永丰县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

永丰县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 函数在区间上的最大值为5，最小值为1，则的取值范围是（ ）2
()45f x x x =-+[]0,m m A ． B ． C ．
D ．[2,)+∞[]2,4(,2]-∞[]
0,23． 设函数
，则有（
）
A ．f （x ）是奇函数，
B ．f （x ）是奇函数， y=b x
C ．f （x ）是偶函数
D ．f （x ）是偶函数，
4． 利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a ，则不等式ln （3a ﹣1）＜0成立的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 已知函数，其中，为自然对数的底数．当时，
函数()e sin x
f x x =x ∈R e 2.71828= [0,]2
x π
∈()y f x =的图象不在直线的下方，则实数的取值范围（
）
y kx =k A ． B ． C ． D ．(,1)-∞(,1]-∞2
(,e )π
-∞2
(,e ]
π
-∞【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用．
6． 已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（
）
A ． =﹣0.2x+3.3
B ． =0.4x+1.5
C ． =2x ﹣3.2
D ． =﹣2x+8.6
7． 在等比数列{a n }中，已知a 1=3，公比q=2，则a 2和a 8的等比中项为（
）
A ．48
B ．±48
C ．96
D ．±96
8． 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P ，直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}的元素个数为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．9
10．如图，设全集U=R ，M={x|x ＞2}，N={0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（
）
A ．{3}
B ．{0，1}
C ．{0，1，2}
D ．{0，1，2，3}
11．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量（单位：毫克/升）与时间（单位：P t 小时）间的关系为（，均为正常数）．如果前5个小时消除了的污染物，为了消除0e kt
P P -=0P k 10%27.1%
的污染物，则需要（ ）小时.
A. B. C. D. 81015
18
【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新
课标的这一重要思想.
12．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥α
B ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥α
C ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥β
D ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β
二、填空题
13．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____．14．已知函数f （x ）
=，g （x ）=lnx ，则函数y=f （x ）﹣g （x ）的零点个数为 ．
15．在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ=sin θ与ρcos θ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为 ．
16．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为 ．　
17．已知x ，y 满足条件
，则函数z=﹣2x+y 的最大值是 ．
　18．若
与共线，则y= ．
三、解答题
19．本小题满分12分 已知数列
{}n a 中
，，其前项和满足
123,5a a ==n n S .
)3(22112≥+=+---n S S S n n n n Ⅰ求数列{}n a 的通项公式;n a Ⅱ 若，设数列{}n b 的前n 的和为n S ，当为何值时，n S 有最大值，并求最大值. 22256
log (
1
n n b a =-N *n ∈n 20．某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8
人．
（ I ）求直方图中a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10，12]的人数；
（ II ）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
21．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若b=6，a+c=8，求△ABC 的面积．
22．（本小题满分10分）已知函数.
()|||2|f x x a x =++-（1）当时，求不等式的解集；3a =-()3f x ≥（2）若的解集包含，求的取值范围.
()|4|f x x ≤-[1,2]23．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知二次函数为偶函数且图象经过原点，
()f x 其导函数的图象过点．()'f x ()12，
（1）求函数的解析式；
()f x （2）设函数，其中m 为常数，求函数的最小值．
()()()'g x f x f x m =+-()g x
24．设，证明：（Ⅰ）当x＞1时，f（x）＜（x﹣1）；（Ⅱ）当1＜x＜3时，．
永丰县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段，
上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP是虚线，左视图为：
故选A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．
2．【答案】B
【解析】
m m 试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知需从开始，要取得最大值为，由图可知m[]2,4
的右端点为，故的取值范围是.
考点：二次函数图象与性质．
3． 【答案】C
【解析】解：函数f （x ）的定义域为R ，关于原点对称．又f （﹣x ）=
=
=f （x ），所以f （x ）为偶函数．
而f （）===﹣=﹣f （x ），
故选C ．
【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．　
4． 【答案】C
【解析】解：由ln （3a ﹣1）＜0得＜a ＜，
则用计算机在区间（0，1）上产生随机数a ，不等式ln （3a ﹣1）＜0成立的概率是P=，故选：C ．　
5． 【答案】B
【解析】由题意设，且在时恒成立，而
()()e sin x
g x f x kx x kx =-=-()0g x ≥[0,]2
x π∈．令，则，所以在上递
'()e (sin cos )x g x x x k =+-()e (sin cos )x h x x x =+'()2e cos 0x h x x =≥()h x [0,]2
π
增，所以．当时，，在上递增，，符合题意；当
21()h x e π
≤≤1k ≤'()0g x ≥()g x [0,
]2
π
()(0)0g x g ≥=时，，在上递减，，与题意不合；当时，为一
2
e k π≥'()0g x ≤()g x [0,]2
π
()(0)0g x g ≤=21e k π
<<()g x '个递增函数，而，，由零点存在性定理，必存在一个零点，使得
'(0)10g k =-<2'(e 02
g k π
π
=->0x ，当时，，从而在上单调递减，从而，与题
0'()0g x =0[0,)x x ∈'()0g x ≤()g x 0[0,)x x ∈()(0)0g x g ≤=意不合，综上所述：的取值范围为，故选B ．
k (,1]-∞
6． 【答案】A
【解析】解：变量x 与y 负相关，排除选项B ，C ；回归直线方程经过样本中心，
把=3， =2.7，代入A 成立，代入D 不成立．
故选：A．
7．【答案】B
【解析】解：∵在等比数列{a n}中，a1=3，公比q=2，
∴a2=3×2=6，
=384，
∴a2和a8的等比中项为=±48．
故选：B．
8．【答案】D
【解析】解：设F2为椭圆的右焦点
由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，
所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．
又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．
根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，
所以|PF2|=2a﹣c．
所以2a﹣c=，所以e=．
故选D．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．
9．【答案】B
【解析】解：①x=0时，y=0，1，2，∴x﹣y=0，﹣1，﹣2；
②x=1时，y=0，1，2，∴x﹣y=1，0，﹣1；
③x=2时，y=0，1，2，∴x﹣y=2，1，0；
∴B={0，﹣1，﹣2，1，2}，共5个元素．
故选：B．
10．【答案】C
【解析】解：由图可知图中阴影部分所表示的集合∁M∩N，
∵全集U=R，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}，
∴∁M={x|x≤2}，
∴∁M∩N={0，1，2}，
故选：C
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件确定集合的基本关系是解决本题的关键．
11．【答案】15 【
解
析
】
12．【答案】D
【解析】解：在A 选项中，可能有n ⊂α，故A 错误；在B 选项中，可能有n ⊂α，故B 错误；在C 选项中，两平面有可能相交，故C 错误；
在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D 正确．故选：D ．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　
二、填空题
13．【答案】27
【解析】由程序框图可知：
符合，跳出循环．
43 14．【答案】 3
【解析】解：令g （x ）=f （x ）﹣log 4x=0得f （x ）=log 4x
∴函数g （x ）=f （x ）﹣log 4x 的零点个数即为函数f （x ）与函数y=log 4x 的图象的交点个数，在同一坐标系中画出函数f （x ）与函数y=log 4x 的图象，如图所示，有图象知函数y=f （x ）﹣log 4 x 上有3个零点．故答案为：3个．
S 01627n
1
2
3
4
【点评】此题是中档题．考查函数零点与函数图象交点之间的关系，体现了转化的思想和数形结合的思想，体现学生灵活应用图象解决问题的能力．
15．【答案】　（1，2）　．
【解析】解：由2ρcos2θ=sinθ，得：2ρ2cos2θ=ρsinθ，
即y=2x2．
由ρcosθ=1，得x=1．
联立，解得：．
∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．
16．【答案】　4+　．
【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图，
∵底面边长为6，∴BC=，
球O的半径为3，球O1的半径为1，
则，
在Rt△OMO1中，OO1=4，，
∴=，
∴正四棱柱容器的高的最小值为4+．
故答案为：4+．
【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
17．【答案】　4　．
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时，
直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
18．【答案】　﹣6　．
【解析】解：若与共线，则2y﹣3×（﹣4）=0
解得y=﹣6
故答案为：﹣6
【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】Ⅰ由题意知()321211≥+-=-----n S S S S n n n n n , 即()
3211≥+=--n a a n n n
22311)(......)()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=-- ()3122122...2252...22221221≥+=++++++=++++=----n n n n n n
检验知n =1, 2时，结论也成立，故a n =2n +1． Ⅱ 由 8
82222222562log (log log 28212
n n n n b n a -====--N *n ∈法一: 当时，；当时，；
13n ≤≤820n b n =->4n =820n b n =-=当时，
5n ≥820n b n =-<故时，n S 达最大值，
. 43==n n 或1243==S S 法二：可利用等差数列的求和公式求解20．【答案】
【解析】解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a ）×2=1，解得a=0.0375，
因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为
．所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）．
（2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．
由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2， 3.，，，．
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ
0 1 2 3
P ．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由2bsinA=
a ，以及正弦定理，得sinB=，
又∵B 为锐角，
∴B=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，
∴a 2+c 2﹣ac=36，
∵a+c=8，
∴ac=
，∴S △ABC ==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
22．【答案】（1）或；（2）.
{|1x x ≤8}x ≥[3,0]-【解析】
试
题解析：（1）当时，，当时，由得，解得；3a =-25,2()1,
2325,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩
2x ≤()3f x ≥253x -+≥1x ≤当时，，无解；当时，由得，解得，∴的解集为23x <<()3f x ≥3x ≥()3f x ≥253x -≥8x ≥()3f x ≥或.
{|1x x ≤8}x ≥（2），当时，，
()|4||4||2|||f x x x x x a ≤-⇔---≥+[1,2]x ∈|||4|422x a x x x +≤-=-+-=∴，有条件得且，即，故满足条件的的取值范围为.22a x a --≤≤-21a --≤22a -≥30a -≤≤[3,0]-考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题.
23．【答案】（1）；（2）()2
f x x =1m -
【解析】（2）
据题意，，即()()()2'2g x f x f x m x x m =+-=+-()2222{ 22
m x x m x g x m x x m x -+<
=+-≥，，，，①若，即，当时，，故在上12m <-2m <-2m x <()()22211g x x x m x m =-+=-+-()g x 2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭，单调递减；当时，，故在上单调递减，在2m x ≥()()22211g x x x m x m =+-=+--()g x 12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，上单调递增，故的最小值为．()1-+∞，()g x ()11g m -=--②若，即，当时，，故在上单调递减；112m -≤
≤22m -≤≤2m x <()()211g x x m =-+-()g x 2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭，当时，，故在上单调递增，故的最小值为2m x ≥()()211g x x m =+--()g x 2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，()g x ．224
m m g ⎛⎫= ⎪⎝⎭③若，即，当时，，故在上单调递12m >2m >2
m x <()()22211g x x x m x m =-+=-+-()g x ()1-∞，减，在上单调递增；当时，，故在上12m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2m x ≥()()22211g x x x m x m =+-=+--()g x 2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
单调递增，故的最小值为．()g x ()11g m =-
综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，2m <-()g x 1m --22m -≤≤()g x 2
4m 2m >的最小值为．()g x 1m -24．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）（证法一）：
记g （x ）=lnx+﹣1﹣（x ﹣1），则当x ＞1时，g ′（x ）=+﹣＜0，
又g （1）=0，有g （x ）＜0，即f （x ）＜（ x ﹣1）；…4′
（证法二）由均值不等式，当x ＞1时，2＜x+1，故＜+．①
令k （x ）=lnx ﹣x+1，则k （1）=0，k ′（x ）=﹣1＜0，故k （x ）＜0，即lnx ＜x ﹣1②
由①②得当x ＞1时，f （x ）＜（ x ﹣1）；
（Ⅱ）记h （x ）=f （x ）﹣
，由（Ⅰ）得，
h ′（x ）=+
﹣
=
﹣
＜
﹣=，令g （x ）=（x+5）3﹣216x ，则当1＜x ＜3时，g ′（x ）=3（x+5）2﹣216＜0，
∴g （x ）在（1，3）内是递减函数，又由g （1）=0，得g （x ）＜0，
∴h ′（x ）＜0，…10′
因此，h （x ）在（1，3）内是递减函数，又由h （1）=0，得h （x ）＜0，
于是，当1＜x ＜3时，f （x ）＜
…12′。