【K12教育学习资料】高考数学二轮复习 导数的应用 6导数在实际生活中的应用学案 理

6导数在实际生活中的应用
【学习任务】
1.通过本课的教学，对学生进行函数思想和方法的培养；
2.通过本课例题的分析与解答，培养学生的发散思维能力和逐步形成运用导数知识解决实际问题的能力；
3.通过解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题，体验导数求最大值与最小值的应用．
一、知识网络构建
1．求解应用题的一般思路和步骤(四步法)
(1)读题：读懂和深刻理解题意，译为数学符号和语言，找出主要关系；
(2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
(3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法计算和求解；
(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证．
2．函数应用题常见问题
最(极)值等优化问题：实际工农业生产、建设及实际生活中的“优选”“控制”等问题，常需建立“函数方程不等式模型”转化为求函数的最值问题．
二【课前预习】
1.挖一个半圆柱形的水池，其池面为圆柱的轴截面，若池面周长为定值2a，则水池的最大容积是．
2.用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成,问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
【合作探究】
例1.某公司生产某种消防安全产品，年产量x台(0≤x≤100，x∈N)时，销售收入函数R(x)＝3000x－20x2(单位：百元)，其成本函数满足C(x)＝500x＋b(单位：百元)．已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000(百元)．
(1)求利润函数P(x)；
(2)问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？
(3)在经济学中，对于函数f(x)，我们把函数f(x＋1)－f(x)称为函数f(x)的边际函数，记作Mf(x)．对于(1)求得的利润函数P(x)，求边际函数MP(x)；并利用边际函数MP(x)的性质解释公司生产利润情况．(本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等)
例2.请你设计一个包装盒，如图7－1所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
例3.某工厂拟建一座平面图（如图所示）为矩形且面积为200m2 的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m.如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）.
（1）写出总造价y（元）与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；
（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.
【自我检测】
1.图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成
一个无盖的正六棱柱容器（图2）.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大.
2.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为：21242005
p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x =+(元)。

问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润=收入─成本)
a d
l
3.一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比.
（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？
（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？
4.为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD 上规划出一块长方形地面建造公园，公园一边落在CD 上，但不得越过文物保护区AEF 的EF.问如何设才能使公园占地面积最大，并求这最大面积（ 其中
AB=200m,BC=160m,AE=60m,AF=40m.）
5某公司为帮助尚有26．8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为1200元，该店应交付的其它费用为每月13200元．
（1）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（2）若该店只安排20名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价
格定为多少元？
【课堂小结】
通过本课例题的分析与解答，培养学生的发散思维能力和逐步形成运用导数知识解决实际问题的能力．。