2015年上海市松江区中考数学二模试卷
2015年上海中考各区二模数学试题及答案汇总
BC OC = ∴ OC ，∴ OD
2 2
x r 2 − x2
2
=
r 2 − x2 r
2
，…………………（1 分）
∴ xr = r − x ， x + rx − r − 0 ， 5 ∵ r ≠ 0 ， ( rx ) + rx − 1 ≠ 0 ， rx = − 1 ± (负值舍去) ，………………………（1 分） 2 BC x 5 −1 ∴sin∠ODC＝sin∠COB = OB ．……………（1 分） = = r 2
2 2 2 2
年长宁区初三数学教学质量检测试卷 长宁区初三数学教学质量检测试卷参考答案 初三数学教学质量检测试卷参考答案
2
x
2
2
2
∆ADE
2
∆ADE
1
2
D
E
H
F
C
P
G R
O
A
Q
B
初三数学基础考试卷—3—
2015
年上海各区县中考二模试题及答案
∴DE=CF. （1 分） （2）据题意，设 DP=t，PA=10-t，AQ=3t，QB=12-3t，BR=1.5t（0 < t < 4）. （1 分） ∵矩形 ABCD ∴∠A=∠B=90° 若△PAQ 与△QBR 相似，则有 AP AQ 10 - t 3t 14 ① QB = （2 分） = t= BR 12 - 3t 1.5t 5
25
D P E F C
O R
A
Q
B
第 25 题图
初三数学基础考试卷—2—
2015
年上海各区县中考二模试题及答案
2015 18. 1
或 11 . 6 24．（本题满分 12 分） 解：（1） y = x − 2tx + t − 2 = (x - t ) - 2 ∴A（t，-2）（2 分） y ∵点 C 的横坐标为 1，且是线段 AB 的中点 ∴t =2 （1 分） ∴ y = (x - 2 ) - 2 D ∴P（1，-1）.（1 分） O （2）据题意，设 C（x，-2）（0< x < t），P（x， ( x − t ) − 2 ）E P B C A AC= t-x，PC= ( x − t ) （1 分） 第 24 题图 ∵AC=PC ∴t-x = ( x − t ) ∵x < t ∴ t - x=1 即 x = t - 1 ∴AC=PC=1 （2 分） AC ∵DC//y 轴 ∴ PC ∴EB= t ∴OE=2-t = EB AB 1 1 3 ∴S = 1 (OE + DP) × OD = (3 − t )(t − 1) = − t + 2t − （1< t <2）. （2 分） 2 2 2 2 1 1 1 （3） S = 2 DP × AB = 2 ×1× t = 2 t （1 分） 1 3 ∵ S = 2S ∴ 1 t = 2( − t + 2t − ) 2 2 2 3 解得 t = 3 ， t = 2 （不合题意）∴ t = .（2 分） 2 2 25．（本题满分 14 分） （1）证:作 OH⊥DC 于点 H，设⊙O 与 BC 边切于点 G，联结 OG. （1 分） ∴∠OHC=90° ∵⊙O 与 BC 边切于点 G ∴OG=6，OG⊥BC ∴∠OGC=90° ∵矩形 ABCD ∴∠C=90° ∴四边形 OGCH 是矩形 ∴CH=OG ∵OG=6 ∴CH=6 （1 分） ∵矩形 ABCD ∴AB=CD 第 25 题图(1) ∵AB=12 ∴CD=12 ∴DH=CD﹣CH=6 ∴DH= CH ∴O 是圆心且 OH⊥DC ∴EH=FH （2 分）
中考数学 二模 25题
1.（2017年嘉定宝山）已知：8=AB ，⊙O 经过点A 、B .以AB 为一边画平行四边形ABCD ，另一边CD 经过点O （如图8）.以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交线段OC 于点E （点E 不与点O 、点C 重合）.（1）求证：OE OD =；（2）如果⊙O 的半径长为5（如图9），设x OD =，y BC =，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果⊙O 的半径长为5，联结AC ，当AC BE ⊥时，求OD 的长.2.（2017年普陀）如图10，半圆O 的直径AB ＝10，有一条定长为6的动弦CD 在弧AB 上滑动（点C 、点D 分别不与点A 、点B 重合），点E 、F 在AB 上，EC ⊥CD ，FD ⊥CD ． （1）求证：EO OF =；（2）联结OC ，如果△ECO 中有一个内角等于45 ，求线段EF 的长； （3）当动弦CD 在弧AB 上滑动时，设变量CE x =，四边形CDFE 面积为S ，周长为l ，问：S 与l 是否分别随着x 的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论．图9 B O A 备用图 B OA 图8 E CB A O D 图103.（2017年崇明）如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，tan 2D =，点E 是射线CD 上一动点（不与点C 重合），将BCE ∆沿着BE 进行翻折，点C 的对应点记为点F ． （1）如图1，当点F 落在梯形ABCD 的中位线MN 上时，求CE 的长；（2）如图2，当点E 在线段CD 上时，设CE x =，BFC EFCS y S ∆∆=，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如图3，联结AC ，线段BF 与射线CA 交于点G ，当CBG ∆是等腰三角形时，求CE 的长．ABCDEFM NEDCFABEDC FAB GD CAB（第25题图1）（第25题图2）（第25题图3）（第25题备用图）4.（2017年杨浦）已知：以O 为圆心的扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 为»AB 上一动点，射线AC 交射线OB 于点D ，过点D 作OD 的垂线交射线OC 于点E ，联结AE . （1） 如图1，当四边形AODE 为矩形时，求∠ADO 的度数； （2） 当扇形的半径长为5，且AC =6时，求线段DE 的长；（3） 联结BC ，试问：在点C 运动的过程中，∠BCD 的大小是否确定？若是，请求出它 的度数；若不是，请说明理由.5.（2017年奉贤）已知：如图9，线段AB =4，以AB 为直径作半圆O ，点C 为弧AB 的中点，点P 为直径AB 上一点，联结PC ，过点C 作CD //AB ，且CD =PC ，过点D 作DE//PC ，交射线PB 于点E ，PD 与CE 相交于点Q ． （1）若点P 与点A 重合，求BE 的长； （2）设PC = x ，y CEPD，当点P 在线段AO 上时，求y 与x 的函数关系式及定义域； （3）当点Q 在半圆O 上时，求PC 的长．图9ACPOBD E Q备用图AO BCA OBCD E（备用图） A O B CD E （图1）6.（2017年闵行）如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，∠B = 90°，AB = 4，BC = 9，AD = 6．点E 、F 分别在边AD 、BC 上，且BF = 2DE ，联结FE ．FE 的延长线与CD 的延长线相交于点P ．设DE = x ，PEy EF ． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）当以ED 为半径的⊙E 与以FB 为半径的⊙F 外切时，求x 的值；（3）当△AEF ∽△PED 时，求x 的值．7.（2017年长宁金山）如图，△ABC 的边AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，已知AC =6 cm ，BC =8 cm ，点P 、Q 分别在边AB 、BC 上，且点P 不与点A 、B 重合，BQ =k ·AP （k >0），连接PC 、PQ ． （1）求⊙O 的半径长； （2）当k =2时，设AP =x ，△CPQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△CPQ ∽△ABC ，且∠ACB =∠CPQ ，求k 的值.第25题图A B CDE F P （第25题图）A B C D （备用图）EP 第25题图 C AB D8.（2017年虹口）如图，在△ABC 中，AB=AC =5，cos B =45，点P 为边BC 上一动点，过点P 作射线PE 交射线BA 于点D ，∠BPD=∠BAC ．以点P 为圆心，PC 长为半径作⊙P 交射线PD 于点E ，联结CE ，设BD=x ，CE=y ． （1）当⊙P 与AB 相切时，求⊙P 的半径；（2）当点D 在BA 的延长线上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果⊙O 与⊙P 相交于点C 、E ，且⊙O 经过点B ，当OP=54时，求AD 的长．9.（2017年浦东新区）如图所示，︒=∠45MON ，点P 是MON ∠内一点，过点P 作OM PA ⊥于点A 、ON PB ⊥于点B ，且22=PB ．取OP 的中点C ，联结AC 并延长，交OB 于点D ．（1）求证：OPB ADB ∠=∠；（2）设x PA =，y OD =，求y 关于x 的函数解析式；（3）分别联结AB 、BC ，当ABD △与CPB △相似时，求PA 的长．（第25题图）（备用图）10.（2016年崇明）如图，已知BC 是半圆O 的直径，8BC =，过线段BO 上一动点D ，作AD BC ⊥交半圆O 于点A ，联结AO ，过点B 作BH AO ⊥，垂足为点H ，BH 的延长线交半圆O 于点F ． （1）求证：AH BD =；（2）设BD x =，BE BF y ⋅=，求y 关于x 的函数关系式；（3）如图2，若联结FA 并延长交CB 的延长线于点G ，当FAE ∆与FBG ∆相似时，求BD 的长度．11.（2016年宝山嘉定）如图8，⊙O 与过点O 的⊙P 相交于AB ，D 是⊙P 的劣弧OB 上一点，射线OD 交⊙O 于点E ，交AB 的延长线于点C .如果AB =24，32tan =∠AOP . (1) 求⊙P 的半径长；(2) 当△AOC 为直角三角形时，求线段OD 的长； (3) 设线段OD 的长度为x ，线段CE 的长度为y ，求y 与x 之间的函数关系式及其定义域．（第25题图1）ABDOE HFC（第25题图2） CO D B G A F H E 图8_C _ E _B _O_P_A_ D12.（2016年长宁金山）如图, 已知在Rt △ABC 中, ∠ACB =90°, AB =5, 4sin 5A, P 是边BC 上的一点, PE ⊥AB , 垂足为E , 以点P 为圆心, PC 为半径的圆与射线PE 相交于点Q , 线段CQ 与边AB 交于点D . （1）求AD 的长;（2）设CP =x , △PCQ 的面积为y , 求y 关于x 的函数解析式, 并写出定义域;（3）过点C 作CF ⊥AB , 垂足为F , 联结PF 、QF , 如果△PQF 是以PF 为腰的等腰三角形, 求CP 的长.13.（2016年闸北）如图，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=4，⊙B 与边AB 相交于点D ，与边BC 相交于点E ，设⊙B 的半径为x ． （1）当⊙B 与直线AC 相切时，求x 的值；（2）设DC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）若以AC 为直径的⊙P 经过点E ，求⊙P 与⊙B 公共弦的长．BCAP EQDBCACB ADE （第25题图）14.（2016年闵行）如图，已知在△ABC 中，AB = AC = 6，AH ⊥BC ，垂足为点H ．点D 在边AB 上，且AD = 2，联结CD 交AH 于点E ．（1）如图1，如果AE = AD ，求AH 的长；（2）如图2，⊙A 是以点A 为圆心，AD 为半径的圆，交线段AH 于点F ．设点P 为边BC 上一点，如果以点P 为圆心，BP 为半径的圆与⊙A 外切，以点P 为圆心，CP 为半径的圆与⊙A 内切，求边BC 的长；（3）如图3，联结DF ．设DF = x ，△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．15.（2016年松江）已知：如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠BCD =90º， BC=11，CD=6，tan ∠ABC =2，点E 在AD 边上，且AE=3ED ，EF //AB 交BC 于点F ，点M 、N 分别在射线FE 和线段CD 上．（1）求线段CF 的长； （2）如图2，当点M 在线段FE 上，且AM ⊥MN ，设FM ·cos ∠EFC =x ，CN =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△AMN 为等腰直角三角形，求线段FM 的长．AB C H D （第25题图1) E AB C H D E（第25题图3) F P AB C H D E（第25题图2) F （第25题图1）AC B DE F（第25题图2）AC B DE FNM （备用图）A CBDE F16.（2016年黄埔）如图7，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，1AC =，BC =7，点D 是边CA 延长线上的一点，AE ⊥BD ，垂足为点E ，AE 的延长线交CA 的平行线BF 于点F ，联结CE 交AB 于点G ．（1）当点E 是BD 的中点时，求tan AFB ∠的值；（2）CE AF 的值是否随线段AD 长度的改变而变化，如果不变，求出CE AF 的值；如果变化，请说明理由；（3）当BGE ∆与BAF ∆相似时，求线段AF 的长．19.（2016年杨浦）已知：半圆O 的直径AB =6，点C 在半圆O 上，且tan 22ABC ∠=，点D 为AC 上一点，联结DC （如图）．（1）求BC 的长；（2）若射线DC 交射线AB 于点M ，且△MBC 与△MOC 相似，求CD 的长； （3）联结OD ，当OD//BC 时，作∠DOB 的平分线交线段DC 于点N ，求ON 的长．图7AB C DEF G （第25题备用图） A B O C A B O C D（第25题图）20.（2016年奉贤） 已知：如图，在边长为5的菱形ABCD 中，cos A =35，点P 为边AB 上一点，以A 为圆心、AP 为半径的⊙A 与边AD 交于点E ，射线CE 与⊙A 另一个交点为点F ． （1）当点E 与点D 重合时，求EF 的长；（2）设AP =x ，CE =y ，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（3）是否存在一点P ，使得 2EF PE =⋅，若存在，求AP 的长，若不存在，请说明理由．21.（2016年普陀）如图9，在Rt △ABC 中，90C ∠= ，14AC =，3tan 4A =，点D 是边AC 上的一点，8AD =．点E 是边AB 上一点，以点E 为圆心，EA 为半径作圆，经过点D ．点F 是边AC 上一动点（点F 不与A 、C 重合），作FG EF ⊥，交射线BC 于点G ． （1）用直尺圆规作出圆心E ，并求圆E 的半径长（保留作图痕迹）；（2）当点G 在边BC 上时，设AF x =，CG y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG ，当△EFG 与△FCG 相似时，推理判断以点G 为圆心、CG 为半径的圆G 与圆E 可能产生的各种位置关系．DCBA E F第25题图P DCBA备用图DCBA图9DCBA图9备用图22.(2016年浦东）如图，Rt △ABC 中，90ACB ∠= ，6BC =，点D 为斜边AB 的中点，点E 为边AC 上的一个动点．联结DE ，过点E 作DE 的垂线与边BC 交于点F ，以,DE EF 为邻边作矩形DEFG ．（1）如图1，当8AC =，点G 在边AB 上时，求DE 和EF 的长； （2）如图2，若12DE EF =，设AC x =，矩形DEFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式； （3）若23DE EF =，且点G 恰好落在Rt △ABC 的边上，求AC 的长．23.(2015年黄埔）如图8，Rt △ABC 中，90C ︒∠=，30A ︒∠=，BC =2，CD 是斜边AB 上的高，点E 为边AC 上一点（点E 不与点A 、C 重合），联结DE ，作CF ⊥DE ，CF 与边AB 、线段DE 分别交于点F 、G ．（1）求线段CD 、AD 的长；（2）设CE x =，DF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结EF ，当△EFG 与△CDG 相似时，求线段CE 的长．GFED C BA 第25题 图2A BC D EFG 第25题 图1 ABCD备用图DCBA(备用图）图8GFDCB A E23.(2015年奉贤）已知：如图，线段AB =8，以A 为圆心，5为半径作圆A ，点C 在⊙A 上，过点C 作CD //AB 交⊙A 于点D （点D 在C 右侧），联结BC 、AD ． （1）若CD=6，求四边形ABCD 的面积；（2）设CD =x ，BC =y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）设BC 的中点为M ，AD 的中点为N ，线段MN 交⊙A 于点E ，联结CE ，当CD 取何值时，CE //AD ．23.(2015年松江区）如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90º，AB =4，AD=3，552sin =∠BCD ，点P 是对角线BD 上一动点，过点P 作PH ⊥CD ，垂足为H ． （1）求证：∠BCD =∠BDC ；（2）如图1，若以P 为圆心、PB 为半径的圆和以H 为圆心、HD 为半径的圆外切时，求DP 的长；（3）如图2，点E 在BC 延长线上，且满足DP =CE ，PE 交DC 于点F ，若△ADH 和△ECF 相似，求DP 的长．DCB （第25题图）AB（备用图）AABCHPD （第25题图1）ABCHPD EF（第25题图2）23.(2015年闵行区）如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC = 5，AD = 4．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且ME // DN ，MF // AN ，联结EF ．（1）如图1，如果EF // BC ，求EF 的长；（2）如果四边形MENF 的面积是△ADN 的面积的38，求AM 的长；（3）如果BC = 10，试探索△ABN 、△AND 、△DNC 能否两两相似？如果能，求AN 的长；如果不能，请说明理由．23.(2015年嘉定）在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，2=BC ，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结AE ，过点E 作直线EM 与射线CB 垂直，交点为M ．（1）若点M 与点B 重合如图10，求BAE ∠cot 的值；（2）若点M 在边BC 上如图11，设边长x AC =，y BM =，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）若EBM BAE ∠=∠，求斜边AB 的长．A B C D M N E F（图1）A B C D M NE F （第25题图）A CB (M )ED 图10ACBMED图11。
松江区2015学年度初三第二学期数学月考试卷(含答案)
松江区2015学年度第二学期月考试卷初三数学（满分150分，完卷时间100分钟） 2016.5考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在试卷相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列分数中，能化为有限小数的是…………………………………………………（ ）．A ．18；B ．19；C ．112；D ．115．2．如果a ＞b ，0c ≠那么下列不等式成立的是…………………………………………（ ）．A ．a -c ＞b -c ；B ．c －a ＞c －b ；C ．ac ＞bc ；D ．a bc c> ． 3．数据-2，-2，2，2 的中位数及方差分别是………………………………………（ ）．A ．-2，-2B ．2，2C ．0，4D ．-2，2 ．4．下列函数中，y 随x 的增大而减小的函数是………………………………………（ ）．A ．x y 1-=； B ．x y 1=； C ．xy 1-= )0(>x ；D ．xy 1= )0(<x ．5．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知△AOD 和△AOB 的面积分别为2和4，则△ACD 的面积为………………………………………… （ ）． A ．3； B ．4； C ．5； D ．6． 6．如图，等边ABC △是O ⊙的内接三角形，则圆心O 关于直线AB 的对称点O ′ 和O ⊙的位置关系是………………………………………………………………………… （ ）． A ．在O ⊙内； B ．在O ⊙上；C ．在O ⊙外；D ．不能确定CBAO（第6题图）(第5题图)CBADO二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：105⋅= ．8．分解因式：224y x -= ． 9．已知函数6)(-=x x f ，那么=)10(f ．10．函数2-=x y 中自变量x 的取值范围是 ．11．方程31=-x 的根是 ． 12．不等式：3222xx -<-的解集是 ． 13．在不透明的布袋中有红球4个，白球5个，黄球3个，它们除颜色不同外完全相同，如果从布袋里随机的摸取一个球，摸到的是黄球的概率是 ．14．已知一次函数b kx y +=在y 轴上的截距为3，且经过点(1，4)，则一次函数解析式为 ．15．如图，点G 是△ABC 的重心，DE 过点G 且平行于BC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，设AB a =，AC b =，那么DE = ．（用、ab 表示） 16．学习了统计知识后,小明就本班同学的上学方式进行了一次调查统计.他通过采集数据后,绘制一幅不完整的统计图（如图所示）．已知骑车的人数占全班人数的30%，结合图中提供的信息,可得该班步行上学的有 人．17．当相交的两个圆，其中任意一个圆的圆心都在另一圆的外部时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”.如果⊙1O 、⊙2O 半径分别为3和4，且两圆“外相交”，那么两圆的圆心距d 的取值范围是 .18．如图，Rt △ABC 中，若∠ACB =90°，AC =4，BC =3，将△ABC 绕着C 点旋转，使得B 点落在AB 上B ′处，A 点落在A ′处，则A A ′ = .（第15题图）（第16题图）乘车步行 骑车 上学方式 CA A ′B ′ （第18题图）三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：()()022331212++⎪⎭⎫⎝⎛--+-π20．（本题满分10分） 解方程：22161242x x x x +-=--+21.（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）现要建造一段铁路，其路基的横断面ABCD 是等腰梯形，上底CD =8米,高DH 为2.5米,坡度2.1:1=i .（1）求路基底AB 的长；（2）一段铁路长为2000米，工程由甲、乙两个工程队同时合作完成，原计划需要55天，但在开工时，甲工程队改进了设备，工作效率提高了25%，结果工程提前了5天完成，问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？(路基的土方＝路基的横断面的面积×路的长度)CBAD(第21题图)H22.（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）如图，一次函数(0)y kx b k =+≠的图像与反比例函数y =)0(≠m xm的图像相交于C 、D 两点，和x 轴交于A 点，y 轴交于B 点.已知点C 的坐标为( 3,6)，CD =2BC . （1）求点D 的坐标及一次函数的解析式； （2）求△COD 的面积.23.（本题满分12分，每小题满分各6分）如图，已知△ABC 中， AB ＝AC ，将△ABC 沿着EF 折叠，使点B 落在边AC 上，记为点D ，且DF =DC .（1）求证：四边形EBFD 是菱形； （2）求证：AB ADBC DC=EFCBAD(第23题图)24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象顶点为C,与直线m=图象交于A、B两点，其xy+中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上.（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结AC，求∠BAC的正切值；（3）点P为直线AB上一点，若△ACP为直角三角形，求点(第24题图)25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，□ABCD 中，AB =8,AD =10,sin A =54.E 、F 分别是边AB 、BC 上动点（点E 不与A 、B 重合），且∠EDF =∠DAB ，DF 延长线交射线AB 于G . （1）若DE ⊥ AB 时，求DE 的长度；（2）设AE =x ，BG =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△BGF 为等腰三角形时，求AE 的长度.松江区2015学年度第二学期月考试卷初三数学参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1． A 2．A 3．C 4．D 5. D 6．B 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）;7．25; 8．)2)(2(y x y x -+;9．2; 10．2≥x ; 11．10=x ;12．x ＜2; 13．41; 14．3+=x y ;15．a b3232-; 16．8;17．74<<d ;18．524三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=19432+-+…………………………………………8分(每个2分)CB ADCBADF ECBA DG(第25题图)(备用图1)(备用图2)=432-…………………………………………………………………2分20．解：去分母，得2(2)162x x +-=-．…………………………………2分 整理，得23100x x +-=．……………………………………………3分 解得12x =，25x =-．……………………2分经检验，25x =-为原方程的根，12x =是增根．…………………2分∴原方程的根是5x =-．……………………………………………1分21．解：(1)由题意，得AHDHA =tan =1：1.2； ………………………1分 ∵DH =2.5；∴AH =3………………………………………………………1分∵等腰梯形ABCD ∴AB=8+3+3=14 ……………………………2分(2) 路基的土方＝5500020005.2)148(21=⨯⨯+…………………1分 设甲工程队原计划每天完成x 土方，乙工程队原计划每天完成y 土方，则⎩⎨⎧=+=+55000)25.1(5055000)(55y x y x …………………………………………………………2分 整理，得⎩⎨⎧=+=+110025.11000y x y x ∴⎩⎨⎧==600400y x ………………………………………2分答：甲乙工程队原计划每天分别完成400m 3土方和600 m 3土方. ……………1分 22．解：（1）分别过点C 作CE ⊥OB 于点E ，作DF ⊥OB 于点F ，则CE ∥DF∵CD =2BC ∴31==DF CE BD BC ∵CE =3，∴DF =9 ………………………2分 ∵y =)0(≠m x m 经过C 、D 两点，C 的坐标为( 3,6)∴y =x18………………1分把9=x 代入，得2y =∴ D 坐标为( 9，2) …………………………………1分 一次函数图像经过点C ( 3,6)，D ( 9，2)，设一次函数解析式为)0(≠+=k b kx y⎩⎨⎧=+=+2963b k b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=832b k ， 一次函数解析式832+-=x y ………2分（2）方法1：∵O (0,0),)8,0(B )6,3(C ∴123821=⨯⨯=∆OBC S ,………………………………………………………2分 ∵CD =2BC ∴242==∆∆OBC OCD S S ………………………………………2分 方法2：∵)0,12(A )8,0(B )6,3(C )2,9(D2412124821221832181221=--=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=--=∆∆∆∆AOD OBC AOB COD S S S S(每个三角形面积1分，答案1分)23. （本题满分12分，每小题满分各6分）如图，已知△ABC 中， AB ＝AC ，将△ABC 沿着EF 折叠，使点B 落在边AC 上，记为点D ，且DF =DC . （1）求证：四边形EBFD 是菱形;（2）求证：AB ADBC DC=证明：（1）设BD 、EF 交于O 点， ∵B 、D 是翻折的对应点∴BE =DE ，BF =DF ，BD ⊥EF ……………………1分 ∴∠BOE =∠BO F=90°,∠FDB =∠FBD ………………1分 ∵DF =DC ，AB =AC ∴∠DFC =∠C =∠ABC∴AB ∥DF …………………………………………………1分 ∴∠FDB =∠EBD∴∠EBD =∠FBD ,又BO =BO∴△BOE ≌△BOF ……………………………………………………1分 ∴BE =BF∴BE=BF =DE =DF ……………………………………………………1分 ∴四边形EBFD 是菱形。
2015年上海市松江区中考数学、语文、英语二模试卷及答案
2015年上海市松江区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）1．（4分）下列根式中与是同类二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．2．（4分）如果关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A ．k ＜4B ．k ＞4C ．k ＜0D ．k ＞03．（4分）已知一次函数y=kx ﹣1，若y 随x 的增大而增大，则它的图象经过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限4．（4分）一组数据：﹣1，1，3，4，a ，若它们的平均数为2，则这组数据的众数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．（4分）已知在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A ．AD=BCB ．AC=BDC ．∠A=∠CD ．∠A=∠B6．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB=c ，∠a=α，则CD 长为（）A ．c •sin 2αB ．c •cos 2αC ．c •sin α•tan αD ．c •sin α•cos α二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）．7．（4分）计算：2﹣1=．8．（4分）分解因式：a 2﹣4b 2=．9．（4分）如果f （x ）=，那么f （3）=．10．（4分）已知正比例函数的图象经过点（﹣1，3），那么这个函数的解析式为．11．（4分）不等式组的解集是．12．（4分）用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于y的整式方程为．13．（4分）任意掷一枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），朝上的面的数字大于2的概率是．14．（4分）将抛物线y=2x2﹣1向上平移4个单位后，所得抛物线的解析式是．15．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，如果，，那么=（用，表示）．16．（4分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB为直角，若AB=8，BC=10，则EF的长为．17．（4分）如图，当小明沿坡度i=1：3的坡面由A到B行走了100米，那么小明行走的水平距离AC=米．（结果可以用根号表示）．18．（4分）如图，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，BD平分∠ABC，BD交AC于点D，如果将△ABD沿BD翻折，点A落在点A′处，那么△DA′C的面积为cm2．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：（1+）÷．20．（10分）解方程组：．21．（10分）某品牌电动车经销商一月份销售该品牌电动车100辆，二月份的销售量比一月份增加10%，二月份每辆电动车的售价比一月份每辆电动车的售价低80元，二月份的销售总额比一月份销售总额多12200元，问一月份每辆电动车的售价是多少？22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．（1）若BE=8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．23．（12分）如图，已知在正方形ABCD中，点E在CD边长，过C点作AE的垂线交于点F，联结DF，过点D作DF的垂线交A于点G，联结BG．（1）求证：△ADG≌△CDF；（2）如果E为CD的中点，求证：BG⊥AF．24．（12分）如图，二次函数y=﹣x2+bx的图象与x轴的正半轴交于点A（4，0），过A点的直线与y轴的正半轴交于点B，与二次函数的图象交于另一点C，过点C作CH⊥x轴，垂足H，设二次函数图象的顶点为D，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点E和点F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果CE=3BC，求点B的坐标；（3）如果△DHE是以DH为底边的等腰三角形，求点E的坐标．25．（14分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=3，sin∠BCD=，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，重足为H．（1）求证：∠BCD=∠BDC；（2）如图1，若以P为圆心，PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，DP 的长；（3）如图2，点E在BC延长线上，且满足DP=CE，PE交DC于点F，若△ADH和△ECF相似，求DP的长．2015年上海市松江区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）1．（4分）下列根式中与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】同类二次根式．【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为6的选项即可．【解答】解：因为=2；A、与2被开方数不同，故不是同类二次根式；B、与2被开方数不同，故不是同类二次根式；C、与2被开方数不同，故不是同类二次根式；D、与2被开方数相同，故是同类二次根式；故选D．【点评】要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断．2．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜4B．k＞4C．k＜0D．k＞0【考点】根的判别式．【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：方程有两个不相等的两个实数根，△＞0，进而求出即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac=16﹣4k＞0，解得：k＜4．故选：A．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确记忆△与方程根的关系是解题关键．3．（4分）已知一次函数y=kx﹣1，若y随x的增大而增大，则它的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【考点】一次函数图象与系数的关系．【专题】数形结合．【分析】根据“一次函数y=kx﹣1且y随x的增大而增大”得到k＞0，再由k的符号确定该函数图象所经过的象限．【解答】解：∵一次函数y=kx﹣1且y随x的增大而增大，∴k＞0，该直线与y轴交于y轴负半轴，∴该直线经过第一、三、四象限．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系．函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0；一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞0，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜0，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=0．4．（4分）一组数据：﹣1，1，3，4，a，若它们的平均数为2，则这组数据的众数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】众数；算术平均数．【分析】根据平均数的定义即可列方程求得a的值，然后根据众数的定义求解．【解答】解：根据题意得：（﹣1+1+3+4+a）=2，解得：a=3．则组数据的众数是3．故选C．【点评】本题考查了众数的定义以及平均数，正确依据平均数定义求得a的值是关键．5．（4分）已知在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD=BC B．AC=BD C．∠A=∠C D．∠A=∠B【考点】平行四边形的判定．【分析】利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定得出即可．【解答】解：如图所示：∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，当∠A=∠C时，则∠A+∠B=180°，故AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质以及平行四边形的判定，得出AD∥BC是解题关键．6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AB=c，∠a=α，则CD长为（）A．c•sin2αB．c•cos2αC．c•sinα•tanαD．c•sinα•cosα【考点】解直角三角形．【分析】根据已知条件在Rt△ABC中，用AB和α表示BC，在Rt△DCB中，根据余弦求出CD的长，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，∠A=α，siα=，BC=c•sinα，∠A+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，∴∠DCB=∠A=α，在Rt△DCB中，∠CDB=90°，cos∠DCB=，CD=BC•cosα=c•sinα•cosα，故选：D．【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，把三角函数的概念看作是公式，在相应的直角三角形中，直接运用．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）．7．（4分）计算：2﹣1=．【考点】负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】根据幂的负整数指数运算法则进行计算即可．【解答】解：2﹣1=．故答案为．【点评】本题考查负整数指数幂的运算．幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．8．（4分）分解因式：a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）．【点评】本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．9．（4分）如果f（x）=，那么f（3）=．【考点】函数值．【分析】把x=3代入函数关系式计算即可得解．【解答】解：x=3时，f（3）==．故答案为：．【点评】本题考查了函数值求解，是基础题，准确计算是解题的关键．10．（4分）已知正比例函数的图象经过点（﹣1，3），那么这个函数的解析式为y=﹣3x．【考点】待定系数法求正比例函数解析式．【分析】根据待定系数法，可得正比例函数的解析式．【解答】解：设正比例函数的解析式为y=kx，图象经过点（﹣1，3），得3=﹣k，解得k=﹣3．正比例函数的解析式为y=﹣3x，故答案为：y=﹣3x．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，八点的坐标代入函数解析式得出k 值是解题关键．11．（4分）不等式组的解集是3＜x＜4．【考点】解一元一次不等式组．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x＜4，解②得：x＞3．则不等式组的解集是：3＜x＜4．故答案是：3＜x＜4．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．12．（4分）用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于y 的整式方程为y2+2y+1=0．【考点】换元法解分式方程．【分析】换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设，换元后整理即可求得．【解答】解：∵，∴y++2=0，整理得：y2+2y+1=0．故答案为：y2+2y+1=0．【点评】考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．13．（4分）任意掷一枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），朝上的面的数字大于2的概率是．【考点】概率公式．【专题】常规题型．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数，②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵投掷一次会出现1，2，3，4，5，6共六种情况，并且出现每种可能都是等可能的，∴朝上的面的数字大于2的概率是：=．故答案为：．【点评】本题主要考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，比较简单．14．（4分）将抛物线y=2x2﹣1向上平移4个单位后，所得抛物线的解析式是y=2x2+3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接利用二次函数图象平移规律得出即可．【解答】解：∵将抛物线y=2x2﹣1向上平移4个单位，∴平移后解析式为：y=2x2+3．故答案为：y=2x2+3．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．15．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，如果，，那么=（用，表示）．【考点】*平面向量．【分析】先求出，然后根据AD是BC边上的中线，可得出，继而可得出．【解答】解：∵=，=，∴=﹣=﹣，则=﹣=﹣，∵AD是BC边上的中线，∴=2=2（﹣），则=+=+2（﹣）=2﹣．故答案为：2﹣．【点评】本题考查了向量的知识，难度适中，解答本题的关键是熟练掌握用平行四边形法则求向量．16．（4分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB为直角，若AB=8，BC=10，则EF的长为1．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】根据三角形的中位线定理求得DE的长，然后根据FD是直角△ABF斜边上的中线，求得FD的长，则EF即可求得．【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∴DE=BC=×10=5，∵∠AFB为直角，D是AB的中点，即FD是直角△ABF的中线，∴FD=AB=×8=4．∴EF=DE﹣FD=5﹣4=1．故答案是：1．【点评】本题考查了三角形的中位线定理以及直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．17．（4分）如图，当小明沿坡度i=1：3的坡面由A到B行走了100米，那么小明行走的水平距离AC=30米．（结果可以用根号表示）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】直接利用坡度的定义得出设BC=x，则AC=3x，进而利用勾股定理得出即可．【解答】解：∵小明沿坡度i=1：3的坡面由A到B行走了100米，∴设BC=x，则AC=3x，故x2+（3x）2=1002，解得：x=10，那么小明行走的水平距离AC=30（m）．故答案为：30．【点评】此题主要考查了坡度和坡角问题以及勾股定理，得出BC的长是解题关键．18．（4分）如图，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，BD平分∠ABC，BD交AC于点D，如果将△ABD沿BD翻折，点A落在点A′处，那么△DA′C的面积为cm2．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，作辅助线；首先运用勾股定理求出AE的长度，进而求出△ABC的面积；求出△DBA′、△CDA′的面积之比；证明△ABD、△A′BD的面积相等，即可解决问题．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E；∵AB=AC，∴BE=CE=3；由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，而AB=5，∴AE=4，；由题意得：，A′B=AB=5，∴CA′=6﹣5=1，∴，∴若设=5λ，故λ+5λ+5λ=12，∴λ=（cm2），故答案为．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质来分析、判断、解答．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：（1+）÷．【考点】分式的混合运算．【分析】首先将括号里面通分，进而将能分解因式进行分解因式，进而化简求出即可．【解答】解：（1+）÷=×=．【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确运算顺序是解题关键．20．（10分）解方程组：．【考点】高次方程．【分析】先将方程组②变形为（x﹣5y）（x+y）=0，再重新构成二元一次方程组，解这两个二元一次方程组即可．【解答】解：原方程变形为：，解得：．【点评】本题考查了消元、降次的方法解二元二次方程组的运用，因式分解的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时将原方程转化为两个二元一次方程组是关键．21．（10分）某品牌电动车经销商一月份销售该品牌电动车100辆，二月份的销售量比一月份增加10%，二月份每辆电动车的售价比一月份每辆电动车的售价低80元，二月份的销售总额比一月份销售总额多12200元，问一月份每辆电动车的售价是多少？【考点】一元一次方程的应用．【分析】首先设一月份每辆电动车的售价是x元，利用二月份的销售总额比一月份销售总额多12200元，进而得出等式求出即可．【解答】解：设一月份每辆电动车的售价是x元，根据题意可得：100x+12200=（x﹣80）×100×（1+10%）解得：x=2100，答：一月份每辆电动车的售价是2100元．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意结合两个月的销售金额得出等式是解题关键．22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．（1）若BE=8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．【分析】（1）根据垂径定理求出DE的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程求出半径；（2）根据OM=OB，证出∠M=∠B，根据∠M=∠D，求出∠D的度数，根据锐角三角函数求出OE的长．【解答】解：（1）设⊙O的半径为x，则OE=x﹣8，∵CD=24，由垂径定理得，DE=12，在Rt△ODE中，OD2=DE2+OE2，x2=（x﹣8）2+122，解得：x=13．（2）∵OM=OB，∴∠M=∠B，∴∠DOE=2∠M，又∠M=∠D，∴∠D=30°，在Rt△OED中，∵DE=12，∠D=30°，∴OE=4．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理和圆周角定理的综合运用，灵活运用定理求出线段的长度、列出方程是解题的关键，本题综合性较强，锻炼学生的思维能力．23．（12分）如图，已知在正方形ABCD中，点E在CD边长，过C点作AE的垂线交于点F，联结DF，过点D作DF的垂线交A于点G，联结BG．（1）求证：△ADG≌△CDF；（2）如果E为CD的中点，求证：BG⊥AF．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据正方形性质和垂直求出AD=CD，∠ADE=∠GDF=90°，求出∠ADG=∠CDF，∠DAG=∠DCF，根据ASA推出两三角形全等即可；（2）设正方形ABCD的边长为a，求出DE=EC=a，在Rt△ADE中，由勾股定理求出AE=a，证△ADE∽△CFE，求出CF=2EF，由勾股定理求出EF=a，CF=a，求出AG=CF=a，=，证△ABG∽△EAD，推出∠BGA=∠ADE即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，DG⊥DF，∴AD=CD，∠ADE=∠GDF=90°，∴∠ADG=∠CDF=90°﹣∠GDE，∵AF⊥CF，∴∠EFC=∠ADE=90°，∵∠AED=∠CEF，∴由三角形内角和定理得：∠DAG=∠DCF，在△ADG和△CDF中∴△ADG≌△CDF；（2）设正方形ABCD的边长为a，∵E为CD的中点，∴DE=EC=a，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE==a，∵∠ADE=∠CFE，∠AED=∠FEC，∴△ADE∽△CFE，∴===2，∴CF=2EF，∵CE=a，∠EFC=90°，∴由勾股定理得：EF=a，CF=a，∵△ADG≌△CDF，∴AG=CF=a，即=，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠BAG=∠AED，∴△ABG∽△EAD，∴∠BGA=∠ADE，∵∠ADE=90°，∴∠BGA=90°，∴BG⊥AF．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，此题综合性比较强，难度偏大．24．（12分）如图，二次函数y=﹣x2+bx的图象与x轴的正半轴交于点A（4，0），过A点的直线与y轴的正半轴交于点B，与二次函数的图象交于另一点C，过点C作CH⊥x轴，垂足H，设二次函数图象的顶点为D，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点E和点F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果CE=3BC，求点B的坐标；（3）如果△DHE是以DH为底边的等腰三角形，求点E的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；（2）利用平行线分线段成比例定理得出HO=，CH=，进而得出BO的长即可得出答案；（3）利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出EF的长即可得出答案．【解答】解：（1）将A（4，0），代入y=﹣x2+bx得：0=﹣16+4b，解得：b=4，故y=﹣x2+4x；（2）∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴D（2，4），则FO=2，∵BO∥HC∥EF，∴==3，∴HO=，CH=，由=得，BO=2，则B（0，2）；（3）连接EH，DH，当△DHE是等腰三角形，DH为底，则HE=DE，设OH=a，CH=﹣a2+4a由=，即=，得：EF=2a，故DE=HE=4﹣2a，由EH2=EF2+FH2得，（4﹣2a）2=（2a）2+（2﹣a）2，解得：a=4﹣6（负数舍去），故E（2，8﹣12）．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，正确应用勾股定理以及数形结合求出是解题关键．25．（14分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=3，sin∠BCD=，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，重足为H．（1）求证：∠BCD=∠BDC；（2）如图1，若以P为圆心，PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，DP 的长；（3）如图2，点E在BC延长线上，且满足DP=CE，PE交DC于点F，若△ADH和△ECF相似，求DP的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）作DQ⊥BC，在直角△CDQ中利用三角函数即可求解；（2）设DP=x，当⊙P与⊙H外切时，PH=DH+BP，据此即可列方程求得；（3）作PM∥BE，分△ADH∽△FCE和△ADH∽△ECF两种情况进行讨论，依据相似三角形的对应边的比相等求解．【解答】解：（1）作DQ⊥BC，∵BQ=AD=3，DQ=AB=4，∴CD==2，CQ=2，∴BC=5=BD，∴∠BCD=∠BDC；（2）设DP=x，则DH=x，PH=x，BP=5﹣x．当⊙P与⊙H外切时，PH=DH+BP，即x=x+5﹣x，解得：x=；（3）作PM∥BE．则PM=DP=x，DH=HM=x，由==1，CF=FM=﹣x，当△ADH∽△FCE时，，即=，解得：x=﹣10（舍去）．当△ADH∽△ECF时，=，即=，解得：x=．∴DP的长是．【点评】本题考查了三角函数以及相似三角形的判定与性质和圆外切的性质，正确分成△ADH∽△FCE和△ADH∽△ECF两种情况进行讨论，求得x的值是关键．2015年松江区初中毕业生学业模拟考试语文试卷（满分150分，考试时间100分钟）2015.4考生注意：本试卷共27题。
2015年上海中考数学二模24题整理
已知B ：在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax 2 + x 的对称轴为直线 x =2，顶点为 A ．（1）求抛物线的表达式及顶点 A 的坐标； A点 P 24 题 y = ( x - m )2 + n 的顶点 D 在直线 AB 上，与 y 轴的交点为 C 。
动点之角度(2015 二模 崇明)24．（本题满分 12 分，每小题各 6 分）如图，已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过点 A (0, - 4) ，点 B (-2, 0) ，点 C (4, 0) ．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点 M 在 y 轴上， ∠OMB + ∠OAB = ∠ACB ，求点 M 的坐标．yy(2015 二模 奉贤)24．（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 8 分）B OC x O C xA（备用图）（2）（第为抛物线对称轴上一点，联结 OA 、OP ．x图）①当 OA ⊥OP 时，求 OP 的长；②过点 P 作 OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点 B ，联结 OB ，当∠OAP =∠OBP 时，求点 B 的坐标．(2015 二模 杨浦)24．(本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第 （3）小题 4 分，)已知：在直角坐标系中，直线 y =x +1 与 x 轴交与点 A ，与 y 轴交与点 B ，抛物线12（1）若点 C （非顶点）与点 B 重合，求抛物线的表达式；y（2）若抛物线的对称轴在y轴的右侧，且CD⊥AB，求∠CAD的正切值；（3）在第（2）的条件下，在∠ACD的内部作射线CP交抛物线的对称轴于点P，使得∠DCP=∠CAD，求点P的坐标。
动点之相似(2015二模宝山嘉定)24．（本题满分12分，每小题满分各4分）已知平面直角坐标系xOy（图9），双曲线y=k(k≠0)与直线y=x+2都经过点xA(2,m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n,2)，过点B的直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y=x+2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．y(2015二模金山)24．（本题满分12分）已知抛物线y=ax2+bx-8(a≠0)经过A(-2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx-8(a≠0)的解析式，并求出顶点P的坐标；（2）求∠APB的正弦值；B A 如图，在直角坐标系 xOy 中，抛x 物线 y = ax O 2 - 2ax + c 与 x 轴的正半轴相x 交于点 A 、与 y 轴 （3）直线 y = kx + 2 与 y 轴交于点 N ，与直线 AC 的交点为 M ，当 ∆MNC 与 ∆AOC 相似时，求点 M 的坐标．动点之面积(2015 二模 黄浦)24. （本题满第（1）小题满分 3 分，第（2） 分 12 分，小题满分 4分，第（3）小题满分 5 分）如图 7，在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A 的坐标为（a ，3）（其中a >4)，射线 OA与反比例函数y = 12 的图像交于点 P ，点 B 、C 分别在函数y = 12 的图像上，且 AB //x 轴，xxAC //y 轴．（1）当点 P 横坐标为 6，求直线 AO 的表达式；（2）联结 BO ，当 AB = BO 时，求点 A 坐标；（3）联结 BP 、CP ，试猜想：S ∆ABP 的值是否随 a 的变化而变化？如果不变，求出 S ∆ABP 的SS∆ACP∆ACP值；如果变化，请说明理由．(2015 二模 静安青浦)24．（本题满分 12 分，第（1）小题满分 8 分，第（2）小题满分 4 分）PCO 图7的正半轴相交于点 B ，它的对称轴与 x 轴相交于点 C ，且∠OBC =∠OAB ，AC =3．（1）求此抛物线的表达式；如图，已知抛物线 y = x 2 - 2tx + t 2 - 2 的顶点 A 在第四象限，过点 A 作 AB ⊥y 轴于点 B ，A (-1,0)，B (4,0 )，C (0,2 )．点D 是点 C 关于原点的对称C 点A ，联结 B D ，点E 是 x 轴上的E （2）如果点 D 在此抛物线上，DF ⊥OA ，垂足为 F ，DF 与线段 AB 相交于点G ，且 S∆ADG : S∆AFG= 3 : 2 ，求点 D 的坐标．y(2015 二模 长宁)24．（本题满分 12 分）BCC 是线段 AB 上一点(不与 A 、B 重合)，过点 C 作 CD ⊥x 轴于点 D ，并交抛物线于点 P .（1）若点 C 的横坐标为 1，且是线段 AB 的中点，求点 P 的坐标；（2）若直线 AP 交 y 轴负半轴于点 E ，且 AC =CP ，求四边形 OEPD 的面积 S 关于 t 的函数解析式，并写出定义域；（3）在（2）的条件下，当△ADE 的面积等于 2S 时 ，求 t 的值.y动点之直角、等腰三角形存在性DO x(2015 二模 普陀 ) 如图10，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图像经过点 PB一个动点，设点 E 的坐标为(m , 0)，过点 E 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 P ．第 24 题（1）求这个二次函数的解析式；图（2）当点E 在线段 OB 上运动时，直线 l 交 BD 于点 Q ．当四边形CDQP 是平行四边形时，求 m 的值；（3）是否存在点 P ，使△ B DP 是不以 BD 为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．y y(2015二模松江)24．（本题满分12分，每小题各4分）C C如图，二次函数y=-x2+bx的图像与x轴的正半轴交于点A（4，0），过A点的直线与A OB x A O B xy轴的正半轴交于点B，与二次函数的图像交于另一点C，过点C作CH⊥x轴，垂足为H．设二次函数图像的顶点为D，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点E和点F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果CE=3BC，求点B的坐标；（3）如果△DHE是以DH为底边的等腰三角形，求点E的坐标．动点之梯形(2015二模徐汇)24．如图，在平面直角坐中，O为坐标原点，开口向上的抛物线与x点A（－1，0）和点B（3，0），D为抛物线的直线AC与抛物线交于点C（5，6）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，且∆AEC和∆AED相似，求点E的坐标；标系轴交于顶点，（3）若直角坐标平面中的点F和点A、C、D构成求点F的坐标．其他直角梯形，且面积为16，试（(2015 二模 闵行)24．（本题满分 12 分，其中每小题各 4 分）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2 - 2ax - 4 与 x 轴相交于 A 、B 两点，与 y 轴相交于点 C ，其中点 A 的坐标为（-3，0）．点 D 在线段 AB 上，AD = AC ．（1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以 DB 为半径的圆 D 与圆 C 外切，求圆 C 的半径；（3）设点 M 在线段 AB 上，点 N 在线段 BC 上．如果线段 MN 被直线 CD 垂直平分，求BN 的值． CN(2015 二模 浦东)24． 本题满分 12 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 5 分） 已知：如图，直线 y =kx +2 与 x 轴的正半轴相交于点 A（t ,0）、与 y 轴相交于点 B ，抛物线 y = - x 2 + bx + c 经过点 A 和点 B ，点 C 在第三象限内，且 AC ⊥AB ，tan∠ACB = 1 ．2（1）当 t =1 时，求抛物线的表达式；（2）试用含 t 的代数式表示点 C 的坐标；（3）如果点 C 在这条抛物线的对称轴上，求 t2020-2-8的值．。
2015年上海各区中考数学二模压轴题24、25题图文解析
《2015年上海各区中考数学二模压轴题图文解析》目录2015年上海各区中考数学二模第24、25题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第24、25题图文解析/2例2 2015年奉贤区中考数学二模第24、25题图文解析/6例3 2015年虹口区中考数学二模第24、25题图文解析/10例4 2015年黄浦区中考数学二模第24、25题图文解析14例5 2015年金山区中考数学二模第24、25题图文解析/18例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第24、25题图文解析/22例7 2015年闵行区中考数学二模第24、25题图文解析/26例8 2015年浦东新区中考数学二模第24、25题图文解析/30例9 2015年普陀区中考数学二模第24、25题图文解析34例10 2015年松江区中考数学二模第24、25题图文解析38例11 2015年徐汇区中考数学二模第24、25题图文解析42例12 2015年杨浦区中考数学二模第24、25题图文解析/46例13 2015年长宁区中考数学二模第24、25题图文解析/50例14 2015年崇明县中考数学二模第24、25题图文解析/54例15 2015年闸北区中考数学二模第24、25题图文解析/592015年上海各区中考数学二模第18题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第18题图文解析/63例2 2015年奉贤区中考数学二模第18题图文解析/64例3 2015年虹口区中考数学二模第18题图文解析/615例4 2015年黄浦区中考数学二模第18题图文解析/66例5 2015年金山区中考数学二模第18题图文解析/67例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第18题图文解析/68例7 2015年闵行区中考数学二模第18题图文解析/69例8 2015年浦东新区中考数学二模第18题图文解析/70例9 2015年普陀区中考数学二模第18题图文解析/71例10 2015年松江区中考数学二模第18题图文解析/72例11 2015年徐汇区中考数学二模第18题图文解析/73例12 2015年杨浦区中考数学二模第18题图文解析/74例13 2015年长宁区中考数学二模第18题图文解析/75例14 2015年崇明县中考数学二模第18题图文解析/76例15 2015年闸北区中考数学二模第18题图文解析/77例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线kyx=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B(n, 2)，代入8yx=，得n＝4．所以点B的坐标为(4, 2)．设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．所以点C的坐标为(0,－2)．由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°．图22所以S△ABC＝12BA BC⋅＝122422⨯⨯＝8．（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210．由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：①如图3，当CE ADCA AC=时，CE＝AD＝22．此时△ACD≌△CAE，相似比为1．②如图4，当CE ACCA AD=时，21021022CE=．解得CE＝102．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．图54例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第25题在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结AE ．过点E 作直线EM 与射线CB 垂直，交点为M ．（1）若点M 与点B 重合（如图1），求cot ∠BAE 的值；（2）若点M 在边BC 上（如图2），设边长AC ＝x ，BM ＝y ，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）若∠BAE ＝∠EBM ，求斜边AB 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定25”，拖动点A 上下运动，可以体验到，△ABE 保持等腰三角形，∠BAE ＝∠EBM 按照点M 与点B 的位置关系存在两种情况． 思路点拨1．第（1）题的特殊性是∠DEB ＝∠CAB ＝∠EBD ，△EDB 是等腰直角三角形．2．第（1）题暗示了第（2）题中蕴含着三个等角，因此寻找相似三角形．3．第（3）题∠BAE ＝∠EBM 要分两种情况考虑，各有各的特殊性．满分解答（1）如图3，当点M 与点B 重合时，EB //AC ．所以∠CAB ＝∠EBD ．又因为旋转前后∠CAB ＝∠DEB ，所以∠EBD ＝∠DEB ．所以△EDB 和△ACB 是等腰直角三角形．已知BC ＝2，所以AC ＝2，AB ＝22． 在Rt △AED 中，ED ＝2，AD ＝222-，所以cot ∠BAE ＝AD ED＝2222-＝21-．图3 图4（2）在Rt △ABC 中，BC ＝2，AC ＝x ，所以AB ＝24x +． 如图4，设EM 与AB 交于点F ．由FM //AC ，得BM BF BC BA =，即224y BFx =+．所以BF ＝242y x +． 由于BD ＝BC ＝2，所以DF ＝2422y x +-． 由∠DEB ＝∠CAB ＝∠DFE ，∠EDB 是公共角，得△DEB ∽△DFE ．所以DE 2＝DF ·DB ，即2242(2)2y x x +=-．整理，得2244x y x -=+． 定义域是0＜x ＜2．（3）已知BA ＝BE ，所以∠BAE ＝∠BEA ．当∠BAE ＝∠EBM 时，∠BAE ＝∠BEA ＝∠EBM ．按照M 、B 的位置分两种情况： ①如图5，当M 在B 右侧时，由∠BEA ＝∠EBM ，得AE //CM ．此时∠BAE ＝∠ABC ．又已知∠ABC ＝∠EBD ，所以∠ABC ＝∠EBD ＝∠EBM ＝60°．在Rt △ABC 中，AB ＝2BC ＝4．②如图6，当M 在B 左侧时，在△BAE 中，∠BAE ＝∠BEA ＝2∠ABE ．所以∠ABE ＝36°，∠BAE ＝∠BEA ＝72°．延长EA 交BC 的延长线于G ，那么∠G ＝36°，AG ＝AB ，GE ＝GB ＝2CB ＝4． 由于点A 是GE 的黄金分割点，所以512AG GE -=．所以AB ＝AG ＝252-．图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，我们直接应用了黄金分割数，也可以用相似比来解． 由∠BAE ＝∠BEA ＝∠MBE ，容易得到GB ＝GE ＝4，AG ＝AB ＝BE ．由△GBE ∽△BAE ，得到EB 2＝EA ·EG ．设AB ＝BE ＝m ．于是得到24(4)m m =-．整理，得m 2＋4m －16＝0．解得252m =．6例 2015年上海市奉贤区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋x 的对称轴为直线x ＝2，顶点为A ．（1）求抛物线的表达式及顶点A 的坐标；（2）点P 为抛物线对称轴上一点，联结OA 、OP ．①当OA ⊥OP 时，求OP 的长；②过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ，联结OB ，当∠OAP ＝∠OBP 时，求点B 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤24”，拖动点P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，△BNP ∽△PMO 保持不变，当∠OAP ＝∠OBP 时，△BOP ∽△AOH ． 思路点拨1．根据等角的余角相等，通过已知的等角寻找未知的等角．2．过直角顶点P 向坐标轴画垂线，可以构造相似的直角三角形，于是通过对应边成比例，可以列方程．满分解答（1）由抛物线的对称轴为122x a =-=，可得14a =-． 所以抛物线的表达式为2211(2)144y x x x =-+=--+． 顶点A 的坐标为(2, 1)．（2）①如图2，设AP 与x 轴交于点H ．由A (2, 1)，可得tan ∠OAH ＝2．当OA ⊥OP 时，∠POH ＝∠OAH ．所以tan ∠POH ＝PH OH＝2． 因此PH ＝2OH ＝4．所以OP ＝25． 图2②如图3，当∠OAP ＝∠OBP 时，tan ∠AOH ＝tan ∠BOP ．所以2PO HO PB HA==．如图4，过点P 作PM ⊥y 轴于M ，过点B 作x 轴的垂线交直线PM 于N ．由△OMP ∽△PNB ，得2OM MP PO PN NB BP===．所以OM ＝2PN ，MP ＝2NB ． 设21(,)4B x x x -+，P (2, n )，那么2(2)n x -=-，2122()4x x n =-+-． 将n ＝4－2x 代入2114x x n -+-=，整理，得x 2－12x ＋20＝0． 解得x ＝10，或x ＝2（B 与A 重合，舍去）．所以点B 的坐标为(10, －15)．图3 图4考点伸展如果应用四点共圆的知识，结合勾股定理，那么第（2）②题可以这样做：如图3，当∠OAP ＝∠OBP 时，A 、B 、P 、O 四点共圆．此时∠OAB ＝∠OPB ＝90°．所以OB 2＝OA 2＋AB 2．设21(,)4B x x x -+，那么22222211()5(2)(1)44x x x x x x ⎡⎤+-+=+-+-+-⎢⎥⎣⎦． 整理，得x 2－12x ＋20＝0．解得x ＝10，或x ＝2．所以B (10, －15)．例 2015年上海市奉贤区中考模拟第25题如图1，已知线段AB＝8，以A为圆心，5为半径作⊙A，点C在⊙A上，过点C作CD//AB 交⊙A于点D（点D在点C右侧），联结BC、AD．（1）若CD＝6，求四边形ABCD的面积；（2）设CD＝x，BC＝y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）设BC的中点为M，AD的中点为N，线段MN交⊙A于点E，联结CE，当CD取何值时，CE//AD．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤25”，拖动点C在圆上运动，可以体验到，当CE//AD 时，四边形CEND是平行四边形，四边形CEAN是平行四边形，四边形CF AG是矩形．思路点拨1．已知△ABC的三边长分别为5，8，y，构造AB边上的高CK，那么CK为两个直角三角形的公共直角边，根据勾股定理列方程，可以得到y关于x的关系式．2．当CE//AD时，注意到CE与AN、DN的关系都是平行且相等．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ACD中，AC＝AD＝5，CD＝6，所以CH＝DH＝3．所以AH＝4．所以S梯形ABCD＝1()2CD AB AH+⨯＝1(68)42+⨯＝28．图2 图3（2）如图3，作CK⊥AB，垂足为K，那么四边形CKAH为矩形．在△ACD中，AC＝AD＝5，CH＝DH＝12 x．8在△ABC 中，BC ＝y ，AC ＝5，AK ＝12x ，BK ＝182x -． 由CK 2＝BC 2－BK 2＝AC 2－AK 2，得222211(8)5()22y x x --=-． 整理，得898y x =-．自变量x 的取值范围是0＜x ＜10．（3）如图4，已知MN 是梯形ABCD 的中位线，MN //CD ，当CE //AD 时，四边形CEND 是平行四边形，此时CE ＝DN ＝12AD ＝52． 由CE //NA ，CE ＝NA ，得四边形CEAN 是平行四边形．所以CN ＝EA ＝CA ＝5．作CG ⊥AN 于G ，那么AG ＝12AN ＝14AD ＝54．所以DG ＝515544-=． 在Rt △CAG 中，AG ＝54，CA ＝5，由勾股定理，得CG ＝5154． 在Rt △CDG 中，CG ＝5154，DG ＝154，由勾股定理，得CD ＝562．图4 图5考点伸展第（3）题还可以用相似比来解：如图5，设直线AE 与DC 的延长线交于点P ，与⊙A 交于点Q ，那么CE 是△P AD 的中位线，因此PC ＝CD ＝x ，PE ＝EA ＝AQ ＝5．由CE //DA ，得∠1＝∠3，∠2＝∠4．又因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠4．于是可得∠Q ＝∠5＝∠6．由△PCE ∽△PQD ，得PC PQ PE PD =．所以1552x x =．解得562x = 由△PDA ∽△PQD ，得PD PQ PA PD =．所以215102x x =．解得562x =例 2015年上海市虹口区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－1,0)、B(3,0)、C(2, 3)三点，与y轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC、CB，直线y＝4x＋m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口24”，拖动点P运动，可以体验到，经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．拖动点F在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，以A、B、C、F为顶点的梯形有3个．思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，设两点式比较简便．2．经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．3．过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线，三条直线与抛物线的对称轴的3个交点，就是符合条件的点F．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)．将点C(2, 3)代入，得3＝－3a．解得a＝－1．所以抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.对称轴是直线x＝1．（2）如图2，由C(2, 3)、D(0, 3)，得CD//x轴．所以四边形ABCD是梯形．经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．梯形ABCD的中位线的中点为3(1,)2，将点3(1,)2代入y＝4x＋m，得m＝52．（3）符合条件的点F有3个，坐标分别为(1, 3)，(1,－2)，(1,－6)．10图2 图3考点伸展第（3）题这样解：过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线，三条直线与抛物线的对称轴的3个交点，就是符合条件的点F．①如图3，当CF//AB时，点F的坐标是(1, 3)．②如图4，当BF//AC时，由tan∠CAM＝tan∠FBH，得CM FHAM BH=．所以332FH=．解得FH＝2．此时点F的坐标为(1,－2)．③如图5，当AF//CB时，由tan∠CBM＝tan∠F AH，得CM FHBM AH=．所以312FH=．解得FH＝6．此时点F的坐标为(1,－6)．图4 图512例 2015年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，CD //AB ，点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE 交边BC 于F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．（1）当CE ＝3时，求S △CEF ∶S △CAF 的值；（2）设CE ＝x ，AE ＝y ，当CG ＝2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）当AC ＝5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口25”，拖动直角顶点C 运动，可以体验到，CG ＝2GB 保持不变，△ABC 的形状在改变，EA ＝EM 保持不变．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动E 在射线CD 上运动，可以体验到，△AEG 可以两次成为直角三角形． 思路点拨1．第（1）题中的△CEF 和△CAF 是同高三角形，面积比等于底边的比．2．第（2）题中的△ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．3．第（3）题中的直角三角形AEG 分两种情况讨论．满分解答（1）如图2，由CE //AB ，得313EF CE AF BA ==． 由于△CEF 与△CAF 是同高三角形，所以S △CEF ∶S △CAF ＝3∶13．（2）如图3，延长AG 交射线CD 于M ． 图2由CM //AB ，得2CM CG AB BG==．所以CM ＝2AB ＝26． 由CM //AB ，得∠EMA ＝∠BAM ．又因为AM 平分∠BAE ，所以∠BAM ＝∠EAM ．所以∠EMA ＝∠EAM ．所以y ＝EA ＝EM ＝26－x ．图3 图4（3）在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝5，所以BC＝12．①如图4，当∠AGE＝90°时，延长EG交AB于N，那么△AGE≌△AGN．所以G是EN的中点．所以G是BC的中点，BG＝6．②如图5，当∠AEG＝90°时，由△CAF∽△EGF，得FC FA FE FG=．由CE//AB，得FC FB FE FA=．所以FA FBFG FA=．又因为∠AFG＝∠BF A，所以△AFG∽△BF A．所以∠F AG＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．作GH⊥AH，那么BH＝AH＝132．在Rt△GBH中，由cos∠B＝BHBG，得BG＝132÷1213＝16924．图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，当∠AEG＝90°时的核心问题是说理GA＝GB．如果用四点共圆，那么很容易．如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到∠2＝∠4．上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7，当∠AEG＝90°时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt △AEG斜边上的中线，所以PC＝PE＝P A＝PG．所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．如图8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°－2(∠4＋∠5)，又因为∠CPE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．图7 图814例 2015年上海市黄浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(a , 3)（其中a ＞4），射线OA 与反比例函数12y x =的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x =的图像上，且AB //x 轴，AC //y 轴．（1）当点P 的横坐标为6时，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB ＝BO 时，求点A 的坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想ABP ACP S S △△的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABPACPS S △△的值；如果变化，请说明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦24”，拖动点A 在点B 右侧运动，观察度量值，可以体验到，△ABP 与△ACP 的面积保持相等．事实上，四边形ABDC 是矩形，△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形．思路点拨1．点B 是确定的，点C 、P 随点A 的改变而改变．2．已知a ＞4隐含了点A 在点B 的右侧这个条件．满分解答（1）如图1，当x ＝6时，12y x=＝2．所以点P 的坐标为(6, 2)． 由O (0, 0)、P (6, 2)，得直线AO 的解析式为13y x =． （2）如图2，因为AB //x 轴，A (a , 3)，所以点B 的纵坐标为3．又因为点B 在反比例函数12y x=的图像上，所以B (4, 3)．因此OB ＝5． 所以当AB ＝BO ＝5时，点A 的坐标为(9, 3)．（3）如图3，过点B 向x 轴作垂线交OA 于点D ，联结CD ．由于直线OA 的解析式为3y x a =，所以点D 的坐标为12(4)a，．由于AC //y 轴，所以点C 的坐标为12()a a ，． 所以CD //x 轴．因此四边形ABDC 是矩形． 所以点B 、C 到对角线AP 的距离相等．因此△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形，它们的面积相等．所以ABP ACPS S △△＝1．图2 图3考点伸展第（3）题也可以这样说理：如图3，ABP ABD S S △△＝AP AD ，ACP ACD S S △△＝AP AD，而S △ABD ＝S △ACD ，所以ABP ACP S S △△＝1． 第（3）题还可以计算说理：如图4，作PM ⊥AB 于M ，作PN ⊥AC 于N ．设点P 的坐标为12()m m ，．将点P 12()m m，代入直线OA 的解析式3y x a=，可以得到24m a =． 于是，由A (a , 3)、B (4, 3)、C 12()a a ，、P 12()m m，，可得 S △ABP ＝12AB PM ⋅＝112(4)(3)2a m --＝3416(4)2a a m m--+＝2316(4)24m m m --+， S △ACP ＝12AC PN ⋅＝112(3)()2a m a --＝34(4)2m a m a--+＝2316(4)24m m m --+． 所以S △ABP ＝S △ACP ．而事实上，如图5，由于S 1＝S 2，所以S △ABO ＝S △ACO ．所以B 、C 到AO 的距离相等．于是△ABP 与△ACP 就是同底等高的三角形．图4 图5例 2015年上海市黄浦区中考模拟第25题如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是斜边AB上的高，点E 为边AC上一点（点E不与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE 分别交于点F、G．（1）求线段CD、AD的长；（2）设CE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线段CE的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦25”，拖动点E在AC边上运动，可以体验到，△EFG 与△CDG相似存在两种情况．一种情况是FC垂直平分DE，另一种情况是EF⊥AB．思路点拨1．图形中的垂直关系较多，因此互余的角较多，相等的角较多．把相等的角都标注出来，便于分析题意．2．求y关于x的函数关系式，设法构造相似三角形．3．△EFG与△CDG都是直角三角形，分两种情况讨论相似．按照对应的锐角相等，可以推出相似时的特殊的位置关系．满分解答（1）在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，所以AB＝4，AC＝23．在Rt△ACD中，∠A ＝30°，AC＝23，所以CD＝3，AD＝3．（2）如图2，∠CDE与∠BFC都是∠EDF的余角，所以∠CDE＝∠BFC．又因为∠DCE＝∠B＝60°，所以△CDE∽△BFD．所以CD BFCE BC=，即312yx+=．整理，得23xyx-=．定义域是32≤x＜23．图2（3）△EFG与△CDG都是直角三角形，分两种情况讨论相似：①如图3，当∠FEG＝∠DCG时，由于∠FDG＝∠DCG，所以∠FEG＝∠FDG．因此FE＝FD．所以FC垂直平分DE．此时CE＝CD＝3．16②如图4，当∠FEG＝∠CDG时，EF//CD．此时EF⊥AB．作EH⊥CD于H，那么四边形EFDH是矩形，DF＝HE．所以y＝32x．解2332xxx-=，得3393x-±=．此时3933CE-=．图3 图4考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图5，过点E作EH⊥CD，垂足为H．在Rt△CEH中，∠CEH＝30°，CE＝x，所以CH＝12x，EH＝32x．如图6，由tan∠DEH＝tan∠DCF，得13(3)::322x x y-=．整理，得23xyx-=．图5 图6 图7 第（2）题还可以如图6这样，过点C作AB的平行线交DE的延长线于M．由tan∠M＝tan∠DCF，得CD DFCM DC=．所以CM＝23CDDF y=．由MC//AD，得CM CEAD AE=．所以323xCMx=-．由3323xy x=-，得23xyx-=．定义域的两个临界值，如图8，CE＝12CD＝32；如图9，CE＝CA＝23．图8 图9例 2015年上海市金山区中考模拟第24题已知抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）经过A(－2,0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）的解析式，并求出顶点P的坐标；（2）求∠APB的正弦值；（3）直线y＝kx＋2 与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似时，求点M的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山24”，拖动点M在AC上运动，可以体验到，△MNC 与△AOC相似存在两种情况．思路点拨1．用面积法求等腰三角形P AB的腰上的高，进而可以求顶角的正弦值．2．探求△MNC与△AOC相似，可以转化为探求直角三角形MNC．满分解答（1）因为抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A(－2,0)、B(4, 0)两点，设y＝a(x＋2)(x－4)＝ax2－2ax－8a．所以－8a＝－8．解得a＝1．所以y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9．所以顶点P的坐标为(1,－9)．（2）如图2，由A(－2,0)、B(4, 0)、P(1,－9)，得AB＝6，PB＝P A＝310．作PG⊥AB，AH⊥PB，垂足分别为G、H．由S△P AB＝1122AB PG PB AH⋅=⋅，得699105310AB PGAHPB⋅⨯===．在Rt△APH中，sin∠APB＝910331055AHPA=÷=．图2 （3）由y＝kx＋2，得点N的坐标为(0, 2)．由A(－2,0)、C(0, －8)，得直线AC的解析式为y＝－4x－8．因为△MNC与△AOC有公共的锐角∠ACO，所以分两种情况讨论相似：18①如图3，当∠MNC＝90°时，14NM OANC OC==．所以1105442NM NC===．此时点M的坐标为5(,2)2-．②如图4，当∠NMC＝90°时，过点M作x轴的垂线，过点N、C分别作y轴的垂线，构造直角三角形NEM和直角三角形MFC，那么△NEM∽△MFC．所以EN FM EM FC=．设点M的坐标为(x, －4x－8)，那么(48)(8)2(48)x xx x-----=----．解得4017x=-．此时点M的坐标为4024(,)1717-．图3 图4 图5考点伸展第（3）题也可以这样解：①如图3，当∠MNC＝90°时，MN//x轴，所以y M＝2．解方程－4x－8＝2，得52x=-．此时点M的坐标为5(,2)2-．②如图5，当∠NMC＝90°时，设直线NM交x轴于K，那么△NOK≌△AOC．所以OK＝OC＝8．所以直线NM的解析式为124y x=+．联立y＝－4x－8和124y x=+，解得4017x=-，2417y=．此时M4024(,)1717-．例 2015年上海市金山区中考模拟第25题如图1，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠B＝43．（1）求BC的长；（2）点D、E 分别是AB、AC的中点，不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不与点B、C重合），且点N始终在点M的右边，联结DN、EM交于点O．设MN＝x，四边形ADOE的面积为y．①求y与x的函数关系式，并写出定义域；②当△OMN是等腰三角形且BM＝1时，求MN的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山25”，拖动点N在MC上运动，可以体验到，等腰三角形OMN存在两种情况．思路点拨1．把四边形ADOE分割为△ADE和△DOE，△DOE与△NOM是相似的．2．分三种情况讨论等腰三角形OMN，其中NM＝NO是不存在的．满分解答（1）如图2，作AF⊥BC，垂足为F．在Rt△ABF中，AB＝10，tan∠B＝43，设BF＝3m，AF＝4m，那么AB＝5m．所以5m＝10．解得m＝2．所以BF＝6，AF＝8．因为AB＝AC，AF⊥BC，所以BC＝2BF＝12．图2（2）①如图3，S△ABC＝1112848 22BC AF⋅=⨯⨯=．因为DE是△ABC的中位线，所以DE＝12BC＝6，S△ADE＝14S△ABC＝12．过点O作BC的垂线，垂足为H，交DE于G，那么GH＝12AF＝4．由DE//BC，得DE GONM HO=，即64GOx GO=-．所以246GOx=+．因此S△DOE＝11247262266 DE GOx x⋅=⨯⨯=++．所以y＝S四边形ADOE＝S△ADE＋S△DOE＝7212144 1266xx x++=++．定义域是0＜x＜12．②如图4，作EQ⊥BC，垂足为Q．在Rt△ECQ中，EC＝5，所以EQ＝4，CQ＝3．20在Rt△EMQ中，MQ＝11－3＝8，EQ＝4，所以EM＝45．如图5，在Rt△DMP中，DP＝4，MP＝3－1＝2，所以DM＝25．图3 图4 图5 因为△OMN∽△OED，所以讨论等腰△OMN可以转化为讨论等腰△OED．（I）如图6，当OM＝ON时，OE＝OD．此时点O在ED的垂直平分线上．所以BN＝CM＝11．此时MN＝22－12＝10．．（II）如图7，当MO＝MN时，EO＝ED＝6．此时MN＝MO＝45x（III）如果NM＝NO，那么DO＝DE＝6．如图8，因为DM＝25＜6，所以以D为圆心，DE为半径的⊙D与线段ME只有一个交点E，因此不存在NM＝NO的情况．图6 图7 图8考点伸展我们把图8局部放大，如图9，⊙D与直线ME的两个交点为E、O，此时点O在EM的延长线上，点N与点B重合，在点M的左侧，NO＝NM．图922例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，它的对称轴与x 轴交于点C ，且∠OBC ＝∠OAB ，AC ＝3．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D 在此抛物线上，DF ⊥OA ，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且32ADG AFG S S =△△，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦24”，拖动点D 在抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，DG 与GF 的比值可以等于1.5，此时点D 的横坐标为3．思路点拨1．抛物线的解析式中待定两个系数，需要代入A 、B 两点的坐标列方程组．2．△ADG 与△AFG 是同高三角形，面积比等于对应的底边的比．3．把DG ∶GF ＝3∶2转化为GF ∶DF ＝2∶5，运算就简便一些．满分解答（1）由y ＝ax 2－2ax ＋c ，得抛物线的对称轴是直线x ＝1．因为AC ＝3，所以点A 的坐标为(4,0)．如图2，由∠OBC ＝∠OAB ，∠BOC ＝∠AOB ，得△BOC ∽△AOB ．于是可得OB 2＝OC ·OA ＝4．所以OB ＝2，B (0, 2)．将A (4,0)、B (0, 2)分别代入y ＝ax 2－2ax ＋c ，得1680,2.a a c c -+=⎧⎨=⎩ 解得14a =-，c ＝2．所以抛物线的表达式是211242y x x =-++．图2 图3（2）如图3，因为△ADG 与△AFG 是同高三角形，所以32ADG AFG S DG S GF ==△△． 所以25GF DF =． 由A (4,0)、B (0, 2)，得直线AB 的解析式为122y x =-+． 设D 211(,2)42x x x -++，G 1(,2)2x x -+，那么21222115242x x x -+=-++ 解得x ＝3，或x ＝4（与A 重合，舍去）．所以点D 的坐标是5(3,)4． 考点伸展第（2）题凭直觉，△ADG 的面积总要比△AFG 的面积小，但是32ADG AFG S S =△△确实是有解的． 我们分析一下方程21222115242x x x -+=-++，等号左边是可以化简、约分的． 因为1(4)222125(2)(4)4x x x x --==+-+-，所以原分式方程总有一个增根x ＝4，另一个就是一元一次方程的根．24例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第25题 在⊙O 中，OC ⊥弦AB ，垂足为C ，点D 在⊙O 上．（1）如图1，已知OA ＝5，AB ＝6，如果OD //AB ，CD 与半径OB 相交于点E ，求DE 的长；（2）已知OA ＝5，AB ＝6（如图2），如果射线OD 与AB 的延长线相交于点F ，且 △OCD 是等腰三角形，求AF 的长；（3）如果OD //AB ，CD ⊥OB ，垂足为E ，求sin ∠ODC 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦25”，拖动点C 运动，观察度量值，可以体验到，当CD ⊥OB 时，sin ∠ODC 的值就是黄金分割数啊．思路点拨1．反反复复的勾股定理和三角比的运算，要仔细哦．2．第（2）题等腰三角形OCD 只存在两种情况，因为OC ＜OD ．3．第（3）题中的所有直角三角形都是相似的．怎样简化错综复杂的线段间的关系呢？设⊙的半径为1，设sin ∠ODC ＝x ，然后把其他线段用x 表示出来．这个设法不多见哦． 满分解答（1）如图2，因为弦心距OC ⊥弦AB ，所以OC 平分AB ．在Rt △OAC 中，OA ＝5，AC ＝3，所以OC ＝4．在Rt △OCD 中，OC ＝4，OD ＝5，所以DC ＝224541+=．由OD//CB ，得53DE OD CE BC ==．所以554188DE DC ==．图2 图3 图4（2）因为OC ＜OD ，所以等腰三角形OCD 存在两种情况：①如图3，当DO ＝DC 时，作DH ⊥OC ，那么DH 是△OCF 的中位线．在Rt △ODH 中，OD ＝5，OH ＝2，所以DH ＝225221-=． 所以FC ＝2DH ＝221．此时AF ＝AC ＋FC ＝3221+．②如图4，当CO ＝CD 时，作CM ⊥OD ，那么CM 平分OD ．在Rt △OCM 中，OC ＝4，OM ＝12OD ＝52，所以CM ＝22539422⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由tan ∠COF ＝CM FC OM OC=，得3954394225CM OC FC OM ⋅==⨯÷=． 此时AF ＝AC ＋FC ＝43935+． （3）设⊙O 的半径为1，设sin ∠ODC ＝x ．如果OD //AB ，CD ⊥OB ，那么∠COD ＝90°，∠ODC ＝∠BOC ．如图5，在Rt △ODE 中，由sin ∠ODC ＝OE OD＝x ，得OE ＝x ． 如图6，在Rt △OBC 中，由sin ∠BOC ＝BC OB＝x ，得BC ＝x ． 如图7，由OD //CB ，得OD OE BC BE =．所以11x x x =-． 整理，得x 2＋x －1＝0．解得152x -±=．所以sin ∠ODC ＝512-．图5 图6 图7考点伸展看到第（3）题的结果，不由得想起了黄金分割数，那么图形中的黄金分割点在哪里？ 如图7，因为51DE OE OE DC OB OD -===，所以点E 是线段OB 的黄金分割点，点E 也是线段CD 的黄金分割点．26例 2015年上海市闵行区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－3,0)，点D 在线段AB 上，AD ＝AC ．（1）求这条抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径；（3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上，如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求BN CN的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“15闵行24”，拖动点N 在BC 上运动，可以体验到，当DC 垂直平分MN 时，∠NDC ＝∠ADC ＝∠ACD ，此时DN //AC ．思路点拨1．准确描绘A 、B 、C 、D 的位置，把相等的角标注出来，利于寻找等量关系．2．第（3）题在图形中模拟比划MN 的位置，近似DC 垂直平分MN 时，把新产生的等角与前面存在的等角对比，思路就有了．满分解答（1）将点A (－3,0)代入y ＝ax 2－2ax －4，得15a －4＝0．解得415a =．所以抛物线的解析式为24841515y x x =--． 抛物线的对称轴为直线x ＝1． （2）由24844(3)(5)151515y x x x x =--=+-，得B (5, 0)，C (0,－4)． 由A (－3,0)、B (5, 0)、C (0,－4)，得 AB ＝8，AC ＝5．当AD ＝AC ＝5时，⊙D 的半径DB ＝3．由D (2, 0)、C (0,－4)，得DC ＝25因此当⊙D 与⊙C 外切时，⊙C 的半径为253（如图2所示）．（3）如图3，因为AD ＝AC ，所以∠ACD ＝∠ADC ．如果线段MN 被直线CD 垂直平分，那么∠ADC ＝∠NDC ．这时∠ACD＝∠NDC．所以DN//AC．于是35BN BDCN AD==．图2 图3考点伸展解第（3）题画示意图的时候，容易误入歧途，以为M就是点O．这是为什么呢？我们反过来计算：当DN//AC，35BNCN=时，38DNAC=，因此DM＝DN＝31588AC=．而DO＝2，你看M、O相距是多么的近啊．放大还原事实的真相，如图4所示．图4例 2015年上海市闵行区中考模拟第25题如图1，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝5，AD＝4．M、N分别是边AD、BC 上的任意一点，联结AN、DN．点E、F分别在线段AN、DN上，且ME//DN，MF//AN，联结EF．（1）如图2，如果EF//BC，求EF的长；（2）如果四边形MENF的面积是△AND 面积的38，求AM的长；（3）如果BC＝10，试探求△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15闵行25”，拖动点M在AD上运动，可以体验到，当EF//BC 时，EF是△AND的中位线．还可以体验到，当N是BC的中点时，△ABN、△AND和△DNC 是三个底角相等的等腰三角形．思路点拨1．由平行四边形MENF和平行四边形AEFM，可以得到E是AN的中点．2．第（2）题把四边形MENF与△AND的面积比，转化为△AEM与△MFD的和与△AND的面积比．再根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方列方程．3．第（3）题先探求两个三角形相似，再验证是否与第三个三角形相似．满分解答（1）如图3，由ME//DN，MF//AN，得四边形MENF是平行四边形．所以MF＝EN．如果EF//BC，那么四边形AEFM是平行四边形．所以MF＝AE．所以E是AN的中点．同理F是DN的中点．所以EF是△AND的中位线，此时EF＝12AD＝2．图3 图4 （2）如图4，设AM的长为x．28由ME //DF ，得224AEM AND S AM x S AD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△． 由MF //AN ，得2244MFD AND S DM x S AD -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△． 所以22(4)16AEM MFD AND S S x x S ++-=△△△． 如果四边形MENF 的面积是△AND 面积的38，那么22(4)5=168x x +-． 整理，得x 2－4x ＋3＝0．解得x ＝1，或x ＝3．（3）如图5，在等腰梯形ABCD 中，保持AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 在△ABN 、△AND 、△DNC 中，保持不变的是∠B ＝∠C ．因此△ABN 与△DCN 相似时，存在两种可能：①如果=BA CD BN CN，那么BN ＝CN ．所以N 是BC 的中点． ②如果=BA CN BN CD ，那么510=5BN BN -．解得BN ＝5．所以N 也是BC 的中点． 当点N 是BC 的中点时，△ABN 与△DCN 是两个全等的等腰三角形．此时△AND 也是等腰三角形，∠1＝∠2＝∠4＝∠3．因此△ABN 、△AND 、△DNC 两两相似．由=AB AN AN AD ，得5=4AN AN ．所以=25AN ．图5考点伸展有一种传说叫做数学典型题．这道题目里的3个题目，都是典型图，都有典型结论． 如图3，联结三角形三边中点得到的三角形与原三角形相似，而且与其它三个小三角形全等．第（3）题可以推广为：如果等腰梯形ABCD 的下底BC 等于腰长的2倍，N 是下底BC 的中点，那么△ABN ∽△NCD ∽AND ．。
【初中数学】上海市松江区2015学年度第二学期期末质量测试初二数学试卷 人教版
松江区2015学年度第二学期期末质量测试初二数学试卷(完卷时间90分钟，满分100分) 2016.6一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．一次函数)1(3-=x y 在y 轴上的截距是 ( )（A ）1； （B ）-1；（C ）3；（D ）-3．2．下列方程中，有实数解的是（ ） （A ）012=+x ； （B ）013=+x ； （C ）21-=+x ； （D ）222-=-x x x . 3．下列事件属于必然事件的是（ ）（A ）从地面往上抛出的篮球会落下； （B ）软木塞沉在水底； （C ）抛掷一枚硬币，落地后正面朝上； （D ）买一张彩票中大奖. 4．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是（ ） （A ）梯形； （B ）等腰梯形；（C ）平行四边形； （D ）等腰梯形或平行四边形.5．一次函数(0)y kx b k =+≠的图像如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是 （ ） （A ）x ＜3； （B ）x ＞3； （C ）x ＜4； （D ）x ＞4．6．如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点.下列结论不正确的是 ( )（A ）DE ∥BC ； （B ）=-； （C ）DB =FE -；（D ）DE FE DE DB =++．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．方程083=-x 的根是_____________.8．已知一次函数()12+=x x f ，那么()=-1f ________．（第6题图）（第5题图）9．已知直线5-=kx y 经过点M （2，1），那么k =________．10．将直线32-=x y 沿y 轴向上平移2个单位后，所得直线的解析式是______________________．11．若一次函数m x m y +-=)1(的函数值 y 随x 的增大而减小，那么m 的取值范围是______________．12．方程x x -=+6的解为__________________．13．在分式方程413122=-+-x x x x 中，令x x y 12-=，则原方程可化为关于y 的整式方程是___________________________．14．如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是__________边形． 15．袋中有5个红球、4个白球、3个黄球，每一个球除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球是红球的概率是__________.16．如果一个等腰梯形中位线长为6cm ，腰长是5cm ，那么它的周长是______________cm . 17．已知菱形的边长为6cm ，一个角为60°，那么菱形的面积为________ cm 2.18．如图，在矩形ABCD 中，BC =6 cm ，CD =3 cm ，将△BCD 沿BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则AE 的长为__________ cm ．三、解答题（本大题共7题，满分52分）19．（本题满分6分） 解方程： 112322=---+x xx x x20．（本题满分6分） 解方程组：⎩⎨⎧=-=+-3249622y x y xy x（第18题图）①②21．（本题满分7分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =45°，AD =8，AB =210，CD =26，求BC 的长．22．（本题满分7分，第（1）题3分，第（2）题4分）如图，已知在□ABCD 中，点E 、F 分别是边AD 、CD 的中点，过点E 、F 的直线交BA 、BC 的延长线于点G 、H ，联结AC ．（1）求证：四边形ACHE 是平行四边形； （2）求证：AB =2AG ．23.（本题满分8分，每小题4分）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长8千米的公路．如果平均每天的修建费y (万元)与修建天数x （天）之间在10050≤≤x 时具有一次函数关系，如下表所示：（第22题图）DBEFH G AA （第21题图）DC（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修3千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了21天．求原计划每天的修建费？24.（本题满分8分，第（1）题2分，第（2）题4分，第（3）题2分） 如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线4332+-=x y 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，以线段AB 为边作菱形ABCD （点C 、D 在第一象限），且点D 的纵坐标为9． （1）求点A 、点B 的坐标； （2）求直线DC 的解析式；（3）除点C 外，在平面直角坐标系xoy 中是否还存在点P ，使点A 、B 、D 、P 组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（本题满分10分，第（1）题4分，第（2）题3分，第（3）题3分）已知正方形ABCD 的边长为5，等腰直角△AEF 的直角顶点E 在直线BC 上（不与点B ，C 重合），FM ⊥AD ，交射线AD 于点M ．（1）当点E 在边CB 的延长线上，点M 在边AD 上时，如图①， 求证： BE+AM =AB ；（2）当点E 在边BC 上，点M 在边AD 的延长线上时，如图②，设BE =x ，AM =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当点E 在边BC 的延长线上，点M 在边AD 上时，如图③．如果∠AFM =15°，求AM 的长．图①AME D CBAFM DCB图②图③ABEFCDM（第25题图）松江区2015学年度第二学期期末质量测试初二数学试卷参考答案及评分标准 2016.6一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．D ； 5．C ； 6．B ．二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．2=x ； 8．1-； 9．3； 10．12-=x y ； 11．1<m ； 12．2-=x ； 13．0342=+-y y ； 14．六； 15．125； 16．22； 17．318； 18．49． 三、解答题：（本大题共7题，满分52分） 19．（本题满分6分）解：两边同乘以()()12-+x x 得 ()22322-+=+-x x x x x ………(2分)0232=+-x x …………………………………………………………(1分)解得：2,121==x x ……………………………………………………(1分) 经检验：12=x 是增根，舍去……………………………………………(1分) ∴原方程的根是2=x …………………………………………………（1分）20．（本题满分6分）解：由①得23,23-=-=-y x y x ………………………………………(2分) ∴原方程组可化为二个方程组⎩⎨⎧=--=-⎩⎨⎧=-=-32233223y x y x y x y x ………(2分) 解这两个方程组得原方程组的解是⎩⎨⎧==1511y x ⎩⎨⎧==51322y x ………………………………………………… （2分）21．（本题满分7分）解：作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得……………………(1分) ∠AEF =∠DFE =90°，AE ∥DF ……………………………………………(1分) ∵AD ∥BC ，∴四边形AEFD 是平行四边形………………………………(1分) ∴AE=DF ，AD=EF=8……………………………………………………（1分) 在Rt △ABE 中，由∠B=45°，得AE=BE ∴210222==+=AE BE AE AB ，得AE=BE=10……………(1分)∴DF=10在Rt △DFC 中，由DF =10，DC=26，得FC=24………………………(1分) ∴ BC=BE +EF +FC=42 ……………………………………………………(1分)22．（本题满分7分）证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC …………………………………………………………………(1分) 即AE ∥CH∵点E 、F 分别是边AD 、CD 的中点∴ EF ∥AC …………………………………………………………………(1分) 即EH ∥AC∴四边形ACHE 是平行四边形……………………………………………(1分) （2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD∵GF ∥AC ，∴四边形ACFG 是平行四边形………………………………(1分) ∴ AG=CF …………………………………………………………………(1分) ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB=CD ………………………………(1分) ∵CD=2CF ，∴AB=2AG ……………………………………………………(1分)23．（本题满分8分）解：（1）设函数关系式为)0(≠+=k b kx y ……………………………(1分) ∵图像过点（60，45），（80，40） ∴⎩⎨⎧=+=+40804560b k b k ………………………………………………(1分)解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=6041b k ……………………………………………………(1分)∴函数关系式为6041+-=x y ………………………………(1分)（3）设原计划修完这条路需要m 天 根据题意得21118+=m m …………………………………………………（1分） 解得m=56 …………………………………………………………………(1分) 经检验m=56是原方程的根 ………………………………………………(1分) ∵50≤m ≤100 ∴46605641=+⨯-=y （万元） ……………………………………(1分) 答：原计划每天的修建费是46万元． 24．（本题满分8分）解：（1）A （0，4），B （32，0）……………………………………（2分） （2）过点D 作DE ⊥y 轴，垂足为E ∵点D 的纵坐标为9，OA=4 ∴AE=5∵四边形是ABCD 是菱形 ∴AD=AB=72)32(42222=+=+OB OA …………………（1分）∴DE =3∴D （3，9）……………………………………………………………（1分） ∵四边形是ABCD 是菱形，∴DC ∥AB ∴设直线DC 的解析式为b x y +-=332……………………………（1分） ∵直线DC 过点D （3，9），∴11=b∴直线DC 的解析式为11332+-=x y ……………………………（1分） （3）存在P 1（3-，13），P 2（3，5-）…………………………………（2分） 25．（本题满分10分） 证明：（1）设FM 交边BC 于点N ∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC =90º， AD ∥BC …………………………………………………（1分） ∴∠ABE =90º，∴∠BAE+∠AEB =90º∵△AEF 是等腰直角三角形，∴∠AEF =90º ，AE=EF ∴∠NEF+∠AEB =90º，∴∠BAE=∠NEF∵FM ⊥AD ，∴FM ⊥BC ，∴∠ENF=90º，∴∠ABE=∠ENF ∴△ABE ≌△ENF∴AB=EN …………………………………………………………………（1分） ∵∠ABC =∠BNM =∠NMA =90º∴四边形ABNM 是矩形…………………………………………………（1分） ∴AM=BN ∵EN=BE+BN∴AB=BE+AM ……………………………………………………………（1分） （2）延长MF 交BC 的延长线于点N ，同理可得AB=EN=5 ∵∠MAB=∠ABN=∠AMN =90º，∴四边形ABNM 是矩形∴AM=BN=y ………………………………………………………………（1分） ∵BN=BE+EN ，BE=x∴y=x+5……………………………………………………………………（1分） （0<x <5）…………………………………………………………………（1分） （3）设FM 交边BC 于点N∵△AEF 是等腰直角三角形，∴∠AFE =45º ∵∠AFM =15º，∴∠EFN =30º，∴∠AEB=∠EFN =30º 在Rt △ABE 中，AB=5，∠AEB =30º，∴AE=10，BE=35………………………………………………………（1分） ∵△ABE ≌△ENF ∴AB=EN=5∴BN=535-……………………………………………………………（1分） ∵∠MAB=∠ABC=∠NMA =90º ∴四边形ABNM 是矩形，∴AM=BN∴AM=535-…………………………………………………………（1分）。
2015上海徐汇,松江高三数学二模试卷(文)
2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）2015.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知集合，集合，则 ．2．若复数为虚数单位），则 ．3．已知直线的一个法向量是，则此直线的倾斜角的大小为 ．4．某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体名学生中抽取名学生进行体能测试．现将名学生从到进行编号，求得间隔数．若从中随机抽取个数的结果是抽到了，则在编号为的这个学生中抽取的一名学生其编号应该是 ．5．已知函数与的图像有一个横坐标为的交点，则常数的值为 ．6．设函数，则不等式的解为 ．7．设等差数列的前项和为，若，则的值为 ．8．从2位男同学和8位女同学中选两人参加志愿者活动，假设每位同学选到的可能性都相同，则选到两位性别相同的同学的概率是．（结果用最简分数表示）9．执行如图所示的程序框图，输出的结果 ．10．矩阵中每一行都构成公比为2的等比数列，第列各元素之和为，则 ．11．一个正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积是．12．设是定义域为R的奇函数，是定义域为R的偶函数，若函数的值域为，则函数的值域为 ．13．所在平面上一点满足，若的面积为，则的面积为 ．14．对于曲线所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线相对于点的“确界角”．曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．“”是“”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件16．下列不等式中，与不等式同解的是（）（A）（B）（C）（D）17．曲线与直线围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）（A）（B）（C）（D）18．已知函数．给出下列三个命题：(1)是定义域为R的奇函数；(2)在上单调递增；(3)对于任意的，都有．其中真命题的序号是（）（A）(1)(2) （B）(1)(3) （C） (2)(3) （D）(1)(2)(3)三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图，在中，，斜边，是的中点．现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．在中，角所对的边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点，抛物线与梯形下底的两个焊接点为．已知梯形的高是厘米，两点间的距离为厘米．（1）求横梁的长度;（2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数，．（1）求函数的零点；（2）设（其中常数），求的最小值；（3）若直线与的图像交于不同的两点，与的图像交于不同的两点，求证：．23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于一组向量()，令，如果存在()，使得，那么称是该向量组的“向量”．（1）设()，若是向量组的“向量”，求实数的取值范围；（2）若()，向量组是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知均是向量组的“向量”，其中，，求证：可以写成一个关于的二次多项式与一个关于的二次多项式的乘积．。
松江初中数学二模试卷答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √25答案：D2. 若a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a + 2 > b + 2B. a - 2 > b - 2C. a + 2 < b + 2D. a - 2 < b - 2答案：A3. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值为（）A. 2，3B. 3，2C. 1，6D. 6，1答案：A4. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于y轴的对称点是（）A. (2,-3)B. (-2,3)C. (2,3)答案：B5. 下列函数中，反比例函数是（）A. y = x + 1B. y = 2xC. y = 2/xD. y = x^2答案：C6. 若等腰三角形底边长为8cm，腰长为10cm，则该三角形的周长为（）A. 26cmB. 24cmC. 22cmD. 20cm答案：A7. 在梯形ABCD中，AD平行于BC，若AD = 6cm，BC = 10cm，AB = CD = 8cm，则梯形的高为（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm答案：A8. 已知正方形的对角线长为10cm，则该正方形的面积为（）A. 50cm^2B. 100cm^2D. 20cm^2答案：B9. 若x^2 - 4x + 3 = 0，则x^3 - 4x^2 + 3x的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A10. 下列各数中，有理数是（）A. √3B. πC. √16D. √25答案：C二、填空题（每题3分，共30分）11. 若a = 2，b = -3，则a + b = _______。
12. 若x = 3，则x^2 - 2x + 1 = _______。
13. 若等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的面积为_______cm^2。
14. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)关于x轴的对称点是 _______。
2015年上海各区中考数学二模压轴题24、25题图文解析
《2015年上海各区中考数学二模压轴题图文解析》目录2015年上海各区中考数学二模第24、25题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第24、25题图文解析/2例2 2015年奉贤区中考数学二模第24、25题图文解析/6例3 2015年虹口区中考数学二模第24、25题图文解析/10例4 2015年黄浦区中考数学二模第24、25题图文解析14例5 2015年金山区中考数学二模第24、25题图文解析/18例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第24、25题图文解析/22例7 2015年闵行区中考数学二模第24、25题图文解析/26例8 2015年浦东新区中考数学二模第24、25题图文解析/30例9 2015年普陀区中考数学二模第24、25题图文解析34例10 2015年松江区中考数学二模第24、25题图文解析38例11 2015年徐汇区中考数学二模第24、25题图文解析42例12 2015年杨浦区中考数学二模第24、25题图文解析/46例13 2015年长宁区中考数学二模第24、25题图文解析/50例14 2015年崇明县中考数学二模第24、25题图文解析/54例15 2015年闸北区中考数学二模第24、25题图文解析/592015年上海各区中考数学二模第18题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第18题图文解析/63例2 2015年奉贤区中考数学二模第18题图文解析/64例3 2015年虹口区中考数学二模第18题图文解析/615例4 2015年黄浦区中考数学二模第18题图文解析/66例5 2015年金山区中考数学二模第18题图文解析/67例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第18题图文解析/68例7 2015年闵行区中考数学二模第18题图文解析/69例8 2015年浦东新区中考数学二模第18题图文解析/70例9 2015年普陀区中考数学二模第18题图文解析/71例10 2015年松江区中考数学二模第18题图文解析/72例11 2015年徐汇区中考数学二模第18题图文解析/73例12 2015年杨浦区中考数学二模第18题图文解析/74例13 2015年长宁区中考数学二模第18题图文解析/75例14 2015年崇明县中考数学二模第18题图文解析/76例15 2015年闸北区中考数学二模第18题图文解析/77例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线kyx=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B(n, 2)，代入8yx=，得n＝4．所以点B的坐标为(4, 2)．设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．所以点C的坐标为(0,－2)．由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°．图22所以S△ABC＝12BA BC⋅＝122422⨯⨯＝8．（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210．由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：①如图3，当CE ADCA AC=时，CE＝AD＝22．此时△ACD≌△CAE，相似比为1．②如图4，当CE ACCA AD=时，21021022CE=．解得CE＝102．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．图54例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第25题在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结AE ．过点E 作直线EM 与射线CB 垂直，交点为M ．（1）若点M 与点B 重合（如图1），求cot ∠BAE 的值；（2）若点M 在边BC 上（如图2），设边长AC ＝x ，BM ＝y ，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）若∠BAE ＝∠EBM ，求斜边AB 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定25”，拖动点A 上下运动，可以体验到，△ABE 保持等腰三角形，∠BAE ＝∠EBM 按照点M 与点B 的位置关系存在两种情况． 思路点拨1．第（1）题的特殊性是∠DEB ＝∠CAB ＝∠EBD ，△EDB 是等腰直角三角形．2．第（1）题暗示了第（2）题中蕴含着三个等角，因此寻找相似三角形．3．第（3）题∠BAE ＝∠EBM 要分两种情况考虑，各有各的特殊性．满分解答（1）如图3，当点M 与点B 重合时，EB //AC ．所以∠CAB ＝∠EBD ．又因为旋转前后∠CAB ＝∠DEB ，所以∠EBD ＝∠DEB ．所以△EDB 和△ACB 是等腰直角三角形．已知BC ＝2，所以AC ＝2，AB ＝22． 在Rt △AED 中，ED ＝2，AD ＝222-，所以cot ∠BAE ＝AD ED＝2222-＝21-．图3 图4（2）在Rt △ABC 中，BC ＝2，AC ＝x ，所以AB ＝24x +． 如图4，设EM 与AB 交于点F ．由FM //AC ，得BM BF BC BA =，即224y BFx =+．所以BF ＝242y x +． 由于BD ＝BC ＝2，所以DF ＝2422y x +-． 由∠DEB ＝∠CAB ＝∠DFE ，∠EDB 是公共角，得△DEB ∽△DFE ．所以DE 2＝DF ·DB ，即2242(2)2y x x +=-．整理，得2244x y x -=+． 定义域是0＜x ＜2．（3）已知BA ＝BE ，所以∠BAE ＝∠BEA ．当∠BAE ＝∠EBM 时，∠BAE ＝∠BEA ＝∠EBM ．按照M 、B 的位置分两种情况： ①如图5，当M 在B 右侧时，由∠BEA ＝∠EBM ，得AE //CM ．此时∠BAE ＝∠ABC ．又已知∠ABC ＝∠EBD ，所以∠ABC ＝∠EBD ＝∠EBM ＝60°．在Rt △ABC 中，AB ＝2BC ＝4．②如图6，当M 在B 左侧时，在△BAE 中，∠BAE ＝∠BEA ＝2∠ABE ．所以∠ABE ＝36°，∠BAE ＝∠BEA ＝72°．延长EA 交BC 的延长线于G ，那么∠G ＝36°，AG ＝AB ，GE ＝GB ＝2CB ＝4． 由于点A 是GE 的黄金分割点，所以512AG GE -=．所以AB ＝AG ＝252-．图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，我们直接应用了黄金分割数，也可以用相似比来解． 由∠BAE ＝∠BEA ＝∠MBE ，容易得到GB ＝GE ＝4，AG ＝AB ＝BE ．由△GBE ∽△BAE ，得到EB 2＝EA ·EG ．设AB ＝BE ＝m ．于是得到24(4)m m =-．整理，得m 2＋4m －16＝0．解得252m =．6例 2015年上海市奉贤区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋x 的对称轴为直线x ＝2，顶点为A ．（1）求抛物线的表达式及顶点A 的坐标；（2）点P 为抛物线对称轴上一点，联结OA 、OP ．①当OA ⊥OP 时，求OP 的长；②过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ，联结OB ，当∠OAP ＝∠OBP 时，求点B 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤24”，拖动点P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，△BNP ∽△PMO 保持不变，当∠OAP ＝∠OBP 时，△BOP ∽△AOH ． 思路点拨1．根据等角的余角相等，通过已知的等角寻找未知的等角．2．过直角顶点P 向坐标轴画垂线，可以构造相似的直角三角形，于是通过对应边成比例，可以列方程．满分解答（1）由抛物线的对称轴为122x a =-=，可得14a =-． 所以抛物线的表达式为2211(2)144y x x x =-+=--+． 顶点A 的坐标为(2, 1)．（2）①如图2，设AP 与x 轴交于点H ．由A (2, 1)，可得tan ∠OAH ＝2．当OA ⊥OP 时，∠POH ＝∠OAH ．所以tan ∠POH ＝PH OH＝2． 因此PH ＝2OH ＝4．所以OP ＝25． 图2②如图3，当∠OAP ＝∠OBP 时，tan ∠AOH ＝tan ∠BOP ．所以2PO HO PB HA==．如图4，过点P 作PM ⊥y 轴于M ，过点B 作x 轴的垂线交直线PM 于N ．由△OMP ∽△PNB ，得2OM MP PO PN NB BP===．所以OM ＝2PN ，MP ＝2NB ． 设21(,)4B x x x -+，P (2, n )，那么2(2)n x -=-，2122()4x x n =-+-． 将n ＝4－2x 代入2114x x n -+-=，整理，得x 2－12x ＋20＝0． 解得x ＝10，或x ＝2（B 与A 重合，舍去）．所以点B 的坐标为(10, －15)．图3 图4考点伸展如果应用四点共圆的知识，结合勾股定理，那么第（2）②题可以这样做：如图3，当∠OAP ＝∠OBP 时，A 、B 、P 、O 四点共圆．此时∠OAB ＝∠OPB ＝90°．所以OB 2＝OA 2＋AB 2．设21(,)4B x x x -+，那么22222211()5(2)(1)44x x x x x x ⎡⎤+-+=+-+-+-⎢⎥⎣⎦． 整理，得x 2－12x ＋20＝0．解得x ＝10，或x ＝2．所以B (10, －15)．例 2015年上海市奉贤区中考模拟第25题如图1，已知线段AB＝8，以A为圆心，5为半径作⊙A，点C在⊙A上，过点C作CD//AB 交⊙A于点D（点D在点C右侧），联结BC、AD．（1）若CD＝6，求四边形ABCD的面积；（2）设CD＝x，BC＝y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）设BC的中点为M，AD的中点为N，线段MN交⊙A于点E，联结CE，当CD取何值时，CE//AD．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤25”，拖动点C在圆上运动，可以体验到，当CE//AD 时，四边形CEND是平行四边形，四边形CEAN是平行四边形，四边形CF AG是矩形．思路点拨1．已知△ABC的三边长分别为5，8，y，构造AB边上的高CK，那么CK为两个直角三角形的公共直角边，根据勾股定理列方程，可以得到y关于x的关系式．2．当CE//AD时，注意到CE与AN、DN的关系都是平行且相等．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ACD中，AC＝AD＝5，CD＝6，所以CH＝DH＝3．所以AH＝4．所以S梯形ABCD＝1()2CD AB AH+⨯＝1(68)42+⨯＝28．图2 图3（2）如图3，作CK⊥AB，垂足为K，那么四边形CKAH为矩形．在△ACD中，AC＝AD＝5，CH＝DH＝12 x．8在△ABC 中，BC ＝y ，AC ＝5，AK ＝12x ，BK ＝182x -． 由CK 2＝BC 2－BK 2＝AC 2－AK 2，得222211(8)5()22y x x --=-． 整理，得898y x =-．自变量x 的取值范围是0＜x ＜10．（3）如图4，已知MN 是梯形ABCD 的中位线，MN //CD ，当CE //AD 时，四边形CEND 是平行四边形，此时CE ＝DN ＝12AD ＝52． 由CE //NA ，CE ＝NA ，得四边形CEAN 是平行四边形．所以CN ＝EA ＝CA ＝5．作CG ⊥AN 于G ，那么AG ＝12AN ＝14AD ＝54．所以DG ＝515544-=． 在Rt △CAG 中，AG ＝54，CA ＝5，由勾股定理，得CG ＝5154． 在Rt △CDG 中，CG ＝5154，DG ＝154，由勾股定理，得CD ＝562．图4 图5考点伸展第（3）题还可以用相似比来解：如图5，设直线AE 与DC 的延长线交于点P ，与⊙A 交于点Q ，那么CE 是△P AD 的中位线，因此PC ＝CD ＝x ，PE ＝EA ＝AQ ＝5．由CE //DA ，得∠1＝∠3，∠2＝∠4．又因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠4．于是可得∠Q ＝∠5＝∠6．由△PCE ∽△PQD ，得PC PQ PE PD =．所以1552x x =．解得562x = 由△PDA ∽△PQD ，得PD PQ PA PD =．所以215102x x =．解得562x =例 2015年上海市虹口区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－1,0)、B(3,0)、C(2, 3)三点，与y轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC、CB，直线y＝4x＋m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口24”，拖动点P运动，可以体验到，经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．拖动点F在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，以A、B、C、F为顶点的梯形有3个．思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，设两点式比较简便．2．经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．3．过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线，三条直线与抛物线的对称轴的3个交点，就是符合条件的点F．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)．将点C(2, 3)代入，得3＝－3a．解得a＝－1．所以抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.对称轴是直线x＝1．（2）如图2，由C(2, 3)、D(0, 3)，得CD//x轴．所以四边形ABCD是梯形．经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．梯形ABCD的中位线的中点为3(1,)2，将点3(1,)2代入y＝4x＋m，得m＝52．（3）符合条件的点F有3个，坐标分别为(1, 3)，(1,－2)，(1,－6)．10图2 图3考点伸展第（3）题这样解：过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线，三条直线与抛物线的对称轴的3个交点，就是符合条件的点F．①如图3，当CF//AB时，点F的坐标是(1, 3)．②如图4，当BF//AC时，由tan∠CAM＝tan∠FBH，得CM FHAM BH=．所以332FH=．解得FH＝2．此时点F的坐标为(1,－2)．③如图5，当AF//CB时，由tan∠CBM＝tan∠F AH，得CM FHBM AH=．所以312FH=．解得FH＝6．此时点F的坐标为(1,－6)．图4 图512例 2015年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，CD //AB ，点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE 交边BC 于F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．（1）当CE ＝3时，求S △CEF ∶S △CAF 的值；（2）设CE ＝x ，AE ＝y ，当CG ＝2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）当AC ＝5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口25”，拖动直角顶点C 运动，可以体验到，CG ＝2GB 保持不变，△ABC 的形状在改变，EA ＝EM 保持不变．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动E 在射线CD 上运动，可以体验到，△AEG 可以两次成为直角三角形． 思路点拨1．第（1）题中的△CEF 和△CAF 是同高三角形，面积比等于底边的比．2．第（2）题中的△ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．3．第（3）题中的直角三角形AEG 分两种情况讨论．满分解答（1）如图2，由CE //AB ，得313EF CE AF BA ==． 由于△CEF 与△CAF 是同高三角形，所以S △CEF ∶S △CAF ＝3∶13．（2）如图3，延长AG 交射线CD 于M ． 图2由CM //AB ，得2CM CG AB BG==．所以CM ＝2AB ＝26． 由CM //AB ，得∠EMA ＝∠BAM ．又因为AM 平分∠BAE ，所以∠BAM ＝∠EAM ．所以∠EMA ＝∠EAM ．所以y ＝EA ＝EM ＝26－x ．图3 图4（3）在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝5，所以BC＝12．①如图4，当∠AGE＝90°时，延长EG交AB于N，那么△AGE≌△AGN．所以G是EN的中点．所以G是BC的中点，BG＝6．②如图5，当∠AEG＝90°时，由△CAF∽△EGF，得FC FA FE FG=．由CE//AB，得FC FB FE FA=．所以FA FBFG FA=．又因为∠AFG＝∠BF A，所以△AFG∽△BF A．所以∠F AG＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．作GH⊥AH，那么BH＝AH＝132．在Rt△GBH中，由cos∠B＝BHBG，得BG＝132÷1213＝16924．图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，当∠AEG＝90°时的核心问题是说理GA＝GB．如果用四点共圆，那么很容易．如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到∠2＝∠4．上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7，当∠AEG＝90°时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt △AEG斜边上的中线，所以PC＝PE＝P A＝PG．所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．如图8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°－2(∠4＋∠5)，又因为∠CPE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．图7 图814例 2015年上海市黄浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(a , 3)（其中a ＞4），射线OA 与反比例函数12y x =的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x =的图像上，且AB //x 轴，AC //y 轴．（1）当点P 的横坐标为6时，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB ＝BO 时，求点A 的坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想ABP ACP S S △△的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABPACPS S △△的值；如果变化，请说明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦24”，拖动点A 在点B 右侧运动，观察度量值，可以体验到，△ABP 与△ACP 的面积保持相等．事实上，四边形ABDC 是矩形，△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形．思路点拨1．点B 是确定的，点C 、P 随点A 的改变而改变．2．已知a ＞4隐含了点A 在点B 的右侧这个条件．满分解答（1）如图1，当x ＝6时，12y x=＝2．所以点P 的坐标为(6, 2)． 由O (0, 0)、P (6, 2)，得直线AO 的解析式为13y x =． （2）如图2，因为AB //x 轴，A (a , 3)，所以点B 的纵坐标为3．又因为点B 在反比例函数12y x=的图像上，所以B (4, 3)．因此OB ＝5． 所以当AB ＝BO ＝5时，点A 的坐标为(9, 3)．（3）如图3，过点B 向x 轴作垂线交OA 于点D ，联结CD ．由于直线OA 的解析式为3y x a =，所以点D 的坐标为12(4)a，．由于AC //y 轴，所以点C 的坐标为12()a a ，． 所以CD //x 轴．因此四边形ABDC 是矩形． 所以点B 、C 到对角线AP 的距离相等．因此△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形，它们的面积相等．所以ABP ACPS S △△＝1．图2 图3考点伸展第（3）题也可以这样说理：如图3，ABP ABD S S △△＝AP AD ，ACP ACD S S △△＝AP AD，而S △ABD ＝S △ACD ，所以ABP ACP S S △△＝1． 第（3）题还可以计算说理：如图4，作PM ⊥AB 于M ，作PN ⊥AC 于N ．设点P 的坐标为12()m m ，．将点P 12()m m，代入直线OA 的解析式3y x a=，可以得到24m a =． 于是，由A (a , 3)、B (4, 3)、C 12()a a ，、P 12()m m，，可得 S △ABP ＝12AB PM ⋅＝112(4)(3)2a m --＝3416(4)2a a m m--+＝2316(4)24m m m --+， S △ACP ＝12AC PN ⋅＝112(3)()2a m a --＝34(4)2m a m a--+＝2316(4)24m m m --+． 所以S △ABP ＝S △ACP ．而事实上，如图5，由于S 1＝S 2，所以S △ABO ＝S △ACO ．所以B 、C 到AO 的距离相等．于是△ABP 与△ACP 就是同底等高的三角形．图4 图5例 2015年上海市黄浦区中考模拟第25题如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是斜边AB上的高，点E 为边AC上一点（点E不与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE 分别交于点F、G．（1）求线段CD、AD的长；（2）设CE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线段CE的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦25”，拖动点E在AC边上运动，可以体验到，△EFG 与△CDG相似存在两种情况．一种情况是FC垂直平分DE，另一种情况是EF⊥AB．思路点拨1．图形中的垂直关系较多，因此互余的角较多，相等的角较多．把相等的角都标注出来，便于分析题意．2．求y关于x的函数关系式，设法构造相似三角形．3．△EFG与△CDG都是直角三角形，分两种情况讨论相似．按照对应的锐角相等，可以推出相似时的特殊的位置关系．满分解答（1）在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，所以AB＝4，AC＝23．在Rt△ACD中，∠A ＝30°，AC＝23，所以CD＝3，AD＝3．（2）如图2，∠CDE与∠BFC都是∠EDF的余角，所以∠CDE＝∠BFC．又因为∠DCE＝∠B＝60°，所以△CDE∽△BFD．所以CD BFCE BC=，即312yx+=．整理，得23xyx-=．定义域是32≤x＜23．图2（3）△EFG与△CDG都是直角三角形，分两种情况讨论相似：①如图3，当∠FEG＝∠DCG时，由于∠FDG＝∠DCG，所以∠FEG＝∠FDG．因此FE＝FD．所以FC垂直平分DE．此时CE＝CD＝3．16②如图4，当∠FEG＝∠CDG时，EF//CD．此时EF⊥AB．作EH⊥CD于H，那么四边形EFDH是矩形，DF＝HE．所以y＝32x．解2332xxx-=，得3393x-±=．此时3933CE-=．图3 图4考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图5，过点E作EH⊥CD，垂足为H．在Rt△CEH中，∠CEH＝30°，CE＝x，所以CH＝12x，EH＝32x．如图6，由tan∠DEH＝tan∠DCF，得13(3)::322x x y-=．整理，得23xyx-=．图5 图6 图7 第（2）题还可以如图6这样，过点C作AB的平行线交DE的延长线于M．由tan∠M＝tan∠DCF，得CD DFCM DC=．所以CM＝23CDDF y=．由MC//AD，得CM CEAD AE=．所以323xCMx=-．由3323xy x=-，得23xyx-=．定义域的两个临界值，如图8，CE＝12CD＝32；如图9，CE＝CA＝23．图8 图9例 2015年上海市金山区中考模拟第24题已知抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）经过A(－2,0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）的解析式，并求出顶点P的坐标；（2）求∠APB的正弦值；（3）直线y＝kx＋2 与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似时，求点M的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山24”，拖动点M在AC上运动，可以体验到，△MNC 与△AOC相似存在两种情况．思路点拨1．用面积法求等腰三角形P AB的腰上的高，进而可以求顶角的正弦值．2．探求△MNC与△AOC相似，可以转化为探求直角三角形MNC．满分解答（1）因为抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A(－2,0)、B(4, 0)两点，设y＝a(x＋2)(x－4)＝ax2－2ax－8a．所以－8a＝－8．解得a＝1．所以y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9．所以顶点P的坐标为(1,－9)．（2）如图2，由A(－2,0)、B(4, 0)、P(1,－9)，得AB＝6，PB＝P A＝310．作PG⊥AB，AH⊥PB，垂足分别为G、H．由S△P AB＝1122AB PG PB AH⋅=⋅，得699105310AB PGAHPB⋅⨯===．在Rt△APH中，sin∠APB＝910331055AHPA=÷=．图2 （3）由y＝kx＋2，得点N的坐标为(0, 2)．由A(－2,0)、C(0, －8)，得直线AC的解析式为y＝－4x－8．因为△MNC与△AOC有公共的锐角∠ACO，所以分两种情况讨论相似：18①如图3，当∠MNC＝90°时，14NM OANC OC==．所以1105442NM NC===．此时点M的坐标为5(,2)2-．②如图4，当∠NMC＝90°时，过点M作x轴的垂线，过点N、C分别作y轴的垂线，构造直角三角形NEM和直角三角形MFC，那么△NEM∽△MFC．所以EN FM EM FC=．设点M的坐标为(x, －4x－8)，那么(48)(8)2(48)x xx x-----=----．解得4017x=-．此时点M的坐标为4024(,)1717-．图3 图4 图5考点伸展第（3）题也可以这样解：①如图3，当∠MNC＝90°时，MN//x轴，所以y M＝2．解方程－4x－8＝2，得52x=-．此时点M的坐标为5(,2)2-．②如图5，当∠NMC＝90°时，设直线NM交x轴于K，那么△NOK≌△AOC．所以OK＝OC＝8．所以直线NM的解析式为124y x=+．联立y＝－4x－8和124y x=+，解得4017x=-，2417y=．此时M4024(,)1717-．例 2015年上海市金山区中考模拟第25题如图1，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠B＝43．（1）求BC的长；（2）点D、E 分别是AB、AC的中点，不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不与点B、C重合），且点N始终在点M的右边，联结DN、EM交于点O．设MN＝x，四边形ADOE的面积为y．①求y与x的函数关系式，并写出定义域；②当△OMN是等腰三角形且BM＝1时，求MN的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山25”，拖动点N在MC上运动，可以体验到，等腰三角形OMN存在两种情况．思路点拨1．把四边形ADOE分割为△ADE和△DOE，△DOE与△NOM是相似的．2．分三种情况讨论等腰三角形OMN，其中NM＝NO是不存在的．满分解答（1）如图2，作AF⊥BC，垂足为F．在Rt△ABF中，AB＝10，tan∠B＝43，设BF＝3m，AF＝4m，那么AB＝5m．所以5m＝10．解得m＝2．所以BF＝6，AF＝8．因为AB＝AC，AF⊥BC，所以BC＝2BF＝12．图2（2）①如图3，S△ABC＝1112848 22BC AF⋅=⨯⨯=．因为DE是△ABC的中位线，所以DE＝12BC＝6，S△ADE＝14S△ABC＝12．过点O作BC的垂线，垂足为H，交DE于G，那么GH＝12AF＝4．由DE//BC，得DE GONM HO=，即64GOx GO=-．所以246GOx=+．因此S△DOE＝11247262266 DE GOx x⋅=⨯⨯=++．所以y＝S四边形ADOE＝S△ADE＋S△DOE＝7212144 1266xx x++=++．定义域是0＜x＜12．②如图4，作EQ⊥BC，垂足为Q．在Rt△ECQ中，EC＝5，所以EQ＝4，CQ＝3．20在Rt△EMQ中，MQ＝11－3＝8，EQ＝4，所以EM＝45．如图5，在Rt△DMP中，DP＝4，MP＝3－1＝2，所以DM＝25．图3 图4 图5 因为△OMN∽△OED，所以讨论等腰△OMN可以转化为讨论等腰△OED．（I）如图6，当OM＝ON时，OE＝OD．此时点O在ED的垂直平分线上．所以BN＝CM＝11．此时MN＝22－12＝10．．（II）如图7，当MO＝MN时，EO＝ED＝6．此时MN＝MO＝45x（III）如果NM＝NO，那么DO＝DE＝6．如图8，因为DM＝25＜6，所以以D为圆心，DE为半径的⊙D与线段ME只有一个交点E，因此不存在NM＝NO的情况．图6 图7 图8考点伸展我们把图8局部放大，如图9，⊙D与直线ME的两个交点为E、O，此时点O在EM的延长线上，点N与点B重合，在点M的左侧，NO＝NM．图922例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，它的对称轴与x 轴交于点C ，且∠OBC ＝∠OAB ，AC ＝3．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D 在此抛物线上，DF ⊥OA ，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且32ADG AFG S S =△△，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦24”，拖动点D 在抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，DG 与GF 的比值可以等于1.5，此时点D 的横坐标为3．思路点拨1．抛物线的解析式中待定两个系数，需要代入A 、B 两点的坐标列方程组．2．△ADG 与△AFG 是同高三角形，面积比等于对应的底边的比．3．把DG ∶GF ＝3∶2转化为GF ∶DF ＝2∶5，运算就简便一些．满分解答（1）由y ＝ax 2－2ax ＋c ，得抛物线的对称轴是直线x ＝1．因为AC ＝3，所以点A 的坐标为(4,0)．如图2，由∠OBC ＝∠OAB ，∠BOC ＝∠AOB ，得△BOC ∽△AOB ．于是可得OB 2＝OC ·OA ＝4．所以OB ＝2，B (0, 2)．将A (4,0)、B (0, 2)分别代入y ＝ax 2－2ax ＋c ，得1680,2.a a c c -+=⎧⎨=⎩ 解得14a =-，c ＝2．所以抛物线的表达式是211242y x x =-++．图2 图3（2）如图3，因为△ADG 与△AFG 是同高三角形，所以32ADG AFG S DG S GF ==△△． 所以25GF DF =． 由A (4,0)、B (0, 2)，得直线AB 的解析式为122y x =-+． 设D 211(,2)42x x x -++，G 1(,2)2x x -+，那么21222115242x x x -+=-++ 解得x ＝3，或x ＝4（与A 重合，舍去）．所以点D 的坐标是5(3,)4． 考点伸展第（2）题凭直觉，△ADG 的面积总要比△AFG 的面积小，但是32ADG AFG S S =△△确实是有解的． 我们分析一下方程21222115242x x x -+=-++，等号左边是可以化简、约分的． 因为1(4)222125(2)(4)4x x x x --==+-+-，所以原分式方程总有一个增根x ＝4，另一个就是一元一次方程的根．24例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第25题 在⊙O 中，OC ⊥弦AB ，垂足为C ，点D 在⊙O 上．（1）如图1，已知OA ＝5，AB ＝6，如果OD //AB ，CD 与半径OB 相交于点E ，求DE 的长；（2）已知OA ＝5，AB ＝6（如图2），如果射线OD 与AB 的延长线相交于点F ，且 △OCD 是等腰三角形，求AF 的长；（3）如果OD //AB ，CD ⊥OB ，垂足为E ，求sin ∠ODC 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦25”，拖动点C 运动，观察度量值，可以体验到，当CD ⊥OB 时，sin ∠ODC 的值就是黄金分割数啊．思路点拨1．反反复复的勾股定理和三角比的运算，要仔细哦．2．第（2）题等腰三角形OCD 只存在两种情况，因为OC ＜OD ．3．第（3）题中的所有直角三角形都是相似的．怎样简化错综复杂的线段间的关系呢？设⊙的半径为1，设sin ∠ODC ＝x ，然后把其他线段用x 表示出来．这个设法不多见哦． 满分解答（1）如图2，因为弦心距OC ⊥弦AB ，所以OC 平分AB ．在Rt △OAC 中，OA ＝5，AC ＝3，所以OC ＝4．在Rt △OCD 中，OC ＝4，OD ＝5，所以DC ＝224541+=．由OD//CB ，得53DE OD CE BC ==．所以554188DE DC ==．图2 图3 图4（2）因为OC ＜OD ，所以等腰三角形OCD 存在两种情况：①如图3，当DO ＝DC 时，作DH ⊥OC ，那么DH 是△OCF 的中位线．在Rt △ODH 中，OD ＝5，OH ＝2，所以DH ＝225221-=． 所以FC ＝2DH ＝221．此时AF ＝AC ＋FC ＝3221+．②如图4，当CO ＝CD 时，作CM ⊥OD ，那么CM 平分OD ．在Rt △OCM 中，OC ＝4，OM ＝12OD ＝52，所以CM ＝22539422⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由tan ∠COF ＝CM FC OM OC=，得3954394225CM OC FC OM ⋅==⨯÷=． 此时AF ＝AC ＋FC ＝43935+． （3）设⊙O 的半径为1，设sin ∠ODC ＝x ．如果OD //AB ，CD ⊥OB ，那么∠COD ＝90°，∠ODC ＝∠BOC ．如图5，在Rt △ODE 中，由sin ∠ODC ＝OE OD＝x ，得OE ＝x ． 如图6，在Rt △OBC 中，由sin ∠BOC ＝BC OB＝x ，得BC ＝x ． 如图7，由OD //CB ，得OD OE BC BE =．所以11x x x =-． 整理，得x 2＋x －1＝0．解得152x -±=．所以sin ∠ODC ＝512-．图5 图6 图7考点伸展看到第（3）题的结果，不由得想起了黄金分割数，那么图形中的黄金分割点在哪里？ 如图7，因为51DE OE OE DC OB OD -===，所以点E 是线段OB 的黄金分割点，点E 也是线段CD 的黄金分割点．26例 2015年上海市闵行区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－3,0)，点D 在线段AB 上，AD ＝AC ．（1）求这条抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径；（3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上，如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求BN CN的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“15闵行24”，拖动点N 在BC 上运动，可以体验到，当DC 垂直平分MN 时，∠NDC ＝∠ADC ＝∠ACD ，此时DN //AC ．思路点拨1．准确描绘A 、B 、C 、D 的位置，把相等的角标注出来，利于寻找等量关系．2．第（3）题在图形中模拟比划MN 的位置，近似DC 垂直平分MN 时，把新产生的等角与前面存在的等角对比，思路就有了．满分解答（1）将点A (－3,0)代入y ＝ax 2－2ax －4，得15a －4＝0．解得415a =．所以抛物线的解析式为24841515y x x =--． 抛物线的对称轴为直线x ＝1． （2）由24844(3)(5)151515y x x x x =--=+-，得B (5, 0)，C (0,－4)． 由A (－3,0)、B (5, 0)、C (0,－4)，得 AB ＝8，AC ＝5．当AD ＝AC ＝5时，⊙D 的半径DB ＝3．由D (2, 0)、C (0,－4)，得DC ＝25因此当⊙D 与⊙C 外切时，⊙C 的半径为253（如图2所示）．（3）如图3，因为AD ＝AC ，所以∠ACD ＝∠ADC ．如果线段MN 被直线CD 垂直平分，那么∠ADC ＝∠NDC ．这时∠ACD＝∠NDC．所以DN//AC．于是35BN BDCN AD==．图2 图3考点伸展解第（3）题画示意图的时候，容易误入歧途，以为M就是点O．这是为什么呢？我们反过来计算：当DN//AC，35BNCN=时，38DNAC=，因此DM＝DN＝31588AC=．而DO＝2，你看M、O相距是多么的近啊．放大还原事实的真相，如图4所示．图4例 2015年上海市闵行区中考模拟第25题如图1，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝5，AD＝4．M、N分别是边AD、BC 上的任意一点，联结AN、DN．点E、F分别在线段AN、DN上，且ME//DN，MF//AN，联结EF．（1）如图2，如果EF//BC，求EF的长；（2）如果四边形MENF的面积是△AND 面积的38，求AM的长；（3）如果BC＝10，试探求△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15闵行25”，拖动点M在AD上运动，可以体验到，当EF//BC 时，EF是△AND的中位线．还可以体验到，当N是BC的中点时，△ABN、△AND和△DNC 是三个底角相等的等腰三角形．思路点拨1．由平行四边形MENF和平行四边形AEFM，可以得到E是AN的中点．2．第（2）题把四边形MENF与△AND的面积比，转化为△AEM与△MFD的和与△AND的面积比．再根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方列方程．3．第（3）题先探求两个三角形相似，再验证是否与第三个三角形相似．满分解答（1）如图3，由ME//DN，MF//AN，得四边形MENF是平行四边形．所以MF＝EN．如果EF//BC，那么四边形AEFM是平行四边形．所以MF＝AE．所以E是AN的中点．同理F是DN的中点．所以EF是△AND的中位线，此时EF＝12AD＝2．图3 图4 （2）如图4，设AM的长为x．28由ME //DF ，得224AEM AND S AM x S AD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△． 由MF //AN ，得2244MFD AND S DM x S AD -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△． 所以22(4)16AEM MFD AND S S x x S ++-=△△△． 如果四边形MENF 的面积是△AND 面积的38，那么22(4)5=168x x +-． 整理，得x 2－4x ＋3＝0．解得x ＝1，或x ＝3．（3）如图5，在等腰梯形ABCD 中，保持AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 在△ABN 、△AND 、△DNC 中，保持不变的是∠B ＝∠C ．因此△ABN 与△DCN 相似时，存在两种可能：①如果=BA CD BN CN，那么BN ＝CN ．所以N 是BC 的中点． ②如果=BA CN BN CD ，那么510=5BN BN -．解得BN ＝5．所以N 也是BC 的中点． 当点N 是BC 的中点时，△ABN 与△DCN 是两个全等的等腰三角形．此时△AND 也是等腰三角形，∠1＝∠2＝∠4＝∠3．因此△ABN 、△AND 、△DNC 两两相似．由=AB AN AN AD ，得5=4AN AN ．所以=25AN ．图5考点伸展有一种传说叫做数学典型题．这道题目里的3个题目，都是典型图，都有典型结论． 如图3，联结三角形三边中点得到的三角形与原三角形相似，而且与其它三个小三角形全等．第（3）题可以推广为：如果等腰梯形ABCD 的下底BC 等于腰长的2倍，N 是下底BC 的中点，那么△ABN ∽△NCD ∽AND ．。
上海中考各区二模数学试题及答案汇总
2014学年虹口区调研测试九年级数学。
（满分分，考试时间分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效;3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共题,每题分，满分分)．计算的结果是（）．；．；．; ．．．下列代数式中，的一个有理化因式是( )．; ．；．；．．．不等式组的解集是( ）．; ．；．；．．．下列事件中，是确定事件的是（ )．上海明天会下雨；．将要过马路时恰好遇到红灯；．有人把石头孵成了小鸭；．冬天,盆里的水结成了冰．．下列多边形中，中心角等于内角的是（）．正三角形；．正四边形; ．正六边形；．正八边形．．下列命题中,真命题是（）．有两边和一角对应相等的两个三角形全等；．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．二、填空题:（本大题共题，每题分，满分分）．据报道,截止年月某市网名规模达人。
请将数据用科学记数法表示为。
．分解因式：。
．如果关于的方程有两个相等的实数根,那么。
．方程的根是。
初三数学基础考试卷—1—初三数学基础考试卷—2—（第题图） （第题图） （第题图）（第题图）．函数的定义域是 。
．在反比例函数的图像所在的每个象限中,如果函数值随自变量的值的增大而增大，那么常数的取值范围是 。
．为了了解某中学学生的上学方式，从该校全体学生名中，随机抽查了名学生,结果显示有名学生“步行上学”.由此，估计该校全体学生中约有 名学生“步行上学"。
．在中，，点是的重心，如果，那么斜边的长等于 。
．如图，在中,点、分别在边、上，∥，，若，，则 。
．如图,、的半径分别为、,圆心距为.将由图示位置沿直线向右平移，当该圆与内切时，平移的距离是 .．定义为函数的“特征数".如:函数“特征数”是，函数“特征数"是.如果将“特征数”是的函数图像向下平移个单位，得到一个新函数图像,那么这个新函数的解析式是 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015年上海市松江区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）1．（4分）（2002•曲靖）下列根式中与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．2．（4分）（2015•松江区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜4B．k＞4C．k＜0D．k＞03．（4分）（2014•南通）已知一次函数y=kx﹣1，若y随x的增大而增大，则它的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限4．（4分）（2015•松江区二模）一组数据：﹣1，1，3，4，a，若它们的平均数为2，则这组数据的众数为（）A．1B．2C．3D．45．（4分）（2015•松江区二模）已知在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD=BC B．AC=BD C．∠A=∠C D．∠A=∠B6．（4分）（2015•松江区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AB=c，∠a=α，则CD长为（）A．c•sin2αB．c•cos2αC．c•sinα•tanαD．c•sinα•cosα二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）．7．（4分）（2010•南平）计算：2﹣1=．8．（4分）（2015•新疆）分解因式：a2﹣4b2=．9．（4分）（2015•松江区二模）如果f（x）=，那么f（3）=．10．（4分）（2015•松江区二模）已知正比例函数的图象经过点（﹣1，3），那么这个函数的解析式为．11．（4分）（2015•松江区二模）不等式组的解集是．12．（4分）（2015•松江区二模）用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于y的整式方程为．13．（4分）（2014•阜新）任意掷一枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），朝上的面的数字大于2的概率是．14．（4分）（2015•松江区二模）将抛物线y=2x2﹣1向上平移4个单位后，所得抛物线的解析式是．15．（4分）（2015•松江区二模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，如果，，那么=（用，表示）．16．（4分）（2015•松江区二模）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB 为直角，若AB=8，BC=10，则EF的长为．17．（4分）（2015•松江区二模）如图，当小明沿坡度i=1：3的坡面由A到B行走了100米，那么小明行走的水平距离AC=米．（结果可以用根号表示）．18．（4分）（2015•松江区二模）如图，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，BD平分∠ABC，BD交AC于点D，如果将△ABD沿BD翻折，点A落在点A′处，那么△DA′C的面积为cm2．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2015•松江区二模）计算：（1+）÷．20．（10分）（2015•松江区二模）解方程组：．21．（10分）（2015•松江区二模）某品牌电动车经销商一月份销售该品牌电动车100辆，二月份的销售量比一月份增加10%，二月份每辆电动车的售价比一月份每辆电动车的售价低80元，二月份的销售总额比一月份销售总额多12200元，问一月份每辆电动车的售价是多少？22．（10分）（2016•金乡县一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．（1）若BE=8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．23．（12分）（2015•松江区二模）如图，已知在正方形ABCD中，点E在CD边长，过C 点作AE的垂线交于点F，联结DF，过点D作DF的垂线交A于点G，联结BG．（1）求证：△ADG≌△CDF；（2）如果E为CD的中点，求证：BG⊥AF．24．（12分）（2015•松江区二模）如图，二次函数y=﹣x2+bx的图象与x轴的正半轴交于点A（4，0），过A点的直线与y轴的正半轴交于点B，与二次函数的图象交于另一点C，过点C作CH⊥x轴，垂足H，设二次函数图象的顶点为D，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点E和点F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果CE=3BC，求点B的坐标；（3）如果△DHE是以DH为底边的等腰三角形，求点E的坐标．25．（14分）（2015•松江区二模）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=3，sin∠BCD=，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，重足为H．（1）求证：∠BCD=∠BDC；（2）如图1，若以P为圆心，PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，DP 的长；（3）如图2，点E在BC延长线上，且满足DP=CE，PE交DC于点F，若△ADH和△ECF相似，求DP的长．2015年上海市松江区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）1．（4分）（2002•曲靖）下列根式中与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】同类二次根式．【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为6的选项即可．【解答】解：因为=2；A、与2被开方数不同，故不是同类二次根式；B、与2被开方数不同，故不是同类二次根式；C、与2被开方数不同，故不是同类二次根式；D、与2被开方数相同，故是同类二次根式；故选D．【点评】要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断．2．（4分）（2015•松江区二模）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜4B．k＞4C．k＜0D．k＞0【考点】根的判别式．【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：方程有两个不相等的两个实数根，△＞0，进而求出即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac=16﹣4k＞0，解得：k＜4．故选：A．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确记忆△与方程根的关系是解题关键．3．（4分）（2014•南通）已知一次函数y=kx﹣1，若y随x的增大而增大，则它的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【考点】一次函数图象与系数的关系．【专题】数形结合．【分析】根据“一次函数y=kx﹣1且y随x的增大而增大”得到k＞0，再由k的符号确定该函数图象所经过的象限．【解答】解：∵一次函数y=kx﹣1且y随x的增大而增大，∴k＞0，该直线与y轴交于y轴负半轴，∴该直线经过第一、三、四象限．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系．函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0；一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞0，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜0，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=0．4．（4分）（2015•松江区二模）一组数据：﹣1，1，3，4，a，若它们的平均数为2，则这组数据的众数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】众数；算术平均数．【分析】根据平均数的定义即可列方程求得a的值，然后根据众数的定义求解．【解答】解：根据题意得：（﹣1+1+3+4+a）=2，解得：a=3．则组数据的众数是3．故选C．【点评】本题考查了众数的定义以及平均数，正确依据平均数定义求得a的值是关键．5．（4分）（2015•松江区二模）已知在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD=BC B．AC=BD C．∠A=∠C D．∠A=∠B【考点】平行四边形的判定．【分析】利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定得出即可．【解答】解：如图所示：∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，当∠A=∠C时，则∠A+∠B=180°，故AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质以及平行四边形的判定，得出AD∥BC是解题关键．6．（4分）（2015•松江区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AB=c，∠a=α，则CD长为（）A．c•sin2αB．c•cos2αC．c•sinα•tanαD．c•sinα•cosα【考点】解直角三角形．【分析】根据已知条件在Rt△ABC中，用AB和α表示BC，在Rt△DCB中，根据余弦求出CD的长，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，∠A=α，sinα=，BC=c•sinα，∠A+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，∴∠DCB=∠A=α，在Rt△DCB中，∠CDB=90°，cos∠DCB=，CD=BC•cosα=c•sinα•cosα，故选：D．【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，把三角函数的概念看作是公式，在相应的直角三角形中，直接运用．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）．7．（4分）（2010•南平）计算：2﹣1=．【考点】负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】根据幂的负整数指数运算法则进行计算即可．【解答】解：2﹣1=．故答案为．【点评】本题考查负整数指数幂的运算．幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．8．（4分）（2015•新疆）分解因式：a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）．【点评】本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．9．（4分）（2015•松江区二模）如果f（x）=，那么f（3）=．【考点】函数值．【分析】把x=3代入函数关系式计算即可得解．【解答】解：x=3时，f（3）==．故答案为：．【点评】本题考查了函数值求解，是基础题，准确计算是解题的关键．10．（4分）（2015•松江区二模）已知正比例函数的图象经过点（﹣1，3），那么这个函数的解析式为y=﹣3x．【考点】待定系数法求正比例函数解析式．【分析】根据待定系数法，可得正比例函数的解析式．【解答】解：设正比例函数的解析式为y=kx，图象经过点（﹣1，3），得3=﹣k，解得k=﹣3．正比例函数的解析式为y=﹣3x，故答案为：y=﹣3x．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，八点的坐标代入函数解析式得出k 值是解题关键．11．（4分）（2015•松江区二模）不等式组的解集是3＜x＜4．【考点】解一元一次不等式组．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x＜4，解②得：x＞3．则不等式组的解集是：3＜x＜4．故答案是：3＜x＜4．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．12．（4分）（2015•松江区二模）用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于y的整式方程为y2+2y+1=0．【考点】换元法解分式方程．【分析】换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设，换元后整理即可求得．【解答】解：∵，∴y++2=0，整理得：y2+2y+1=0．故答案为：y2+2y+1=0．【点评】考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．13．（4分）（2014•阜新）任意掷一枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），朝上的面的数字大于2的概率是．【考点】概率公式．【专题】常规题型．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数，②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵投掷一次会出现1，2，3，4，5，6共六种情况，并且出现每种可能都是等可能的，∴朝上的面的数字大于2的概率是：=．故答案为：．【点评】本题主要考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，比较简单．14．（4分）（2015•松江区二模）将抛物线y=2x2﹣1向上平移4个单位后，所得抛物线的解析式是y=2x2+3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接利用二次函数图象平移规律得出即可．【解答】解：∵将抛物线y=2x2﹣1向上平移4个单位，∴平移后解析式为：y=2x2+3．故答案为：y=2x2+3．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．15．（4分）（2015•松江区二模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，如果，，那么=（用，表示）．【考点】*平面向量．【分析】先求出，然后根据AD是BC边上的中线，可得出，继而可得出．【解答】解：∵=，=，∴=﹣=﹣，则=﹣=﹣，∵AD是BC边上的中线，∴=2=2（﹣），则=+=+2（﹣）=2﹣．故答案为：2﹣．【点评】本题考查了向量的知识，难度适中，解答本题的关键是熟练掌握用平行四边形法则求向量．16．（4分）（2015•松江区二模）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB 为直角，若AB=8，BC=10，则EF的长为1．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】根据三角形的中位线定理求得DE的长，然后根据FD是直角△ABF斜边上的中线，求得FD的长，则EF即可求得．【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∴DE=BC=×10=5，∵∠AFB为直角，D是AB的中点，即FD是直角△ABF的中线，∴FD=AB=×8=4．∴EF=DE﹣FD=5﹣4=1．故答案是：1．【点评】本题考查了三角形的中位线定理以及直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．17．（4分）（2015•松江区二模）如图，当小明沿坡度i=1：3的坡面由A到B行走了100米，那么小明行走的水平距离AC=30米．（结果可以用根号表示）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】直接利用坡度的定义得出设BC=x，则AC=3x，进而利用勾股定理得出即可．【解答】解：∵小明沿坡度i=1：3的坡面由A到B行走了100米，∴设BC=x，则AC=3x，故x2+（3x）2=1002，解得：x=10，那么小明行走的水平距离AC=30（m）．故答案为：30．【点评】此题主要考查了坡度和坡角问题以及勾股定理，得出BC的长是解题关键．18．（4分）（2015•松江区二模）如图，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，BD平分∠ABC，BD交AC于点D，如果将△ABD沿BD翻折，点A落在点A′处，那么△DA′C的面积为cm2．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，作辅助线；首先运用勾股定理求出AE的长度，进而求出△ABC的面积；求出△DBA′、△CDA′的面积之比；证明△ABD、△A′BD的面积相等，即可解决问题．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E；∵AB=AC，∴BE=CE=3；由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，而AB=5，∴AE=4，；由题意得：，A′B=AB=5，∴CA′=6﹣5=1，∴，∴若设=5λ，故λ+5λ+5λ=12，∴λ=（cm2），故答案为．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质来分析、判断、解答．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2015•松江区二模）计算：（1+）÷．【考点】分式的混合运算．【分析】首先将括号里面通分，进而将能分解因式进行分解因式，进而化简求出即可．【解答】解：（1+）÷=×=．【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确运算顺序是解题关键．20．（10分）（2015•松江区二模）解方程组：．【考点】高次方程．【分析】先将方程组②变形为（x﹣5y）（x+y）=0，再重新构成二元一次方程组，解这两个二元一次方程组即可．【解答】解：原方程变形为：，解得：．【点评】本题考查了消元、降次的方法解二元二次方程组的运用，因式分解的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时将原方程转化为两个二元一次方程组是关键．21．（10分）（2015•松江区二模）某品牌电动车经销商一月份销售该品牌电动车100辆，二月份的销售量比一月份增加10%，二月份每辆电动车的售价比一月份每辆电动车的售价低80元，二月份的销售总额比一月份销售总额多12200元，问一月份每辆电动车的售价是多少？【考点】一元一次方程的应用．【分析】首先设一月份每辆电动车的售价是x元，利用二月份的销售总额比一月份销售总额多12200元，进而得出等式求出即可．【解答】解：设一月份每辆电动车的售价是x元，根据题意可得：100x+12200=（x﹣80）×100×（1+10%）解得：x=2100，答：一月份每辆电动车的售价是2100元．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意结合两个月的销售金额得出等式是解题关键．22．（10分）（2016•金乡县一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．（1）若BE=8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．【分析】（1）根据垂径定理求出DE的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程求出半径；（2）根据OM=OB，证出∠M=∠B，根据∠M=∠D，求出∠D的度数，根据锐角三角函数求出OE的长．【解答】解：（1）设⊙O的半径为x，则OE=x﹣8，∵CD=24，由垂径定理得，DE=12，在Rt△ODE中，OD2=DE2+OE2，x2=（x﹣8）2+122，解得：x=13．（2）∵OM=OB，∴∠M=∠B，∴∠DOE=2∠M，又∠M=∠D，∴∠D=30°，在Rt△OED中，∵DE=12，∠D=30°，∴OE=4．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理和圆周角定理的综合运用，灵活运用定理求出线段的长度、列出方程是解题的关键，本题综合性较强，锻炼学生的思维能力．23．（12分）（2015•松江区二模）如图，已知在正方形ABCD中，点E在CD边长，过C 点作AE的垂线交于点F，联结DF，过点D作DF的垂线交A于点G，联结BG．（1）求证：△ADG≌△CDF；（2）如果E为CD的中点，求证：BG⊥AF．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据正方形性质和垂直求出AD=CD，∠ADE=∠GDF=90°，求出∠ADG=∠CDF，∠DAG=∠DCF，根据ASA推出两三角形全等即可；（2）设正方形ABCD的边长为a，求出DE=EC=a，在Rt△ADE中，由勾股定理求出AE=a，证△ADE∽△CFE，求出CF=2EF，由勾股定理求出EF=a，CF=a，求出AG=CF=a，=，证△ABG∽△EAD，推出∠BGA=∠ADE即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，DG⊥DF，∴AD=CD，∠ADE=∠GDF=90°，∴∠ADG=∠CDF=90°﹣∠GDE，∵AF⊥CF，∴∠EFC=∠ADE=90°，∵∠AED=∠CEF，∴由三角形内角和定理得：∠DAG=∠DCF，在△ADG和△CDF中∴△ADG≌△CDF；（2）设正方形ABCD的边长为a，∵E为CD的中点，∴DE=EC=a，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE==a，∵∠ADE=∠CFE，∠AED=∠FEC，∴△ADE∽△CFE，∴===2，∴CF=2EF，∵CE=a，∠EFC=90°，∴由勾股定理得：EF=a，CF=a，∵△ADG≌△CDF，∴AG=CF=a，即=，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠BAG=∠AED，∴△ABG∽△EAD，∴∠BGA=∠ADE，∵∠ADE=90°，∴∠BGA=90°，∴BG⊥AF．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，此题综合性比较强，难度偏大．24．（12分）（2015•松江区二模）如图，二次函数y=﹣x2+bx的图象与x轴的正半轴交于点A（4，0），过A点的直线与y轴的正半轴交于点B，与二次函数的图象交于另一点C，过点C作CH⊥x轴，垂足H，设二次函数图象的顶点为D，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点E和点F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果CE=3BC，求点B的坐标；（3）如果△DHE是以DH为底边的等腰三角形，求点E的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；（2）利用平行线分线段成比例定理得出HO=，CH=，进而得出BO的长即可得出答案；（3）利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出EF的长即可得出答案．【解答】解：（1）将A（4，0），代入y=﹣x2+bx得：0=﹣16+4b，解得：b=4，故y=﹣x2+4x；（2）∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴D（2，4），则FO=2，∵BO∥HC∥EF，∴==3，∴HO=，CH=，由=得，BO=2，则B（0，2）；（3）连接EH，DH，当△DHE是等腰三角形，DH为底，则HE=DE，设OH=a，CH=﹣a2+4a由=，即=，得：EF=2a，故DE=HE=4﹣2a，由EH2=EF2+FH2得，（4﹣2a）2=（2a）2+（2﹣a）2，解得：a=4﹣6（负数舍去），故E（2，8﹣12）．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，正确应用勾股定理以及数形结合求出是解题关键．25．（14分）（2015•松江区二模）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=3，sin∠BCD=，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，重足为H．（1）求证：∠BCD=∠BDC；（2）如图1，若以P为圆心，PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，DP 的长；（3）如图2，点E在BC延长线上，且满足DP=CE，PE交DC于点F，若△ADH和△ECF相似，求DP的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）作DQ⊥BC，在直角△CDQ中利用三角函数即可求解；（2）设DP=x，当⊙P与⊙H外切时，PH=DH+BP，据此即可列方程求得；（3）作PM∥BE，分△ADH∽△FCE和△ADH∽△ECF两种情况进行讨论，依据相似三角形的对应边的比相等求解．【解答】解：（1）作DQ⊥BC，∵BQ=AD=3，DQ=AB=4，∴CD==2，CQ=2，∴BC=5=BD，∴∠BCD=∠BDC；（2）设DP=x，则DH=x，PH=x，BP=5﹣x．当⊙P与⊙H外切时，PH=DH+BP，即x=x+5﹣x，解得：x=；（3）作PM∥BE．则PM=DP=x，DH=HM=x，由==1，CF=FM=﹣x，当△ADH∽△FCE时，，即=，解得：x=﹣10（舍去）．当△ADH∽△ECF时，=，即=，解得：x=．∴DP的长是．【点评】本题考查了三角函数以及相似三角形的判定与性质和圆外切的性质，正确分成△ADH∽△FCE和△ADH∽△ECF两种情况进行讨论，求得x的值是关键．。