流体力学 Hydromechanics(浙大教程二)

二、压强的表示方法及单位（如图2-12所示）
图2－12
1.压强的表示方法
a.绝对压强（absolute pressure）：是以绝对真空状态下的压强（绝对零压强）为基准计量的压强，用表示，。

b. 相对压强（relative pressure）：又称“表压强”，是以当地工程大气压(at) 为基准计量的压强。

用p表示，，p可“＋”可“–”，也可为“0”。

c.真空（Vacuum）：是指绝对压强小于一个大气压的受压状态，是负的相对压强。

真空值p v
(2-13)
真空高度
(2-14)
注意：计算时无特殊说明时均采用相对压强计算。

例1 求淡水自由表面下2m 深处的绝对压强和相对压强。

解：绝对压强：
=1.194标准大气压
相对压强： 标准大气压
例2 设如图2-13所示，h v =2m 时，求封闭容器A 中的真空值。

图
2-13
解：设封闭容器内的绝对压强为p abs ，真空值为P v 。

则：
根据真空值定义：
2.压强的计量单位 a.应力单位
这是从压强定义出发，以单位面积上的作用力来表示的，N/m 2
，Pa ，kN/ m 2
，kPa 。

b.大气压
标准大气压：1标准大气压(atm)=1.013X 105Pa=101.3 kPa
c.液柱高
水柱高mH 20：1atm 相当于
1at 相当于
汞柱高mmHg ：1 atm 相当于
1at 相当于
三、相对平衡流体静压强分布
相对平衡：指各流体质点彼此之间及流体与器皿之间无相对运动的相 对静止或相对平衡状态。

因为质点间无相对运动，所以流体内部或流体与边壁之间都不存在切应力。

相对平衡流体中，质量力除重力外，还受到惯性力的作用。

例1 如图2-14所示，一洒水车等加速度a =0.98m/s 2
向右行驶，求水车内自由表面与水平面间的夹角
；若B 点在运动前位于水面下深为h =1.0m ，距z 轴为x B =-１.5m ，求洒水车加速运动后该点的静水
压强。

解：考虑惯性力与重力在内的单位质量力为 （取原液面中点为坐标原点）
图2-14
X= -a ； Y=0 ；Z= -g
代入式 （2-7）
得：
积分得：
在自由液面上，有： x=z=0 ；p=p 0
得：
C=p 0 =0
代入上式得：
Ｂ点的压强为：
自由液面方程为（∵液面上p 0=0）
ax+gz =0 即：
例2 如图2-15所示，有一盛水的开口容器以3.6m/s2的加速度沿与水平成30º夹角的倾斜平面向上运动，试求容器中水面的倾角q ，并分析p 与水深的关系。

解：根据压强平衡微分方程式：
图2-15
单位质量力：
在液面上为大气压强，代入
由压强平衡微分方程式，得：
p 与水深成正比。

例3： 求等角速度旋转器皿中液体的相对平衡的压强分布规律。

解:
由
在原点（x=0，y=0，z=0）：
•等角速度旋转的直立容器中，
液体相对平衡时压强分布规律
图2-16
的一般表达式：
•等压面簇（包括自由表面，即
p=常数的曲面）方程
等压面簇是一簇具有中心轴的旋转抛物面，如图2-16所示。

具有自由表面的旋转器皿中液体的自由表面方程：
在自由液面上：
用相对压强表示自由表面方
程：
任一点压强：
说明：在相对平衡的旋转液体中，各点的压强随水深的变
化仍是线性关系。

注意：在旋转液体中各点的测压管水头不等于常数。

思 考 题
1.盛有液体的敞口容器作自由落体时，容器壁面AB 上的压强分布如何？ 参考答案：
∴p =const ，自由液面上p = 0
∴p = 0
2.若人所能承受的最大压力为 1.274MPa （相对压强），则潜水员的极限潜水深度为多少？ 参考答案：
潜水员的极限潜水深度为：
3.如2-1图所示，若测压管水头为1m ，压强水头为1.5m ，则测压管最小长度应该为多少？
测压管最小长度为1.5m 。

4.为什么虹吸管能将水输送到一定的高度？ 因为虹吸管内出现了真空。

5.在静止流体中，各点的测压管水头是否相等？在流动流体中？
相等；均匀流、渐变流中同一断面上各点测压管水头相等，急变流中不相等。

第五节 测压计
一、测压管
测压管（pizometric tube ）：是以液柱高度为表征测量点压强的连通管。

一端与被测点容器壁的孔口相连，另一端直接 和大气相通的直管。

适用范围：测压管适用于测量较小的压强，但不适合测真空。

如图2-17，由等压面原理计算：
图2-17
如果被测点A 的压强很小，为了提高测量精度，增大测压管标尺读数，常采用以下两种方法： （1）将测压管倾斜放置如图2-18，此时标尺读数为l ，而压强水头为垂直高度h ，则
图2-18
（2）在测压管内放置轻质而又和水互不混掺的液体，重度
，则有较大的h 。

二、水银测压计与U 形测压计
适用范围：用于测定管道或容器中某点流体压强，通常被测点压强较大。

图2-19
图2-19中，B —B 为等压面：
U 形测压计
水银测压机
问题1：在如图所示的密闭容器上装有U形水银测压计,其中1、2、3点位于同一水平面上，其
压强关系为：
p1<p2<p3
问题2：在传统实验中，为什么常用水银作U型测压管的工作流体？
答：1.压缩性小；2.汽化压强低；3.密度大。

三、压差计
分类：空气压差计：用于测中、低压差；
水气倾斜压差计
油压差计：用于测很小的压差；
水银压差计：用于测高压差。

适用范围：测定液体中两点的压强差或测压管水头差。

图2-20 压差计计算（图2-20）
若A、 B中流体均为水，ρ2为水银，则
(2-15) 四、金属测压计（压力表）
适用范围：用于测定较大压强。

是自来水厂及管路系统最常用的测压仪表。

五、真空计（真空表）
适用范围：用于测量真空。

例1 由真空表A中测得真空值为17200N/m2。

各高程如图，空气重量忽略不计，g1=6860N/m3，g2 =15680 N/m3 ，试求测压管E. F. G内液面的高程及U形测压管中水银上升的高差的H1大小。

解：利用等压面原理
(1)E 管
则：
图2-21
(2)F管
(3)G 管
(4)U 形管
例2 :一密封水箱如图所示，若水面上的相对压强p 0=-44.5kN/m 2
，求：
（1）h 值；（2）求水下0.3m 处M 点的压强，要求分别用绝对压强、相对压强、真空度、水柱高及大气压表示；（3）M 点相对于基准面O —O 的测压管水头。

解 （1）求h 值
图2-22
列等压面1—1，p N = p R = p a 。

以相对压强计算，
（2）求 p M
用相对压强表示：
= -41.56/98= -0.424大气压（一个大气压= 98kN/m2）
用绝对压强表示：
大气压
用真空度表示：
真空值大气压
真空度
（3）M点的测压管水头
问题2：如图所示的密封容器，当已知测压管高出液面h=1.5m，求液面相对压强p0，用水柱高
表示。

容器盛的液体是汽油。

（=7.35kN/m3）
答案：1.125m；
2. 图2-2所示水深相差h的A. B两点均位于箱内静水中，连接两点的U形汞压差计的液面高差
h m，试问下述三个值h m哪个正确？
题2-2图
答案：0
3. 图2-3所示两种液体盛在同一容器中，且<，在容器侧壁装了两根测压管，
试问图中所标明的测压管中水位对否？
题2-3图
答案：对
第六节平面上的流体静压力
一、静水压强分布图
•静水压强分布图绘制原则（如图2-23）：
1. 根据基本方程式(2-10）：绘制静水压强大小
水静力学基本方程：
或当时， (2-10)
；
2. 静水压强垂直于作用面且为压应力。

图2-23
•静水压强分布图绘制规则：
1. 按照一定的比例尺，用一定长度的线段代表静水压强的大小；
2. 用箭头标出静水压强的方向，并与该处作用面垂直。

受压面为平面的情况下，压强分布图的外包线为直线；当受压面为曲线时，曲面的长度与水深不成直线函数关系，故压强分布图外包线亦为曲线。

判断：下列压强分布图中哪个是错误的？
答案： B
二、平面上的流体静压力
（一）解析法
如图2-24所示，MN 为任意形状的平面，倾斜放置于水中，与水面成 角，面积为A ，其形心C 的坐标为x c ，y c ，形心C 在水面下的深度为h c 。

1. 作用力的大小，微小面积d A 的作用力：
图2-24
静矩：
(2-16)
结论：潜没于液体中的任意形状平面的静水总压力F ，大小等于受压面面积A 与其形心点的静水压强p c 之积。

2. 总压力作用点（压心）
合力矩定理（对Ox 轴求矩）：
例1 如图2-25所示，一铅直矩形闸门，已知h1=1m ，h2=2m ，宽b=1.5m ，求总压力及其作用点。

图2-25 解：
例2 有一铅直半圆壁（如图2-26）直径位于液面上，求F 值大小及其作用点。

解：由式
图2-26
得总压力
由式
得
面积惯性矩：
（2-17）
式中：I o——面积A绕O x 轴的惯性矩。

I c——面积
A绕其与O x 轴平行的形心轴的惯性矩。

结论：1. 当平面面积与形心深度不变时，平面上的总压力大小与平面倾角θ无关；
2. 压心的位置与受压面倾角θ无关，并且压心总是在形心之下.只有当受压面位置为水平放置时，压心与形心才重合。

（二）图解法
适用范围：规则平面上的静水总压力及其作用点的求解。

原理：静水总压力大小等于压强分布图的体积，其作用线通过压强分布图的形心，该作用线与受压面的交点便是压心P。

例3 用图解法计算解析法中例1的总压力大小与压心位置。

解：作出矩形闸门上的压强分布图，如图2-27：底为受压面面积，高度是各点的压强。

图2-27
备注：
梯形形心坐标:
a 上底，
b 下底
总压力为压强分布图的体积：
作用线通过压强分布图的重心：
例4：已知矩形平面h=1m ，H=3m ，b=5m ，求F 的大小及作用点。

解：1、解析法（如图2-28）
图2-28
2、图解法（如图2-29）：压力图分为二部分（三角形+矩形）
图2-29
例5 如图2-30（a ）所示，左边为水箱，其上压力表的读数为-0.147×105Pa ，右边为油箱，油的g ′=7350N/m3，用宽为1.2m 的闸门隔开，闸门在A 点铰接。

为使闸门AB 处于平衡，必须在B 点施加多大的水平力F ’。

解 确定液体作用在闸门上的力的大小和作用点位置。

对右侧油箱
图2-30（a ）
（方向向左）
对左侧水箱
将空气产生的负压换算成以m 水柱表示的负压h 值相当于水箱液面下降1.5m ，而成为虚线面，可直
接用静水力学基本方程求解，这样比较方便。

因为
所以有：
（方向向右）
F 2作用点距o 轴的距离为
或距A 轴为 3.2-2.2=1m
图2-30（b ）
图2-30b 为闸门AB 的受力图，将所有力对A 轴取矩，则
即 代
入数值得
（方向向右）
对于有规则的两侧受有水压力的受压面，用上面的分析法求解F 和y P 比较繁。

通常也可通过作静水压强分布图的方法推求静水总压力。

如图a 在作出左右两侧对矩形平面的压强分布图后，由于两侧压强方向相反，故可抵消一部分。

由剩下的压强分布图计算其总压力和作用点。

这样用图解法计算比分析法更简便些。

例6 一直径d=2000mm 的涵洞，其圆形闸门AB 在顶部A 处铰接，如图2-31。

若门重为3000N ，试求： （1）作用于闸门上的静水总压力F ；（2）F 的作用点；（3）阻止闸门开启的水平力F'。

解 （1）圆形闸门受压面形心到水面的距离为h0=1.5+1.0=2.5m ；闸门的直径D 为2.83m （D=2/sin45°）；闸门面积为：
图2-31
作用于圆形闸门上的总压力为：
（2）圆形闸门中心至O x 轴的距离为
圆形闸门面积A 对经闸门中心且平行于O x 轴之惯性矩I xc 为：
故总压力作用点在闸门中心正下方0.14m处。

（3）因铰点在A处，则作用于闸门的所有外力对此点之力矩总和必为0，即
得阻止闸门的开启力
问题：任意形状平面壁上静水压力的大小等于____处静水压强乘以受压面的面积。

答案：受压面形心
垂直放置的矩形平板挡水，水深3m，静水总压力P的作用点到水面的距离 y D为：
答：(2/3)h=2m
平面上的静水总压力的计算
1. 图解法
根据静水压强的两个基本特性及静水压强计算的基本方程绘制出受压面上的相对压强分布图，静水总压力的大小就等于压强分布图的体积，其作用线通过压强分布图的重心。

2. 解析法
首先确定淹没在流体中物体的形心位置以及惯性矩，然后由解析法计算公式确定总压力的大小及方向。

思考题：
1. 如图2-4所示，浸没在水中的三种形状的平面物体，面积相同。

问：1.哪个受到的静水总压力最大？
2. 压心的水深位置是否相同？
题2-4图
1、相同；
2、不相同
2. 挡水面积为A的平面闸门，一侧挡水，若绕通过其形心C的水平轴任转a角，其静水总压
力的大小、方向和作用点是否变化？为什么？
大小不变；方向变；作用点变。

3. 使用图解法和解析法求静水总压力时，对受压面的形状各有无限制？为什么？
图解法有，规则形状，为便于作压强分布图；解析法无。

第七节曲面上的流体静压力
如图2-32所示，水平分力F x
图2-32
（2-18）
结论：作用于曲面上的静水总压力F的水平分力F x等于作用于该曲面的垂直投影面（矩形平面）上的静水总压力，方向水平指向受力面，作用线通过面积A z的压强分布图体积的重心。

如图2-33所示，垂直分力Fz
图2-33
（2-19）
式中：V p ——压力体体积
结论：作用于曲面上的静水总压力F 的铅垂分力F z 等于该曲面上的压力体所包含的液体重，其作用线通过压力体的重心，方向铅垂指向受力面。

判断：下述结论哪一个是正确的？两图中F 均为单位宽度上的静水总压力。

Fx>F2
Fx=F2
答案：Fx=F2
•压力体
压力体体积的组成：（1）受压曲面本身； （2）通过曲面周围边缘所作的铅垂面； （3）自由液面或自由液面的延长线。

压力体的种类：实压力体和虚压力体。

实压力体F z 方向向下，虚压力体F z 方向向上（如图2-34）。

图2-34
例1 绘制图中AB曲面上的压力体
图2-35
例2 如图2-36所示，一球形容器由两个半球面铆接而成的，铆钉有n个，内盛重度为g的液体，求每一铆钉受到的拉力。

解：取球形容器的上半球为受压
曲面，则其所受到的压力体如图
所示：则有：
图2-36
例3 如图2-37所示，用允许应力[]=150MPa 的钢板，制成直径D 为1m 的水管，该水管内压强
高达500m 水柱，求水管壁应有的厚度（忽略管道内各点因高度不同而引起的压强差） 解：取长度为1m 管段，并忽略管道内各点因高度不同而引起的压强差，而认为管壁各点压强都相等。

设想沿管径将管壁切开，取其中半管作为脱离体来分析其受力情况（如图）。

作用在半环内表面的水平压力等于半
环垂直投影面上的压力，
，这压力受半
环壁上的拉应力承受并与之平衡，即：。

设T 在管壁厚度上是均匀分布的，则：
图2-37
• 静水总压力
作用在曲面上的静水总压力（如图2-38）
图2-38
(2-20)
与水平面的夹角：
(2-21)
作用线：必通过F x ，F z 的交点，但这个交点不一定位于曲面上。

对于圆弧面，F 作用线必通过圆心。

F 的作用点作用在F 作用线与曲面的交点。

例1：如图2-39所示，单宽圆柱即b =1m ，问在浮力F z 的作用下能否没完没了的转动？ 解：
一、概念上分析：不能转动。

因为所受总压力的
作用线通过轴心。

（作用力总是垂直作用面，所以通过圆心）
图2-39
二、计算证明：
垂向力作用点到轴心的距离为:
逆时针为负
所以不能转动。

例2 圆柱体的直径为2m ，水平放置，各部分尺寸如图2-40（a ）所示。

左侧有水，右侧无水。

求作用在每米长度圆柱的静水总压力的水平分力F x 和垂直分力F z 。

解 圆柱体的受压面CDHAB ，其中HAB 面两侧水平分力相互抵消。

则曲面
CDH 受压面的水平分力为
垂直分力F z 可用绘曲面CDHAB 的压力体的方法求解。

将曲面CDHAB 分成两段（CD 和DHAB ）。

然后绘出各段压力体，如图2-40（b ,c ）。

CD 压力体方向F z1向下，曲面DHAB 的压力体F z2方向向上，两者相互抵消一部分，最后得出压力体如图2-40（d ）的影线部分。

则总的垂直分力F z=体积DHAB JFGCD 的水重。

为了便于计算，把这个体积分成几个简单的几何图形。

如矩形、三角形和半圆形，则
F z=(矩形JFGC +三角形CJB +半圆DHAB )的水重。

图2-40
例3 某竖直隔板上开有矩形孔口，如图2-41(a)：高a =1.0m 、宽b =3m 。

直径d =2m 的圆柱筒将其堵塞。

隔板两侧充水，h =2m ，z =0.6m 。

求作用于该圆柱筒的静水总压力。

解 圆柱筒受到隔板两侧的静水压力，可两侧分别先后画出压强分布图和压力体求解，如图2-41(b)。

隔板左侧：圆柱筒受压曲面CABDF 的水平向压强分布图仅为曲面AB 段的水平向压强分布图——梯形面积A ′B ′D ′C ′A ′,指向右。

因为，曲面AC 段以及BDF 段的水平压强分布图为两对虚线梯形，相互抵消了；圆柱筒受压曲面CABDF 的压力体为横条面积CABDFC 乘圆柱筒宽度b 。

图2-41(a)
隔板右侧：圆柱筒受压曲面CEF 的水平向压强分布图为梯形面积
E ′
F ′ H ′
G ′E ′,指向右；压力体为横条面积CEFC 乘圆柱筒宽度b 。

隔板两侧受压曲面压力体之和恰好为圆柱筒体积。

图2-41(b)
绘出压强分布图和压力体后，静水总压力的水平分力： 方向向右；
静水总压力的铅直分力： 方向向上；
于是，作用在圆柱筒上的静水总压力：
其作用线与水平面的夹角
作用点D 在水下的深度
曲面上的静水总压力的计算
1. 计算水平分力 正确绘制曲面的铅垂投影图，求出该投影图的面积及形心深度，然后求出水平分力；
2. 计算铅垂分力 正确绘制曲面的压力体。

压力体体积由以下几种面围成：受压曲面本身、通过曲面周围边缘作的铅垂面、液面或液面的延长线。

铅垂分力的大小即为压力体的重量；
3. 总压力的合成 总压力的大小利用水平分力及铅垂分力通过求合力的方法求得。

第八节 浮力及浮潜体稳定
一、阿基米德定律、浮力、浸没物体的三态 阿基米德定律
图2-42
阿基米德定律：物体在静止流体中所受到的静水总压力，仅有铅垂向上的分力，其大小恰等于物体（潜体、浮体）所排开的液体重量。

图2-42中，
(2-22)
潜体所排开液体的重量（方向朝上）
•浮力
浮力：即在阿基米德定律中，物体所受到的具有把物体推向液体表面倾向的力的合力，即为浮力。

浮力方向总是铅垂向上。

浮心：即浮力的作用点，该浮心与所排开液体体积的形心重合。

•浸没物体的三态
浸没于液体中的物体不受其他物体支持时，受到重力G和浮力FZ作用，所以物体有下列三态：
（1）沉体：当G>F Z，下沉到底的物体。

（2）潜体：当G=F Z，潜没于液体中任意位置而保持平衡即悬浮的物体。

（3）浮体：当G<F Z，上浮至水面呈漂浮状态的物体。

在液体中潜体所受浮力的大小: 与液体的密度成正比
二、潜体的平衡与稳定性
潜体的平衡条件是：重力G与浮力F Z大小相等，方向相反，作
用在同一铅垂直线上。

潜体平衡的稳定性：是指遇到外界扰动，潜体倾斜后，恢复它
原来平衡状态的能力。

潜体的稳定平衡条件：重力G与浮力F Z大小相等，且重心C在
浮心D之下。

•潜体平衡的三种情况
•潜体平衡的三种情况
（图2-43）随遇平衡：重心C与浮心D重合稳定平衡：重心C在浮心D之下
不稳定平衡：重心C在浮心D之上
•
图2-43
三、浮体的平衡与稳定性
•浮体的平衡条件：重力C与浮力F z大小相等，方向相反，作用在同一铅垂直线上。

•浮体的平衡稳定性（图2-44(a)）
对于浮体，重心C高于浮心D时，它的平衡也有稳定的可能，这是因为浮体倾斜后，浸没在水中的那部分形状改变了，浮心位置也随之移动。

图2-44(a)
定倾中心（metacenter）：当浮体倾斜后，通过D'的浮力F z'的作用线与物体的原中心线（浮轴）HH的交点M点。

定倾半径：定倾中心M到原浮心D的距离，以r表示。

偏心距：重心C与原浮心D的距离，以e表示。

定倾高度：定倾中心M 与重心C 的距离。

浮体的稳定条件：
稳定平衡：即r >e ，即重心C 在定倾中心M 之下。

不稳定平衡： 即r <e ，即重心C 在定倾中心M 之上。

随遇平衡: 即r =e ，即重心C 与定倾中心M 重合。

• 定倾半径r 的计算（图2-44(b)） 对于小倾角（
<15°）的浮体：
图2-44(b)
r =I 0/V (2-23)
式中： I 0——浮体浮面对其中心纵轴O-O 的惯性矩； V ——浮体排开液体的体积。

浮体的稳定性条件是：浮体的定倾半径必须大于浮心与重心的偏心距。

思 考 题
1.图2-5中浸没在水中的三种形状的平面物体，面积相同。

问：哪个受到的静水总压力最大？压心的水深位置是否相同？
题2-5图
相同；不相同
2.挡水面积为A 的平面闸门，一侧挡水，若绕通过其形心C 的水平轴任转角，其静水总压力
的大小、方向和作用点是否变化？为什么？ 大小不变；方向变；作用点变
3.使用图解法和解析法求静水总压力时，对受压面的形状各有无限制？为什么？ 图解法有，规则形状，为作压强分布图；解析法无。

4.浮体的平衡稳定条件是什么？当r <e 和r =e 时，浮体各处于什么状态？
重心在定倾中心之下；不稳定平衡、随遇平衡。

5.潜体的平衡稳定条件是什么？它有哪几种平衡形式？
重力和浮力大小相等，且重心在浮心之下。

潜体平衡的三种情况：随遇平衡——重心C与浮心D重合；稳定平衡——重心C在浮心D之下；不稳定平衡——重心C在浮心D之上。

本章小结
水静力学的核心问题是根据平衡条件来求解静水中的压强分布，并根据静水压强的分布规律，进而确定作用在平面及曲面上的静水总压力。

水静力学研究的静止状态，指的是流体内部任何质点以及流体与容器之间均无相对运动。

本章主要学习以下内容。

1. 作用于流体的力：质量力和表面力；最常见的质量力是重力和惯性力，表面力常分为垂直于表面的压力和平行于表面的切力。

2. 流体静压强的两个特性：
a.只能是压应力，方向垂直并指向作用面。

b.同一点静压强大小各向相等，与作用面方位无关。

注意：动压强与静压强的不同（实际流体、理想流体）；理想流体动压强规律分布；实际流体动压强p=(px+py+pz)/3。

3. 压强的表示方法：
a.根据压强计算基准面的不同，压强可分为绝对压强、相对压强和真空值。

b.由于计量方法不同，从而可用液柱高和大气压表示压强大小。

一定的液柱高度h，此液柱高度又称为测压管高度。

4. 等压面的概念：
质量力垂直于等压面，只有重力作用下的静止流体的等压面为水平面应满足的条件是相互连通的同一种连续介质。

5. 流体平衡微分方程
或
6. 静压强的分布
（1）重力作用下静压强的分布：
（2）相对平衡流体静压强的分布：对于加速平行运动的流体：，等压面相
互平行。

7. 平面上流体静压力 （1）解析法：
（2）图解法：（对规则的矩形平面）
F =压强分布图面积×宽
y p ：压强分布图的形心处 8. 曲面上流体静压力
与平面上求解总压力的计算方法相同。

V ——压力体的体积。

压力体的组成： （1）受压曲面本身；
（2）通过曲面周围边缘所作的铅垂面；
（3）自由液面或自由液面的延长线。

9. 潜体、浮体的平衡条件，稳定条件。

潜体平衡的三种情况
随遇平衡：重心C 与浮心D 重合 稳定平衡：重心C 在浮心D 之下 不稳定平衡：重心C 在浮心D 之上 浮体的稳定条件
稳定平衡：即r>e，即重心C在定倾中心M之下。

不稳定平衡：即r<e，即重心C在定倾中心M之上。

随遇平衡：即r=e，即重心C与定倾中心M重合。