1）
为矛盾方程组。
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二、最小二乘法法
因(6.1)无解，故偏差(残量)
i aij x j bi 1, 2, , m ) (i
j 1
n
不全为零．若能找到一组x1 , x2 , , xn , 使偏差平方和 Q i aij x j bi （6.2） i 1 i 1 j 1 达最小，则称该x1 , x2 , , xn为矛盾方程组的最小二乘解 ,
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科学实验，统计分析，获得大量数据 xi yi x0 y0 x1 y1 x2 y2 xn yn (n很大)
确定y与x之间的近似表达式 方法一 插值。几何上，插值曲线经过所有点 方法二 曲线拟合。求一连续曲线y ( x ), 使得
2 误差Q [ ( xi ) yi ] 达到最小或Q＝max ( xi ) yi 达最 i 0 0 i n n
2 i 1 i 1 i
24
24
2
有最小值的a和b的值
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计算出它的正规方程得
24a 127.5b 113.1 127.5a 829.61b 731.60

解得： a=0.15 , b=0.859 直线方程为：y*=0.15+0.859x
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当数据量特别大时一般不用插值法。这是因为 数据量很大时所求插值曲线中的未知参数就很多， 而且数据量很大时，多项式插值会出现高次插值 （效果不理想）或分段低次插值（精度不高）；另 外，测量数据本身往往就有误差，所以，使插值曲 线刻意经过这些点也不必要。
小。
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给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数， 插值是这样的一种手段。 在实际中，数据不可避免的会有误差，插值函函数的手段： ①不要求过所有的点（可以消除误差影响）； ②尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。
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有时候，问题本身不要求构造的函数过所有的点。 如：5个风景点，要修一条公路S使得S为直线，且到所 有风景点的距离和最小。
n n 2 2 i 1 i 1
( ( xi ) yi ) 2 min ( ( xi ) yi ) 2
i 1
n
n

从几何上讲，就是求在给定的点x1,x2,…,xn处与点(x1,y1), (x2,y2),…, (xn,yn)的距离平方和最小的曲线y = (x)。这种求 近似函数的方法称为离散数据曲线拟合的最小二乘法，函 数 (x) 称为这组数据的最小二乘拟合函数。通常取Φ为一 些较简单函数的集合如低次多项式，指数函数等。例1中取 Φ为一次多项式集合。