线性方程组解的判定3-1

11.7 线性方程组解的判定
本节我们将通过使用矩阵这一有力工具，并结合消元法，介绍一般线性方程组的求解方法。

11.7.1 消元法
现在来讨论一般线性方程组，所谓一般线性方程组是指如下形式的方程组。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222212********* ( 11.38) 当右端常数项),2,1(m i b i =不全为0时，称方程组（11.38）为非齐次方程组；当
),2,1(m i b i = 全为0时，即
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++0
00221122221211212111n mn m m n
n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （11.39） 称为齐次线性方程组。

显然由0,0,021===n x x x 组成的有序数组)0,,0,0( 是齐次线性方程组的一个解，称之为齐次线性方程组的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称
之为非零解。

一般地，用矩阵来讨论线性方程组的解和求线性方程组的解是很方便的。

下面我们给出线性方程组的矩阵表示形式，非齐次线性方程组（11.38）的矩阵表示形式为B AX =，
将系数矩阵A 和常数项矩阵B 放在一起构成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=m mn
m m n
n b a a a b a a a b a a a AB
21
222221
111211
)( 称为方程组（11.38）的增广矩阵，因为线性方程组是由它的系数和常数项确定的，所以用
增广矩阵)(AB 可以清楚而唯一地确定一个线性方程组。

齐次线性方程组的矩阵表示形式为0=AX 。

下面我们通过例题给出求解一般的线性方程组的方法。

例1解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++-=++-=--+-=--+1
22243023512432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x
解：分析该方程组消元法解的情况
这种解法就称为消元法，其求解过程可以用原方程组的增广矩阵的初等行变换表示为
→
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--------=11122241130235111211)(AB →⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------2220066600111401121113340577401114011211 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----00
00
01
11002004
0110
1
100000666001114011211⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛000
00
111005.000105.0100
1 最后一个矩阵对应的方程组为⎪⎩⎪
⎨⎧=+==+1
5.05
.043
241x x x x x 。

将方程组中含4x 的移项可得方程组的
解 ⎪⎩⎪
⎨⎧+-==+-=1
5.05
.043
241x x x x x 其中4x 为任意实数。

通过上面的例子可以看出，用消元法解方程的过程，实际上就是对设方程组的增广矩
阵施以行初等变换的过程。

定理11.17如果用初等行变换将增广矩阵)(AB 化成)(CD ，则方程组B AX =与
D CX =是同解方程组。

例2 解线性方程组：⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=-++0
22132
321321x x x x x x x x
解：利用初等行变换，将方程组的增广矩阵)(AB 化简，再进行求解，
()→
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01100310111
1011021121111AB ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-010000101001010003101201020003101111 所以,方程组的解为⎪⎩⎪
⎨⎧===001
3
21x x x 。

注意到上述交换中，最后一个矩阵的特点，我们可以直接从中“读出”方程组的解。

定义11.26若阶梯形矩阵进一步满足，
（1）各非零行的首非零元（称为主元）都是1； （2）所有首非零元所在列的其余元素都是0，
则称之为行简化阶梯形矩阵。

例3解线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=++--=+++0
3202220321
43214321x x x x x x x x x x x
解：()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=100033101111231033
101111013222211111
AB 阶梯形矩阵的第三行所表示的方程为1000321=++x x x ，无论321,,x x x 取何值，方程都不成立，故方程组无解。

例4解齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+-==++-0
3200
321
32321x x x x x x x x
解：()→⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=043001100111032101100111AB
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-010000100001010001100201070001100111 即0321===x x x 为方程组的解。

从此例的求解过程中，我们可以看到，由于齐次线性方程组的增广矩阵最后一列全为
0，即)0()(A AB =，所以用初等变换化简)(AB 与直接化简矩阵A 效果是相同的。

综上所述，用消元法解线性方程组B AX =（或0=AX ）的具体步骤为： 首先，写出增广矩阵)(AB （或系数矩阵A ），并用初等行变换将其化简成阶梯形矩阵。

其次，判断方程组是否有解。

最后，在有解的情况下，继续使用初等行变换将阶梯形矩阵化成行简化阶梯形矩阵，再写出方程组的一般解。

课堂练习: 1 （2）（4） 小结:
本次课的重点是解方程组的消元法和用矩阵的秩讨论方程组的解的方法。