演示文稿机器人雅可比矩阵

C
2
f2 q1, q2 ,, qn
Cm f6 q1, q2 ,, qn
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求微分，
C C q
q
Ci 的微分是 qi 微分的函数
C1
C1 q1
q1
C1 q2
q2
C1 qn
qn
C2
C2 q1
q1
C2 q2
q2
C2 qn
qn
Cm
Cm q1
q1
Cm q2
q2
Cm qn
qn
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写成C=J(q) q，式子两边同除以时间的微分，
C J (q)q
上式中，雅可比矩阵 J(q)是 m×n 的偏导数矩阵
C1
q1
C2
J
(q)
q1
Cm
q1
C1 q2C1 qn NhomakorabeaC2 q2
C2
qn
Cm Cm
q2
qn
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注意道，如果函数 f1(q) 到 f6(q) 是非线性的，则 C/q 是 q 的函数。可以把雅可比矩阵看作是 q 的速度 变换到 Ċ 的变换矩阵，在任何特定时刻，q 具有某一特 定值，J(q)就是一个线性变换。在每一新的时刻，q 已 改变，线性变换也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时 变的线性变换矩阵。
y1 un
y2
un
J(u) R mn
y J(u)u
ym un
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根据上述一般数学定义，对于6关节机器人：
设有6个各含6个独立变量的函数，简写为x=f(q)。
x1 f1(q1, q2 , , q6 ) x f (q) x2 f2 (q1, q2 , , q6 ) 求微分，
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考虑C为一个行为函数,可以按照一般求导方法写出其 导数，为 C / q 。对C求导，得
C C q q
矩阵 C / q 被称作C的雅克比矩阵，记作J(q)。一般地， 雅克比矩阵是一个多维导数形式的矩阵。设有m个各含n个 独立变量的约束函数
C1 f1q1, q2 ,, qn
x f
Zc
y
0
1 0
0 f 0
0 0 1
0 0 0
wcT
Xw Yw Zw 1
M1 wcT
Xw
MX w
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对上式两边求导，得：
X JV X w 数。进J一V为步世，界经坐过标立系体到视图觉像摄坐像标机系定的标雅，可得比到映：射矩阵，它是摄像机内外参数的函
1
c12 l1s2
;2
c1 l2s2
c12 l1s2
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讨论：机械手接近奇异形位时，关节 速度将趋于无穷大。
当2＝0； 2＝180时，机械手在
水平位置，
1
c12 l1s2
;2
c1 l2s2
c12 l1s2
q J 1 (q)x
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例：物理仿真中的雅可比矩阵
• 约束函数C(x),
与系统合法位移的点积为零，满足虚功原理的要求。
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例子2：立体视觉雅可比矩阵
两只CCD摄像机任意的安装在 机器人手腕上，形成手眼机器人 立体视觉系统。
scene point
P(Xc, Yc, Zc)
{Xc,Yc,Zc}为摄像机坐标系，
{x,y}为图像坐标系，
p
CO为摄像机焦距 f
JT
C1
q
C2 q
Cm
q
其中，每个矢量Ci/q是标量约束函数Ci的梯度矢量。 既然我们的基本要求是C＝0，这些梯度是约束超曲面的
法线，表达禁止系统运动的形位空间方向。形式为 JT 的矢
量是这些梯度矢量的线性组合，张成被禁止（prohibited）方 向组成的子空间。通过把约束力限定在该子空间中，确保它
x f q q
x6 f6 (q1,
注意，如果函数 f1(q)
，写成
q到2 ,
, q6 )
，f6(式q) 子是两非边线同性除的以，时则间的微分f，是qq的函数
x J (q)q
上式中，66的偏导数矩x 阵JJ((qq))叫q 做雅可比矩阵。其中
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J ij q
xi q
q j
雅可比矩阵
x l1c1 l2c12 y l1s1 l2s12
y
l2
l1
1 x
(x,y)
2
将平面2R机械手的运动学方程两端分别对时间t求导,则得 其雅可比矩阵为
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对于关节空间的某些形位q，操作臂的雅可比矩阵 的秩减少、这些形位称为操作臂的奇异形位：
(singular configuration)
将两者合并为6维列矢量D，称为刚体或坐标系的微分运动矢量：
d
相应地，刚体或坐标系D的广义速度V是由线速度v,
组成的6维矢量：
V
v
lim
t 0
1 t
d
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微分运动D和广义速度V是 相对于参考坐标系而言的。 例如，相对于坐标系{T}而言，
用 ， 表示。T D TV
T
D
Td
图5.9 粒子运动满足约束函数C，并 绕圆周运动。
图5.10 虚功原理要求约束力只能位于 圆周的法线方向
第二十页，共76页。
把作用在所有粒子上的力用一个力矢量表示，记为Q。 则控制粒子系统的牛顿方程为
q WQ
其中 W 是M的逆。 对于约束也使用综合的记号法，所有的标量约束函数
形成一个单一的矢量函数C(q)＝(C1(q) C2(q) … Cm(q))。如 果我们有n个3D粒子，服从于m个约束,那么这个总的约束 函数的输出是一个m 维矢量，而它的输入是一个3n 维矢 量。
x J (q)q
操作臂的雅可比矩阵 J (q)，建立了从 关节速度向操作速度的映射关系。进行 机器人操作臂的速度分析。
式中，x 称为末端在操作空间的广义速度，简称为操作
x x(q) 速度，q 为关节速度；操臂作的J (臂位q)的移运关是动系6学，×方建n的程立，了偏描操导述作数机空矩器间阵人与，操关作节称
O
C
x
{Xw,Yw,Zw}为世界坐标系，则
y
根据上述透视投影关系,得到以
世界坐标系表示的P点坐标与其
Xc Yc
投影点p的坐标(x,y)的关系：
摄像机成像模型
Zc
image plane
optical center
Zw W
Xw Yw
x f
Zc
y
0
1 0
0 f 0
0 0 1
0 0 0
Xc Yc Zc 1
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机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
雅可比矩阵在机器人中的应用
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• 可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 变q 换到操作
速度V的变换矩阵
• 在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个线性 变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换也因之改 变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变换矩阵。
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下面通过一个简单例子介绍约束动力学方法。一个2 D
粒子被强制绕单位圆周运动，设计一个标量行为函数 C(q)
来表达约束。例如可规定约束为
C(q) 1 (q q 1) 2
C=0
Ċ=0
C =0
C=0 合法位置 Ċ=0 合法速度
C =0 合法加速度
fC
C q
约束力 fC ： 限制为法线方向； 与所有合法位移垂直； 不做功、没有能量增加或 损失； 一个自由度：
沿切向运动，在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将 减少。
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例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速度运
动，求相应的关节速度
q 1 2 T
解：由
可以看出，只要机
械手的雅可比J(q)是满秩的方阵,相应
的关节速度即可解出
q J 1 (q)x
对于平面2R机械手，运动学方程为
的速度）必须满足J q ＝0。为确保约束力不做功，要求
Qˆ T q 0 q | J q 0
Qˆ 矢量满足上式要求的充分必要条件，可以表示为下面的形式
Qˆ ＝JT 其中， 是一个与C 的维数相同的矢量，JT 为 J 的转置矩阵。
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为了要理解这个表达式的含义，可把矩阵 JT 视为矢量 的集合
• 在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是把关 节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联系在一起 的。
• 必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和外形，
关节速度是和操作臂末端的直角坐标速度成线性关系， 但这只是一个瞬间关系。
第十一页，共76页。
第十二页，共76页。
例4.1 平面2R机械手的运动学方程为
ym (u) ym (u1, u2 ,, un )
对于m=1, （标量对矢量的导数）
y u
y1 u1
y1 u2
y1 un
y相对于u的偏导数定义为
y u
u
y1 (u)
u
y2 (u)
u ym (u)
y1 u1 y2 u1
ym u1
y1 u2 y2 u2
ym u2
x(k 1) x(k) (t t)JV (k)u(k)
x(k 1) x(k) (t t)JV (k)u(k)
其中，u (k )=
控制方程。
X ，w k代表摄像机1，2。上式为手眼机器人跟踪系统的视觉伺服
如x(k果)，物根体据在世上界式坐可标以系估下计的下速一度帧图已像知X位，w 置根x据(k采+1样)，时则间可步通长过t控，前制一摄帧像图机像位位姿置
T
TV
Tv
T
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δ d
若相对于基坐标系的微分运动为D，则相对于坐标系{T}的微分运动
为
TD
δ
注意：D的微分位移和旋转应看作通过 基坐标系的原点的矢量。
T T
dx dy
d d
n o
，可以实现对目标的跟踪。
第二十九页，共76页。
4.2 微分运动与广义速度
第三十页，共76页。
4.2 微分运动与广义速度
刚体或坐标系的微分运动包含微分移动矢量d和微分转动矢量。 前者由沿三个坐标轴的微分移动组成；后者又绕三个坐标轴的微分转 动组成，即
d dx , d y , dz T x , y , z T
为操作臂的雅可比矩阵空。间它的映的射第关i行系第。 j列元素为
J
iAj qp
xi q ABTqBjp
，i=1刚,2体,…的,齐6;次变j=换1,2矩,…阵，,n。描述刚体之间的
空间位姿关系。
第六页，共76页。
假设矢量yRm为uRn的函数
y= y(u)
y1 (u)
y2 (u)
y1(u1, u2 ,, un ) y2 (u1, u2 ,, un )
• 单位圆上的质点位置约束为
C(x) x x 1
• 一般情况下，采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置。在3D空间， 矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q的未知函
数，则速度约束
C C q q
矩阵 C / q 被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理仿真，
求微分 真。
C ，J根q据力J q学 关系，建立微分约束方程，基于物理仿
关节角位置和操作臂末端的直角坐标位置
x x(q)
运动学正解
q
关节空间
操作空间 x x(q)
运动学反解
第四页，共76页。
关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度
运动学正解
关节空间
操作空间
运动学反解
第五页，共76页。
4.1 雅可比矩阵的定义(Jacobian matrix)
操作空间速度与关节空间速度之间的线性变 换。
操作臂的雅可比矩阵的秩减少的形位（数学上）
操作臂在操作空间的自由度将减少（物理上）
第十四页，共76页。
例4.1
y
l2
l1
1 x
可利用雅可比矩阵的行列式判别奇异形位
(x,y)
2
当2＝90或2 ＝0时,机械手的雅可比行列式为0．矩阵的秩为 1，因而处于奇异状态。从几何上看机械手完全伸直(2 ＝0)或 完全缩回(2 ＝180)时，机械手末端丧失了径向自由度．仅能
机器人雅可比矩阵ppt课件
第一页，共76页。
4.1 雅可比矩阵的定义
第二页，共76页。
回顾：基本概念
• 刚体位姿描述和齐次变换
• 齐次坐标,欧拉角与 RPY 角 • 齐次变换和齐次变换矩阵的运算
• 操作臂运动学
• 连杆参数、连杆坐标系 • 连杆变换和运动学方程 • 机器人关节空间与操作空间
第三页，共76页。
平面2R机械手的速度
反解
第十六页，共76页。
例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速度运
动，求相应的关节速度
q 1 2 T
解：雅可比J(q)为
逆雅可比可为
J
1 (q)
1 l1l2 s2
l2c12 l1c1 l2c12
l2s12
l1s1
l2
s12
于是得到与末端速度 x [1, 0]T 相应的关节速度 反解为
C 再对时间求导，得到： C J q J q
J 是雅克比矩阵对时间的导数，可记为 J J / q q 。
第二十五页，共76页。
用系统的运动方程替代 q ，得到
设 C 为零，有
C J q J W(Q Qˆ ) J W Qˆ Jq J W Q
如果未知量数目大于方程数目，需要引入虚功原理。合法速度（不改变约束C