步步高《单元滚动检测卷》高考数学(文,京津地区)精练：滚动检测三(含答案解析)

高三单元滚动检测卷·数学
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
滚动检测三
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2015·长春质量检测)已知集合P ＝{x|x≥0}，Q ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x|
x ＋1x －2≥0，则P∩(∁R Q)等于( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，－1] C ．(－1,0)
D ．[0,2]．
2．(2015·北京)设a ，b 是非零向量，“a·b ＝|a||b|”是“a ∥b”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．(2015·重庆一中一模)定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x ＋4)，且x ∈(－1,0)时，f(x)＝2x ＋1
5，则f(log 220)等于( )
A ．1 B.45 C ．－1
D ．－4
5
4．(2015·黄冈中学月考)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋mj ，AD →
＝ni ＋j ，m≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( ) A ．m ＋n ＝1 B ．m ＋n ＝－1 C ．mn ＝1 D ．mn ＝－1
5．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )
A.33
B.36
C.63
D.66
6．已知x 1，x 2是函数f(x)＝e －
x －|ln x|的两个零点，则( ) A.1
e
<x 1x 2<1 B ．1<x 1x 2<e C ．1<x 1x 2<10
D ．e<x 1x 2<10
7．设α∈(0，π2)，β∈(0，π
2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )
A ．3α－β＝π
2
B ．2α－β＝π
2
C ．3α＋β＝π
2
D ．2α＋β＝π
2
8．(2015·秦皇岛二模)已知函数y ＝f(x)是R 上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋f(x)
x
>0，则函数F(x)＝xf(x)＋1
x 的零点个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)
9．(2015·浙江杭州第二次质检)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 12，0≤x≤c ，
x 2＋x ，－2≤x<0，其中c>0，则函数f(x)的
零点为________；若f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－1
4，2，则c 的取值范围是__________． 10．(2015·池州模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
(12)x ，x<0，
(x －1)2，x≥0，
若
f(f(
－
2))>f(k)
，
则
实
数
k
的
取
值
范
围
为
_____________________________________________．
11．(2015·潍坊高三质检)在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则三角
形外接圆的半径为________．
12．(2014·北京)设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间[π
6，
π2]上具有单调性，且f(π2)＝f(2π3)＝－f(π
6
)，则f(x)的最小正周期为________． 13．(2015·烟台质检)△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b)，n ＝(3a ＋3b ，c)，m ∥n ，则cos A ＝________.
14．(2015·青岛模拟)已知函数f(x)＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是__________． 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)(2015·湖北十校联考)已知函数f(x)＝b·a x (其中a ，b 为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)． (1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式(1a )x ＋(1
b )x －m≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．
16．(13分)(2015·赣州市十二县联考)已知函数f(x)＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π
6)－cos 2x ＋a(a ∈R ，
a 为常数)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若x ∈[0，π
2]时，求函数f(x)的值域．
17.(13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2cos(A ＋B)＋cos 2C ＝－3
2，
c ＝39，且a ＋b ＝9. (1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．
18．(13分)(2016·郑州质检)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．
(1)当0<x≤20时，求函数v 关于x 的函数表达式；
(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．
19.(14分)
已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π
2)在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)设0<x<π，且方程f(x)＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．
20．(14分)(2015·北京东城区示范校综合能力测试)已知定义在(1，＋∞)上的函数f(x)＝x －ln x －2，g(x)＝xln x ＋x.
(1)求证：f(x)存在唯一的零点，且零点属于(3,4)；
(2)若k ∈Z ，且g(x)>k(x －1)对任意的x>1恒成立，求k 的最大值．
答案解析
1．D 2.A 3.C
4．C [由AB →＝i ＋mj ，AD →
＝ni ＋j ，m≠1， 且A 、B 、D 三点共线，
所以存在非零实数λ，使AB →＝λAD →
， 即i ＋mj ＝λ(ni ＋j)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
λn ＝1，m ＝λ，
所以mn ＝1.]
5．D [设BD ＝1，则AB ＝AD ＝
3
2
，BC ＝2. 在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝1
3，
所以sin A ＝22
3
，
在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC
sin A ，
得sin C ＝
6
6
，故选D.] 6．A [在同一坐标系中画出函数y ＝e －x
与y ＝|ln x|的图象，结合图象不难看出，它们的两
个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e
－1,
1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －
1)，e －x 2－e －x 1＝
ln x 2＋ln x 1＝ln x 1x 2∈(－1,0)，于是有e －
1<x 1x 2<e 0，即1e <x 1x 2<1.]
7．B [∵α，β∈(0，π2)，∴－β∈(－π
2，0)，
α－β∈(－π2，π
2
)．
∵tan α＝1＋sin β，∴sin α＝1＋sin β
，
即sin αcos β－cos αsin β＝cos α. 化简，得sin(α－β)＝cos α. ∵α∈(0，π
2
)，
∴cos α>0，sin(α－β)>0.
∴α－β∈(0，π2)，得α－β＋α＝π
2
，
即2α－β＝π
2
，故选B.]
8．B [∵x≠0时，f′(x)＋f(x)
x >0，
∴xf′(x)＋f(x)x >0，即(xf(x))′x >0.①
当x>0时，由①式知(xf(x))′>0， ∴U(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数， 且U(0)＝0·f(0)＝0，
∴U(x)＝xf(x)>0在(0，＋∞)上恒成立． 又1
x >0，∴F(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴F(x)在(0，＋∞)上无零点． 当x<0时，(xf(x))′<0，
∴U(x)＝xf(x)在(－∞，0)上为减函数， 且U(0)＝0·f(0)＝0，
∴U(x)＝xf(x)>0在(－∞，0)上恒成立， ∴F(x)＝xf(x)＋1
x 在(－∞，0)上为减函数．
当x→0时，xf(x)→0，∴F(x)≈1
x <0，
当x→－∞时，1
x →0，∴F(x)≈xf(x )>0，
∴F(x)在(－∞，0)上有唯一零点．
综上所述，F(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有唯一零点，故选B.] 9．－1和0 (0,4]
解析 当x ∈[0，c]时，由f(x)＝0，得x ＝0，当x ∈[－2，0)时，由f(x)＝0，得x ＝－1.故f(x)的零点为－1和0.
∵f(x)在⎣⎡⎦⎤－2，－12上递减，在⎣⎡⎦⎤－1
2，c 上递增， 而f(－2)＝2，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－1
4
，f(c)＝c ， ∴要使f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－1
4，2，只需c ≤2，则0<c≤4. 10．(log 1
2
9,4)
解析 ∵f(f(－2))＝f(4)＝9， ∴f(k)<9.
当k<0时，(12)k <9，解得log 1
29<k<0；
当k ≥0时，(k －1)2<9，解得0≤k<4. 综上，k ∈(log 1
29,4)．
11．2
解析 在△ABC 中，∵b ＝2，A ＝120°， 三角形的面积S ＝3＝12bc·sin A ＝c·32，
∴c ＝2＝b ，故B ＝1
2(180°－A)＝30°.
再由正弦定理可得b sin B ＝2R ＝c
sin 30°＝4，
∴三角形外接圆的半径R ＝2. 12．π
解析 结合图象，得T 4＝π2＋2π32－π2＋π
6
2
，即
T ＝π.
13.1
6
解析 ∵m ∥n ，∴(3c －b)c ＝(a －b)(3a ＋3b)， 即bc ＝3(b 2＋c 2－a 2)， ∴b 2＋c 2－a 2bc ＝13，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝16.
14．(－∞，2ln 2－2]
解析 由原函数有零点，可转化为方程e x －2x ＋a ＝0有解，即方程a ＝2x －e x 有解． 令函数g(x)＝2x －e x ，则g′(x)＝2－e x .令g′(x)>0，得x<ln 2，令g(x)′<0，得x>ln 2.所以g(x)在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为g(ln 2)＝2ln 2－2.因为a 的取值范围就是函数g(x)的值域，所以a 的取值范围为(－∞，2ln 2－2]． 15．解 (1)∵f(x)＝b·a x 的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
b·a ＝6， ①b·a 3＝24， ②
②÷①得a 2＝4，又a>0且a≠1，∴a ＝2，b ＝3， ∴f(x)＝3·2x .
(2)由(1)知(1a )x ＋(1b )x －m≥0在(－∞，1]上恒成立化为m≤(12)x ＋(1
3)x 在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝(12)x ＋(1
3
)x ，
则g(x)在(－∞，1]上单调递减， ∴m≤g(x)min ＝g(1)＝12＋13＝5
6，
故所求实数m 的取值范围是(－∞，5
6
]．
16．解 (1)∵f(x)＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π6)－cos 2x ＋a ＝3sin 2x －cos 2x ＋a ＝2sin(2x －π
6)
＋a.
∴f(x)的最小正周期T ＝π. 令2kπ－π2≤2x －π6≤2kπ＋π
2(k ∈Z)，
即kπ－π6≤x≤kπ＋π
3
(k ∈Z)，
故f(x)的单调递增区间为[kπ－π6，kπ＋π
3](k ∈Z)．
(2)当x ∈[0，π2]时，则2x －π6∈[－π6，5π
6]，
∴sin(2x －π6)∈[－1
2，1]，
∴f(x)值域为[a －1，a ＋2]．
17．解 (1)由已知得－2cos C ＋2cos 2C －1＝－3
2，
所以4cos 2C －4cos C ＋1＝0， 解得cos C ＝1
2
，所以C ＝60°.
(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ， 即39＝a 2＋b 2－ab ，①
又a ＋b ＝9，所以a 2＋b 2＋2ab ＝81，② 由①②得ab ＝14，
所以△ABC 的面积S ＝12absin C ＝12×14×32＝73
2.
18．解 (1)由题意得当0<x≤4时，v ＝2； 当4<x≤20时，设v ＝ax ＋b ，
由已知得⎩⎪⎨⎪
⎧
20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，
解得
⎩⎨⎧
a ＝－18
，
b ＝52，
所以v ＝－18x ＋5
2
，
故函数v ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2，0<x≤4，－18x ＋52，4<x≤20.
(2)设鱼的年生长量为f(x)千克/立方米， 依题意并由(1)可得
f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ，0<x≤4，－18x 2＋52x ，4<x≤20，
当0<x≤4时，f(x)为增函数， 故f(x)max ＝f(4)＝4×2＝8； 当4<x≤20时，f(x)＝－18x 2＋5
2x
＝－18(x 2－20x)＝－18(x －10)2＋100
8，
f(x)max ＝f(10)＝12.5.
所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米． 19．解 (1)观察图象，得A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎫11π12－π6×43＝π. ∴ω＝2π
T ＝2，∴f(x)＝2sin(2x ＋φ)．
∵函数经过点⎝⎛⎭⎫
π6，2， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×π
6＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π
6
，
∴函数的解析式为f(x)＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6.
(2)∵0<x<π，∴f(x)＝m 的根的情况，相当于f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6与g(x)＝m 的交点个数的情况，且0<x<π，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6和y ＝m(m ∈R)的图象．由图可知，当－2<m<1或1<m<2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根． ∴m 的取值范围为－2<m<1或1<m<2；当－2<m<1时，此时两交点关于直线x ＝2
3π对称，
两根和为4
3
π；
当1<m<2时，此时两交点关于直线x ＝π
6对称，
两根和为π
3
.
20．(1)证明 由f(x)＝x －ln x －2， 得f′(x)＝1－1x ＝x －1
x >0，
故f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 而f(3)＝1－ln 3<0，f(4)＝2－ln 4>0， 所以f(x)存在唯一的零点x 0∈(3,4)．
(2)解 由(1)知f(x)存在唯一的零点x 0，显然满足：x 0－ln x 0－2＝0，且当x ∈(1，x 0)时，f(x)<f(x 0)＝0；
当x ∈(x 0，＋∞)时，f(x)>f(x 0)＝0. 当x>1时，g(x)>k(x －1)等价于xln x ＋x
x －1>k.
设h(x)＝xln x ＋x
x －1
，
则h′(x)＝x －ln x －2(x －1)2＝f(x)
(x －1)2， 故h′(x)与f(x)同号，
因此当x ∈(1，x 0)时，h′(x)<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h′(x)>0.
所以h(x)在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 故h(x)min ＝h(x 0)＝
x 0(ln x 0＋1)x 0－1＝x 0(x 0－1)
x 0－1
＝x 0.
由题意有k<h(x)min ＝x 0.又k ∈Z ，x 0∈(3,4)，故k 的最大值是3.。