分析的算术化

1．变量。“依次取许多互不相同的值的量叫作变量”。 2．函数。“当变量之间这样联系起来的时候，即给定 了这些变量中的一个值，就可以决定所有其他变量的值 的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的， 这时这个量就取名为自变量，而由这些自变量表示的其 他量就叫作这个自变量的函数”。按照这个定义，不仅 无穷级数可以规定一个函数，而且也突破了函数必须有 解析表达式的要求。 3．极限。“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个 固定的值，最终使它的值与该定值的差要多小就多小， 那么最后这个定值就称为所有其他值的极限”。 4．无限小量。“当同一变量逐次所取的绝对值无限减 小，以致比任意给定的数还要小，这个变量就是所谓的 无限小或无限小量”。柯西的无限小不再是一个无限小 的固定数。
柯西还对无穷级数进行了严格化处理，明确定义了级数的收敛性， 并研究了判别级数收敛的条件。令 是所研究的无穷级数前 项的 和， 为自然数，若当 趋向于无限大时，和 无限趋近于某一极限 S，柯西就说级数是收敛的。 柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步。他的许多定 义和论述已经相当接近于微积分的现代形式。尤其是关于微积分 基本定理的叙述与证明，几乎与今天的教科书完全一样。 柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混 乱，但他的理论还只能说是“比较严格”，人们不久便发现柯西 的理论实际上也存在漏洞。例如，他用了许多“无限趋近”、 “想要多小就多小”等直觉描述的语言。特别是，微积分计算植 根于实数园地，但直到19世纪中叶，数学家们还没有给出实数的 根于实数园地，但直到19世纪中叶，数学家们还没有给出实数的 明确定义。 对实数系缺乏充分的理解，不仅会造逻辑上的间断，有时甚至会 导致结论上的错误。当时人们对连续函数处处可微的看法就是一 个典型。当德国数学家魏尔斯特拉斯在1861年给出一个处处连续 个典型。当德国数学家魏尔斯特拉斯在1861年给出一个处处连续 但却处处不可微的函数时，整个数学界大为震惊。
5．连续函数。柯西第一次解决了函数连续性的 定义问题。按他的定义，函数 在给定限之间关 于 保持连续，如果在这两限之间变量的每个无 限小增量总产生函数 本身的一个无限小增量。 以往欧拉所说的“连续”是指光滑（即可微）函 数，而在18世纪后期关于弦振动所引起的争论中， 数，而在18世纪后期关于弦振动所引起的争论中， 数学家们则把“连续性”理解为函数具有一致的 解析表达式。 6．导数与微分。柯西把导数明确定义为差商 当 无限地趋向于零的极限，函数的微分法则定 义为 。以往常常是先取某种形式的微分作为基 本概念，而把 的导数作为表达式 的“微分系数” 而引入。
当变量之间这样联系起来的时候即给定了这些变量中的一个值就可以决定所有其他变量的值了这些变量中的一个值就可以决定所有其他变量的值的时候人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的的时候人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的这时这个量就取名为自变量而由这些自变量表示的其这时这个量就取名为自变量而由这些自变量表示的其他量就叫作这个自变量的函数
1840年 1840年2月，魏尔斯特拉斯报名参加中学教师任职资格国家考试。古德曼应魏 尔斯特拉斯的请求为笔试出了一个很难的数学问题：求椭圆函数的幂级数展 开。而对于自己学生论文给予了高度评价。1841年 开。而对于自己学生论文给予了高度评价。1841年4月，魏尔斯特拉斯通过口 试，在明斯特文科中学见习一年。1840至1842年 月，魏尔斯特拉斯写下了4 试，在明斯特文科中学见习一年。1840至1842年1月，魏尔斯特拉斯写下了4 篇论文：《关于模函数的展开》 篇论文：《关于模函数的展开》，《单复变量解析函数的表示》，《幂级数 单复变量解析函数的表示》 论》，《借助代数微分方程定义的单复变量解析函数》（但直到他的全集刊 借助代数微分方程定义的单复变量解析函数》 印才面世）。这些论文显示了他建立函数论的基本思想和结构，其中有用幂 级数定义复函数，椭圆函数的展开，圆环内解析函数的展开（早于罗朗两 年），幂级数系数的估计（独立于柯西），一致收敛概念和解析开拓原理。 1848年秋魏尔斯特拉斯转至东普鲁士不伦斯堡的皇家天主教文科中学，在该 1848年秋魏尔斯特拉斯转至东普鲁士不伦斯堡的皇家天主教文科中学，在该 校年鉴上发表了《关于阿贝尔积分论》 校年鉴上发表了《关于阿贝尔积分论》，这是一篇划时代的论文，可惜无人 察觉。 1853年，魏尔斯特拉斯在父亲家中度假，研究阿贝尔和雅可比留下的难题， 1853年，魏尔斯特拉斯在父亲家中度假，研究阿贝尔和雅可比留下的难题， 精心写作关于阿贝尔函数的论文。该论文于1854年发表于《克雷尔杂志》 精心写作关于阿贝尔函数的论文。该论文于1854年发表于《克雷尔杂志》， 引起数学界瞩目。克雷尔说它表明作者已列入阿贝尔和雅可比的最出色的后 继者的行列。刘维尔称它?quot;科学中划时代工作之一" 继者的行列。刘维尔称它?quot;科学中划时代工作之一"，并立即译成法文发 表在他所创办的《纯粹与应用数学杂志》 表在他所创办的《纯粹与应用数学杂志》上。雅可比的后继者、柯尼斯堡大 学教授里歇洛说服校方授予魏尔斯特拉斯名誉博士学位，并亲赴不伦斯堡颁 发证书。 在库默尔推荐下，1856年柏林大学聘任魏尔斯特拉斯为副教授。11月19日， 在库默尔推荐下，1856年柏林大学聘任魏尔斯特拉斯为副教授。11月19日， 他当选为柏林科学院院士。1864年成为柏林大学教授。 他当选为柏林科学院院士。1864年成为柏林大学教授。
魏尔斯特拉斯的函数使人们迫切感到彻底摆脱对几何直觉的依赖， 重新考察分析基础，基于纯粹算术重建分析学的必要性。由此引 来了19世纪后半叶的“分析算术化”运动。 来了19世纪后半叶的“分析算术化”运动。 在数学史上，魏尔斯特拉斯因对分析严格化的贡献而赢得了“现 代分析之父”的称号。这种严格化的突出表现是e 代分析之父”的称号。这种严格化的突出表现是e-d语言的创立， 还有一致收敛性的引进。可以说，数学分析达到今天所具有的严 密形式，本质上不能缺少魏尔斯特拉斯的工作。 魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源。要使分析严格化，首 先就要使实数系本身严格化。为此最可靠的办法是按照严密的推 理将实数归结为整数（有理数）。这样，分析的所有概念便可由 整数导出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填补。这就是所谓“分 析算术化”纲领。 1857年，魏尔斯特拉斯给出了第一个严格的实数定义，这个定义 1857年，魏尔斯特拉斯给出了第一个严格的实数定义，这个定义 大意是先从自然数出发定义正有理数，然后通过无穷多个有理数 的集合来定义实数。但没有正式发表。1872年，戴德金、康托尔、 的集合来定义实数。但没有正式发表。1872年，戴德金、康托尔、 梅雷和海涅等人几乎同时发表了他们各自的实数理论。戴德金和 康托尔的实数构造方法正是我们现在通常所采用的。
7．积分。柯西首先指出，在研究积分或原函数的各种 性质以前，应先证明它们是存在的。也就是说需要首先 对一大类函数给出积分的一般定义。设函数 在给定区 间 上连续，并用点 把区间 划分为 个子区间，对应于每 个这样的划分，构造近似和： ，柯西证明这个和数当 区间长 趋向于零时的极限与划分的方式无关，并把这 个极限定义为 在区间 上的积分 。这个定义后来被黎曼 直接推广，将每个区间端点 用区间内任一点 来代替， 就得到现在所说的黎曼积分。 在以上一系列定义的基础上，柯西得以严格地表述并证 明微积分基本定理，中值定理等一系列重要定理，如微 积分基本定理被表述为：在区间 上给定连续函数 ，对 于 ，由 定义的新函数 就是 的原函数或反导数，即在 上有
在柏林大学就任后，魏尔斯特拉斯即着手系统建立数学分析（包 括复分析）的基础，并进一步研究椭圆函数与阿贝尔函数。几年 以后他就闻名遐尔，成为德国以至全欧洲知名度最高的数学教授。 魏尔斯特拉斯于1873年出任柏林大学校长。紧张的工作影响了他 魏尔斯特拉斯于1873年出任柏林大学校长。紧张的工作影响了他 的健康，但其智力未见衰退。他的70华诞庆典规模颇大，遍布全 的健康，但其智力未见衰退。他的70华诞庆典规模颇大，遍布全 欧各地的学生赶来向他致敬。10年后的80大寿更加隆重，在某种 欧各地的学生赶来向他致敬。10年后的80大寿更加隆重，在某种 程度上，他简直被看作德意志的民族英雄。 魏尔斯特拉斯与柯瓦列夫斯卡娅的友谊，是他后期生活中的一件 大事。柯瓦列夫斯卡娅于1869年在海德堡大学师事柯尼斯伯格， 大事。柯瓦列夫斯卡娅于1869年在海德堡大学师事柯尼斯伯格， 后者是魏尔斯特拉斯早期弟子之一。1870年秋，年方20、聪慧 后者是魏尔斯特拉斯早期弟子之一。1870年秋，年方20、聪慧 美丽的柯瓦列夫斯卡娅见到了魏尔斯特拉斯，后者发现了她的优 异天赋，试图说服柏林大学评议会同意她听课，但遭拒绝。于是 他抽出业余时间为她免费讲课，每周两次，一直持续到1874年秋， 他抽出业余时间为她免费讲课，每周两次，一直持续到1874年秋， 并帮助她以关于偏微分方程的著名论文在哥廷根获得学位。1888 并帮助她以关于偏微分方程的著名论文在哥廷根获得学位。1888 年，柯瓦列夫斯卡娅以刚体绕定点运动的研究获得巴黎科学院大 奖，这对于他是极大慰藉。两年后她的去世则是对他一个沉重打 击，以至他烧毁了她写给他的全部信件。 1897年初，魏尔斯特拉斯染上流行性感冒，后转为肺炎，于2 1897年初，魏尔斯特拉斯染上流行性感冒，后转为肺炎，于2月 19日溘然长逝，享年82岁。 19日溘然严格化
•分析的算术化 •维尔斯特拉斯
分析的算术化
邱 艳 2008111439
§10.2
分析的算术化
经过一个世纪的不懈努力，数学家们在严 格化基础上重建微积分的尝试终于在19世 格化基础上重建微积分的尝试终于在19世 纪初开始初见成效。其中最具影响力的先 驱性人物当推法国数学家柯西。他于1820 驱性人物当推法国数学家柯西。他于1820 年前后，在分析方法方面完成了一系列著 作，它们以严格化为目标，对微积分的基 本概念给出了明确定义，并在此基础上重 建和拓展了微积分的重要事实与定理。以 下是这方面的一些例子：
魏尔斯特拉斯(Weierstrass,Karl 魏尔斯特拉斯(Weierstrass,Karl Wilhelm Theodor),1815年生于 Theodor),1815年生于 德国威斯特代利亚地区的奥斯登费尔特,1897年 德国威斯特代利亚地区的奥斯登费尔特,1897年2月19日卒于柏林. 19日卒于柏林. 1834年魏尔斯特拉斯进入波恩大学攻读财务管理, 1834年魏尔斯特拉斯进入波恩大学攻读财务管理,但他不喜欢父 亲为他选的专业.于是他把很多时间花在自由自在的放纵生活上, 亲为他选的专业.于是他把很多时间花在自由自在的放纵生活上, 例如击剑,宴饮,夜游,他在这方面是首屈一指的. 例如击剑,宴饮,夜游,他在这方面是首屈一指的.当时普朗克在波恩 执教,但他忙于各种事务,不能抽暇进行个别教学, 执教,但他忙于各种事务,不能抽暇进行个别教学,所以魏尔斯特拉 斯从他那里受益不多. 斯从他那里受益不多. 在校期间,魏尔斯特拉斯研读过拉普拉斯的《天体力学》 在校期间,魏尔斯特拉斯研读过拉普拉斯的《天体力学》和雅可 比的《椭圆函数新理论基础》 比的《椭圆函数新理论基础》。前者奠定了他终生对于动力学和 微分方程论感兴趣的基础，后者对他当时的数学水平稍难了些。 他还钻研过斯坦纳的一些论文，后来成为斯坦纳数学论著的编篡 者。不过，这段时间，阿贝尔是他最大的鼓舞源泉。他在晚年给 李的信中说：在1830年的《克雷尔杂志》 李的信中说：在1830年的《克雷尔杂志》上读到阿贝尔致勒让德 的信，"在大学生涯中对我无比重要，从确定λ(x)（阿贝尔引的函 的信，"在大学生涯中对我无比重要，从确定λ(x)（阿贝尔引的函 数）满足的微分方程来直接导出其表示形式，这是我自己确立的 第一个数学课题；我有幸的到了这个问题的解。这促使我下决心 献身数学，我是在第七学期作出这个决定的。"1838年秋，他令 献身数学，我是在第七学期作出这个决定的。"1838年秋，他令 人惊讶的放弃成为法学博士候选人，因此离开波恩时他没有学位。 1839年 1839年5月，魏尔斯特拉斯到明斯特附近的神学哲学院，遇到了 使他终身铭记的古德曼。古德曼热忠于椭圆函数，其基本思想是 把函数展开为幂级数，这正是魏尔斯特拉斯的解析函数论的基石。