教育最新K122019届高考数学一轮复习 第八章 立体几何 课时跟踪训练43 直线、平面平行的判定与性质 文

课时跟踪训练(四十三) 直线、平面平行的判定与性质
[基础巩固]
一、选择题
1．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一与a平行的直线
[解析] 当直线a在平面β内且经过B点时，可使a∥平面α，但这时在平面β内过B点的所有直线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a平行的直线，故选A.
[答案] A
2．(2017·湖南长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )
A．异面B．平行
C．相交D．以上均有可能
[解析] 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.
[答案] B
3．(2016·吉林长春二中模拟)在空间中，设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列命题正确的是( )
A．若m∥n，则α∥β
B．若m，n异面，则α∥β
C．若m，n相交，则α，β相交
D．若m⊥n，则α⊥β
[解析] 若m∥n，则α与β平行或相交，故A错误；若m，n异面，则α，β平行或相交，故B错误；若m，n相交，则α，β一定有公共点，即相交，故C正确；若m⊥n，则α与β可以平行、相交，故D错误．
[答案] C
4．设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( ) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
[解析] 对于A，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以A是α∥β的一个必要条件；同理，B也是α∥β的一个必要条件；易知C不是α∥β的一个充分条件，而是一个必要条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以D是α∥β的一个充分条件．[答案] D
5．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
[解析] 解法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱
的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ .同理可证选项C ，D 中均有AB ∥平面MNQ .故选A.
解法二：对于选项A ，设正方体的底面对角线的交点为O (如图所示)，连接OQ ，则OQ ∥AB ，因为OQ 与平面MNQ 有交点，所以AB 与平面MNQ 有交点，即AB 与平面MNQ 不平行，故选A.
[答案] A
6．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a
3
，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．垂直
D ．不能确定
[解析] 连接CD 1、AD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a
3，连接MP 、NP ，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1
∥BC 1，∴MP ∥平面BB 1C 1C ，PN ∥平面BB 1C 1C ，∴平面MNP ∥平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .
[答案] B 二、填空题
7．(2017·广东顺德质检)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，
BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，则BE 与平面PAD 的位置关系为________．
[解析] 取PD 的中点F ，连接EF 、AF ， 在△PCD 中，EF 綊1
2
CD .
又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF 綊AB ， ∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF .
又∵EB ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，∴BE ∥平面PAD . [答案] 平行
8．棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．
[解析] 由面面平行的性质知截面与面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为9
2
.
[答案] 9
2
9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是面AA 1D 1D 的中心，点Q 是B 1D 1上一点，且PQ ∥面AB 1，则线段PQ 长为__________．
[解析] 连接AB 1、AD 1，
∵点P 是平面AA 1D 1D 的中心， ∴点P 是AD 1的中点， ∵PQ ∥平面AB 1，
PQ ⊂平面D 1AB 1，
平面D 1AB 1∩平面AB 1＝AB 1， ∴PQ ∥AB 1， ∴PQ ＝12AB 1＝22.
[答案]
2
2
三、解答题
10．(2017·浙江卷改编)如图，已知四棱锥P －ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，AD ＝2CB ，E 为PD 的中点．证明：CE ∥平面PAB .
[证明] 如图，设PA 中点为F ，连接EF ，FB .因为E ，F 分别为PD ，PA 中点，所以EF ∥AD 且EF ＝1
2
AD ，
又因为BC ∥AD ，BC ＝1
2
AD ，所以EF ∥BC 且EF ＝BC ，
即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ，因为CE ⊄平面PAB ，BF ⊂平面PAB ，因此
CE ∥平面PAB .
[能力提升]
11．(2016·云南检测)如图，在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )
A.
452 B.4532
C ．44
D ．45 3 [解析] 取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以
AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB
∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊1
2AC 綊DE ，
所以四边形DEFH 为平行四边形．因为AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形
DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12SB ＝452
.
[答案] A
12．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ＝1
2，
则下列结论中错误的是( )
A ．AC ⊥BE
B ．EF ∥平面ABCD
C ．三棱锥A －BEF 的体积为定值
D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等
[解析] 由AC⊥平面DBB1D1可知AC⊥BE.故A正确．EF∥BD，EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，知EF∥平面ABCD，故B正确．
A到平面BEF的距离即为A到平面DBB1D1的距离为
2
2
，且S△BEF＝
1
2
BB1×EF＝定值，
故V A－BEF为定值，即C正确．
△AEF的面积为
6
8
，△BEF的面积为
1
4
，两三角形面积不相等，故D错误．
[答案] D
13．(2017·湖南十三校联考)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有__________条．
[解析] 记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．
[答案] 6
14.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则当M满足条件________时，有MN ∥平面B1BDD1.
[解析] 因为平面NHF∥平面B1BDD1，所以当M点满足在线段FH上，有MN∥平面B1BDD1.
[答案] M∈线段FH
15．如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，∠BCD＝120°，M 为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.
[证明] 证法一：
如图1，延长AD ，BC 交于点F ，连接EF . 因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°， 所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形，
所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°， 因此∠AFB ＝30°， 所以AB ＝1
2
AF .
又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由点M 是线段AE 的中点，因此DM ∥EF . 又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ，
所以DM∥平面BEC.
证法二：如图2，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，
因为M是AE的中点，
所以MN∥BE.
又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，
所以MN∥平面BEC.
又因为△ABD为正三角形，
所以∠BDN＝30°，
又CB＝CD，∠BCD＝120°，
因此∠CBD＝30°，
所以DN∥BC.
又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，
又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.
16.如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β.
[证明] 若AB与CD共面，如图1所示，
图1
∵AE∶EB＝CF∶FD，
∴AC∥EF∥BD，
又∵EF⊄β，BD⊂β，
∴EF∥β.
若AB与CD异面，如图2所示，
连接AC，BD，AD，过E点作EG∥BD，交AD于G点，连接GF，则AE∶EB＝AG∶GD.
图2
∵EG⊄β，BD⊂β，∴EG∥β.
∵AE∶EB＝CF∶FD，∴AG∶GD＝CF∶FD，
∴GF∥AC，∵GF⊄α，AC⊂α，∴GF∥α，
∵α∥β，∴GF∥β，∵EG、GF⊂平面EFG，EG∩GF＝G，
∴平面EFG∥β，又EF⊂平面EFG，∴EF∥β.
[延伸拓展]
一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M、N分别是AF、BC的中点)．
(1)求证：MN ∥平面CDEF ；
(2)求多面体ACDEF 的体积．
[解] (1)证明：
由已知得此多面体为直三棱柱．
取BF 的中点G ，连接MG 、NG ，
由M 、N 分别为AF 、BC 的中点可得NG ∥CF ，MG ∥EF ，∴NG ∥平面CDEF ，MG ∥平面CDEF ，又∵NG ∩MG ＝G ，
∴可得平面MNG ∥平面CDEF ，
又MN ⊂平面MNG ，
∴MN ∥平面CDEF .
(2)由三视图可知AB ＝BC ＝BF ＝2，
DE ＝CF ＝22，∠CBF ＝π2
.
取DE 的中点H ，连接AH .
∵AD ＝AE ，∴AH ⊥DE ，
又∵在直三棱柱ADE －BCF 中，
平面ADE ⊥平面CDEF ，
平面ADE ∩平面CDEF ＝DE .
∴AH ⊥平面CDEF .
∴多面体ACDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥， ∵易得AH ＝ 2.S 矩形CDEF ＝DE ·EF ＝42，
∴棱锥A －CDEF 的体积为
V ＝13·S 矩形CDEF ·AH ＝13×42×2＝83
.。