xe34xdxxx2324xdx...

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定义2： 函数 f (x) 的全体原函数
就称为 f (x) 的不定积分。记作 f ( x)d x . 其中 —— 积分号 f (x) —— 被积函数
f (x) d x —— 被积表达式 x —— 积分变量 若F (x) 为 f (x) 的一个原函数，则
f ( x)d x F ( x) C.
设F (x) 为 f (x) 的原函数，F( x) f ( x), 且(F ( x) C ) f ( x), C 为任意常数。
答：f (x) 有无穷多个原函数 F (x) + C 。
由L定理推论： f (x) g(x) f (x) g(x) C.
∴F (x) + C 包含了 f (x) 的所有原函数。
性质 2. f ( x)d x F ( x) C 是 f ( x) 的原函数，
F ( x)d x f ( x)dx F( x) C, 或 d F ( x) F ( x) C , ( 先微分，后积分)
积分号与微分号的作用抵消后加任意常数C。
已知 f ( x) , 求 f ( x) .
F( x) f ( x) 或 d F ( x) f ( x)d x ,
则称 F (x) 为 f (x) 在 I 上的原函数。
如：( x2 ) 2x, ∴ x 2 是 2 x 的原函数; d sinx = cos x dx, ∴ sin x 是 cos x 的原函数;
s(t) v(t),
∴ s (t) 是 v (t) 的原函数。
1 2a
ln
xa xa
C.
(a 0)
(★)
dx a2 x2
1 2a
ln
a a
x x
C.
(a 0)
(★)
如：
dx
x2 2x 1
例： ( x2 ) 2x, 2 xd x x2 C . (cos x) sin x, sin x d x cos x C.
s(t) v(t), v( x) d x s(t) C.
由导数公式, 得 P.204 基本积分公式 13 个
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F ( x)d x f ( x)dx F( x) C,
或 d F ( x) F ( x) C , ( 先微分, 后积分)
积分号与微分号的作用抵消后加任意常数C。
（P. 205）
性质1、2的作用
13
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三、 不定积分的性质
性质 1. f ( x)d x F( x) C 是 f ( x) 的原函数，
d(x -1)
10 ( x 1)2
(
du ) a2 u2
(a 10, u x 1)
arcsin x 1 C. 10
同理：
dx a2 x2
1 a
arctan
x a
C
.
(★)
27
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例5：
x
dx 2 a2
(a 0)
(
x
1 a)(
x
a)
d
x
21a
x
1
x
)
d
x
a xd x a x C.
ln a
4x
3 2
x
ln
3 2
C.
要掌握被积函数的恒等变形 .
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5. cot2 x d x (csc2 x 1) d x
cot x x C.
6.
1 cos2 x 1 cos 2x
dx
1 cos2 x 2cos2 x
1)
1
1 x2
d
x
1 3
x3
x
arctan
x
C.
从理论上来讲，只需把积分结果求导，
就可检验积分是否正确。但由于函数变形
及原函数间可相差一个常数等因素，一般
不作原函数的检验。
但对每一步运算可作检验，
即要看每一步运算能否还原到前一步。
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§2. 换元积分法
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a
x
1
a
dx
1 2a
d(x a) xa
d(x x
a) a
(★)
1 [ln| x a | ln | x a | ] C 1 ln
2a
2a
xa xa
C.
同理：
dx a2 x2
1 2a
ln
a a
x x
C.
(a 0)
(★)
28
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dx x2 a2
k f ( x) d x k f ( x) d x . (k 0为常数)
即不定积分满足线性运算性质
（P. 205）
几何意义
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不定积分的几何意义
由 f ( x)d x F ( x) C，即[ F ( x) C ]' f ( x).
F (x) 的图形称为 f (x) 的一条积分曲线，
第四章 不定积分
1
本章重点
不定积分的概念与性质 不定积分的计算
• 第一类换元法（凑微分法） • 第二类换元法（变量代换法） • 分部积分法 • 有理分式函数的积分
2
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目录
§ 1. § 2. § 3. § 4.
不定积分的概念与性质 换元积分法 分部积分法 几类常见函数的积分法 (自学)
6
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问 1. 是否所有的函数都具有原函数？ 题 在什么条件下，f (x) 一定存在原函数？ 原函数存在定理：若 f (x) 在区间 I 上连续，
则在 I 上必存在原函数。
∴ 连续函数一定存在原函数。 2. 连续函数 f (x) 的原函数是否只有一个？
它们之间有何关系？
xd x x1 C ( 1).
(x1 ) x 1.
③
dx x
1 x
d
x
ln
|
x
|
C
( 1).
例：
1 dx
x
1 2
d
x
2
x
1 2
1
C
x
2 x C.
即
1 x
dx
d
(2
x) 2
x C.
11
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二、 基本积分表 ( P. 204 )
⑥ cos x d x sin x C, (sin x) cos x .
⑦ sin x d x cos x C, (cos x) sin x .
⑧
1 cos2
x
d
x
sec2 xd x tan x C,
⑨
1 sin2
x
d
x
csc2 xd x cot x C,
④
1 1 x2
dx
arctan x C
arccot
x
C
12
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y sin 2x 是复合函数，
sin 2xd x 如何积分？
d
(sin
2
x
C
)
d
(
1 2
cos
2
x
C
)
sin
2
x
d
x
.
一、第一类换元法 ( 凑微分法 )
1. 凑常数
(d 2x 2dx)
例1：
sin 2xd x
1 2
sin
2
x
d
2
x
(2x = u)
【
1 2
sin
u
d
u
1 2
cos
u
C】
1 2
d
x
12
(sec2
x
1)
dx
1 2
tan
x
x
C
.
7.
(1 x) x (1 x
2 2
)
d
x
x
1 x2 (1 x2
)
x
2x (1
x
2
)
d
x
1 x
1
2 x
2
d
x
ln |
x | 2arctan
x
C.
22
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8.
x4 1 x2
dx
x4 1 1
1 x2
dx
(
x2
1)( x2 x2 1
解： 设所求曲线方程为 y = f (x) . 由题意，曲线上点 ( x, y ) 的切线斜率
d y 6x d y 6xdx dx
两边取不定积分： d y 6xd x
为一簇积分曲线。 y 3 x2 C y x1 2 , 即有 2 = 3 + C C 1 . ∴所求曲线为： y 3x2 1 .
则有 [ f ( x)d x] f ( x) , 或
d [ f (x)d x] f (x)d x
积分号与微分号的作用相互抵消
( 先积分, 后微分)
已知 f (x)d x , 求 f (x),
只需求
(
f (x)dx
)
d dx
f (x)dx
f (x).
14
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三、 不定积分的性质
x C.
2
1 x
dx
f (1) 1 1 1 C C 2
f (x) x 2.
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例题讨论
求下列不定积分：
1.
x2 1 dx 3x
x2
x
1
3d
x
5
x 3dx
3 8
x
d
x
x 1
1
C
( 1)
8
x 3 C.
2.
1 x2 dx xx
只需求 f ( x)d x d f ( x)
f (x) C .
15
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三、 不定积分的性质
性质 3.
函数和的不定积分等于
各个函数的不定积分的和。
f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx .
性质 4. 被积函数中不为零的常数因子 可提到积分号外。
其方程为 y = F (x) . 则 f ( x) d x F ( x) C
就表示了一族积分曲线 y = F (x) + C .
y
它们在相同点处有
相同的切线斜率。
y F(x)
o
xx
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例1： 求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处 的切线斜率均为 6 x 的一条曲线。
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例2：设
f ( x2 ) 1 ( x 0) , f (1) 1, 求 2x
f (x).
解： 须先求 f ( x) :
f ( x2 ) 1 2x
1
-2 x2
令 x2 t ,
f (t) 1 , f ( x) 1 .
2t
2x
则
f
(
x
)
f
( x) d x
—— 积分学解决的问题 即要找一个函数 s = s (t), 使 s(t) v(t) . 一般，已知函数 f (x) , 要找另一个函数 F(x) ,
使 F( x) f ( x). —— 积分学的任务
5
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一、原函数与不定积分的概念
定义1：
已知 f (x) 是一个定义在区间 I 内的函数， 如果存在函数 F (x) , 使在 I 内的任一点都有
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§1 . 不定积分的概念与性质
4
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已知物体运动的位置函数 s = s (t) , 求时刻 t 的瞬时速度 v s(t) .
—— 微分学解决的问题 已知物体运动的速度函数 v = v (t) , 求物体运动的位置函数 s = s (t) .
cos
2
x
C
.
25
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例2：
3x5
4e dx
[d(3x 5) 3 d x] (3x 5 u)
4 3
3 x5
ed
(3 x
5)【
4 3
e 3x5
C
4 3
eu
d
u
4 3
e
u
C】
分母配方
例3：
dx x2 2x 2
[ d(x 1) d x ]
(x + 1 = u)
注意： ②
xd x x1 C ( 1).
(x1 ) x 1.
③
dx x
1 x
d
x
ln
|
x
|
C
( 1).
例：
1 x2
dx
d
1 x
1 x
C
.
1
x
dx
x
1 2
d
x
2
x
1 2
1
C
2 x C.
10
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二、 基本积分表 ( P. 237 )
注意： ②
x
3 2
d32 x
1
2x 2
1
x 2dx
3
x 2 C.
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sin x d x cos x C
3. ex(3 ex sin x)d x 3 exd x sin xd x
3e x cos x C.
4.
4
2x 2x
3x
d
x
(4
232xx
三、 不定积分的性质
性质 1. f ( x)d x F( x) C 是 f ( x) 的原函数，
则有 [ f ( x)d x] f ( x) , 或
d [ f (x)d x] f (x)d x
积分号与微分号的作用相互抵消
( 先积分, 后微分)
性质 2. f ( x)d x F( x) C 是 f ( x) 的原函数，
二、 基本积分表 ( P. 204 )
注意： ②
xd x x1 C ( 1).
(x1 ) x 1.
③
dx x
1 x
d
x
ln
|
x
|
C
( 1).
例： 即
1 x2
1 x2
dx dx
x2 d
d (
x
1 x
)
(1)
1 x
x 21

1 x
C.
+
C
C.
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二、 基本积分表 ( P. 204 )
[ ]
1
(
1 x
1)2
d( x
+1)
1
1 u2
d
u
arctan ( x 1) C .
arctan u C
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