【大师特稿】高考数学答题模板：第8讲-统计和古典概型的综合问题(含解析)

第8讲统计和古典概型的综合问题
例10 某校高三(1)班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计，得到如下频率分布表：
(1)求分布表中s，t
(2)王老师为完成一项研究，按学习时间用分层抽样的方法从这40名学生中抽取20名进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？
(3)已知第一组学生中男、女生人数相同，在(2)的条件下抽取的第一组学生中，既有男生又有女生的概率是多少？
审题破题根据频率、频数关系求s，t→
根据分层抽样特征求第一组抽取的学生数→
列举第一组中所有抽样的方法→利用古典概型求解
解 (1)s ＝8
40
＝0.2，t ＝1－0.1－s －0.3－0.25＝0.15.
(2)设应抽取x 名第一组的学生，则x 4＝20
40
，得x ＝2.故应抽取2名第一组的学生．
(3)在(2)的条件下应抽取2名第一组的学生，记第一组中2名男生为a 1，a 2,2名女生为b 1，b 2.按学习时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种结果，列举如下：a 1a 2，a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2，b 1b 2.其中既有男生又有女生被抽中的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2这4种结果，所以既有男生又有女生被抽中的概率为P ＝46＝2
3
.
构建答题模板
第一步：定模型：根据统计知识确定元素总体、个体以及要解决的概率模型. 第二步：列事件：将所有基本事件列举出来可用树状图
第三步：算概率：计算基本事件总数n ，事件A 包含的基本事件数m ，代入公式P A ＝m
n
. 第四步：规范答：要回到所求问题，规范作答.
对点训练10 某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
解(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为
10
＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以P(B)＝6
15＝
2
5
.。