(福建专用)高考数学总复习 第五章第5课时 数列的综合应用随堂检测课时闯关(含解析)

（福建专用）2013年高考数学总复习 第五章第5课时 数列的
综合应用随堂检测课时闯关（含解析）
一、选择题
1．(2011·高考大纲全国卷)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
解析：选D.∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，
∴k ＝5.
2．某工厂生产总值月平均增长率为p ，则年平均增长率为( ) A ．p B ．12p
C ．(1＋p )12
D ．(1＋p )12
－1
解析：选D.设开始产值为1，则按月平均增长率为p ，一年后产值(1＋p )12
，故年平均
增长率为(1＋p )12
－1.故选D.
3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝－18，S 13＝－52，等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7
＝a 7，则b 15的值为( )
A ．64
B ．－64
C ．128
D ．－128
解析：选B.因为S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝－18，S 13＝13
2
(a 1＋a 13)＝13a 7＝－52，所以a 5＝
－2，a 7＝－4，又b 5＝a 5，b 7＝a 7，所以q 2＝2，所以b 15＝b 7·q 8
＝－4×16＝－64.
4．数列{a n }的通项公式是关于x 的不等式x 2－x <nx (n ∈N *
)的解集中的整数个数，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )
A ．n 2
B ．n (n ＋1) C.n n ＋2
D ．(n ＋1)(n ＋2)
解析：选C.由x 2－x <nx ，得0<x <n ＋1(n ∈N *
)，
因此a n ＝n ，S n ＝n n ＋
2
.
5．某小区现在的住房面积为a 平方米，在改造过程中政府决定每年拆除b 平方米旧住房，同时按当年住房面积的10%建设新住房，则n 年后该小区的住房面积为( )
A ．a ·1.1n －nb
B ．a ·1.1n －10b (1.1n
－1)
C ．n (1.1a －1)
D ．1.1n
(a －b ) 答案：B 二、填空题
6．(2012·厦门调研)已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n －1，a n )(n >1且n ∈N)满足y ＝2x －1，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.
解析：a n ＝2a n －1－1⇒a n －1＝2(a n －1－1)，
∴{a n －1}是等比数列，则a n ＝2n －1
＋1. ∴a 1＋a 2＋…＋a 10
＝10＋(20＋21＋22＋…＋29
)
＝10＋1－210
1－2
＝1033.
答案：1033
7．已知整数对排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3), (3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第62个整数对是________．
解析：整数2,3,4，…的拆分，1＋2＋…＋11＝66，故第62是和为12拆分的倒数第5个，是(7,5)．
答案：(7,5)
8．(2011·高考湖北卷)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
解析：自上而下各节的容积成等差数列{a n }，前n 项和为S n . S 4＝3，S 9－S 6＝4，
∴a 8＝43，a 2＋a 3＝32
.
∴2a 8－a 2－a 3＝7
6
＝11d ，
a 5＝a 8－3d ＝43－722＝67
66.
答案：6766
三、解答题
9．据统计测量，某养鱼场第一年的总重量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半，则饲养5年后，鱼的总重量是原来的多少倍？
解：设鱼原来的总重量为1，
则1年后，鱼的总重量为1×(1＋2)＝3；
2年后，鱼的总重量为3(1＋1
2
×2)＝6；
3年后，鱼的总重量为6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×2＝9； 4年后，鱼的总重量为9⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123×2＝45
4；
5年后，鱼的总重量为454⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫124×2＝405
32
.
故5年后，鱼的总重量是原来的405
32
倍．
10．已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，a 5＝18，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋1
2
b n
＝1.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证数列{b n }是等比数列； (3)记c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1≤c n .
解：(1)由已知⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋d ＝6，
a 1＋4d ＝18，
解得a 1＝2，d ＝4，
∴a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2.
(2)证明：由于T n ＝1－1
2b n ，①
令n ＝1，得b 1＝1－12b 1，解得b 1＝2
3.
当n ≥2时，T n －1＝1－1
2
b n －1，②
①－②得b n ＝12b n －1－1
2
b n ，
∴b n ＝13b n －1.又b 1＝23≠0，∴b n b n －1＝13
，
∴数列{b n }是以23为首项，1
3
为公比的等比数列．
(3)证明：由(2)可得b n ＝2
3n .
c n ＝a n ·b n ＝(4n －2)23n ＝n －
3n
， c n ＋1－c n ＝n ＋3n ＋1－n －3n ＝－n
3
n ＋1
. ∵n ≥1，故c n ＋1－c n ≤0，∴c n ＋1≤c n .
一、选择题
1．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝1
2
(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝
log 0.5a 3＋a 9
2
，P 与Q 的大小关系是( )
A ．P ≥Q
B ．P >Q
C ．P ≤Q
D ．P <Q 解析：选D.P ＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 3a 9.
∵a n >0，q ≠1，∴a 3＋a 9
2
>a 3a 9.
又y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上单调递减，
∴log 0.5a 3＋a 9
2
<log 0.5a 3a 9，即P <Q .
2．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间为( )
A ．10秒钟
B ．13秒钟
C ．15秒钟
D ．20秒钟
解析：选C.设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，
公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n n －d
2
＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得
n ＝15.
二、填空题
3．从盛满729升纯酒精的容器里倒出a 升，然后用水填满，再倒出a 升混合溶液，用水填满，这样继续进行，一共倒了6次，这时容器里还含有64升纯酒精，则a 的值为________．
解析：记：倒了n 次后容器里还含有a n 升纯酒精，则a n ＋1＝a n －a ·a n 729，即a n ＋1a n ＝729－a
729
，
数列{a n }为等比数列，公比为729－a
729
，a 1＝729－ a ，
∴a 6＝(729－a )⎝ ⎛⎭⎪
⎫729－a 7295，
所以64×7295＝(729－a )6,
所以a ＝34.3. 答案：34.3
4．(2012·泉州质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4,2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是________．
解析：由题知1≤a 1＋4d ≤4,2≤a 1＋5d ≤3，
则S 6＝6a 1＋15d ＝15a 1＋4d －9a 1＋5d ，由不等式性质知S 6∈(－12,42)．或线性规划知
识可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
1≤a 1＋4d ≤42≤a 1＋5d ≤3，令z ＝S 6＝6a 1＋15d 同样得S 6∈(－12,42)．
答案：(－12,42) 三、解答题
5．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝
a n 2a n ＋1
(n ∈N *
)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)设2b n ＝1
a n
＋1 ，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n ；
(3)已知P n ＝(1＋b 1)(1＋b 3)(1＋b 5)·…·(1＋b 2n －1)，求证：P n >2n ＋1.
解： (1)由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1－1a n ＝2，且1
a 1＝1，所以知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是以1为首项，以2
为公差的等差数列， 所以1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得a n ＝1
2n －1
.
(2)由2b n ＝1a n ＋1得2b n ＝2n －1＋1＝2n ，∴b n ＝1n
，
从而b n b n ＋1＝1
n n ＋
，则T n ＝b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1＝
11×2＋12×3
＋…＋1
n n ＋
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.
(3)证明：已知P n ＝(1＋b 1)(1＋b 3)(1＋b 5)…(1＋b 2n －1) ＝21·43·65·…·2n 2n －1
， ∵(4n )2－1<(4n )2
， ∴2n ＋12n <2n 2n －1，
设T n ＝32×54×…×2n ＋12n
，则P n >T n ，
从而P 2
n >P n T n ＝21×32×43×…×2n 2n －1×2n ＋12n
＝2n ＋1，故P n >2n ＋1.
6．某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n 天的利润a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1， 1≤n ≤251
25
n ， 26≤n ≤60(单元：万元，n ∈N *
)，记第n 天的利润率b n ＝
第n 天的利润前n 天投入的资金总和，例如b 3＝a 3
38＋a 1＋a 2
.
(1)求b 1，b 2的值；
(2)求第n 天的利润率b n ；
(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．
解：(1)当n ＝1时，b 1＝1
38
；
当n ＝2时，b 2＝1
39
.
(2)当1≤n ≤25时， a 1＝a 2＝…＝a n －1＝a n ＝1.
∴b n ＝a n 38＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＝138＋n －1＝1
37＋n .
当26≤n ≤60时，
b n ＝a n
38＋a 1＋…＋a 25＋a 26＋…＋a n －1
＝n 2563＋
n －n ＋50
＝2n
n 2－n ＋2500
，
∴第n 天的利润率b n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
1
37＋n ， 1≤n ≤25
2n
n 2
－n ＋2500，26≤n ≤60
(n ∈N *
)
(3)当1≤n ≤25时，
b n ＝137＋n 是递减数列，此时b n 的最大值为b 1＝138；
当26≤n ≤60时，
b n ＝2n n 2－n ＋2500＝2n ＋2500n
－1
≤222500－1＝299
(当且仅当n ＝2500
n ，即n ＝50时，
“＝”成立)．
又∵138>299，∴n ＝1时，(b n )max ＝138
.
∴该商店经销此纪念品期间，第1天的利润率最大，且该天的利润率为1
38
.。