高考一轮数学(理)复习课时作业19

课时作业19 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．sin600°的值为( B )
A ．－12
B ．－32
C ．12
D ．32 解析：sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.
2．(2019·福州质检)已知直线2x ＋y －3＝0的倾斜角为θ，则sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ
的值是( C )
A ．－3
B ．－2
C ．13
D ．3
解析：由已知得tan θ＝－2， ∴sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－2＋1－2－1＝13
. 3．(2019·陕西宝鸡金台区质检)已知sin2α＝23，则tan α＋1
tan α＝( C )
A ． 3
B
．
2
C
．
3
D ．2
解析：tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2sin2α＝2
23
＝3.故选C ．
4．(2019·山东寿光一模)若角α的终边过点A (2,1)，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32π－α＝( A )
A ．－25
5 B ．－5
5 C ．55
D ．255
解析：根据三角函数的定义可知cos α＝
25
＝25
5，则 sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32π－α＝－cos α＝－25
5，故选A ． 5．(2019·兰州质检)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋α＝( A )
A ．－13
B ．13
C ．－2
3
D ．－223
解析：∵a ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，
∴13×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝13，
∴cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－13.
6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2π3＋2α等于( A )
A ．－7
9 B ．－13 C ．13
D ．79
解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－α＝π
2，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1
3. 则cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝
⎛⎭
⎪⎫π3＋α－1＝－7
9.
7．(2019·山东菏泽联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝1
3，则tan(π
＋2α)＝( A )
A ．42
7 B ．±225 C ．±427
D ．225
解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝1
3，
∴cos α＝13，sin α＝－22
3，
由同角三角函数的商数关系知tan α＝sin α
cos α＝－22， ∴tan(π＋2α)＝tan2α＝
2tan α1－tan 2α＝－421－(－22)
2＝427，故选A ． 8．(2019·咸阳月考)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 018)的值为( C )
A ．－1
B ．1
C ．3
D ．－3
解析：∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3.
9．化简：1＋2sin (π－3)cos (π＋3)＝sin3－cos3__. 解析：因为sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3， 所以原式＝1－2sin3cos3＝(sin3－cos3)2＝|sin3－cos3|， 又因为π
2＜3＜π，所以sin3＞0，cos3＜0，
即sin3－cos3＞0，故原式＝sin3－cos3. 10．sin 2
1°＋sin 2
2°＋…＋sin 2
90°＝91
2 .
解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 2
2°＋cos 2
2°)＋…＋(sin 2
44°＋cos 2
44°)＋sin 2
45°＋sin 2
90°＝44＋12
＋1＝912.
11．(2019·安徽六校联考)是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2，β∈(0，π)，使
等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值？若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件，
则由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝2sin β，①
3cos α＝2cos β，②
由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2
α＝12，∴sin α＝±2
2.
∵α∈⎝
⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.
当α＝π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)，∴β＝π
6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝3
2，
又β∈(0，π)，∴β＝π
6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π
6满足条件．
12．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )
cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )．
(1)化简f (x )的表达式；
(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
504π1 009的值．
解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]
＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )
＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )
2
＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }
＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]
＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )
＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2
＝sin 2x ， 综上得f (x )＝sin 2x .
(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
504π1 009
＝sin 2π2 018＋sin 21 008π
2 018 ＝sin 2
π2 018＋sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－π2 018 ＝sin 2
π2 018＋cos 2
π2 018＝1.
13．(2019·山西康杰中学等五校联考)已知tan θ＝2，则sin θ＋cos θ
sin θ＋sin 2θ的值为( C )
A ．195
B ．165
C ．2310
D ．1710
解析：解法一：sin θ＋cos θsin θ＋sin 2
θ＝sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θsin 2θ＋cos 2θ
＝
tan θ＋1tan θ＋tan 2θtan 2θ＋1，
将tan θ＝2代入，得原式＝23
10，故选C ．
解法二：tan θ＝2＝2
1，在平面直角坐标系xOy 中，不妨设θ为锐角，角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上取点P (1,2)，
则|OP |＝5，由三角函数的定义， 得sin θ＝25，cos θ＝1
5
，
所以sin θ＋cos θsin θ＋sin 2
θ＝25＋1525
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫252＝2310，故选C ．
14．(2019·湖南衡阳模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，π2，且sin θ＋cos θ＝a ，
其中a ∈(0,1)，则tan θ的可能取值是( C )
A ．－3
B ．3或1
3 C ．－1
3
D ．－3或－1
3
解析：由sin θ＋cos θ＝a ， 两边平方可得2sin θ·cos θ＝a 2－1. 由a ∈(0,1)，得sin θ·cos θ＜0.
又∵θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，
∴cos θ＞0，sin θ＜0，θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，0.
又由sin θ＋cos θ＝a ＞0，知|sin θ|＜|cos θ|.
∴θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4，0，从而tan θ∈(－1,0)．故选C ． 15．已知θ是三角形的一个内角，且sin θ，cos θ是关于x 的方程4x 2
＋px －2＝0的两根，则θ等于3π
4 .
解析：由题意知sin θ·cos θ＝－1
2，
联立⎩⎨⎧
sin 2θ＋cos 2
θ＝1，sin θ·
cos θ＝－1
2. 得⎩⎨⎧
sin θ＝2
2，
cos θ＝－22
或⎩⎨⎧
sin θ＝－2
2，
cos θ＝22，
又θ为三角形的一个内角，
∴sin θ＞0，则cos θ＝－22，∴θ＝3π
4.
16．已知sin α＝255，则tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
5π2－α的值为52或－52 . 解析：因为sin α＝25
5＞0， 所以α为第一或第二象限角．
tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.
(1)当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝5
5， 原式＝1sin αcos α＝5
2.
(2)当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2
α＝－5
5，
原式＝1sin αcos α＝－5
2. 综合(1)(2)知，原式＝52或－5
2.。