《任意角和弧度制》 导学案

《任意角和弧度制》导学案
一、学习目标
1、理解任意角的概念，包括正角、负角和零角。

2、掌握象限角的概念及终边相同角的表示方法。

3、理解弧度制的定义，能进行角度与弧度的换算。

4、掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。

二、知识梳理
（一）任意角
1、角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置
所成的图形。

2、正角、负角和零角
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角
叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

3、象限角
使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。

（二）终边相同的角
所有与角α终边相同的角（包括角α在内），均可表示为：k·360°＋α，k∈Z 。

（三）弧度制
1、弧度制的定义
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。

2、角度与弧度的换算
180°＝π rad ，1°＝π ／ 180 rad ，1 rad ＝（ 180 ／π ）°
（四）弧长公式和扇形面积公式
1、弧长公式：l ＝｜α|r ，其中α为圆心角的弧度数，r 为半径。

2、扇形面积公式：S ＝ 1 ／ 2 lr ＝ 1 ／ 2 ｜α|r²
三、重点难点
（一）重点
1、任意角的概念和象限角的判断。

2、终边相同角的表示。

3、弧度制与角度制的换算。

4、弧长公式和扇形面积公式的应用。

（二）难点
1、对任意角概念的理解，尤其是负角和零角。

2、终边相同角的准确表示。

3、弧度制概念的理解及弧度与角度的换算。

四、典型例题
例 1：已知角α ＝－120°，判断它是第几象限角。

解：因为－120°＝ 240° 360°，而 240°是第三象限角，所以－120°是第三象限角。

例 2：写出与角 30°终边相同的角的集合。

解：与角 30°终边相同的角的集合为{β ｜β ＝ 30°＋ k·360°，k∈Z}例 3：将67°30′转化为弧度。

解：因为 1°＝π ／ 180 rad ，1′ ＝ 1 ／ 60 °
所以67°30′ ＝ 675°＝675× π ／ 180 ＝3π ／ 8 rad
例4：已知扇形的圆心角为2 rad，半径为5，求扇形的弧长和面积。

解：弧长 l ＝ 2×5 ＝ 10
面积 S ＝ 1 ／ 2 × 2 × 5²＝ 25
五、课堂练习
1、已知角α ＝－30°，判断它是第几象限角。

2、写出与角－60°终边相同的角的集合。

3、将 120°转化为弧度。

4、已知扇形的圆心角为4π ／ 3 rad，半径为 3，求扇形的弧长和面积。

六、课后作业
1、复习任意角和弧度制的相关概念。

2、完成课本上的习题。

3、思考：在实际生活中，哪些情况会用到角度和弧度的转换？
七、学习方法指导
1、结合图形理解角的概念和相关性质，有助于直观感受。

2、多做练习题，加深对知识点的理解和应用能力。

3、遇到问题及时请教老师或同学，不要堆积问题。

八、拓展阅读
可以查阅相关数学书籍或网站，了解角的发展历史以及在其他学科中的应用，拓宽知识面。