河北省武邑中学2019届高三(上)期中数学试卷(文科)精编含解析

河北省衡水市武邑中学2019届高三（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.
已知集合{1,3579,11}A =,,,，{1,5}B =，{5,9,11}C =，则(A B)C ⋂⋃（）
A. ϕ
B. {1,5,9,11}
C. {9,11}
D. {5,7,9,11}
答案：B
分析：解：{1,5},{5,9,11};A B C ⋂==
(A B)C {1,5,9,11}.∴⋂⋃=
故选：B ．
进行交集、并集的运算即可．
考查列举法表示集合的定义，以及交集和并集的运算． 2.
已知复数
11i z i
+=-，则复数z 的模为 A. 2
B.
C. 1
D. 0
答案：C
分析：解：由于复数
21(1)21(1)(1)2
i i i z i i i i ++====--+，故复数z 的模为1，
故选：C ．
利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z 为i ，从而求得它的模．
本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题． 3.
在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，若
1,45a b B ==
=︒，则角()A =
A. 30︒
B. 60︒
C. 30150︒︒或
D. 60120︒︒或
答案：A 分析：
解：
1,45a b B ===︒，
∴
由正弦定理可得：
1sin 1
sin 2a B
A b
⨯
=
==，
1a b =<=(0,45)A ∈︒，
∴解得：30A =︒．
故选：A ． 由正弦定理可解得
sin 1sin 2
a B A
b ==
，利用大边对大角可得范围(0,45)A ∈︒，从而解得A 的值．
本题主要考查了正弦定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质等知识的应用，解题时要注意分析角的范
围． 4.
已知函数(x)y f =在区间(,0)-∞内单调递增，且(x)f(x)f -=，若
12
(log 3)
a f =，1,2(2)
b f -=，
1c f()
2
=，则a ，b ，c 的大小关系为 A. a c b >>
B. b c a >>
C. a c b >>
D. a b c >>
答案：B
分析：解：根据题意，函数(x)y f =满足(x)f(x)f -=，则函数(x)f 为偶函数， 又由函数(x)y f =在区间(,0)-∞内单调递增，则(x)f 在(0,)+∞上递减，
122
(log 3)f(log 3)
a f ==，1,2(2)
b f -=，
1
1()f(2)
2
c f -==， 又由
1,212221log 3--<<<，
则b c a >>， 故选：B ．
根据题意，由(x)f(x)f -=可得(x)f 为偶函数，结合函数的单调性可得(x)f 在(0,)+∞上递减，进而又由
1,212221log 3--<<<，分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的奇偶性，属于基础题． 5.
把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD -的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
A.
2
B. 12
C.
4
D. 14
答案：
D
分析：解：根据这两个视图可以推知折起后二面角C BD A --
为直二面角，其侧视图是一个两直角边长为
的直角三角形，其面积为14．
故选：D ．
由题意确定几何体的形状，二面角C BD A --为直二面角，依据数据，求出侧视图面积．
本题考查三视图求面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．
6. 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数 从1，2，3，4，5
中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为
A. 310
B. 15
C. 110
D. 120
答案：C
分析：解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)
(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10种，
其中只有(3,4,5)为勾股数，
故这3个数构成一组勾股数的概率为110
．
故选：C ．
一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．
本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题． 7.
设函数32(x)x (1)x f a ax =+-+ 若(x)f 为奇函数，则曲线(x)y f =在点(0,0)处的切线方程为
A. 2y x =-
B. y x =-
C. 2y x =
D. y x =
答案：D
分析：解：函数32(x)x (1)x f a ax =+-+，若(x)f 为奇函数， 可得a 1=，所以函数3f(x)x x =+，可得2f (x)3x 1'=+， 曲线(x)y f =在点(0,0)处的切线的斜率为：1， 则曲线(x)y f =在点(0,0)处的切线方程为：y x =．
故选：D ．
利用函数的奇偶性求出a ，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程．
本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力． 8.
函数|lnx||x 1|y e =--的图象大致是
A. B. C. D.
答案：D
分析：解：由|lnx||x 1|y e =--可知：函数过点(1,1)， 当0x 1<<时，
ln 1y e
11x
x x x -=-+=+-，21
10
y x
'=-+<． ln e 1x y x -∴=-+为减函数；若当1x >时，ln e 11x y x =-+=，
故选：D ．
根据函数|lnx||x 1|y e =--知必过点(1,1)，再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．
本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系． 9.
已知函数(x)f 为奇函数，对任意x R ∈，都有f(x 6)f(x)+=，且f(2)4=，则f(2014)()=
A.
B. C. 0 D.
答案：A 分析：解：
对任意x R ∈，都有f(x 6)f(x)+=，
∴函数f(x)为周期为6的周期函数，
(2014)f(33662)f(2)f ∴=⨯-=-，
又
函数f(x)为奇函数，且(2)4f =，
(2014)4f ∴=-，
故选：A ．
由已知分析出函数的周期性，结合函数的奇偶性，可得答案．
本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的周期性，函数求值，难度中档．
10. 已知p ：函数|x |y a =-在[3,)+∞上是增函数，q ：函数lg(x )y a =-在[3,)+∞是增函数，则p 是q 的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：B 分析：解：
:p 函数|x |y a =-在[3,)+∞上是增函数，
3a ∴≤，
q ：函数lg(x )y a =-在[3,)+∞是增函数，
3a ∴<，
p 是q 的必要不充分条件．
故选：B ．
利用函数的单调性求出命题：3a ≤，命题:3q a <，从而p 是q 的必要不充分条件．
本题考查命题真假的判断，考查函数的性质基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题． 11. 函数
11y x
=
-的图象与函数2sin (2x 2)y x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于 A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
答案：D
分析：解：函数
111y x
=
-， 22sin y x =的图象有公共的对称中心(1,0)，
作出两个函数的图象，如图， 当14x ≤≤时，1
0y <，
而函数2y 在(1,4)上出现 个周期的图象，
在
3(1,)2和57(,)
22上是减函数； 在35(,)
22
和7
(,4)2
上是增函数．
函数1
y 在(1,4)上函数值为负数，
且与2
y 的图象有四个交点E 、F 、G 、H ，
相应地，1y 在(2,1)-上函数值为正数，
且与2
y 的图象有四个交点A 、B 、C 、D ，
且2A H B G C F D E x x x x x x x x +=+=+=+=，
故所求的横坐标之和为8． 故选：D ． 函数
111y x
=
-与22sin y x π=的图象有公共的对称中心(1,0)，作出两个函数的图象，利用数形结合思想能求出结果．
本题考查两个函数的图象的交点的横坐标之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
12. 数列{a }n
中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从左到右分别排2a ，
3a ；第三行排3项， 依此类推 设数列{a }n 的前n 项和为n S ，则满足2000n S >的最小正整数n 的值
为
A. 20
B. 21
C. 26
D. 27
2234,4,43,4,43,43,4,43,43,43,
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
答案：B
分析：解：根据题意，
第一行，为4，其和为4，可以变形为1
232T =⨯-；
第二行，为首项为4，公比为3的等比数列，共2项，其和为
222
24(1)2(31)232
1a T a -==-=⨯--； 第三行，为首项为4，公比为3的等比数列，共3项，其和为
333
4(1)2(31)232
1a a T a
-==-=⨯--； 依此类推：第n 行的和
232n n T =⨯-；
则前6行共12345621+++++=个数，
前6项和为：
2216232232()() (23)
2S =++⋅⋅⋅+⨯-⨯-⨯-23673332[(3..331.)4170]212=+⋅⋅⋅+---==++，
满足2000n
S >，
而第六行的第6个数为543972⨯=， 则20
219722000S
S =-<，
故满足2000n S >的最小正整数n 的值21；
故选：B ．
根据题意，分析表中数据的规律，求出各行的和，据此可得21
21702000S =>，求出第六行的第6个数，计算可得20
219722000S
S =-<，分析可得答案．
本题考查等比数列的求和，涉及归纳推理的应用，关键是分析表中数列的规律，属于基础题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量 ， ，则 与 夹角的大小为______． 答案：
分析：解： 向量 ， ，
与 夹角 满足：
， 又 ，
6
πθ∴=
，
故答案为：6
π．
根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．
本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．
14. 若命题“ ，使 ”是假命题，则实数a 的取值范围为______． 答案：
分析：解：命题“x R ∃∈，使2(1)x 10x a +-+<”的否定是：““x R ∀∈，使2(1)x 10x a +-+<” 即：2(1)40a =--≤，
13a ∴-≤≤
故答案是13a -≤≤
先求出命题的否定，再用恒成立来求解
本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题．
15. 在
ABC 中，若
4
B π∠=
，b =，则C ∠=______．
答案：712
π
分析：解：
2b a =，
∴根据正弦定理得
sin B A =，又
sin sin 42
B π
==
，
1sin 2A ∴=，又a b <，得到4A B π∠<∠=
，
6
A π∴∠=
，
则
712
C π∠=
．
故答案为：712
π
利用正弦定理化简已知的等式，把 的值代入求出 的值，由a 小于b ，根据大边对大角，得到A 小于B ，即A 为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A 的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出C 的度数． 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
16. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若3AB =，4AC =，5BC =，1
2AA =，则此
球的表面积等于______． 答案：29π
分析：解：如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =， 由勾股定理可得90BAC ∠=︒．
可得 外接圆半径
52
r =
， 设此圆圆心为O '，球心为O ，在Rt OBO '中， 可得球半径
R ==
，
∴此球的表面积为
2
29
44294
R πππ
=⨯=． 故答案为：29π．
由已知求出90BAC ∠=︒，可得底面外接圆的半径，设此圆圆心为O '，球心为O ，在Rt OBO '中，由勾股定理求出球的半径，代入球的表面积公式求解．
本题考查多面体外接球表面积、体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．
三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）
17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其面积为S ，且
2
2
2
b c a S
+-=.
求A ； 若
a =，
4cos 5B =
，求c ．
答案：解：222(1)
2cos b c a b A +-=，
1
sin 2
S b A
=， ∴代入已知等式得：
1
2cos sin 2
b A b A
=，
整理得：
tan A =
A 是三角形内角，
60A ∴=︒；
B
为三角形内角，
4cos 5
B =
，
3sin 5
B ∴==
，
13sin sin(B A)sin(B 60)sin 2210
C B B +∴=+=+︒=+=
，
53a =
sin 2A =
，3sin 10
C +=
，
∴
由正弦定理得：
sin 3sin a C C A
==+． 分析： 已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出tan A 的值，即可确定出A 的度数； 由cos B 的值求出sin B 的值，进而求出sin C 的值，由a ，sin A ，sin C 的值，利用正弦定理即可求出c 的值．
此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
18. 2018年2月 日，第23届冬奥会在韩国平昌举行 年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举
行 为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：
Ⅱ 现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动． 问男、女学生各选取多少人？
若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P ． 附：
2
2
(ad bc)(a b)(c d)(a c)(b d)
n K -=
++++，其中n a b c d =+++．
答案： 本小题满分分 解： Ⅰ 因为
2
2
120(60202020)7.5 6.635
80408040
K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以有 的把握认为，收看开幕式与性别有关 分 Ⅱ 根据分层抽样方法得，男生3
86
4
⨯=人，女生1
82
4
⨯=人，
所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人 分 从8人中，选取2人的所有情况共有765432128N =++++++=种， 其中恰有一名男生一名女生的情况共有6612M =+=种， 所以，所求概率
123287
P ==
分 分析： Ⅰ 利用
2
2
(ad bc)(a b)(c d)(a c)(b d)
n K -=
++++，计算结果，通过比较即可判断能否有
的把握认为，收
看开幕式与性别有关．
Ⅱ 根据分层抽样方法得，求解选取的8人中，男生有6人，女生有2人．
从8人中，选取2人的所有情况共有765432128N =++++++=种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有6612M =+=种，然后求解概率．
本题考查独立检验思想的应用，古典概型的概率的求法，分层抽样的应用，考查计算能力．
19. 设n S 为数列{a }n 的前n 项和，已知a 0n >，1a 1=
*a (n 2,n N )n =≥∈．
Ⅰ
求证：是等差数列；
Ⅱ 设
12n n n b a -=⋅，求数列{b }n 的前n 项和 ．
答案： Ⅰ 证明：当2n ≥时，1
1a =
1n n n a S S -==-=，
0n a >
，1=，
∴是等差数列，首项与公差都为1．
Ⅱ 解：由 Ⅰ
11n n
=+-=，解得
2n S n =．
2n ≥时，121n n n a S S n -=+=-，
又1n =适合上式，所以21n
a n =-．
112(2n 1)2n n n n b a --∴=⋅=-⋅．
∴数列{}n b 的前n 项和2113252...(2n 1)2n n
T -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅．
212232...(2n 3)2(21)2n n n T n -=+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，
可得：
12
1
2(21)12(22...2)(2n 1)212(2n 1)2
21
n n n
n
n T ----=+++⋅⋅⋅+--⋅=+⨯--⋅-， 化为：
(2n 3)23n n T =-⋅+．
分析： Ⅰ 当2n ≥时，11a =， ， ，
1
=，即可得出．
Ⅱ 由 Ⅰ
11n n
=+-=，解得
22n S n n =⋅≥
时，21n a n ==-，又 适合上式
可得
112(2n 1)2n n n n b a --=⋅=-⋅用错位相减法即可得出．
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20. 已知椭圆2
222
1(a b 0)
x y a b +=>>的离心率为12，左右端点为1
A ，2A ，其中2A 的横坐标为 过点(4,0)b 的直线交椭圆于P ，Q 两点，P 在Q 的左侧，且P ，Q 不与1A ，2A 重合，点Q 关于x 轴的对称点为R ，
射线
1
A
与2
PA 交于点M ．
求椭圆的方程；
求证：M 点在直线4x =上． 答案：解： 因为离心率为12
，所以12
c
a =，
因为2
A 的横坐标为2
，所以
21,a c b =∴===
因此椭圆的方程为2
2
143
x y +=； 设11(x ,y )P ，22(x ,y )Q ，22(x ,y )R -由223412x y +=与4x my =+联立， 得22(3m 4)y 24360my +++=， 所以
1212222436y y ,y y 3434
m m m +==
++，
直线
212:(x 2)2y A R y x -=++，直线1
21:(x 2)
2
y A P y x =--，
联立解出
12121212121212
626(y y )4y y 433y y m x my y y y my y y y -++==-
++++ 22
12
224366()4m 34344436334
m m m m y y m -+⨯++=-
=⋅+++． 分析： 利用椭圆的离心率以及顶点坐标求解a ，c ，推出B ，即可顶点椭圆方程．
设11(x ,y )P ，22(x ,y )Q ，22(x ,y )R -由223412x y +=与4x my =+联立，利用韦达定理推出直线方
程，求解x 即可得到结果．
本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
21. 已知函数(x)xlnx f =．
Ⅰ 若函数g(x)f(x)ax =+在区间2[e ,]+∞上为增函数，求a 的取值范围； Ⅱ 若对任意
23(0,),f(x)2
x mx x -+-∈+∞≥
恒成立，求实数m 的最大值．
答案：解： Ⅰ 由题意得，(x)f (x)ln 1g a x a ''=+=++， 函数(x)g 在区间2[e ,]+∞上为增函数，
∴当2[e ,]x ∈+∞时，(x)0g '≥，即ln 10x a ++≥在2[e ,]+∞上恒成立，
1ln a x ∴≥--，
又当2[e ,]x ∈+∞时，ln [2,]x ∈+∞，
1ln (,3]x ∴--∈-∞-，
3a ∴≥-．
Ⅱ 因为22(x)3f x mx ≥-+-，即22ln 3mx x x x ≤⋅++， 又0x >，所以
22ln 3x x x m x ⋅++≤，令22ln 3(x)x x x h x
⋅++=
，
2222
2
(2xlnx x 3)(2xlnx x 3)x 23(x)x x h x x ''++⋅++⋅+-'==，
令(x)0h '=解得：1x =或3x =-(舍 ，
当(0,1)x ∈时，h (x)0'<，函数h(x)在(0,1)上单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，h (x)0'>，函数h(x)在(1,)+∞上单调递增， 所以min
h(x)
(1)4h ==，
因为对任意
23(0,),f(x)2
x mx x -+-∈+∞≥
恒成立，
所以min
(x)4m h ≤=，即m 的最大值为4．
分析： Ⅰ 函数(x)g 在区间2[e ,]+∞上为增函数，即当2[e ,]x ∈+∞时，(x)0g '≥，即ln 10x a ++≥在
2[e ,)+∞上恒成立，分离参数a 后转化为求函数最值；
Ⅱ 对任意
23(0,),f(x)2x mx x -+-∈+∞≥恒成立，即22ln 3x x x m x ⋅++≤，令22l n 3
(x )x x x h x
⋅++=
，
转化为求函数(x)h 的最小值即可，利用导数可求得其最小值．
本题考查利用导数研究函数的单调性及求函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题，转化为函数最值
是解决函数恒成立的常用方法．
22. 平面直角坐标系中，直线l
的参数方程为
11
x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数 ，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
22cos 1cos θρθ
=
-． 写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
已知与直线l 平行的直线l '过点(2,0)M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求|MA ||MB|⋅． 答案：解： 把直线l
的参数方程化为普通方程为1)1y =-+．
由
22cos 1cos θρθ
=
-，可得22(1cos )2cos ρθρθ-=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =．
直线l 的倾斜角为
，
直线 的倾斜角也为3
π，又直线 过点(2,0)M ，
直线线
的参数方程为
122x t y ⎧
'=+⎪⎪⎨
⎪'=⎪⎩(t '为参数 ， 将其代入曲线C 的直角坐标方程可得23()4160t t ''--=， 设点A ，B 对应的参数分别为'1
t ，
'2
t ． 由一元二次方程的根与系数的关系知为
'
'1
2
43t t +=，''12163
t t +=-
．
16|MA ||MB |3
∴⋅=
．
''12
|AB ||t t ∴=-===
分析： 把直线l
的参数方程化为普通方程为
1)1y =-+.由
22cos 1cos θρθ
=
-，可得22(1cos )2cos ρθρθ-=，利用互化公式即可得出．
直线l 的倾斜角为3π，直线l '的倾斜角也为3
π，又直线l '过点(2,0)M ，可得直线线 的参数方程，将其
代入曲线C 的直角坐标方程，
利用根与系数的关系代入''12|AB||t t =-=可得出．
本题考查了直线的参数方程、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、极坐标与普通方程互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23. 已知函数(x)|x ||x 1|f =+-． 解不等式(x)3f ≥；
若(x)f(y)2f +≤，求x y +的取值范围． 答案：解：(1)(x)3f ≥；
|||1|3x x +-≥，
故1
{1|3
x x x ≥+-≥ 或01
{13x x x <<+-≥
或
00
{13
x x ≤-+-≥，
解得：2x ≥或1x ≤-，
故不等式的解集是{|2x x ≥或1}x ≤-；
(x)f(y)f （2）
|x ||x 1||y ||y 1|=+-++- |x y ||x y 2|≥+++- |x y ||x y 2|≥+++-， (x)f(y)2f +≤， |x y ||x y |22∴+++-≤， |x y |2∴+≤， |2x y 2∴-≤+≤．
分析： 通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可； 根据绝对值不等式的性质求出x y +的范围即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。