平面向量的数量积问题4

平面向量的数量积问题
求平面向量的数量积的4种方法 1.定义法：
若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算； 2.坐标法：
若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算求解 3.基底法：
根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解
4.极化恒等式法：⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎪⎭⎫ ⎝
⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅→→→→→→
22
41b a b a b a
例题：
1.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →
的值为( )
A ．－58 B.18 C.14
D.11
8
2.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝2，点E 为AB 的中点，若→
CD 在
→
BC 上的投影为－1
2，则→→⋅BD CE ＝( )
A ．－2
B ．－1
2
C ．0
D ． 2
3．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，P 为ABC 平面内一点，则⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+⋅→
→
→
PC PB PA 的最小值是( )
A ．2-
B ．3
2
-
C ．3-
D ．6- 4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，P 在边AC 的中线BD 上，则→
→
⋅BP CP 的最小值为( )
A ．－1
2
B ．0
C ．4
D ．－1
5.如图，在正方形ABCD 中，已知|AB →|＝2，若N 为正方形内(含边界)任意一点,则AB →·AN →
的最大值是________． 6.已知向量,,a b c 满足0,a b c ++=且a 与b 的夹角的正切值为1
,2
-，c 与b 的夹角的正切值为1,3-b
=2，则a ⋅c =_____.
7．（2020·黑龙江高三（理））已知||2a =，向量a 在向量b 上的投影为3-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 8．（2019·江西高三月考（理））在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-，4AB =，3AC =，则BC 在CA 方向上的投影是（ ） A ．4
B ．3
C ．-4
D ．-3
9．（2018·天津高考真题（文））在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,
2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为
A ．15-
B ．9-
C ．6-
D ．0
10．已知△ABC 的重心为O ，且AB=4,BC=6,AC=10,，则BO AC ⋅=（ ） A ．20
3-
B ．203
C ．283
D ．16
11.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点， 1,4-=⋅=⋅→
→
→
→
CF BF CA BA ，则→
→⋅CE BE 的值是________．
12．（2019·全国高三专题练习（理））在平行四边形ABCD 中，22AB AD ==，60BAD ∠=，点E 在
CD 上，2CE ED =，则AE BE ⋅=（ ）
A ．49
-
B ．29
-
C ．
29
D ．
49
13．（2020·广东高三（理））在平行四边形ABCD 中，4AB =，1AD =，60BAD ∠=︒，DE DC λ=，
29AE DB ⋅=，则λ=（ ）
A ．
1
2
B ．
14
C ．
47
D ．
34
14．（2020·吉林高三（理））如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足2
2
3AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ） A ．2
B ．5
C ．
2
3
D ．83
15．（2019四川高三期末理）已知H 为ABC 的垂心，4AB =，6AC =，M 为边BC 的中点，则HM BC ⋅=（ ） A ．20
B ．10
C ．20-
D ．10-
16．（2020广东高三（理））在ABC ∆中，2AB =，3AC =，P 是边BC 的垂直平分线上一点，则AP BC ⋅=___. 17．（2020·宁夏银川二中高三月考（理））在四边形ABCD 中，AD BC ∥，23AB =，5AD =，30A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________
平面向量的数量积问题 参考答案
1.如图以直线AC 为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(1，0)，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21B ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛43,1F ， ∴AF →＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43,1，BC →＝⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-23,21B .∴AF →·BC →＝12－38＝18，选B.
2.解法一：∵CD →在BC →上的投影为－12，∴CD →在CB →
上的投影为12.∵BC ＝2，∴AD ＝3
2
.
又点E 为AB 的中点，∴CE →＝BE →－BC →＝12BA →－BC →，又BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋3
4
BC →
，∠ABC ＝90°，
∴CE →·BD →＝12BA →2－58BA →·BC →－34
BC →
2
＝－2.故选A.
解法二：以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，
则B (0,0)，C (2,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，∴CE →＝⎝
⎛
⎭⎪⎫－2，22，
又CD →在BC →上的投影为－12，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，∴BD →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2，∴CE →·BD →
＝－2.故选A.
3．D 【解析】以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则A （0，23），B （﹣2，0），C （2，0），设P （x ，y ），则PA =（﹣x ，23﹣y ）， PB =（﹣2﹣x ，﹣y ）
，PC =（2﹣x ，﹣y ）， 所以PA •（PB +PC ）=﹣x •（﹣2x ）+（23﹣y ）•（﹣2y ）=2x 2﹣43y+2y 2=2[x 2+（y ﹣3）2
﹣3]； 所以当x=0，y=3时，PA •（PB +PC ）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6．故选D ． 4.解法一：因为BC ＝2，AC ＝4，∠C ＝90°，所以AC 的中线BD ＝22，且∠CBD ＝45°.
因为点P 在边AC 的中线BD 上，所以设BP →＝λBD →(0≤λ≤1)，如图所示，
所以CP →·BP →＝(CB →＋BP →)·BP →＝(CB →＋λBD →)·λBD →＝λCB →·BD →＋λ2
·BD →2
＝λ|CB →
|·|BD →
|cos135°＋λ2
×(22)
2
＝8λ2
－4λ＝8⎝
⎛⎭⎪⎫λ－142－12，当λ＝14时，CP →·BP →
取得最小值－12，故选A.
解法二：依题意，以C 为坐标原点，分别以AC ，BC 所在的直线为x ，y 轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0,2)，D (2,0)，所以直线BD 的方程为y ＝－x ＋2， 因为点P 在边AC 的中线BD 上，所以可设P (t,2－t )(0≤t ≤2)，
所以CP →＝(t,2－t )，BP →＝(t ，－t )，所以CP →·BP →
＝t 2－t (2－t )＝2t 2
－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－12
，
当t ＝12时，CP →·BP →取得最小值－1
2
，故选A.
5.方法一：（定义法）∵AB →·AN →＝|AB →||AN →|·cos ∠BAN ，|AN →|·cos ∠BAN 表示AN →在AB →
方向上的投影， 又|AB →|＝2，AB →·AN →
的最大值是4.
方法二：（坐标法）以A 为坐标原点，建立直角坐标系，A(0,0),B(2,0),N(x,y)，42≤=⋅→
→
x AN AB 6.【答案】
45可设,,AB a BC b CA c ===，由题意可得11
tan ,tan 23
B C ==，
则()tan tan A B C =-+
11tan tan 231111tan tan 123
B C B C +
+=-=-
=---⨯，即为135A =， 又,B C 为锐角，22sin 1
sin cos 1,cos 2
B B B B +==，可得5sin 5B =
，同理可得10sin 10C =， 由正弦定理可得2
135510
510
c a sin ==
，即有21025,55c a ==， 则2102524cos455525a c c a ⋅=⋅⋅=⋅⋅=，故答案为4
5
. 7. 【解析】设夹角为α，则a 在向量b 上的投影为35cos 2cos 3cos 26
a π
αααα==-∴=-∴=选D 8. 【解析】如图所示：
AB AC AB AC +=-，0AB AC ∴⋅=，∴AB AC ⊥，又4AB =，3AC =，
BC ∴在CA 方向上的投影是：()cos ,cos cos 3BC BC CA BC ACB BC ACB π=-∠=-∠=-选D.
9. 【解析】如图所示，连结MN ，
由2,2BM MA CN NA ==可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点，
则()
33BC MN ON OM ==-，由题意可知：2
211OM ==，
12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯=-， 结合数量积的运算法则可得
()
2
333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-.本题选择C 选项.
10. 设BC 边上的中线为D ，因为O 为ABC 的重心，所以23
BO BD =，又因为4AB =，6BC =，
所以()()
221332
BO BD BA AC AC BC BC BA ⨯
+⋅⋅=⋅=-()
22120
33BC BA =-=.故选：B.
11.法一：(坐标法)以D 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设B(－a ，0)，C(a ，0)，A(b ，c)，则E(23b ，23c)，F(13b ，1
3
c)，
BA →＝(b ＋a ，c)，CA →＝(b －a ，c)，BF →＝(b 3＋a ，c 3)，CF →＝(b 3－a ，c 3)，BE →
＝(23b ＋a ，2
3
c)，
CE →＝(23b －a ，23c)，由BA →·CA →＝b 2－a 2＋c 2＝4，BF →·CF →＝b 29－a 2
＋c 2
9
＝－1，
解得b 2＋c 2＝458，a 2＝138，则BE →·CE →
＝49(b 2＋c 2)－a 2
＝78
.
法二：(基底法)设BD →＝a ，DF →＝b ，则BA →·CA →＝(a ＋3b )·(－a ＋3b )＝9|b |2
－|a |2
＝4，
BF →·CF →
＝(a ＋b )·(－a ＋b )＝|b |2－|a |2＝－1，解得|a |2＝138，|b |2
＝58
，
则BE →·CE →
＝(a ＋2b )·(－a ＋2b )＝4|b |2－|a |2
＝78
.
法三：极化恒等式法：
12. 【解析】因为22AB AD ==，60BAD ∠=，设1AD =，
则1AB AD ⋅=，因为13AE AD DE AD AB =+=+
，2
3
BE AE AB AD AB =-=-， 所以222193AE BE AD AB AB AD ⋅=--⋅812
1939
=--=-.故选：B
13. 【解析】4AB =，1AD =，60BAD ∠=︒，DE DC λ=，29AE DB ⋅=
AE AD DE AD AB λ∴=+=+，DB AB AD =-()()
AE DB AD DE AB AD ∴⋅=+⋅-
()()
AD AB AB AD λ=+⋅-()22
1AD AB AB AD λλ=-++-⋅ ()9161114cos601412
λλλ=-+-⨯⨯⨯︒=+=
，所以1
4λ=.故选：B
14. 【解析】由题意G 是ABC ∆的重心，21
33()2()()
32
AG MB AN BM BN BA BC BA ⋅=⨯⋅-=--⋅+1
()()2BA BC BC BA =-⋅+22111152222BA BC BA BC BA BC =-+⋅=-+⋅
2222
2()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-⋅+=++5211BA BC =-⋅++，
∴
91
7222
BA BC BA BC +⋅=-⋅，1BA BC ⋅=， ∴AG AC ⋅22221213
()()()332322AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =
⋅=-⋅-=-⋅+2138(5)3223
=-+=，选D ． 15. 【解析】由题意1
()2
AM AB AC =
+，HM AM AH =-，0AH BC ⋅=， ()HM BC AM AH BC AM BC AH BC ⋅=-⋅=⋅-⋅1
()()2AC AB AC AB =+⋅-222211()(64)1022
AC AB =-=-=．选B ． 16. 【解析】取BC 中点D ，连接PD ，则PD BC ⊥，0PD BC ⋅=，
所以AP BC AP BC PD BC AD BC ⋅=⋅+⋅=⋅()()1
2AB AC AC AB =+⋅-(
)
22
1
5
2
2
AC AB =
-=
. 17. 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则(23,0)B ，535
(
,)22
D 。

因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为A
E BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，
所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-，直线AE 的斜率为3
3
-
，其方程为3
3
y x =-。

由3
(23),333y x y x ⎧=
-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
得3x =
，1y =-，
所以(3,1)E -。

所以35
(,)(3,1)122
BD AE =-=-。

22
2222
22
2
2
2
1114434
444114144513
82
14BA CA BA CA BA CA AD BC FD BC BF CF BF CF BF CF FD BC FD BC BE CE BE →
→
→→→→→→→→→
→→→→→→
→→→→→→⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⋅=+--=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
⋅=+--=-=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
⎣⎦==
∴⋅=得，222217
448CE BE CE ED BC →→→→→⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--=-=
⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦。