福建省永安市第一中学、漳平市第一中学2020届高三数学上学期第一次联考试题理

福建省永安市第一中学、漳平市第一中学2020届高三数学上学期第一
次联考试题 理
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1.已知集合2
{10},{0}x M x x N x
x
-=-≤=≤，则()R C M N ⋂=（ ） A. (0,1)
B. (0,2]
C. (1,2]
D. [1,2]
2.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 3.下列说法错误的是（ ）
A. “0x >”是“0x ≥”的充分不必要条件
B. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”
C. 若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题
D. 命题:p x R ∀∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∃∈，使得210x x ++≥ 4. 已知1
cos()3
πθ+=-，则sin(2)2
π
θ+
=（ ）
A.
79
B. 79
-
C.
42
9
D. 42
9
-
5.函数3()2x
y x x =-⋅的图象大致是( )
6. 已知4(
,),tan()243π
πθπθ∈-=-，则sin()4π
θ+=（ ） A. 35 B. 45 C. 45- D. 35
-
7.已知1
13
2
12,3,sin 4a b c xdx π
--===⎰,则实数,,a b c 的大小关系是( )
A.a c b >>
B. a b c >>
C. b a c >>
D.c b a >>
8.将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中,
分钟
后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线nt
y ae =.假设过5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若
再过m 分钟甲桶中的水只有
4
a
升,则的值为
( )
(A)5 (B)8 (C)9 (D)10 9.已知1sin()63π
α+
=，则2cos(2)3
π
α-的值是（ ） A.
59
B. 79-
C. 13
-
D. 8
9
-
10.已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足：当0<x 时,0)()(2<'+x f x x f 则（ ） A. )3(9)()2(42
f e f e f >> B. )()3(9)2(42
e f e f f ->->- C.)()2(4)3(92
e f e f f ->> D.)3(9)2(4)(2
->->f f e f e
11.已知函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=,当[]2,0x ∈-时
x x x f 2)(2--=则当[]2018,2020x ∈时)(x f y =的最大值为（ ）
A.8-
B.1-
C.1
D.0 12.已知函数2
1
()(2)x f x x x e
-=-当1x >时()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为
（ ）
A.1m ≤
B.1m <-
C. 1m ≥-
D. 1m >-
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置． 13.计算
1
21
(1)x x dx --+=⎰
______________.
14.函数log (4)2(01)a y x a a =++>≠且的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则sin 2α=
15.如图,已知正方形ABCD 的边长为2,BC 平行于x 轴,顶点,,A B C 分别在函数
1233log ,2log ,log (1)a a a y x y x y x a ===>的图象上,则实数a 的值为 .
16.已知函数2
3
()cos sin 1(0,)2
2
x
f x x x R ωωω=+
->∈，若()f x 在区间(,2)ππ上没有零点，则ω的取值范围是 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17.（12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小；
（2）若3,23b a c =+=，求ABC ∆的面积．
18.（12分）
已知二次函数2
()f x ax bx =+满足(1)(1)f x f x -=--，且在R 上的最小值为
（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；
（2）当[]2,1x ∈-时，求函数()()x
g x xf x e =⋅的极值..
19.（12分）
已知函数2()1cos 2sin ,.f x x x x x R =+-∈
（1）若[0,]x π∈，求函数()f x 的单调递减区间；
（2）若把()f x 向右平移6
π
个单位得到函数()g x ，求()g x 在区间[,0]2π-上的最值．
20.（12分）
已知函数()ln()f x x ax =⋅其中0a >.
（1）若()t
f x x ≤在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）设()
()sin f x g x a x x
=+且()g x 在(]0,π上为单调函数，求实数a 的取值范围.
21.（12分）
已知函数3()(1)ln ,()ln f x x x g x x x e
=-=--.
（1）求证：函数()y f x =的图像恒在函数()y g x =图像的上方；
（2）当0m >时，令()()()h x mf x g x =+的两个零点1,212()x x x x <.求证：211
x x e e
-<-
.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）
在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为(sin x y α
αα⎧=⎪⎨=⎪⎩
为参数）．以坐标原点O 为极
点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4
π
ρθ+=．l 与C 交
于,A B 两点．
（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点(0,2)P -，求PA PB +的值．
23．［选修4—5：不等式选讲］（10分） 已知函数()15f x x x =-+-． （1）解关于x 的不等式()6f x >；
（2）记()f x 的最小值为m ，已知实数,,a b c 都是正实数，且
111234
m
a b c ++=，求证：239a b c ++≥．
漳平一中2019-2020学年第一学期第一次月考
高三数学（理科）答案
一、选择题
1—5，CACBB ，6—10，ABABA ，11—12，CD 二、填空题
13.
2
π
14.1213- 15.2 16.12(0,][,1]33⋃
三、解答题
17. 解：（1）∵A +B +C =π，即C +B =π-A ，
∴sin （C +B ）=sin （π-A ）=sin A ，………………………………………………1分 将（2a -c ）cos B =b cos C 利用正弦定理化简得：
（2sin A -sin C ）cos B =sin B cos C ..........................................3分 ∴2sin A cos B =sin C cos B +sin B cos C =sin （C +B ）=sin A ，………………………..4分 在△ABC 中，0＜A ＜π，sin A ＞0，∴cos B =，
又0＜B ＜π，则B =...................................................6分 （2）∵b =，cos B =cos=，
由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B 得：a 2+c 2-ac =（a +c ）2-3ac =3
∵a +c =2. ∴ac =3……………………………………………………………...9分 又sin B =sin=， ∴S =ac sin B =ac =
，即△ABC 的面积为
，……………………………….12分
18.解（1）依题意得：二次函数且
，.................3分
解得
....................................... .......4分
故切点（0,0），
................5分
所求切线方程为：
....................................6分（2）
.................7分
.................8分
令得
（舍去）......................9分
在[-2,-1]为增函数，[-1,0]为减函数，[0,1]为减函数......10分
.......................12分
19. 解：（1）=1+2sin x cosx-2sin 2x =sin2x +cos2x =2sin （2x +），……2分
令2k π+≤2x +≤2k π+，k ∈Z ，
得k π+≤x ≤k π+，k ∈Z ，…………………………………………………….4分 又0x π≤≤，∴26
3
x ππ
≤≤
可得函数
的单调减区间为[，]．……………………………………..6分
（2）若把函数f （x ）的图像向右平移个单位， 得到函数=
的图像，…………..8分
∵x ∈[-，0]，
∴2x -∈[-，-]，…………………………………………………………..9分
∴∈[-2，1]．………………………………………..11分
故g（x）在区间上的最小值为-2，最大值为1．………………….12分
20.解：（1）依题意在定义域
上恒成立，
构造在定义域
上恒成立，..............1分
只需
(2)
分
而
令得
...................................3分
所以在
为增函数，在
为减函数，.............4分
............................5分
得
....................................... ...6分
（2）由在
上为单调函数，
而其中
..............7分
在为减函数，
............8分
在恒成立......................9分
得
........................11分
故
....................................... 12分
21.（1）证明：构造函数 (1)
分
则令
得
............................2分
时
时
在（0,1）为减函数，在（1，）为增函数，...................3分
所以，即
..................4分
故函数的图像恒在函数
图像的上方....................5分
（2）证明：由有两个零点，
当时
....................6分
则在
为增函数，且
，..................7分
则当时
为减函数，当
时
，
为增函数，
................................8分又......9分
...............................10分
在
和
上各有一个零点
，.........11分
故
.......................................
...12分
22. （Ⅰ）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为C： x2+y2=1；
直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=，即ρcosθ-ρsinθ=2，
直线l的直角坐标方程：y=x-2．…………………………………………….5分（Ⅱ）点P（0，-2）在l上，l的参数方程为（t为参数），
代入x2+y2=1整理得，3t2-10t+15=0，
由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=………………………………………….10分23. 解：（1）∵f（x）=|x-1|+|x-5|＞6，
∴或或，
解得x＜0或x＞6．
综上所述，不等式f（x）＞6的解集为（-∞，0）∪（6，+∞）．……………5分
（2）由f（x）=|x-1|+|x-5|≥|x-1-（x-5）|=4（当且仅当（x-1）（x-5）≤0即1≤x≤5时取等号）．
∴f（x）的最小值为4，即m=4，∴=1，
∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（）=3+（+）+（+）+（+）≥9．
当且仅当=，=，=即a=2b=3c即a=3，b=，c=1时取等号．………..10分。