用一元二次方程解应用题常见的类型及解题方法

用一元二次方程解应用题常见的类型及解题方法甘肃省平凉市崆峒区白庙回族乡白庙初级中学白员吉
列方程解应用题是教学的重点，也是难点，本文就一元二次方程应用题常见的类型及解题方法，归纳提供给大家参考。

1、利润问题
此类问题常见的等量关系是：利润=售价－进价，总利润=每件商品的利润×销售数量，利润率=
进价
利润。

例：某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么衬衫平均每天多售出2件，商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
分析：假设每件衬衫应降价x元，现每件盈利为（40－x）元，现每天销售衬衫为（20＋2x）件，根据等量关系：每件衬衫的利润×销售衬衫数量=销售利润，可列出方程。

解：设每件衬衫应降价x元，根据题意，得
（40－x）（20＋2x）=1200
解得x
1=10，
x
2=20，因尽快减少库存，∴取x=20 ∴
每件应降价20元。

答：略
2、利息问题
此类问题的等量关系是：利率=
本金
利息，利息=本金×利率×期数，本息和=本金＋利息=本金×（1＋利率）。

例：某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率（本题不计利息税）
分析：假设这种存款方式的年利率为x，2000元存一年后本息和为2000（1＋x）元，支取1000元后，还剩[2000（1＋x）－1000]元，将所剩[2000（1＋x）－1000]元再存入银行一年，到期后本息共1320元，根据本息和=本金×（1＋利率）等量关系可列出方程。

解：设这种存款方式的年利率为x。

根据题意得，[2000（1＋x）－1000]（1＋x）=1320
∴)1
(2
x－0.5(x＋1)－0.06=0
∴（x＋1＋0.6）（x＋1－1.1）=0
∴x
1=－1.6（舍去），
x
2=0.1=10%
答：略
3、与几何图形的面积问题
①几何图形的面积问题
面积公式是此类问题的等量关系。

例：如图1—1所示，某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都是144㎡，则道路的宽是多少米?
分析：（1）设路的宽为x m，那么道路所在的面积（40x＋26x×2－2x2）㎡，于是六块草坪的面积为[40×26－（40x＋26x×2－2x2）]㎡，根据题意，得40×26－（40x＋26x×2－2x2）=144×6
（2）将图1—1所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移图1—2的位置，若设宽为x m，则草坪的总面积为（40－2x）（26－x）㎡所列方程为（40－2x）（26－x）=144×6
解法1：设道路的宽为x m，则根据题意，得40×26－（40x ＋26x×2－2x2）=144×6整理，得x2－46x＋88=0，解得
x
1=44（舍去），x
2=2
解法2：设道路的宽为x m，则根据题意，得（40－2x）（26－x）=144×6
解得，x
1=44（舍去），
x
2=2
答：略
②勾股定理问题：
勾股定理是此类问题的等量关系。

例：如图2—1 两只蚂蚁从A点出发，分别沿正北，正东方向爬，甲的速度为每分钟6cm，乙的速度为每分钟8cm，几分钟后，两只蚂蚁相距20cm?
分析：假设t分钟后相距20cm，那么甲所爬的距离为6tcm，乙所爬的距离为8tcm，甲乙所爬的距离正好是两个直角边，相距20cm正好是两直角边所对的斜边，此题可用勾股定理作等量关系列方程。

解：设t分钟后，相距20cm，由题意得：
8(2t﹦202
6(2t＋)
)
整理，得t
1002﹦400，t1﹦2，t2﹦－2（不合题意，舍去）答：略
4、平均增长（降低）率问题
此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到的新的数据。

常见的等量关系是：a)
±=b，其中b为增长（或
1(2x
降低）后的数量，a为增长（或降低）前的基数，x为增长率（降低率）。

例：某印刷厂元月份印刷课本30万册，第一季度共印了150万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？
分析：本题的关键是应用形如a)
+=b形式的问题，但要
1(2x
注意不能盲目套公式，此题没有直接给出增长后的数据，而是直接给出了第一季度印刷的总数量，所以使用的等量关系是：元月份印刷数量30万册＋2月份印刷数量30)
+＋3月份印刷数量
1(x
30)
+=150万册
1(2x
解：设2、3月份平均增长率为x ，则
30＋30)1(x +＋30)1(2
x +=150 解得，x 1=3.56（舍去）x 2=0.56=56%
答：略
5、动点问题
此类问题是一般几何题的延伸，要学会用运动的观点看问题，根据条件设出未知数，应想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题中给出的等量关系（可以是图形的面积、勾股定理等）列出方程。

例：如图3—1所示，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从A 点开始沿AB 向B 点以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A ，B 同时出发，经过几秒钟，使△PQB 的面积等于8cm2？
分析：设经过x s ，点P 在AB 上移动后所剩的距离PB 为（6－x ）cm
点Q 在BC 上移动的距离BQ 为2x cm
因此，可根据三角形面积公式列方程来求解
解：设经过x s ，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，且使△PBQ 面积为8cm 2
根据题意，得 （6－x ）×2x =8
x 2
－6x ＋8=0，解得x 1=2，x 2=4 经2s ，点P 在离A 点1×2=2（cm ）处；点Q 在离B 点2×2=4（cm ）处。

经4s 点P 在离A 点1×4=4（cm ）处，点Q 在离B 点2×4=8（cm ）处，所以它们都符合要求。

答：略
6、数字问题
根据数字问题列方程，只要根据题目中给出的相等关系列出方程即可，但要注意两位数或三位数的表示方式。

两位数=（十位数字）×10＋（个位数字）
三位数=（百位数字）×100＋（十位数字）×10＋（个位数字）
例：一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积是736，求原来的两位数。

分析：题中等量关系比较明显，所以两位数与原来的两位数的乘积是736,正确列出方程的关键是熟练掌握用字母表示两位数的方法。

两位数=（十位数字）×10＋（个位数字）。

解：设原来两位数的十位数字为x ，则个位数字为（5－x ）。

根据题意，得[10x ＋（5－x ）][10（5－x ）＋x ]=736 整理，得x 2－5x ＋6=0，x 1=2，x 2=3。

当x=2时，5－x=3符合题意，原来的两位数是23；
当x=3时，5－x=2符合题意，原来的两位数是32。

答：原来的两位数是23或32。

注意：用一元二次方程解决实际问题时，一定要注意检验所得的解是否符合实际意义，不合题意的解一定要舍去。